（精）2012年全国中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编_专题2_几何问题

】解:(1)?α=60?，BC=10，?sinα=，即sin60?=，解得CE=。 53,BC102 (2)?存在k=3，使得?EFD=k?AEF。理由如下: 连接CF并延长交BA的延长线于点G， ?F为AD的中点，?AF=FD。 在平行四边形ABCD中，AB?CD，??G=?DCF。 在?AFG和?CFD中， ??G=?DCF，?G=?DCF，AF=FD， ??AFG??CFD(AAS)。?CF=GF，AG=CD。 ?CE?AB，?EF=GF。??AEF=?G。 11?AB=5，BC=10，点F是AD的中点，?AG=5，AF=AD=BC=5。?AG=AF。 22 ??AFG=?G。 在?AFG中，?EFC=?AEF+?G=2?AEF， 又??CFD=?AFG，??CFD=?AEF。 ??EFD=?EFC+?CFD=2?AEF+?AEF=3?AEF， 因此，存在正整数k=3，使得?EFD=3?AEF。 ?设BE=x，?AG=CD=AB=5，?EG=AE+AG=5,x+5=10,x， 2222在Rt?BCE中，CE=BC,BE=100,x。 22222在Rt?CEG中，CG=EG+CE=(10,x)+100,x=200,20x。 10 用心 爱心 专心 111222?CF=GF(?中已证)，?CF=(CG)=CG=(200,20x)=50,5x。 244 25522222?CE,CF=100,x,50+5x=,x+5x+50=,(x,)+50+。 42 522?当x=，即点E是AB的中点时，CE,CF取最大值。 2 255155152此时，EG=10,x=10,，CE=， =100x=100=,,2242 515 CG152?。 tanDCFtanG，,，,,,15EG3 2 【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行四边形的性质，对顶角的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理。 【分析】(1)利用60?角的正弦值列式计算即可得解。 (2)?连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明?AFG和?CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF，再根 、BC的长度可得AG=AF，然后利用等边对等角的性质可得?AEF=?G=?AFG，根据三角形的一个外角据AB 等于与它不相邻的两个内角的和可得?EFC=2?G，然后推出?EFD=3?AEF，从而得解。 2?设BE=x，在Rt?BCE中，利用勾股定理表示出CE，表示出EG的长度，在Rt?CEG中，利用勾股定理表 22示出CG，从而得到CF，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答。 6. (2012广东肇庆10分)如图，在?ABC中，AB=AC，以AB为直径的?O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P. 求证: (1)D是BC的中点; (2)?BEC ??ADC; (3)AB, CE=2DP,AD( 【答案】证明:(1)?AB是?O的直径，??ADB=90?，即AD?BC。 ?AB=AC，?D是BC的中点。 11 用心 爱心 专心 (2)?AB是?O的直径，??AEB=?ADB=90?，即?CEB=?CDA=90?， ??C是公共角，??BEC??ADC。 (3)??BEC??ADC，??CBE=?CAD。 ?AB=AC，AD=CD，??BAD=?CAD。??BAD=?CBE。 ??ADB=?BEC=90?，??ABD??BCE。 ABADABBC?。?。 ,,BCBEADBE AB2BDABBD?BC=2BD，?，即。 ,,ADBE2ADBE DPBD??BDP=?BEC=90?，?PBD=?CBE，??BPD??BCE。?。 ,CEBE ABDP?，即AB•CE=2DP•AD。 ,2ADCE 【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】(1)由AB是?O的直径，可得AD?BC，又由AB=AC，由三线合一，即可证得D是BC的中点。 (2)由AB是?O的直径，?AEB=?ADB=90?，又由?C是公共角，即可证得?BEC??ADC。 )易证得?ABD??BCE与?BPD??BCE，根据相似三角形的对应边成比例与BC=2BD，即可证(3 得AB•CE=2DP•AD。 7. (2012贵州毕节14分)如图，AB是?O的直径，AC为弦，D是的中点，过点D作EF?AC的延长BC线于E，交AB的延长线于E，交AB的延长线于F。 (1)求证:EF是?O的切线; 1sin(2)若?F=，AE=4，求?O的半径和AC的长。 3 【答案】(1)证明:连接OD， BC?D是的中点，??BOD=?A。 ?OD?AC。 12 用心 爱心 专心 ?EF?AC，??E=90?。??ODF=90?。 ?EF是?O的切线; 1(2)解:在?AEF中，??E=90?，sin?F= ，AE=4， 3 AE?。 AF12,,sinF， 设?O的半径为R，则OD=OA=OB=R，AB=2R( 1在?ODF中，??ODF=90?，sin?F=，?OF=3OD=3R。 3 ?OF+OA=AF，?3R+R=12，?R=3。 连接BC，则?ACB=90?。 ??E=90?，?BC?EF。?AC:AE=AB:AF。 ?AC:4=2R:4R，?AC=2。 ??O的半径为3，AC的长为2。 【考点】弧、圆周角和圆心角的关系，圆周角定理，平行的判定和性质，切线的判定，锐角三角函数定义，平行线分线段成比例定理。 【分析】(1)连接OD，根据圆周角定理，可得?BOD=?A，则OD?AC，从而得出?ODF=90?，即EF是?O的切线。 11(2)先解直角?AEF，由sin?F= ，得出AF=3AE=12，再在Rt?ODF中，由sin?F=，得出OF=3OD，33设?O的半径为R，由AF=12列出关于R的方程，解方程即可求出?O的半径。连接BC，证明BC?EF，根据平行线分线段成比例定理得出AC:AE=AB:AF，即可求出AC的长。 8. (2012江苏泰州12分)如图，已知直线l与?O相离，OA?l于点A，OA=5，OA与?O相交于点 P，AB与?O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C( (1)试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由; 25(2)若PC=，求?O的半径和线段PB的长; (3)若在?O上存在点Q，使?QAC是以AC为底边的等腰三角形，求?O的半径r的取值范围( 13 用心 爱心 专心 【答案】解:(1)AB=AC。理由如下: 连接OB。 ?AB切?O于B，OA?AC，??OBA=?OAC=90?。 ??OBP+?ABP=90?，?ACP+?CPB=90?。 ?OP=OB，??OBP=?OPB。 ??OPB=?APC，??ACP=?ABC。 ?AB=AC。 )延长AP交?O于D，连接BD， (2 设圆半径为r，则由OA=5得，OP=OB=r，PA=5,r。 25又?PC=， 2222222222ABOAOB5rACPCPA2 5 5r,,,,,,,,,，()? 。 ，， 22225r2 5 5r,,,,()由(1)AB=AC得，解得:r=3。 ，， ?AB=AC=4。 ?PD是直径，??PBD=90?=?PAC。 CPAP25265,??DPB=?CPA，??DPB??CPA。?，即，解得。 PB=,PDBP56BP (3)作线段AC的垂直平分线MN，作OE?MN， 11122则OE=AC=AB=。 5r,222 122又?圆O要与直线MN交点，?OE=?r， 5r,2 5?r?。 又?圆O与直线l相离，?r,5。 14 用心 爱心 专心 ??O的半径r的取值范围为?r,5( 5 【考点】切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质。 【分析】(1)连接OB，根据切线的性质和垂直得出?OBA=?OAC=90?，推出?OBP+?ABP=90?， ?ACP+?CPB=90?，求出?ACP=?ABC，根据等腰三角形的判定推出即可。 (2)延长AP交?O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5,r，根据AB=AC推出 2CPAP222，求出r，证?DPB??CPA，得出, ，代入求出PB即可。 5r2 5 5r,,,,()，，PDBP (3)根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE?MN，求出OE,r，求出r范围，再根据相离得出r,5，即可得出答案。 9. (2012山东淄博9分)在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，AB=x( (1)当点G与点D重合时，求x的值; (2)当点F为AD中点时，求x的值及?ECF的正弦值( 【答案】解:(1)当点G与点D重合时，点F也与点D重合。 ?矩形ABCD中，AC?BD，?四边形ABCD是正方形。 ?BC=4，?x= AB= BC=4。 (2)?点F为AD中点，BC=4，?AF=2。 AEFEAF21 ?矩形ABCD中，AD?BC，??AEF??BEB。?。 ,,,,CEBDCB42 CE=2AEBD=2FE，AC=3AEBF=3FE， ?。?。 0 ?矩形ABCD中，?ABC=?BAF=90， 222222AC=AB+BCBF=AF+AB， ?在Rt?ABC和Rt?BAF中由勾股定理得， 2222223AE=x+43FE=2+x， 即。 ，，，， 15 用心 爱心 专心 222 两式相加，得。 9AE+FE=2x+20，， 2222 又?AC?BG，?在Rt?ABE中，。 AE+FE=AB=x 2229x=2x+20 ?，解得(已舍去负值)。 x=357 28,,,,2222 ?AE=+16=FE=4+=CE=4AE=4=,,,，， 。 ,,,,976397636363,,,, 48528576222 ?在Rt?CEF中由勾股定理得。 CF=FE+CE=+,636363 482CF12363 ?。?。 sinECF===，，，sinECF=，2576126EF 48 【考点】矩形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义。 【分析】(1)由点G与点D重合得出四边形ABCD是正方形即可求得x的值。 AC=3AEBF=3FE， (2)由点F为AD中点和矩形的性质，得?AEF??BEB，从而得。在Rt?ABC、 ，根据锐角三角函Rt?BAF和Rt?ABE应用勾股定理即可求得x的值。在Rt?CEF中应用勾股定理求得CF数定义即可求得?ECF的正弦值。 210. (2012四川宜宾10分)如图，?O、?O相交于P、Q两点，其中?O的半径r=2，?O的半径r=(过121122点Q作CD?PQ，分别交?O和?O于点C(D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交?O和?O于点A(B，1212连接AP、BP、AC(DB，且AC与DB的延长线交于点E( PA(1)求证:; ,2PB (2)若PQ=2，试求?E度数( 22【答案】(1)证明:??O的半径r=2，?O的半径r=，?PC=4，PD=2。 1122 ?CD?PQ，??PQC=?PQD=90?。 ?PC(PD分别是?O、?O的直径，在?O中，?PAB=?PCD，在?O中，?PBA=?PDC， 1212 16 用心 爱心 专心 PAPC4PAPB??PAB??PCD。?。 ,,,2,，即PBPDPCPD22 PQ1(2)解:在Rt?PCQ中，?PC=2r=4，PQ=2，?cos?CPQ=。??CPQ=60?。 ,1PC2 PQ22?在Rt?PDQ中，PD=2r=2，PQ=2，?sin?PDQ=。??PDQ=45?。 2,PD2 ??CAQ=?CPQ=60?，?PBQ=?PDQ=45?。 又?PD是?O的直径，??PBD=90?。??ABE=90?,?PBQ=45?。 2 在?EAB中，??E=180?,?CAQ,?ABE=75?。 答:?E的度数是75?。 【考点】相交两圆的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理，三角形内角和定理。 PAPC4PAPB【分析】(1)求出PC、PD，证?PAB??PCD，得出 ,,,2,，从而。PBPDPCPD22 PQ1,(2)由cos?CPQ=，求出?CPQ=60?，同理求出?PDQ=45?。由圆周角定理，得出 PC2 ?CAQ=?CPQ=60?，?PBQ=?PDQ=45?，求出?PBD=90?，求出?ABE=45?根据三角形的内角和定理求出 即可。 11. (2012四川广安9分)如图，在?ABC中，?ABC=?ACB，以AC为直径的?O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且?CAB=2?BCP( (1)求证:直线CP是?O的切线( 552)若BC=2(，sin?BCP=，求点B到AC的距离( 5 (3)在第(2)的条件下，求?ACP的周长( 【答案】解:(1)??ABC=?ACB且?CAB=2?BCP，在?ABC中，?ABC+?BAC+?BCA=180?， ?2?BCP+2?BCA=180?。 ??BCP+?BCA=90?，即?PCA=90?。 又?AC是?O的直径，?直线CP是?O的切线。 17 用心 爱心 专心 (2)如图，作BD?AC于点D， ?PC?AC，?BD?PC。??PCB=?DBC。 5?C=2，sin?BCP= 55 DCDC5?，解得:DC=2。 sinBCPsinDBC，,，,,,BC525 ?由勾股定理得:BD=4。?点B到AC的距离为4。 (3)如图，连接AN， CNCN5AC=== =5在Rt?ACN中，， sin DBC sin BCP，，5 5 又CD=2，?AD=AC,CD=5,2=3。 ?BD?CP，??ABD??ACP。 BDAD4320,?，即。?。 ,PC,PCACPC53 22025,,222在Rt?ACP中，。 APAC+PC5+,,,,,33,, 2025??ACP的周长为。 ACCPAP5++20，，,,33 【考点】切线的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性 质，锐角三角函数定义。 【分析】(1))根据?ABC=?AC且?CAB=2?BCP，在?ABC中?ABC+?BAC+?BCA=180?，得到 2?BCP+2?BCA=180?，从而得到?BCP+?BCA=90?，证得直线CP是?O的切线。 DCDC5sinBCPsinDBC，,，,,,(2)作BD?AC于点D，得到BD?PC，从而利用求得DC=2，BC525再根据勾股定理求得点B到AC的距离为4。 (3)先求出AC的长度，然后由BD?PC求得?ABD??ACP，利用比例线段关系求得CP的长度，再由勾股定理求出AP的长度，从而求得?ACP的周长。 12. (2012四川达州7分)如图，C是以AB为直径的?O上一点，过O作OE?AC于点E，过点A作 ?O的切线交OE的延长线于点F，连结CF并延长交BA的延长线于点P. (1)求证:PC是?O的切线. 22(2)若AF=1，OA=，求PC的长. 18 用心 爱心 专心 【答案】解:(1)证明:连结OC， ?OE?AC，?AE=CE。?FA=FC。 ??FAC=?FCA。 ?OA=OC，??OAC=?OCA。 ??OAC+?FAC=?OCA+?FCA，即?FAO=?FCO。 ?FA与?O相切，且AB是?O的直径，?FA?AB。??FCO=?FAO=90?。 又?OC是?O的半径，?PC是?O的切线。 (2)?PC是?O的切线，??PCO=90?。 PAAF而?FPA=?OPC，?PAF=90?，??PAF??PCO 。?。 ,PCCO 2222?CO=OA=，AF=1，?PC=PA 。 22x设PA=x，则PC= 42222在Rt?PCO中，由勾股定理得， ，解得:。 (22x)(22)(x22)，,，x,7 16,?PC。 7 【考点】切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】(1)连接OC，根据垂径定理，利用等角代换可证明?FAC=?FCA，然后根据切线的性质得出?FAO=90?，然后即可证明结论。 (2)先证明?PAF??PCO，利用相似三角形的性质得出PC与PA的关系，在Rt?PCO中，利用勾股定理可得出x的值，从而也可得出PC得长。 13. (2012四川德阳14分) 如图，已知点C是以AB为直径的?O上一点，CH?AB于点H，过点B作?O 的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连结并延交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G. ?求证:AE?FD=AF?EC; ?求证:FC=FB; ?若FB=FE=2，求?O 的半径r的长. 19 用心 爱心 专心 【答案】(1)证明:?BD是?O的切线，??DBA=90?。 ?CH?AB，?CH?BD。??AEC??AFD。 AEEC?。?AE•FD=AF•EC。 ,AFFD CEAEEH,,(2)证明:?CH?BD，??AEC??AFD，?AHE??ABF。?。 DFAFBF?CE=EH(E为CH中点)，?BF=DF。 ?AB为?O的直径，??ACB=?DCB=90?。?CF=DF=BF，即CF=BF。 (3)解:?BF=CF=DF(已证)，EF=BF=2，?EF=FC。??FCE=?FEC。 ??AHE=?CHG=90?，??FAH+?AEH=90?，?G+?GCH=90?。 ??AEH=?CEF，??G=?FAG。?AF=FG。 ?FB?AG，?AB=BG。 连接OC，BC， ?BF切?O于B，??FBC=?CAB。 ?OC=OA，CF=BF， ??FCB=?FBC，?OCA=?OAC ??FCB=?CAB。 ??ACB=90?，??ACO+?BCO=90?。??FCB+?BCO=90?，即OC?CG。 ?CG是?O切线。 22?GBA是?O割线，FB=FE=2，由切割线定理得:(2+FG)=BG×AG=2BG， 【注，没学切割线定理的可由?AGC??CGB求得】 2222在Rt?BFG中，由勾股定理得:BG=FG,BF，?FG,4FG,12=0。 解得:FG=6，FG=,2(舍去)。 2262=42,由勾股定理得:AB=BG=。 22??O的半径r是。 20 用心 爱心 专心 【考点】切线的判定和性质，等腰三角形判定和的性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，圆周角定理，切割线定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】(1)由BD是?O的切线得出?DBA=90?，推出CH?BD，证?AEC??AFD，得出比例式即可。 (2)证?AEC??AFD，?AHE??ABF，推出BF=DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出CF=DF=BF即可。 (3)求出EF=FC，求出?G=?FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，连接OC，BC，求出?FCB=?CAB推 22出CG是?O切线，由切割线定理(或?AGC??CGB)得出(2+FG)=BG×AG=2BG，在Rt?BFG中，由勾股 2222定理得出BG=FG,BF，推出FG,4FG,12=0，求出FG即可，从而由勾股定理求得AB=BG 的长，从而得到?O的半径r。 14. (2012四川资阳9分)如图，在?ABC中，AB,AC，?A,30?，以AB为直径的?O交B,于点D，交AC于点，连结DE，过点B作BP平行于DE，交?O于点P，连结EP、CP、OP( E (1)(3分)BD,DC吗,说明理由; (2)(3分)求?BOP的度数; (3)(3分)求证:CP是?O的切线; 如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息: 为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目(在进行小组交流的时候，小明说:“设OP交AC于点G，证?AOG??CPG”;小强说:“过点C作CH?AB于点H，证四边形CHOP是矩形”( 【答案】解:(1)BD=DC。理由如下:连接AD， ?AB是直径，??ADB=90?。 ?AB=AC，?BD=DC。 (2)?AD是等腰?ABC底边上的中线， BDDE, ??BAD=?CAD 。?。 ?BD=DE。 ?BD=DE=DC。??DEC=?DCE。 21 用心 爱心 专心 ??ABC中，AB=AC，?A=30?， 1??DCE=?ABC= (180?,30?)=75?。??DEC=75?。 2 ??EDC=180?,75?,75?=30?。 ?BP?DE，??PBC=?EDC=30?。 ??ABP=?ABC,?PBC=75?,30?=45?。 ?OB=OP，??OBP=?OPB=45?。??BOP=90?。 (3)设OP交AC于点G，则?AOG=?BOP =90?。 OG1在Rt?AOG中，??OAG=30?，?。 ,AG2 OPOGOGGPOPOP1,,又?，?。?。 ,,ACAGAGGCACAB2 又??AGO=?CGP，[w??AOG??CPG。 O??GPC=?AOG=90?。?CP是?的切线。 【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定。 【分析】(1)连接AD，由圆周角定理可知?ADB=90?，再由AB=AC可知?ABC是等腰三角形，故BD=DC。 BDDE,(2)由于AD是等腰三角形ABC底边上的中线，所以?BAD=?CAD，故，从而可得出BD=DE，故BD=DE=DC，所以?DEC=?DCE，?ABC中由等腰三角形的性质可得出?ABC=75?，故?DEC=75?由三角 形内角和定理得出?EDC的度数，再根据BP?DE可知?PBC=?EDC=30?，进而得出?ABP的度数，再由OB=OP，可知?OBP=?OPB，由三角形内角和定理即可得出?BOP=90?。 OG1(3)设OP交AC于点G，由?BOP=90?可知?AOG=90?在Rt?AOG中，由?OAG=30?，可知，,AG2 OPOGOGGPOPOP1,,由得， ，由?AGO=?CGP可得出?AOG??CPG，由相似三角形形的性,,ACAGAGGCACAB2 质可知?GPC=?AOG=90?，故可得出CP是?O的切线。 15. (2012山东滨州12分)如图1，l，l，l，l是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单1234 位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上(过点A作AF?l于点F，交l于点H，32过点C作CE?l于点E，交l于点G( 23 (1)求证:?ADF??CBE; (2)求正方形ABCD的面积; (3)如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h，h，h，试用h，h，h 123123表示正方形ABCD的面积S( 22 用心 爱心 专心 【答案】解:(1)证明:在Rt?AFD和Rt?CEB中， ?AD=BC，AF=CE，?Rt?AFD?Rt?CEB(HL)。 (2)??ABH+?CBE=90?，?ABH+?BAH=90?，??CBE=?BAH。 又?AB=BC，?AHB=?CEB=90?，??ABH??BCE(AAS)。 同理可得，?ABH??BCE??CDG??DAF。 1?S=4S+S=4××2×1+1+1=5。 正方形ABCD?ABH正方形HEGF2 (3)由(1)知，?AFD??CEB，故h=h， 13 由(2)知，?ABH??BCE??CDG??DAF， 1222?S=4S+S=4×(h+h)•h+h=2h+2hh+h( 正方形ABCD?ABH正方形HEGF121211222 【考点】全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，正方形的性质。 【分析】(1)直接根据HL定理得出Rt?AFD?Rt?CEB。 (2)由AAS定理得出?ABH??BCE??CDG??DAF，再根据S=4S+S即可得出结正方形ABCD?ABH正方形HEGF 论。 (3)由?AFD??CEB可得出h=h，再根据(2)中?ABH??BCE??CDG??DAF，可知 13 S=4S+S，从而得出结论。 正方形ABCD?ABH正方形HEGF 16. (2012山东泰安10分)如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF?AE，EF分别交AC，CD于点M，F， BG?AC，垂足为C，BG交AE于点H( (1)求证:?ABE??ECF; (2)找出与?ABH相似的三角形，并证明; (3)若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长( 23 用心 爱心 专心 【答案】解:(1)证明:?四边形ABCD是矩形，??ABE=?ECF=90?( ?AE?EF，?AEB+?FEC=90?，??AEB+?BEA=90?。 ??BAE=?CEF。??ABE??ECF。 (2)?ABH??ECM。证明如下: ?BG?AC，??ABG+?BAG=90?。??ABH=?ECM。 由(1)知，?BAH=?CEM，??ABH??ECM。 (3)作MR?BC，垂足为R， ?AB=BE=EC=2， ?AB:BC=MR:RC=2，?AEB=45?。 ??MER=45?，CR=2MR。 MR2212,?MR=ER=。?EM=。 RC=sin453:23 【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。 【分析】(1)由四边形ABCD是矩形，可得?ABE=?ECF=90?，又由EF?AE，利用同角的余角相等，可得 ?BAE=?CEF，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证得:?ABE??ECF。 (2)由BG?AC，易证得?ABH=?ECM，又由(1)中?BAH=?CEM，即可证得 ?ABH??ECM。 MR(3)首先作MR?BC，垂足为R，由AB:BC=MR:RC=2，?AEB=45?，即可求得MR的长，又由EM= sin45:即可求得答案。 17. (2012山东聊城10分)如图，?O是?ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D( (1)当点P在什么位置时，DP是?O的切线,请说明理由; (2)当DP为?O的切线时，求线段DP的长( 24 用心 爱心 专心 【答案】解:(1)当点P是的中点时，DP是?O的切线。理由如下: BC 连接AP。 ?AB=AC，? ABAC,。 又?，?。?PA是?O的直径。 PBPC,PBAPCA, ?，??1=?2。 PBPC, 又?AB=AC，?PA?BC。 又?DP?BC，?DP?PA。?DP是?O的切线。 (2)连接OB，设PA交BC于点E。( 由垂径定理，得BE=BC=6。 2222ABBE1068,,,,在Rt?ABE中，由勾股定理，得:AE=。 设?O的半径为r，则OE=8,r， 25222在Rt?OBE中，由勾股定理，得:r=6+(8,r)，解得r=。 4 ?DP?BC，??ABE=?D。 又??1=?1，??ABE??ADP， 68BEAE75?，即,，解得:。 ,DP,25DP8DPAP2，4 【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，切线的判定，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质。 BCPBAPCA,【分析】(1)根据当点P是的中点时，得出，得出PA是?O的直径，再利用DP?BC，得出DP?PA，问题得证。 (2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出?ABE??ADP，即可得出DP的长。 18. (2012山东东营10分) (1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF,BE(求证:CE,CF; 25 用心 爱心 专心 (2)如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果?GCE,45?，请你利用(1)的结 论证明:GE,BE，GD( (3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题: 如图3，在直角梯形ABCD中，AD?BC(BC,AD)，?B,90?，AB,BC，E是AB上一点，且?DCE, ,4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积( 45?，BE 【答案】解:(1)证明:在正方形ABCD中，?BC,CD，?B,?CDF，BE,DF， ??CBE??CDF(SAS)。?CE,CF。 (2)证明: 如图，延长AD至F，使DF=BE(连接CF。 由(1)知?CBE??CDF， ??BCE,?DCF。 ??BCE，?ECD,?DCF，?ECD， 即?ECF,?BCD,90?。 又?GCE,45?，??GCF,?GCE,45?。 ?CE,CF，?GCE,?GCF，GC,GC， ??ECG??FCG(SAS)。?GE,GF， ?GE,DF，GD,BE，GD。 (3)如图，过C作CG?AD，交AD延长线于G( 在直角梯形ABCD中，?AD?BC，??A,?B,90?。 又?CGA,90?，AB,BC， ?四边形ABCD 为正方形。 ?AG,BC。 已知?DCE,45?， 根据(1)(2)可知，ED,BE，DG。 ?10=4+DG，即DG=6。 设AB,x，则AE,x,4，AD,x,6， 26 用心 爱心 专心 222222在Rt?AED中，?DE=AD，AE，即10=(x,6)，(x,4)。 解这个方程，得:x=12或x=,2(舍去)。 ?AB=12。 11?。 ()()SADBCAB61212108,，,,,，,,梯形ABCD22 ?梯形ABCD的面积为108。 【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形。 【分析】(1)由四边形是ABCD正方形，易证得?CBE??CDF(SAS)，即可得CE=CF。 (2)延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由(1)知?CBE??CDF，易证得?ECF=?BCD=90?，又由 ?GCE=45?，可得?GCF=?GCE=45?，即可证得?ECG??FCG，从而可得GE=BE+GD。 (3)过C作CG?AD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由(1)(2)可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长，设AB=x，在Rt?AED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的长，从而求得直角梯形ABCD的面积。 19. (2012广西来宾10分)如图，AB是?O的直径，点C是?O上一点，?BAC的平分线AD交?O于点D，过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点E( (1)求证:DE是?O的切线; (2)如图AD=5，AE=4，求?O的直径( 【答案】(1)证明:如图，连接OD， ?AD为?CAB的平分线，??CAD=?BAD。 又OA=OD，??BAD=?ODA。??CAD=?ODA。 ?AC?OD。??E+?EDO=180?。 又AE?ED，即?E=90?，??EDO=90?。 ?OD为圆O的切线。 (2)解:如图，连接BD， ?AB为圆O的直径，??ADB=90?。 27 用心 爱心 专心 AE 4在Rt?AED中，AE=4，AD=5，?。 cosEAD，,,AD5 AD4又??EAD=?DAB，在Rt?ABD中，?。 cosDAB=，,AB5 255525?，即圆的直径为。 AB=AD=5=，4444 【考点】等腰三角形的性质，平行的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】(1)连接OD，由AD为角平分线，得到一对角相等，再由OA=OD，得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，根据内错角相等两直线平行可得AC?OD，由两直线平行同旁内角互补，得到?E与?EDO互补，再由?E为直角，可得?EDO为直角，即DE为圆O的切线。 (2)连接BD，由AB为?O的直径，根据直径所对的圆周角为直角的性质，得到?ADB=90?。在Rt?AED 4,中，由AE和AD的长，根据锐角三角函数定义求出cos?EAD。又在Rt?ABD中，根据锐角三角函数定5 AD4义得到 ，即可求出直径AB的长。 cosDAB=，,AB5 20. (2012广西柳州10分)如图，AB是?O的直径，AC是弦( 1)请你按下面画图(画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑); ( 第一步，过点A作?BAC的角平分线，交?O于点D; 第二步，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E( 第三步，连接BD( 2(2)求证:AD=AE•AB; EO(3)连接EO，交AD于点F，若5AC=3AB，求的值( FO 【答案】解:(1)如图: (2)证明:?AB是?O的直径，??ADB=90?。 28 用心 爱心 专心 又?DE?AC，??AED=90?。 ?AD平分?CAB，??CAD=?DAB。?Rt?ADE?Rt?ABD。 2?AD:AB=AE:AD，?AD=AE•AB。 (3)如图，连接OD、BC，它们交于点G， :AB=3:5，?不妨设AC=3x，AB=5x， ?5AC=3AB，即AC ?AB是?O的直径，??ACB=90?。??ECG=90?。 又??CAD=?DAB，?。?OD垂直平分BC。 DC=DB 13?OD?AE，OG=AC=x。?四边形ECGD为矩形。 22 53?CE=DG=OD,OG=x,x =x。?AE=AC+CE=3x+x=4x。 22 5?AE?OD，??AEF??DOF。?AE:OD=EF:OF，?EF:OF=4x:x=8:5。 2 EO8513，?。 ,,FO55 【考点】圆的综合题，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，矩形的判定和性质。 【分析】(1)根据基本作图作出?BAC的角平分线AD交?O于点D;点D作AC的垂线，垂足为点E。 (2)根据直径所对的圆周角为直角得到?ADB=90?，DE?AC，则?AED=90?，又由AD平分?CAB 得到?CAD=?DAB，根据相似三角形的判定得到Rt?ADE?Rt?ABD，根据相似的性质得到AD:AB=AE:AD， 2利用比例的性质即可得到AD=AE•AB。 (3)连接OD、BC，它们交于点G，由5AC=3AB，则不妨设AC=3x，AB=5x，根据直径所对 的圆周角为直角得到?ACB=90?，由?CAD=?DAB得到，根据垂径定理的推论得到OD垂直平分DC=DB 13BC，则有OD?AE，OG=AC=x，并且得到四边形ECGD为矩形，则可求出CE，从而计算出AE，利用AE?OD22 5EO可得到?AEF??DOF，则AE:OD=EF:OF，即EF:OF=4x:x=8:5，然后根据比例的性质即可得到 的2FO值。 21. (2012广西桂林10分)如图，等圆?O和?O相交于A、B两点，?O经过?O的圆心，顺次连接 1212A、O、B、O( 12 (1)求证:四边形AOBO是菱形; 12 (2)过直径AC的端点C作?O的切线CE交AB的延长线于E，连接CO交AE于D，求证:CE,2OD; 122 (3)在(2)的条件下，若?AOD的面积为1，求?BOD的面积( 22 29 用心 爱心 专心 【答案】解:(1)证明:??O与?O是等圆，?AO=OB=BO=OA。 121122 ?四边形AOBO是菱形。 12 (2)证明:?四边形AOBO是菱形，??OAB=?OAB。 1212 ?CE是?O的切线，AC是?O的直径，??ACE=?AOC=90?。 112 DOAO122??ACE??AOD。,,?，即CE=2DO。 22ECAC2 (3)?四边形AOBO是菱形，?AC?BO。??ACD??BOD。 1222 BODB12?。?AD=2BD。 ,,ADAC2 1S1,?S，?。 ,S,AOD,ODB222 【考点】相交两圆的性质，菱形的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】(1)根据?O1与?O是等圆，可得AO=OB=BO=OA，利用四条边都相等的四边形是菱形可判定出21122结论。 DOAO122,,(2)根据已知得出?ACE??AO2D，从而得出，即可得出结论。 ECAC2 BODB12(3)首先证明?ACD??BOD，得出 ，AD=2BD，再利用等高不等底的三角形面积,,2ADAC2 关系得出答案即可。 22. (2012广西北海10分)如图，AB是O的直径，AE交O于点E，且与O的切线CD互相垂直，垂足 为D。 (1)求证:?EAC,?CAB; (2)若CD,4，AD,8: ?求O的半径; ?求tan?BAE的值。 30 用心 爱心 专心 【答案】(1)证明:连接OC。 ?CD是?O的切线，?CD?OC。 又?CD?AE，?OC?AE。??1,?3。 ?OC,OA，??2,?3。 ??1,?2，即?EAC,?CAB。 (2)解:?连接BC。 ?AB是?O的直径，CD?AE于点D， ??ACB,?ADC,90?。 ADAC??ACD??ABC。?。 ??1,?2，,ACAB 22222?AC,AD，CD,4，8,80， 2AC80,?AB,,10。 AD8 ??O的半径为10?2,5。 ?连接CF与BF。 ?四边形ABCF是?O的内接四边形， ??ABC，?AFC,180?。 ??DFC，?AFC,180?，??DFC,?ABC。 ??2，?ABC,90?， ?DFC，?DCF,90?， ??2,?DCF。 ??1,?2，??1,?DCF。 ??CDF,?CDF，??DCF??DAC。 22CD4CDDF,,? 。?DF,,2。 AD8ADCD ?AF,AD,DF,8,2,6。 31 用心 爱心 专心 ?AB是?O的直径，??BFA,90?。 BF842222ABAF,,,106?BF,,8。?tan?BAD,。 ,,63AF 【考点】切线的性质，平行的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。 【分析】(1)连接OC，由CD是?O的切线，CD?OC，又由CD?AE，即可判定OC?AE，根据平行线的性质与等腰三角形的性质，即可证得?EAC=?CAB。 (2)?连接BC，易证得?ACD??ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AB的长， 从而可得?O的半径长。 ?连接CF与BF(由四边形ABCF是?O的内接四边形，易证得?DCF??DAC，然后根据 相似三角形的对应边成比例，求得AF的长，又由AB是?O的直径，即可得?BFA是直角，利用勾股定理求得BF的长，即可求得tan?BAE的值。 23. (2012内蒙古呼和浩特8分)如图，已知AB为?O的直径，PA与?O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与弧AC相交于点E，连接BC( (1)求证:?PAC=?B，且PA•BC=AB•CD; 3(2)若PA=10，sinP=，求PE的长( 5 【答案】(1)证明:?PA是?O的切线，AB是直径，??PAO=90?，?C=90?。 ??PAC+?BAC=90?，?B+?BAC=90?。??PAC=?B。 又?OP?AC，??ADP=?C=90?。??PAD??ABC，?AP:AB=AD:BC， ?在?O中，AD?OD，?AD=CD。?AP:AB=CD:BC。?PA•BC=AB•CD; AD33,(2)解:?sinP=，且AP=10，?。?AD=6。?AC=2AD=12。 AP55 22PDAPAD8,,,在Rt?ADP中，根据勾股定理得:。 1012，15又??PAD??ABC，?AP:AB=PD:AC。?AB==15。?AO=。 82 2522在Rt?APO中，根据勾股定理得:。 OPAPOA,，,2 32 用心 爱心 专心 2515?PE=OP,OE= ,=5。 22 【考点】切线的性质，勾股定理，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。 【分析】(1)由PA为圆O的切线，利用切线的性质得到AP垂直于AB，可得出?PAO为直角，得到?PAD与?DAO互余，再由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得出?ACB为直角，得到?DAO与?B互余，根据同角的余角相等可得出?PAC=?B，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出?APD与?ABC相似，由相似得比例，再由OD垂直于AC，利用垂径定理得到AD=CD，等量代换可得证。 (2)在Rt?APD中，由PA及sinP的值求出AD的长，再利用勾股定理求出PD的长，从而确定出AC的长，由(1)两三角形相似得到的比例式，将各自的值代入求出AB的上，求出半径AO的长，在Rt?APO中，由AP及AO的长，利用勾股定理求出OP的长，用OP,OE即可求出PE的长。 24. (2012湖北恩施12分)如图，AB是?O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD?OA交弦AB于点E，交?O于点F，且CE=CB( (1)求证:BC是?O的切线; 2)连接AF，BF，求?ABF的度数; ( 5(3)如果CD=15，BE=10，sinA=，求?O的半径( 13 【答案】解:(1)证明:连接OB， ?OB=OA，CE=CB， ??A=?OBA，?CEB=?ABC。 又?CD?OA， ??A+?AED=?A+?CEB=90?。 ??OBA+?ABC=90?。?OB?BC。 ?BC是?O的切线。 (2)连接OF，AF，BF， 33 用心 爱心 专心 ?DA=DO，CD?OA， ??OAF是等边三角形。 ??AOF=60?。 1??ABF=?AOF=30?。 2 (3)过点C作CG?BE于点G，由CE=CB， 1?EG=BE=5。 2 易证Rt?ADE?Rt?CGE， 5?sin?ECG=sin?A=， 13 EG5?。 CE==13,5sinECG， 13 2222CGCEEG13512,,,,,?。 又?CD=15，CE=13，?DE=2， ADDEAD224,,AD,，即，解得。 由Rt?ADE?Rt?CGE得CGGE1255 48??O的半径为2AD=。 5 【考点】等腰(边)三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。 【分析】(1)连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明?OBC=90?即可证明BC是?O的切线。 (2)连接OF，AF，BF，首先证明?OAF是等边三角形，再利用圆周角定理:同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出?ABF的度数。 1(3)过点C作CG?BE于点G，由CE=CB，可求出EG=BE=5，由Rt?ADE?Rt?CGE和勾股定理求2 出DE=2，由Rt?ADE?Rt?CGE求出AD的长，从而求出?O的半径。 25. (2012黑龙江哈尔滨10分)已知:在?ABC中，?ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN?AC于点N，PQ?AB于点Q，A0=MN( (1)如图l，求证:PC=AN; (2) 如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，?DKE=?ABC，EF?PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK:CF=2:3，求DQ的长( 34 用心 爱心 专心 【答案】解:(1)证明:?BA?AM，MN?AP，??BAM=ANM=90?。 ??PAQ+?MAN=?MAN+?AMN=90?，??PAQ=?AMN。 ?PQ?AB MN?AC，??PQA=?ANM=90?。?AQ=MN。??AQP??MNA(ASA)。 ?AN=PQ，AM=AP。??AMB=?APM。 ??APM=?BPC?BPC+?PBC=90?，?AMB+?ABM=90?，??ABM=?PBC。 ?PQ?AB，PC?BC，?PQ=PC(角平分线的性质)。?PC=AN。 (2)?NP=2 PC=3，?由(1)知PC=AN=3。?AP=NC=5，AC=8。 22?AM=AP=5。?。 AQMNAMAN4,,,, ??PAQ=?AMN，?ACB=?ANM=90?，??ABC=?MAN。 MN 4?。 tanABCtanMAN，,，,,AN3 AC?，?BC=6。 tanABC，,BC ?NE?KC，??PEN=?PKC。 NENP又??ENP=?KCP，??PNE??PCK。?。 ,CKPC ?CK:CF=2:3，设CK=2k，则CF=3k。 NE24,?，。 NEk,2k33 过N作NT?EF交CF于T，则四边形NTFE是平行四边形。 454k=k?NE=TF=，?CT=CF,TF=3k,。 k333 ?EF?PM，??BFH+?HBF=90?=?BPC+?HBF。 ??BPC=?BFH。 ?EF?NT，??NTC=?BFH=?BPC。 BC?。 tanNTCtanBPC2，,，,,PC 35 用心 爱心 专心 15NC?，。 CTNC=,tanNTC2，,,22CT 5533?CT= 。? 。?CK=2×=3，BK=BC,CK=3。 k=k=3222 ??PKC+?DKC=?ABC+?BDK，?DKE=?ABC，??BDK=?PKC。 PC?。?tan?BDK=1。 tanPKC1，,,KC 过K作KG?BD于G。 4?tan?BDK=1，tan?ABC=，?设GK=4n，则BG=3n，GD=4n。 3 213?BK=5n=3，?n=。?BD=4n+3n=7n=。 55 22ABACBC10,，,?，AQ=4，?BQ=AB,AQ=6。 219=?DQ=BQ,BD=6,。 55 【考点】相似形综合题，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形。 【分析】(1)确定一对全等三角形?AQP??MNA，得到AN=PQ;然后推出BP为角平分线，利用角平分线的性质得到PC=PQ;从而得到PC=AN。 (2)由已知条件，求出线段KC的长度，从而确定?PKC是等腰直角三角形;然后在?BDK中，解直角三角形即可求得BD、DQ的长度。 26. (2012湖北十堰10分)如图1，?O是?ABC的外接圆，AB是直径，OD?AC，且?CBD=?BAC，OD交?O于点E( (1)求证:BD是?O的切线; (2)若点E为线段OD的中点，证明:以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形; FG(3)作CF?AB于点F，连接AD交CF于点G(如图2)，求的值( FC 【答案】解:(1)证明:?AB是?O的直径，??BCA=90?。??ABC+?BAC=90?。 又??CBD=?BAC，??ABC+?CBD=90?。??ABD=90?。?OB?BD。 36 用心 爱心 专心 ?BD为?O的切线。 (2)证明:如图，连接CE、OC，BE， ?OE=ED，?OBD=90?，?BE=OE=ED。 ??OBE为等边三角形。??BOE=60?。 又?OD?AC，??OAC=60?。 又?OA=OC，?AC=OA=OE。?AC?OE且AC=OE。 ?四边形OACE是平行四边形。 而OA=OE，?四边形OACE是菱形。 (3)?CF?AB，??AFC=?OBD=90?。 又?OD?AC，??CAF=?DOB。?Rt?AFC?Rt?OBD。 FCAFBDAF,?，即。 ,FC,BDOBOB 又?FG?BD，??AFG??ABD。 FGAFBDAF,?，即。 ,FG,BDABAB FGOB1?。 ,,FCAB2 【考点】圆的综合题，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定和性质，平行的判定和性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质。 【分析】(1)由AB是?O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到?BCA=90?，则?ABC+?BAC=90?， ?CBD=?BA，得到?ABC+?CBD=90?，即OB?BD，根据切线的判定定理即可得到BD为?O的切 而 线。 (2)连接CE、OC，BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED，则?OBE为等边三角形，于是?BOE=60?，又因为AC?OD，则?OAC=60?，AC=OA=OE，即有AC?OE且AC=OE，可得到四边形OACE是平行四边形，加上OA=OE，即可得到四边形OACE是菱形。 (3)由CF?AB得到?AFC=?OBD=90?，而OD?AC，则?CAF=?DOB，根据相似三角形的 FCAFBDAF,判定易得Rt?AFC?Rt?OBD，则有，即，再由FG?BD易证得?AFG??ABD，则,FC,BDOBOB FGAFBDAF,，即，然后求FG与FC的比即可。 ,FG,BDABAB 27. (2012江苏镇江11分)等边?ABC的边长为2，P是BC边上的任一点(与B、C不重合)，连接AP，以AP为边向两侧作等边?APD和等边?APE，分别与边AB、AC交于点M、N(如图1)。 (1)求证:AM=AN; 37 用心 爱心 专心 (2)设BP=x。 3?若，BM=，求x的值; 8 ?记四边形ADPE与?ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值; 0?连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H(如图2)，当x取何值时，?BAD=15,并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。 【答案】解:(1)证明:??ABC、?APD和?APE都是等边三角形， 00 ?AD=AP，?DAP=?BAC=60，?ADM=?APN=60。??DAM=?PAN。 ??ADM??APN(ASA)，?AM=AN。 BMBP(2)?易证?BPM??CAP，?， ,CPCA 3 3x284x8x+3=0, ?BN=，AC=2，CP=2,x，?，即。 ,82x2, 13 解得x=或x=。 22 ?四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与?ABC重叠部分的面积。 SS, ??ADM??APN，?。 ,,ADMAPN SSS SSS,，,，,?。 ,,,,,APMANPAPMADMADP四形边AMPN 如图，过点P作PS?AB于点S，过点D作DT?AP于点T，则点T是AP的中点。 0在Rt?BPS中，??P=60，BP=x， 1300?PS=BPsin60=x，BS=BPcos60=x。 22 1?AB=2，?AS=AB,BC=2,x。 2 22,,13,,2222APASPS2x+x=x2x+4,,,,，?。 ,,,,,,22,,,, 11332?。 ,,,,,,SAPDTAPAP=AP,ADP2224 38 用心 爱心 专心 33333222?。 SSSAPx2x+4x1+0x2,,,,,,,<<，，，，，，ADP,AMPN四形边4444 33?当x=1时，S的最小值为。 4 ?连接PG，设DE交AP于点O。 0若?BAD=15， 00??DAP =60，??PAG =45。 ??APD和?APE都是等边三角形， ?AD=DP=AP=PE=EA。 ?四边形ADPE是菱形。 ?DO垂直平分AP。 0?GP=AG。??APG =?PAG =45。 0??PGA =90。 设BG=t， 0在Rt?BPG中，?B=60，?BP=2t，3t3tPG=。?AG=PG=。 3t+t=233?，解得t=,1。?BP=2t=2,2。 03?当BP=2,2时，?BAD=15。 猜想:以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。 0。 ?四边形ADPE是菱形，?AO?DE，?ADO=?AEH=30 0000??BAD=15，?易得?AGO=45，?HAO=15，?EAH=45。 33设AO=a，则AD=AE=2 a，OD=a。?DG=DO,GO=(,1)a。 0000又??BAD=15，?BAC=60，?ADO=30，??DHA=?DAH=75。 ?DH=AD=2a， 33?GH=DH,DG=2a,(,1)a=(3,)a， 33HE=2DO,DH=2a,2a=2(,1)a。 22222，，，，DGGH31a+33a=1683a，,,,,?， ，，，，，，，，，， 222，，HE231a=1683a,,,， ，，，，，， 222DGGHHE，,?。 39 用心 爱心 专心 ?以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。 【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。 【分析】(1)由?ABC、?APD和?APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用ASA证明。 (2)?由?BPM??CAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。 ?应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得， SS,,ADP四形边AMPN用x的代数式表示S，用二次函数的最值原理求出S的最小值。 0 ?由?BAD=15得到四边形ADPE是菱形，应用相关知识求解。 求出DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。 28. (2012福建三明14分)在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上(不含点B)， 1?BPE,?ACB，PE交BO于点E，过点B作BF?PE，垂足为F，交AC于点G( 2 (1) 当点P与点C重合时(如图?)(求证:?BOG??POE;(4分) BF(2)通过观察、测量、猜想:= ? ，并结合图?证明你的猜想;(5分) PE (3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图?)，若?ACB=α， BF求的值((用含α的式子表示)(5分) PE 【答案】解:(1)证明:?四边形ABCD是正方形，P与C重合， ?OB=OP ， ?BOC=?BOG=90?。 ?PF?BG ，?PFB=90?，??GBO=90?—?BGO，?EPO=90?—?BGO。 ??GBO=?EPO 。??BOG??POE(AAS)。 BF1(2)。证明如下: ,PE2 如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N， 40 用心 爱心 专心 0??PNE=?BOC=90， ?BPN=?OCB。 0??OBC=?OCB =45， ? ?NBP=?NPB。 ?NB=NP。 00??MBN=90—?BMN， ?NPE=90—?BMN，??MBN=?NPE。 ASA)。?BM=PE。 ??BMN??PEN( 1??BPE=?ACB，?BPN=?ACB，??BPF=?MPF。 2 0?PF?BM，??BFP=?MFP=90。 1又?PF=PF， ??BPF??MPF(ASA)。?BF=MF ，即BF=BM。 2 1BF1?BF=PE， 即。 ,PE22 (3)如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N， 0??BPN=?ACB=α，?PNE=?BOC=90。 1由(2)同理可得BF=BM， ?MBN=?EPN。 2 0??BNM=?PNE=90，??BMN??PEN。 BMBN?。 ,PEPN BNBM2BF在Rt?BNP中，， ?，即。 ,,,tan==tan=tanPNPEPE BF1?。 ,=tanPE2 【考点】几何综合题，正方形和菱形的性质，平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，锐角三角函 数定义。 【分析】(1)由正方形的性质可由AAS证得?BOG??POE。 (2)过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，通过ASA证明?BMN??PEN得到BM=PE，通过ASA BF1证明?BPF??MPF得到BF=MF，即可得出的结论。 ,PE2 1(3)过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，同(2)证得BF=BM， ?MBN=?EPN，从而可2 BMBNBNBF1证得?BMN??PEN，由和Rt?BNP中即可求得。 ,,,tan==tanPEPNPNPE2 29. (2012辽宁沈阳12分)已知，如图?，?MON=60?，点A，B为射线OM，ON上的动点(点A，B不与 43点O重合)，且AB=，在?MON的内部、?AOB的外部有一点P，且AP=BP，?APB=120?. (1)求AP的长; 41 用心 爱心 专心 (2)求证:点P在?MON的平分线上; (3) 如图?，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP. ?当AB?OP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值; (( ?若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围( (( 【答案】解: (1) 过点P作PQ?AB于点Q ?PA=PB， ?APB=120? ，AB=43， 1111?AQ=AB=×43=23 ，?APQ=?APB=×120?=60?。 2222 AQ在Rt?APQ中， sin?APQ= AP AQ2323,,?AP= ,4。 sinAPQsin60，:3 2 (2)证明:过点P分别作PS?OM于点S， PT?ON于点T， ??OSP=?OTP=90?。 在四边形OSPT中，?SPT=360?-?OSP-?SOT-?OTP=360?-90?-60?-90?=120?， ??APB=?SPT=120?。 ??APS=?BPT。 又??ASP=?BTP=90?， AP=BP，??APS??BPT(AAS)。 ?PS=PT。 ?点P在?MON的平分线上。 333(3) ?8+4 ?4+4,t?8+4。 【考点】等腰三角形的，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，多边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，点在角平分线上的判定，三角形中位线定理 1【分析】(1)过点P作PQ?AB于点Q(根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知AQ=BQ=AB，然后在2直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得AP的长度。 (2)作辅助线PS、PT(过点P分别作PS?OM于点S，PT?ON于点T)构建全等三角形?APS??BPT; 42 用心 爱心 专心 然后根据全等三角形的性质推知PS=OT;最后由角平分线的性质推知点P在?MON的平分线上。 (3)利用三角形中位线定理知四边形CDEF的周长的值是OP+AB。 ?当AB?OP时，根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得OP的长度; ?当AB?OP时，OP取最大值，即四边形CDEF的周长取最大值;当点A或B与点O重合时，四边形CDEF的周长取最小值，据此写出t的取值范围。 30. (2012辽宁大连12分)如图1，梯形ABCD中，AD?BC，?ABC,2?BCD,2α，点E在AD上，点F在DC上，且?BEF=?A. (1)?BEF=_____(用含α的代数式表示); (2)当AB,AD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想; (3)当AB?AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE,AB，AB,mDE，AD,nDE”， EB其他条件不变(如图2)，求的值(用含m、n的代数式表示)。 EF 【答案】解:(1)180?,2α。 (2)EB=EF。证明如下: 连接BD交EF于点O，连接BF。 ?AD?BC，??A=180?-?ABC=180?,2α， ?ADC=180?,?C=180?-α。 1?AB=AD，??ADB=(180?,?A)=α。 2 ??BDC=?ADC,?ADB=180?,2α。 由(1)得:?BEF=180?,2α=?BDC。 OEOBOEOD又??EOB=?DOF，??EOB??DOF。?，即。 ==ODOFOBOF ??EOD=?BOF，??EOD??BOF。??EFB=?EDO=α。 ??EBF=180?,?BEF,?EFB=α=?EFB。?EB=EF。 (3) 延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE， 1801802:,:,,，，180A:,，则?G=?AEG=。 ==,22 43 用心 爱心 专心 ?AD?BC， ??EDF=?C=α，?GBC=?A，?DEB=?EBC。 ??EDF=?G。 ??BEF=?A，??BEF=?GBC。 ??GBC+?EBC=?DEB+?BEF，即?EBG=?FED。 EBBG??DEF??GBE。?。 =EFDE ?AB=mDE，AD=nDE，?AG=AE=(n+1)DE。 ?BG=AG,AB=(n+1)DE,mDE=(n+1,m)DE。 EBn1mDE()，,?。 ==n1m，,EFDE 【考点】梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。 【分析】(1)由梯形ABCD中，AD?BC，?ABC=2?BCD=2α，根据平行线的性质，易求得?A的度数，又由?BEF=?A，即可求得?BEF的度数: ?梯形ABCD中，AD?BC，??A+?ABC=180?。??A=180?,?ABC=180?,2α。 ??BEF=?A=180?,2α。 又??BEF=?A， (2)连接BD交EF于点O，连接BF，由AB=AD，易证得?EOB??DOF，根据相似三角形的对应边 OEOB成比例，可得 ，从而可证得?EOD??BOF，又由相似三角形的对应角相等，易得?EBF=?EFB=α，=ODOF 即可得EB=EF。 (3)延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，易证得?DEF??GBE，然后由相似三角形的对应边成 EB比例，即可求得 的值。 EF 31. (2012辽宁鞍山12分)如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标(3，3)，将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α(0?,α,90?)，得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的 延长线交线段BC于点P，连AP、AG( (1)求证:?AOG??ADG; (2)求?PAG的度数;并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由; (3)当?1=?2时，求直线PE的解析式( 44 用心 爱心 专心 【答案】解:(1)证明:??AOG=?ADG=90?， ?在Rt?AOG和Rt?ADG中，AO=AD，AG=AG， ??AOG??ADG(HL)。 (2)?PAG =45?,PG=OG+BP。理由如下: 由(1)同理可证?ADP??ABP，则?DAP=?BAP。 ?由(1)?AOG??ADG，??1=?DAG。 又??1+?DAG+?DAP+?BAP=90?， ?2?DAG+2?DAP=90?，即?DAG+?DAP=45?。??PAG=?DAG+?DAP=45?。 ?ADP??ABP，?DG=OG，DP=BP。 ??AOG??ADG， ?PG=DG+DP=OG+BP。 (3)??AOG??ADG，??AGO=?AGD。 又??1+?AGO=90?，?2+?PGC=90?，?1=?2，??AGO=?AGD=?PGC。 又??AGO+?AGD+?PGC=180?，??AGO=?AGD=?PGC=60?。??1=?2=30?。 3在Rt?AOG中，AO=3，OG=AOtan30?=， 33?G点坐标为:(，0)，CG=3,。 CG33,==31,31,在Rt?PCG中，PC=，?P点坐标为:(3，)。 0tan303 3 设直线PE的解析式为y=kx+b， ,3,3k+b=0k=,,则，解得。 ,3,3k+b=31,,,,b=1,, 3?直线PE的解析式为y=x,1。 3 【考点】一次函数综合题，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，特殊角的 45 用心 爱心 专心 三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组。 【分析】(1)由AO=AD，AG=AG，利用“HL”可证?AOG??ADG。 (2)利用(1)的方法，同理可证?ADP??ABP，得出?1=?DAG，?DAP=?BAP，而?1+?DAG+?DAP+?BAP=90?，由此可求?PAG的度数;根据两对全等三角形的性质，可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系。 (3)由?AOG??ADG可知，?AGO=?AGD，而?1+?AGO=90?，?2+?PGC=90?，当?1=?2时，可证?AGO=?AGD=?PGC，而?AGO+?AGD+?PGC=180?，得出?AGO=?AGD=?PGC=60?，即?1=?2=30?， 解直角三角形求OG，PC，确定P、G两点坐标，得出直线PE的解析式。 32. (2012山东威海11分) 探索发现:已知:在梯形ABCD中，CD?AB，AD、BC的延长线相交于点E，AC、BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N。 (1)如图?，如果AD=BC，求证:直线EM是线段AB的垂直平分线; (2)如图?，如果AD?BC，那么线段AM与BM是否相等,请说明理由。 学以致用:仅用直尺(没有刻度)，试作出图?中的矩形ABCD的一条对称轴。(写出作图步骤，保留作图痕迹) 46 用心 爱心 专心 【答案】解:(1)证明:?AD=BC，CD?AB，?AC=BD，?DAB=?CBA。?AE=BE。 ?点E在线段AB的垂直平分线上。 在?ABD和?BAC中，?AB=BA，AD=BC，AC=BD， ??ABD??BAC(SSS)。??DBA=?CAB。?OA=OB。 ?点O在线段AB的垂直平分线上。 ?直线EM是线段AB的垂直平分线。 (2)相等。理由如下: ?CD?AB，??EDN??EAM，?ENC??EMB，?EDC??EAB。 DNCNDNDECNCEDECEBMCN,。?。?。 ?,,,,，， AMBMAMDNAMAEBMBEAEBE ?CD?AB，??OND??OMB，?ONC??OMA，?OCD??OAB。 DNCNDNODCNOCODOCAMCN,?。?。?。 ,,,,，， BMAMBMDNBMOBAMOAOBOA BMAM22 ?。?AM=BM。?AM=BM。 ,AMBM (3)作图如下: 作法:? 连接AC，BD，两线相交于点O; 1 ? 在梯形ABCD外DC上方任取一点E，连接EA，EB，分别交DC于点G，H; ? 连接BG，AH，两线相交于点O; 2 47 用心 爱心 专心 ? 作直线EO，交AB于点M; 2 ? 作直线MO。 1 则直线MO。就是矩形ABCD的一条对称轴。 1 【考点】平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定，复杂作图。 【分析】(1)一方面由已知可得点E在线段AB的垂直平分线上;另一方面可由SSS证明?ABD??BAC，从而得?DBA=?CAB，因此OA=OB，得出点O在线段AB的垂直平分线上。从而直线EM是线段AB的垂直平分线。 (2)一方面由CD?AB，得?EDN??EAM，?ENC??EMB，?EDC??EAB，利用对应边成比例可得 BMCN;另一方面由CD?AB，得?OND??OMB，?ONC??OMA，?OCD??OAB，利用对应边成比例可,AMDN AMCNBMAM得。从而得到，即可得到AM=BM的结论。 ,,BMDNAMBM (3)按(2)的结论作图即可。 33. (2012四川泸州9分)如图，?ABC内接于?O，AB是?O的直径，C是的弧AD中点，弦CE?AB 于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。 (1)求证:P是线段AQ的中点; 15?O的半径为5，AQ=(2)若，求弦CE的长。 2 【答案】解:(1)证明:?AB是?O的直径，弦CE?AB，?ACAE,。 AD又?C是弧的中点，?ACCD,。?AECD,。??ACP=?CAP。?PA=PC。 ?AB是直径(??ACB=90?。 ??PCQ=90?,?ACP，?CQP=90?,?CAP。??PCQ=?CQP。?PC=PQ。 ?PA=PQ，即P是AQ的中点。 ACCD,(2)?，??CAQ=?ABC。 48 用心 爱心 专心 ACAQ又??ACQ=?BCQ，??CAQ??CBA。?。 ,BCBA 15 AC3152又?AQ=，BA=10，?。 ,,BC1042 222设AC=3k， BC=4k，则由勾股定理得，，解得k=2。 3k4k10，,，，，， ?AC=6，BC=8。 24根据直角三角形的面积公式，得:AC•BC=AB•CH，?6×8=10CH。?CH=。 5 48又?CH=HE，?CE=2CH=。 5 【考点】圆的综合题，圆周角定理。垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】(1)首先利用等角对等边证明:?ACP=?CAP得到:PA=PC，然再证明PC=PQ，即可得到P是AQ 的中点。 (2)首先证明:?CAQ??CBA，依据相似三角形的对应边的比相等求得AC、BC的长度，然后根 据直角三角形的面积公式即可求得CH的长，则可以求得CE的长。 4. (2012四川成都10分)如图，AB是?O的直径，弦CD?AB于H，过CD延长线上一点E作?O的切线3 交AB的延长线于F(切点为G，连接AG交CD于K( (1)求证:KE=GE; 2KG (2)若=KD?GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由; 325 (3) 在(2)的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长( 5 【答案】解:(1)证明:如答图1，连接OG。 ?EG为切线，??KGE+?OGA=90?。 ?CD?AB，??AKH+?OAG=90?。 又OA=OG，??OGA=?OAG。 ??KGE=?AKH=?GKE。?KE=GE。 (2)AC?EF，理由如下: 49 用心 爱心 专心 连接GD，如答图2所示。 KGKD2?KG=KD•GE，?。 ,GEKG 又??KGE=?GKE，??GKD??EGK。 ??E=?AGD。 又??C=?AGD，??E=?C。?AC?EF。 (3)连接OG，OC，如答图3所示。 3 由(2)?E=?ACH，?sinE=sin?ACH=。 5 ?可设AH=3t，则AC=5t，CH=4t。 ?KE=GE，AC?EF，?CK=AC=5t。?HK=CK,CH=t。 22222在Rt?AHK中，根据勾股定理得AH+HK=AK，即(3t)+t= 22(25)，解得t=。 设?O半径为r，在Rt?OCH中，OC=r，OH=r,3t，CH=4t， 25252222222由勾股定理得:OH+CH=OC，即(r,3t)+(4t)=r，解得r=t=。 66 ?EF为切线，??OGF为直角三角形。 25CH42在Rt?OGF中，OG=r=，tan?OFG=tan?CAH=， ,6AH3 252OG256,,2?FG=。 4tanOFG8， 3 【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定，锐角三角函数定义。 【分析】(1)如答图1，连接OG(根据切线性质及CD?AB，可以推出连接?KGE=?AKH=?GKE，根据等角对等边得到KE=GE。 (2)AC与EF平行，理由为:如答图2所示，连接GD，由?KGE=?GKE，及KG2=KD•GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出?GKD与?EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到?C=?AGD，可推知?E=?C，从而得到AC?EF。 (3)如答图3所示，连接OG，OC(首先求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解;然后在Rt?OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度。 35. (2012广西钦州10分)如图，AB是?O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD?EF于点D，?DAC=?BAC( 50 用心 爱心 专心 (1)求证:EF是?O的切线; 2(2)求证:AC=AD•AB; (3)若?O的半径为2，?ACD=30?，求图中阴影部分的面积( 【答案】解:(1)证明:连接OC， ?OA=OC，??BAC=?OCA。 ??DAC=?BAC，??OCA=?DAC。?OC?AD。 ?AD?EF，?OC?EF。 ?OC为半径，?EF是?O的切线。 (2)证明:?AB为?O直径，AD?EF， ??BCA=?ADC=90?。 ??DAC=?BAC，??ACB??ADC。 ADAC2,?。?AC=AD•AB。 ACAB (3)??ACD=30?，?OCD=90?，??OCA=60?. ?OC=OA，??OAC是等边三角形。?AC=OA=OC=2，?AOC=60?。 1?在Rt?ACD中，AD=AC=1。 2 3由勾股定理得:DC=， 21602332,,,3?阴影部分的面积是S=S,S=×(2+1)×,。 ,,,梯形OCDA扇形OCA360232 【考点】圆的综合题，等腰(边)三角形的判定和性质，平行的判定和性质，切线的判定，圆周角定理， 相似三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积。 【分析】(1)连接OC，根据OA=OC推出?BAC=?OCA=?DAC，推出OC?AD，得出OC?EF，根据切线的判定 推出即可。 (2)证?ADC??ACB，得出比例式，即可推出答案。 (3)求出等边三角形OAC，求出AC、?AOC，在Rt?ACD中，求出AD、CD，求出梯形OCDA和扇形 OCA的面积，相减即可得出答案。 51 用心 爱心 专心 36. (2012广西贵港11分)如图，Rt?ABC的内切圆?O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且 ?ACB,90?，AB,5，BC,3。点P在射线AC上运动，过点P作PH?AB，垂足为H。 (1)直接写出线段AC、AD以及?O半径的长; (2)设PH,x，PC,y，求y关于x的函数关系式; 3)当PH与?O相切时，求相应的y值。 ( 【答案】解:(1)AC=4;AD=3，?O半径的长为1。 (2)在Rt?ABC中，AB=5，AC=4，则BC=3。 ??C=90?，PH?AB，??C=?PHA=90?。 x4y,PHAPACPC,,??AHP??ACB。?，即。 ??A=?A， ,,35BCABAB 55yx+4,,yx+4,,?，即y与x的函数关系式是。 33 (3)如图，P′H′与?O相切于点M，连接OD，OE，OF，OM。 ??OMH′=?MH′D=?H′DO=90?，OM=OD， 四边形OMH′D是正方形。?MH′=OM=1。 ? ?CE、CF是?O的切线，?ACB=90?， ??CFO=?FCE=?CEO=90?，CF=CE。 ?四边形CEOF是正方形，CF=OF=1。 ?P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y。 553yx+4,,yy+4,,y,又由(2)知，，?，解得。 332【考点】圆的综合题，圆的切线性质，勾股定理，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】(1)连接AO、DO，EO，FO，设?O的半径为r， 22ABBC4,,在Rt?ABC中，由勾股定理得AC=， 11??O的半径r=(AC+BC-AB)=(4+3-5)=1。 22 52 用心 爱心 专心 ?CE、CF是?O的切线，?ACB=90?， ??CFO=?FCE=?CEO=90?，CF=CE。?四边形CEOF是正方形。?CF=OF=1。 又?AD、AF是?O的切线，?AF=AD。?AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3，即AD=3。 PHAPACPC,(2)通过相似三角形?AHP??ACB的对应边成比例知， ，将“PH=x，PC=y”,,BCABAB 代入求出即可求得y关于x的函数关系式。 (3)根据圆的切线定理证得四边形OMH′D、四边形CFOE为正方形;然后利用正方形的性质、圆的切线定理推知P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y;最后将其代入(2)中的函数关系式即可求得y值。 37. (2012贵州安顺12分)如图，在?O中，直径AB与弦CD相交于点P，?CAB=40?，?APD=65?( (1)求?B的大小; (2)已知AD=6，求圆心O到BD的距离( 【答案】解:(1)??APD=?C+?CAB，?CAB=40?，?APD=65?， ??C=65?,40?=25?。 ??B=?C=25?。 (2)过点O作OE?BD于E，则DE=BE， 11又?AO=BO，?OE=AD=×6=3。 22 ?圆心O到BD的距离为3。 【考点】圆周角定理，三角形外角性质，垂径定理，三角形中位线定理。 【分析】(1)根据圆周定理以及三角形外角求出即可。 1(2)利用三角形中位线定理得出OE= AD，即可得出答案。 2 38. 2012云南省7分)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN( (1)求证:四边形BMDN是菱形; (2)若AB=4，AD=8，求MD的长( 53 用心 爱心 专心 【答案】解:(1)证明:?四边形ABCD是矩形，?AD?BC。??BNO=?DMO，?NBO=?MDO。 ?MN是BD的中垂线，?OB=OD，BD?MN。 ??BNO??DMO(AAS)。?ON=OM。 ?四边形BMDN的对角线互相平分。?四边形BMDN是平行四边形。 ?BD?MN，?平行四边形BMDN是菱形。 (2)?四边形BMDN是菱形，?MB=MD。 设MD长为x，则MB=DM=x，AM=8,x。 0?四边形ABCD是矩形，??A=90。 222222在Rt?AMB中，BM=AM+AB，即x=(8,x)+4，解得:x=5。 。 答:MD长为5 【考点】矩形的性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】(1)根据矩形性质求出AD?BC，根据OB=OD和AD?BC推出?BNO??DMO ，OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN。 222(2)根据菱形性质求出DM=BM，在Rt?AMB中，根据勾股定理得出BM=AM+AB，推出 22x=x,16x，64，16，求出即可。 39. (2012山东淄博9分)在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，AB=x( (1)当点G与点D重合时，求x的值; (2)当点F为AD中点时，求x的值及?ECF的正弦值( 54 用心 爱心 专心 【答案】解:(1)当点G与点D重合时，点F也与点D重合。 ?矩形ABCD中，AC?BD，?四边形ABCD是正方形。 ?BC=4，?x= AB= BC=4。 (2)?点F为AD中点，BC=4，?AF=2。 AEFEAF21 ?矩形ABCD中，AD?BC，??AEF??BEB。?。 ,,,,CEBDCB42 CE=2AEBD=2FE，AC=3AEBF=3FE， ?。?。 0 ?矩形ABCD中，?ABC=?BAF=90， 222222AC=AB+BCBF=AF+AB，， ?在Rt?ABC和Rt?BAF中由勾股定理得 2222223AE=x+43FE=2+x， 即。 ，，，， 222 两式相加，得。 9AE+FE=2x+20，， 2222AE+FE=AB=x 又?AC?BG，?在Rt?ABE中，。 2229x=2x+20 ?，解得(已舍去负值)。 x=357 28,,,,2222AE=+16=FE=4+=CE=4AE=4=,,,，， ?。 ,,,,976397636363,,,, 48528576222 ?在Rt?CEF中由勾股定理得。 CF=FE+CE=+,636363 482CF12363sinECF===， ?。?。 ，，sinECF=，2576126EF 48 【考点】矩形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义。 【分析】(1)由点G与点D重合得出四边形ABCD是正方形即可求得x的值。 AC=3AEBF=3FE， (2)由点F为AD中点和矩形的性质，得?AEF??BEB，从而得。在Rt?ABC、 Rt?BAF和Rt?ABE应用勾股定理即可求得x的值。在Rt?CEF中应用勾股定理求得CF，根据锐角三角函 55 用心 爱心 专心 数定义即可求得?ECF的正弦值。 56 用心 爱心 专心