带有时滞和不确定性复杂网络研究（可编辑）

带有时滞和不确定性复杂网络研究（可编辑） 带有时滞和不确定性复杂网络研究 厦门大学 硕士学位论文 带有时滞和不确定性的复杂网络研究 姓名:曾垂城 申请学位级别:硕士 专业:控制理论与控制工程 指导教师:孙洪飞 20090501 1摘要 摘要 不确定动态网络是一类重要的网络系统,不确定系统主要包括两类:动态不 确定性和参数不确定性。模型不确定性一般是动态不确定性和参数不确定性的组 合,并可能出现在控制环的不同位置上。本文所研究的一类不确定动态网络系统 主要是节点的不确定性,此类不确定性是具有未知但有界的结构不确定性。本文 的具体工作如下: 首先,本文研究了具有不确定连续型线性动态网络和具有不确定离散型线性 动态网络的稳定性问题。基于稳定性理论,通过采用.函数分别得 到了判断连续型和离散型的稳定性的相关判据,用易于求解的线性矩阵不等式表 示出这些条件,并且通过数值仿真例子来验证相关定理的正确性。这些条件可用 于具有不同拓扑结构的不确定线性动态网络中,具有一定的理论意义。 其次,本文研究了这类不确定动态网络的时滞同步问题,其中时滞分为耦合 时滞和节点时滞两种情况。采用.泛函方法和易于求解的线 性矩阵不等式,得到了此类不确定耦合时滞动态网络和节点时滞动态网络同步的 相关条件,基于这些条件,通过工具箱,可以得到此类不确定时滞系统的 一个保守性较小的时延上界,最后也通过一个具体的数值仿真例子来该方法 的有效性。这些条件也可以用于具有不同拓扑结构的不确定线性动态网络中, 来研究其时滞相关问题。 最后对全文工作进行了总结,并指出了下一步可深入研究的方 向。 关键词:动态网络;稳定性;同步性 2.:’. , , . , . : 弧也 . .廿 . ,删. . ., . ? 、衍., ,.. . : ;; 3厦门大学学位论文原创性声明 本人呈交的学位论文是本人在导师指导下,独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考其他个人或集体已经发表的研究成果, 均 在文中以适当方式明确标明,并符合法律和《厦门大学研究 生学 术活动规范试行》。 另外,该学位论文为 课题组 的研究成果,获得 课题组经费或实验室的 资助,在 实验室完成。 请在以上括号内填写 课题或课题组负责人或实验室名称,未有此项声明内容的,可以不作 特别声明。 声明人签名:\曾圣球 ‖年‘月日 4厦门大学学位论文著作权使用声明 本人同意厦门大学根据《中华人民共和国学位条例暂行实施办 法》等规定保留和使用此学位论文,并向主管部门或其指定机构送交 学位论文包括纸质版和电子版,允许学位论文进入厦门大学图书 馆及其数据库被查阅、借阅。本人同意厦门大学将学位论文加入全国 博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索,将学位论文的标题和 摘要汇编出版,采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于: .经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位论文, 于 年 月 日解密,解密后适用上述授权。 ‖.不保密,适用上述授权。 请在以上相应括号内打“?或填上相应内容。保密学位论文 应是已经厦门大学保密委员会审定过的学位论文,未经厦门大学保密 委员会审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的,默认 为公开学位论文,均适用上述授权。 声明人签名:、宇垂饯 叩年‘月?日 5第一章绪论 第一章绪论 .复杂网络 ..复杂网络概述 自然界中存在的大量复杂系统都可以通过形形色色的网络加以描述。一个典 型的网络是由许多节点与连接两个节点之间的一些边组成的,其中节点用来代表 真实系统中不同的个体,而边则用来表示个体间的关系,往往是两个节点之间具 有某种特定的关系则连一条边,反之则不连边,有边相连的两个节点在网络中被 看作是相邻的。例如,神经系统可以看作大量神经细胞通过神经纤维相互连接形 成的网络?;计算机网络可以看作是自主工作的计算机通过通信 介质如光缆、双 绞线、同轴电缆等相互连接形成的网络眨。类似的还有电力网络、社会关系网络 ’棚、交通网络‘等等。对这些极其复杂的交互作用网络的结构和动力学的理解 已经成为世纪网络科学和生命科学的关键性研究课题和挑战之一。 一般而言,网络系统的复杂性体现在以下几个方面 结构复杂性 网络连接结构看上去错综复杂、极其混乱。而且网络连接结构可能是随时间 变化的,例如,上每天都不停地有页面和链接的产生和删除。此外,节点 之间的连接可能具有不同的权重或方向。例如,神经系统中的突触有强有弱,可 以是抑制的也可以是兴奋的。 节点复杂性 网络中的节点可能是具有分岔和混沌等复杂非线性行为的动力系统。例如, 基因网络和结阵列中每个节点都具有复杂的时间演化行为。而且,一 个网络中可能存在多种不同类型的节点。例如,控制哺乳动物中 细胞分裂的生化 网络就包含各种各样的基质和酶。 各种复杂性因素的相互影响 实际的复杂网络会受到各种各样因素的影响和作用。例如,耦合神经元重复 地被同时激活,那么它们之间的连接就会加强,这被认为是记忆和学习的基础。 6带有时滞和不确定性的复杂网络研究 此外,各种网络之间也存在密切的联系,这使得对复杂网络的变得更为 困难。例如,电力网络的故障可能会导致流量变慢、金融机构关闭、运 输系统失去控制等一系列不同网络之间的连锁反应。 ..历史回顾 ...从七桥问题到小世界实验 世纪,数学家欧拉对“七桥问题’’的抽象和论证思想,开始了数学中图 论的研究。欧拉也因此被称为“图论’’之父。但在此后相当长的一段时间里,图 论没有获得足够的发展。 世纪年代,匈牙利数学家和建立了随机图理论。这被 公认为是在数学上开创了复杂网络理论的系统性研究。在世纪的 后年中, 随机图理论一直是研究复杂网络拓扑的基本理论,其中的一些基本思想在目 前的复杂网络研究中仍很重要。 年美国社会心理学家通过“小世界实验?,提出了“六度 分离推断”,即地球上任意两个人之间的平均距离为,也就是说只要中间平均 通过个人,你就能联系到地球上的其他任何人。随后,一些数学家也对此进行 了严格的证明。如今,小世界特性已在许多网络中得到了证实。 .. 小世界模型与小世界模型 年和提出了“小世界网络模型小世界模型叨, 实现了从完全规则网络到完全随机图的过渡,该模型既具有规则网络的高聚类 性,又具有类似随机网络的小的平均路径长度。其构造算法如下: 从规则图开始:考虑一个含有?个点的最近邻耦合网络,它们围成一个 环,其中每个节点都与它左右相邻的各/节点相连,是偶数。随机化重 连:以概率随机地重新连接网络中的每个边,即将边的一个端点保持不变,而 另一个端点取为网络中随机选择的一个节点。其中规定,任意两个不同的节点之 间至多只能有一条边,并且每一个节点都不能有边与自身相连。 在该模型中,对应于完全规则网络,对应于完全随机网络,通过 调节值,可以控制从完全规则网络到完全随机网络的过渡。如图.所示。 7第一章绪论 图. 小世界模型随机化重连过程 由于小世界模型构造算法中的随机化过程有可能破坏网络的连通性。 年和提出了小世界模型嘲,它用“随机化加边一代 替了小世界模型构造中的“随机化重连,即在构造算法的第二步是以概率 在随机选取的一对节点之间加一条边。其中,任意两个不同的节点之间至多只 能有一条边,每个节点都不能有边与自身相连。在小世界模型中,对 应于原来的最近邻耦合网络,对应于全局耦合网络。当足够小和?足够 大时,小世界模型本质上等同于小世界模型。 .. 无标度网络模型 上述模型都没有考虑到实际网络的两个重要特征:增长特性:即网络的 规模不断扩大。优先连接特性:即新节点更倾向于与具有较高连接度的“大 节点相连。通过近几年的研究,我们发现许多复杂网络的连接度分布函数具有幂 律形式。为了揭示幂律分布的产生机理,矗和提出了无标度网络 模型模型。其构造算法如下: 从一个具有。个节点的网络开始,每次引入一个新的节点,并且连到个 已存在的节点上,这里?。。一个新节点与一个已经存在的节点相连的概 率?与节点的度屯、节点歹的度屯之间满足如下关系:轰。? 在经过步后,该算法产生了一个有个节点、条边的网络。图 .显示了时模型的演化过程。 8带有时滞和不确定性的复杂网络研究 /神乜一弋毽风蝉‖夺 图. 无标度网络的演化扰。 模型很好地在科学研究中体现了从复杂现象中提取简单本质的特点,但 模型只能生成幂指数为的无标度网络,而实际复杂网络的幂指数各不相 同,且大都在与之间,并且,实际网络常常具有一些非幂律特征,如指数截 断、小变量饱和等。因此,人们又对模型做了各种扩展,先后提出了适应度 模型、广义无标度动态网络模型、局域世界演化模型、多局域世界演化模型等。 ..复杂网络的研究现状 近年来,对复杂网络的科学探索发生了重要的转变,复杂网络理论研究也不 再局限于数学领域。人们开始考虑节点数量众多、连接结构复杂的实际网络的整 体特性,在物理学、生物学、计算机科学、社会学以及经济学等各个不同领域掀 起了研究复杂网络的热潮,甚至于被称为“网络的新科学”哼,埘。其内容主要包 括网络的结构和性质、网络的生成机制、网络演化的动力学行为等问题。 网络的结构和性质 用来刻画真实网络宏观结构的基本特征量主要有平均最短距离、聚类系数、 度分布等。例如,无标度网络的平均路径长度为?’】: 石丽,这表 明该网络也具有小世界特性;无标度网络的聚类系数为羽: 。’ 。。。“ “ :竺掣陋竺生一?】咝,这表明与随机图类似,当网络规模 埘。 一。、 充分大时,无标度网络不具有明显的聚类特征;网络的度分布函数为: ?肌一,这表明网络的度分布函数可由幂指数为 尸七丽面丽 的幂律函数近似描述图. 9第一章绪论 聋 图. 无标度网络模型的度分布以七? 需要指出的是,对无标度网络模型的构造及其理论分析的严格性等还存在一 些不同看法。 网络的生成机制 人们通过不断的努力,对于网络的无标度性质、小世界性质的微观生成机制 有了一定的认识。目前,人们也开始从宏观的角度来探索复杂网络,例如,度关 联、团体结构四、分层结构等宏观角度。 网络演化的动力学行为 研究网络中的动力学行为就是考察具有不同结构的网络中发生的各种动力 学过程的特征。人们在这方面做了很多工作。比如说,对复杂网络中流行病传播 的动力学行为的研究表明印,对于无标度网络来说,定义相对密度是一个 度为的节点被感染的概率。它的平均场方程为刀 . ?舭【一见以, 这里同样考虑单位恢复速度并且忽略高阶项。赫任意一 条给定的边与一个被感染节点相连的概率。记的稳态值为以。求得 . 以丽 这表明节点的度越高,被感染的概率越高。在计算。时必须考虑到网络的非均匀 性。对于无关联的无标度网络,即不同节点的度之间是不相关的无标度网络,由 10带有时滞和不确定性的复杂网络研究 于任意一条给定的边指向度为的节点的概率可以表示为/,可以求得 ?专;碱?以 联立式.式.,可在充分小的情形下,对于任意无标度分布,近似求得 风和旯。传播临界值以必须满足的条件是:当力丸时可以得到的一个非 零解。由式.和式..得到 .、 去;四罴 后乍、脚 式.有一个平凡解。如果该方程要存在一个非平凡解?,需要满足如 下条件: 。?雨丽’。班 一、,莓羔。? 即有 .:盟? . ‘聊 后 从而得到无标度网络的传播临界值以为 老 , 九而 对于幂律指数为?的无标度网络,当网络规模?专?时,似专,从 而五.专,即传播强度阈值趋于零,这就使得在无标度网络中采用减小传播强 度的方法并不能够阻止传染病爆发。而对于结构化的无标度网络而言,传播强度 阈值不为零。 对于不同结构复杂网络鲁棒性以及脆弱性的研究也是一个热点,研究指出 假设去除的节点数占原始网络总节点数的比例为,,用、分别表示最大连 通子图的相对大小和平均路径长度,随机图和无标度网络之间存在极 其显著的差异。无标度网络对随机节点故障具有极高的鲁棒性:与随机图相比, 最大连通子图的相对大小在相对高得多的/时才下降到零,而其平均路径长度的 第一章绪论 增长则要缓慢得多图.。无标度网络的这种对随机故障的高度鲁棒性,来自 于网络分布的极端非均匀性:绝大多数节点的度都相对很小,而 有少量节点的度 相对很大。当.厂较小时,随机选取的节点都是度很小的节点,除掉这些节点对整 个网络的连通性不会产生大的影响。然而,正是这种非均匀性使得无标度网络对 蓄意攻击具有高度的脆弱性:只要有意识地去除网络中极少量度最大的节点就会 对整个网络的连通性产生大的影响图.。 泐? 油 图. 随机图和无标度网络的鲁棒性和脆弱性嗽 曲线匐、对应职随机图;曲线、对应酣无标度网络方块对应随机故障;圈点对应蓄意攻击 再者,对于复杂网络上的同步现象也是一项重要的研究课题。人们已观测到 的同步现象包括夏日夜晚青蛙的齐鸣、萤火虫的同步发光,心肌细胞和大脑神经 网络的同步‘蛇?,剧场中观众鼓掌频率的逐渐同步陇,等等。目前,人们对复 杂网络的完全同步判据研究比较多,比如对一般连续时间耦合网络完全同步判据 的研究,考虑一个由?个相同的节点构成的连续时间耗散耦合动 态网络,其中 第个节点的状态方程为眨: ? . 毫厂‘?口扩, 式中,?,孙,?,;“’?孵”为节点的状态变量;常数为网络的耦合 带有时滞和不确定性的复杂网络研究 强度;日?:吼”吼“为各个节点状态变量之间的内部耦合函数,也称为各节 点的输出函数,这里假设每个节点的输出函数是完全相同的;耦合矩阵 彳口?吼胍?表示网络的拓扑结构,满足耗散耦合条件?口口。如果当 / ?时有 . 专??一 就称动态网络.达到完全渐近同步。由于耗散耦合条件,同步状态?孵 必为单个孤立节点的解,即满足厂。这里可以是孤立节点的平衡 点、周期轨道,甚至是混沌轨道。对状态方程式.关于同步状态线 性化, 可等价于 巩, . 式中/。为矩阵的特征值。 判断同步流形稳定的一个常用判据要求方程式.的横截李雅普若夫 指数全为负值嘶之刀。在方程式.中,只有仇和与后相关。考虑到当矩阵为 非对称阵时,其特征值可能为复数,故此定义主稳定方程 如下: 夕【口 . 该方程的最大指数三一是变量口和‖的函数,称为动力网络式.的 主稳定函数 ,。给定一耦合强度,在,‖ 复平面上可以对应地找到固定的一点以,该点所对应的三一的正负号反映了该 特征模态的稳定性负号表示稳定,正号表示不稳定。如果与以对应的所有的 特征模块都稳定,那么在该耦合强度下整个网络的同步流形.是稳定的。下面 举个数值例子来说明。 以混沌振子作为网络的节点,第个孤立振子方程为第一章绪论 ”一’” ’十叫” 妒』咒?” 过’耦合,这时内部耦台函数可以用矩阵形式 描述。系统的主稳定函数曲线如图.所示,其中细虚线表示的是负指数曲线,细实线为正 指数曲线,黑点为具有个振子的环形网络,图.中小图是 系统,。。。假定卢,则随着口的减小即耦合强度在增大, 当超过一特定阂值后,三一减小为负值,再继续减小值当口再小于另一个闽 值时嘣再次为正。这个例子说明,耦合强度太弱或太强都可能使得整个耦合网 ‖扎凝 缮磷 图. ’耦台系统的主稳定函数四 人们除了用主稳定函数方法去研究复杂网络同步流形的稳定性外,还运用 函数方法和线性矩阵不等式方法来研究。然而经过大量的研究,带有时滞和不确定性的复杂网络研究 人们慢慢发现网络的拓扑结构在决定网络动态特性方面起很重要的作用。例如, 尽管已有的结果表明,在一定条件下,足够强的耦合可以导致网 络中节点之间的 同步口?,但这一结果无法解释为什么即使在弱耦合的情况下许多实际的复杂网络 仍呈现出较强的同步化趋势。 此外,人们还运用牵制控制思想对具有无标度拓扑结构的复杂混沌动力 网络的控制上研究日。发现,牵制控制利用无标度网络结构的非均匀性,有针对 地对网络中的少数关键节点施加反馈控制,由此牵一发而动全身,从而能够将规 模庞大的复杂动态网络稳定到平衡点,获得很高的控制效率。 .本文主要工作 由于实际系统中存在着不确定性因素,对于研究不确定线性系统的相关问 题,将对实际系统的控制要求、控制性能的实现都有很大的影响,对控制系统的 和应用,也具有实际的指导意义,而且这也是不确定系统理论本身完善和发 展的需要。因此对于不确定系统的研究有其自身的迫切需要。 目前,人们广泛地对复杂网络的稳定性、同步性、牵制控制等动力学行为 的相关问题做出了研究。然而有些复杂网络系统中存在着不确定 因素,对其研究 具有一定的实际意义。众所周知,时滞现象大量存在于各种工程中,时滞常常是 导致系统不稳定或性能恶化的一个重要原因,因此研究不确定复杂网络问题时, 把时滞也考虑在内,使得研究的对象更加贴切于实际,从而具有更大的实际意义。 基于以上的分析,本文主要研究了具有不确定因素复杂网络的相关问题。 概述如下: 第二章给出了论文研究理论的基础,包括不确定性的定义和稳定 性。第三章研究了具有不确定线性连续型和离散型复杂网络的稳定性,结合使用 函数方法和方法来对其的研究,得到了一些相关定理,最后进行 了数值仿真。第四章研究了具有不确定线性连续型耦合时滞复杂网络的同步问题 和具有不确定线性连续型节点时滞复杂网络的同步问题。第五章对全文进行了总 结,并指出本文存在的一些不足及今后需深入研究的一些问题,展望了复杂网络 下一步的发展。 第二章论文研究的理论基础 第二章论文研究的理论基础 .不确定性的定义 一个复杂的动态模型必须用一个相对简单的模型来描述,而这样一个简化模 型和实际对象之间的差距称为模型不确定性。除了在模型简化过程会带来不确定 性外,对系统特性认识的不够,系统环境的变化、元器件的老化、物理参数的漂 移,随时间变化等因素所带来的系统的变化也会导致模型不确定性的产生。 由于在实际控制过程中,被控对象很难用一个准确的数学模型来描述,即系 统模型中总存在着不确定性。不确定性的存在意味着即使知道输入信号,也无法 准确地预计出系统的输出信号,也就无法对控制系统进行分析与综合。数学模型 中不确定性的描述是多种多样的,主要分为非结构不确定性和结构不确定性。 非结构不确定性是指模型与不确定性之间的相互关系是不明确的,其描 述可以分为以下几类: 加法不确定性,即一个实际控制对象的传递函数模型可以描述为 ’ . 只? 其中只为被控对象的实际数学模型,尸为被控对象的标称模型,? 表示为模型中的加法不确定性。 乘法不确定性,即一个实际控制对象的传递函数模型可以描述为 . 只,?尸 当用以上两种方法描述系统的不确定性时,有时为了便于处理问题,有可能 会将一个难于处理的较小集合放大,因此不可避免带来一定的保守性。 基于规范化互质分解描述的不确定性,即一个实际控制对象的传递函数模 型可以描述为 . 只【,?肼】【???】 其中?肘和?分别表示为互质矩阵和的稳定性摄动。 结构不确定性是指具有已知结构的参数含有不确定性,如测量误差、元带有时滞和不确定性的复杂网络研究 器件老化、线性近似等引起的参数变化。对于状态空间描述的模 型,系统的实际 参数可以描述为 么,么?,. . 其中么表示系数矩阵的标称值,为实数矩阵;鲋表示有界时变的不确定 性,有三种描述方法: 参数结构不确定性:鲋,:壹‘,?; 块结构不确定性:鲋,.:杰?,,忪,?; 结构不确定性:,忪? 模型不确定性也可分为以下两类: 动态不确定性:例如在线性模型中忽略的动态特性,由于慢时变特 性的忽略、输入中的非线性等因素导致的动态行为的变化; 参数不确定性:一些难于精确刻画的物理参数,或者在运行过程中 发生变化但难以刻画其变化规律的参数。例如,机械系统中的阻尼 系数和弹性系数、飞行装置中的空气动力学系数、电路中的电容和 电感等。 不确定性的其他特性包括是否为线性、是否为时变等等。模型不确定性一般 是动态不确定性和参数不确定性的组合,并可能出现在控制环的不同位置 上。例如,在系统的执行器上可能出现动态不确定性,在某些传感器的系数 上可能出现参数不确定性等。 . 意义下的稳定性介绍 对于一个给定的控制系统,稳定性分析通常是最重要的。如果系统是线性定 常的,那么有许多稳定性判据,如稳定性判据和稳定性 判据等可资利用。然而,如果系统是非线性的,或是线性时变的,则上述稳定性 判据就将不再适用。 第二章论文研究的理论基础 本节所要介绍的函数方法是确定非线性系统和线性时变系统的最 一般的方法。当然,这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。 ..平衡状态、给定运动与扰动方程之原点 考虑如非线性系统 文, . 式中为维状态向量,,是变量毛,恐,?,毛和的刀维向量函数。假设 在 给定初始条件下,式.有唯一解;,,且当。时,。于是 ;, 在式.的系统中,如果存在向量使得 . 。,三 成立,则称为系统的平衡状态或平衡点。如果系统是线性定常的,也就是说 血,则当为非奇异矩阵时,系统存在一个唯一的平衡状态;当 为奇异矩阵时,系统将存在无穷多个平衡状态。对于非线性系统,则有一个或 多个平衡状态,这些状态对应于系统的常值解对所有,总存在.平衡 状态的确定不包括式.的系统微分方程的解,只涉及式.的解。 任意一个孤立的平衡状态即彼此孤立的平衡状态或给定运动矽都 可通过坐标变换,统一化为扰动方程宝譬,之坐标原点,即,或 茸。在本节中,除非特别申明,我们将仅讨论扰动方程关于原点处之平衡状 态的稳定性问题。这种所谓“原点稳定性问题”,由于使问题得到极大简化,又 不会丧失一般性,从而为稳定性理论的建立奠定了坚实的基础, 这是 的一个重要贡献。 .. 意义下的稳定性定义 下面首先给出意义下的稳定性定义,然后回顾某些必要的数学基 带有时滞和不确定性的复杂网络研究 础,以便在下一小节具体给出稳定性定理。 定义.设系统 莺,, 。,兰 之平衡状态的日邻域为 。忙 其中,, .为向量的范数或欧几里德范数,即 【。?一一】? 类似地,也可以相应定义球域和。 在邻域内,若对于任意给定的占,均有 如果对应于每一个,存在一个,使得当趋于无穷时,始于 的轨迹不脱离,则式.系统之平衡状态称为在意义下是 稳定的。一般地,实数万与占有关,通常也与有关。如果万与%无 关,则称此 时之平衡状态为一致稳定的平衡状态。 以上定义意味着:首先选择一个球域,对应于每一个,必存在一 个球矗 ,使得当趋于无穷时,始于的轨迹总不脱离球域。 如果平衡状态,在意义下是稳定的,并且始于域万的 任一条轨迹,当时间趋于无穷时,都不脱离,且收敛于,则称式. 系统之平衡状态为渐近稳定的,其中球域万被称为平衡状态屯的吸 引域。 类似地,如果万与气无关,则称此时之平衡状态为一致渐近稳定的。 实际上,渐近稳定性比意义下的稳定性更重要。考虑到非线性系 统的渐近稳定性是一个局部概念,所以简单地确定渐近稳定性并不意味着系统能 正常工作。通常有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。它是发生渐近稳定 轨迹的那部分状态空间。换句话说,发生于吸引域内的每一个轨迹都是渐近稳定 第二章论文研究的理论基础 的。 对所有的状态状态空间中的所有点,如果由这些状态出发的轨迹都 保持渐近稳定性,则平衡状态称为大范围渐近稳定。或者说,如果 式. 系统之平衡状态.渐近稳定的吸引域为整个状态空间,则称此时系统的平衡 状态为大范围渐近稳定的。显然,大范围渐近稳定的必要条件是在整个状 态空间中只有一个平衡状态。 在控制工程问题中,总希望系统具有大范围渐近稳定的特性。如果平衡状态 不是大范围渐近稳定的,那么问题就转化为确定渐近稳定的最大范围或吸引域, 这通常非常困难。然而,对所有的实际问题,如能确定一个足够大的渐近稳定的 吸引域,以致扰动不会超过它就可以了。 如果对于某个实数和任一个实数万,不管这两个实数多么小, 在内总存在一个状态‰,使得始于这一状态的轨迹最终会脱离开,那 么平衡状态称为不稳定的。图.、和分别表示平衡状态及对应于稳定性、渐近稳定性和不稳定 性的典型轨迹。在图.、和中,球域回制约着初始状态‰,而球域 是起始于而的轨迹的边界。 注意,由于上述定义不能详细地说明可容许初始条件的精确吸引域,因而除 非对应于整个状态平面,否则这些定义只能应用于平衡状态的邻域。 此外,在图.中,轨迹离开了,这说明平衡状态是不稳定的。然而 却不能说明轨迹将趋于无穷远处,这是因为轨迹还可能趋于在外的某个极 限环如果线性定常系统是不稳定的,则在不稳定平衡状态附近出发的轨迹将趋 于无穷远。但在非线性系统中,这一结论并不一定正确。带有时滞和不确定性的复抽同络研究 ? 啊 四 图.稳定平衡状态及一条典型轨迹:渐近稳定平衡状态及一条典型轨 迹:不稳定平衡状态及一条典型轨迹 上述各定义的内容,对于理解本章介绍的线性和非线性系统的稳定性分析, 是最低限度的要求。注意,这些定义不是确定平衡状态稳定性概念的唯一方法。 实际上,在其它文献巾还有另外的定义。 对于线性系统,渐近稳定等价于大范围渐近稳定。但对于非线性系统,一般 只考虑吸引区为有限范围的渐近稳定。 虽后指出,在经典控制理论中,我们已经学过稳定性概念,它与 意义下的稳定性概念是有一定的区别的。例如,在经典控制理论中只有渐近稳定 的系统才称为是稳定的系统,而仅在意义下是稳定的,但却不是渐近 稳定的系统,??被称之为不稳定系统。 .. 稳定性理论 年, 提出了两种方法称为第一法和第二法,用于确 定由常微分方程描述的动力学系统的稳定性。 第一法包括了利用微分方程显式解进行系统分析的所有步骤,也称为间接 法。 第二法不需求出微分方程的解,也就是说,采用第二法.可以在 不求出状态方程解的条件下,确定系统的稳定性。由于求解非线性系统和线性时 变系统的状态方程通常十分困难,因此这种方法显示出极大的优越性。第二法也 称为直接法。 尽管采用第一法分析非线性系统的稳定性时,需要相当的经验和 第二章论文研究的理论基础 技巧,然而当其它方法无效时,这种方法却能解决非线性系统的 稳定性问题。 。 第一法 基本思路是:首先将非线性系统线性化,然后计算线性化方程的 特征值, 最后根据线性化方程的特征值判定原非线性系统的稳定性。 设非线性系统的状态方程为 宕,, /,三 或写成 ,,?,刀 毫五,,?,毛,, 将非线性函数?在平衡状态处附近展成级数,则有 ,珏..,彬:婺五十掣电... , 导五矗西,屯,?,%, 【,工以 式中,为常数,/,为一次项系数,且五,,?,毛,为所有高次项之 和。 由于,,,?,,兰,故线性化方程为 文 其中 为矩阵。 :???一: 锁一铂%一铂;纸一纸 朔一吼%一%;%一如 硝一%%一纸;%一纸 线性化方程忽略高阶小量,是一种十分重要且广泛使用的近似分析方法。这是 因为,在工程技术中,很多系统实质上都是非线性的,而非线性系统求解十分困 难,所以经常使用线性化系统近似它。 然而这样做是否正确我们知道,线性化系统与非线性系统具有根本的 区别,如非线性系统才会出现自振、突变、自组织、混沌等,因此一般说来,关 带有时滞和不确定性的复杂网络研究 于线性化系统的解和有关结论是不能随意推广到原来的非线性的。现在我们把问 题的范围缩小,只考虑的稳定性问题,并提出在什么条件下,可用线性化 系统代替原非线性系统证明了三个定理,给出了明确的结论。应该 指出,这些定理为线性化方法奠定了理论基础,从而具有重要的理论与实际意义。 定理.如果线性化系统的系统矩阵彳的所有特征值都具有 负实部,则原非线性系统的平衡状态总是渐近稳定的,而且系统的稳定性 与高阶导数项无关。 定理.如果线性化系统的系统矩阵的特征值中,至少有一 个具有正实部,则不论高阶导数项的情况如何,原非线性系统的平衡状态总 是不稳定的。 定理.如果线性化系统的系统矩阵彳有实部为零的特征值, 而其余特征值实部均为负,则在此临界情况下,原非线性系统平衡状态无的 稳定性决定于高阶导数项,即可能不稳定,也可能稳定。此时不能再用线性化方 程来表征原非线性系统的稳定性了。 上述三个定理也称为第一近似定理。这些定理为“线性化”提供 了重要的理论基础,即对任一非线性系统,若其线性化系统关于平衡状态艺渐 近稳定或不稳定,则原非线性系统也有同样的结论。但对临界情况,则必需考虑 高阶导数项。 第二法 由力学经典理论可知,对于一个振动系统,当系统总能量正定函 数连续 减小这意味着总能量对时间的导数为负定,直到平衡状态时为止,则此振动 系统是稳定的。 第二法是建立在更为普遍意义的基础上的,即如果系统有一个渐 近稳定的平衡状态,则当其运动到平衡状态的吸引域内时,系统存储的能量随着 时间的增长而衰减,直到在平稳状态达到极小值为止。然而对于一些纯数学系统, 毕竟还没有一个定义“能量函数的简便方法。为了克服这个困难, 定义了一个虚构的能量函数,称为函数。当然,这个函数无疑比能量第二章论文研究的理论基础 更为一般,且其应用也更广泛。实际上, 任一纯量函数只要满足稳定 性定理见定理.和.的假设条件, 都可作为函数其构造可能 十分困难。 函数与而,石,?,./有关,我们用五,,?,。,或者, 来表示函数。如果在函数中不含,则用,,?,。或 曲表示。在第二法中, ,和其对时间的全导数 矿似,/的符号特征,提供了判断平衡状态处的稳定性、渐近稳定性 或不稳定性的准则。这种间接方法不必直接求出给定非线性状态方程的解。 、关于渐近稳定性 可以证明:如果为维向量,且其纯量函数定,则满足 工 的状态处于以维状态空间的封闭超曲面上,且至少处于原点附近,这里为正 常数。此时,随着四一,上述封闭曲面可扩展为整个状态空间。如果, 则超曲面完全处于超曲面的内部。 对于给定的系统,若可求得正定的纯量函数矿,并使其沿轨迹对时间的 全导数总为负定,则随着时间的增加,将取越来越小的值。随着时间的 进一步增长,最终矿功变为零,而也趋于零。这意味着,状态空间的原点是渐 近稳定的。主稳定性定理就是前述事实的普遍化,它给出了渐近稳定 的充分条件。 定理.,皮尔希德斯基,巴巴辛,克拉索夫斯基考虑如下非 线性系统 孟/,力 式中 ,暑,对所有? 如果存在一个具有连续一阶偏导数的纯量函数,,且满足以下条 件: 带有时滞和不确定性的复杂网络研究 、,正定; 、矿,负定 则在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。 径向无穷大,则在原点处的平衡状态 进一步地,若俐一,, 。是大范围一致渐近稳定的 定理.是第二法的基本定理,下面对这一重要定理作如下几点 说明。 这里仅给出了充分条件,也就是说,如果我们构造出了函数 ,,那么系统是渐近稳定的。但如果我们找不到这样的函数,我 们并不能给出任何结论,例如我们不能据此说该系统是不稳定 的。 对于渐近稳定的平衡状态,则函数必存在。 对于非线性系统,通过构造某个具体的函数,可以证明系统 在某个稳定域内是渐近稳定的,但这并不意味着稳定域外的运动 是不稳定的。对 于线性系统,如果存在渐近稳定的平衡状态,则它必定是大范围 渐近稳定的。 我们这里给出的稳定性定理,既适合于线性系统、非线性系统,也适合 于定常系统、时变系统,具有极其一般的普遍意义。 显然,定理.仍有一些限制条件,比如,必须是负定函数。如果在 矿工,上附加一个限制条件,即除了原点以外,沿任一轨迹矿,均不恒等于零, 则要求,负定的条件可用,取负半定的条件来代替。 定理.克拉索夫斯基,巴巴辛考虑如下非线性系统 戈厂, 式中 ,,对所有 若存在具有连续一阶偏导数的纯量函数,,且满足以下条件: 、,是正定的;第二章论文研究的理论基础 、,是负半定的; 、九?;而,,】对于任意和任意?,在时,不恒等于零,这里, ?;而,梳帝出发的轨迹或解; 、当俐专时有矿专 则在系统原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 注意,若少五,不是负定的,而只是负半定的,则典型点的轨迹可能与某个 特定曲面“相切,然而由于;,,】对任意和任意?,在 时不恒等于零,所以典型点就不可能保持在切点处在这点上,矿, 因而必然要运动到原点。 、关于稳定性 然而,如果存在一个正定的纯量函数,,使得矿工,始终为零,则系 统 可以保持在一个极限环上。在这种情况下,原点处的平衡状态称 为在 意义下是稳定的。 、关于不稳定性 如果系统平衡状态是不稳定的,则存在纯量函数,,可用其确定 平衡状态的不稳定性。下面介绍不稳定性定理。 定理.考虑如下非线性系统 烈, 式中 ,善,对所有 若存在一个纯量函数形工,,具有连续的一阶偏导数,且满足下列 条件: 、在原点附近的某一邻域内是正定的; 、在同样的邻域内是正定的 则原点处的平衡状态是不稳定的。 带有时滞和不确定性的复杂网络研究 ..线性系统的稳定性与非线性系统的稳定性比较 在线性定常系统中,若平衡状态是局部渐近稳定的,则它是大范围渐近稳定 的。然而在非线性系统中,不是大范围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定 的。因此,线性定常系统平衡状态的渐近稳定性的含义和非线性系统的含义完全 不同。第三章具有不确定性复杂网络的稳定性分析 第三章具有不确定性复杂网络的稳定性分析 .引言 近年来,复杂网络引起了科学和工程等相关领域研究人员的关注嘶。们。复杂 网络是由很多相连接的节点组成的一个集合,而每一个节点具有特定动力和信息 内涵的系统的基本单位。例如,复杂网络包括因特网、万维网、电力网、食物链 网、神经网和新陈代谢网等。到目前为止,复杂网络的一些特性和复杂的动力学 行为被广泛地研究,如小世界网络、无标度网络‘州引、同步特性,扪、以及 鲁棒性和脆弱性‘删,,等,其中,同步性的研究是最热门研究之一。 这几年来,复杂网络的稳定性引起学者广泛地研究,鲫。从研究中, 人们发 现网络的拓扑结构在决定复杂动态网络的稳定性方面起了重要的作用。在过去的 研究里,人们对网络稳定性分析主要集中在不同网络的拓扑结构的影响上。例如, 文通过对随机边权复杂网络最短路径和生成树的研究指出在无标度网络中 交通模式最稳定了;文发现如果网络的连接矩阵是对称的以及网络延迟在 空间,那么神经网络的模型将有实质性的完全稳定。 本章考虑地线性动态网络模型比和介绍地模型更具有一般 性。本章不需要耦合强度一定要非负的,以及耦合矩阵一定能对角化。基于 函数方法,本章分析了具有不确定性动态网络的稳定性,并得到了判 断连续型和离散型动态网络稳定性的充分条件。需要特别申明,本章所研究的稳 定性问题是在原点之处平衡稳定。 本章的其它组成部分如下:第二部分介绍了具有不确定性连续动态网络模型 和一些基本预备知识。第三部分是研究了具有不确定性连续动态网络的稳定性。 第四部分是研究了具有不确定性离散动态网络的稳定性。第五部分是用数值仿真 来验证定理的正确性。最后一个部分是对本章的总结。 本章中符号说明:表示卷积;”表示刀维的实数列向量:尺脚 表示疗×刀维的实数矩阵;表示正实数带有时滞和不确定性的复杂网络研究 .模型的介绍和预备知识 考虑一个由?个相同的节点构成的线性连续时间耗散耦合动态网络,其中 第个节点的状态方程为: ? . 戈?口『‖,“一, 式中,,,?,加’?行为节点珀勺状态变量;?脚 为已知矩阵;常数为网络的耦合强度;?脚为各个节点状态变量之间的内 部耦合矩阵;耦合矩阵彳口?胀?表示网络的拓扑结构,其中%定义如下: 如果节点和节点?之间有连接的话,那么就使得口‖;否则使得 口%?。耦合矩阵么的对角元素定义为: 口一?口驴一?口‖,,,?, 基于动态网络.,本章考虑具有不确定性动态网络: ? 毫力伊?玉匹吻力,,,?, . 户 本章假设不确定矩阵胁是范数有界的。不失一般,矩阵灯可以分解如下: 龊龃 其中矩阵?蹦以和矩阵?职一是已知矩阵,矩阵?丁?脒疗是未知矩阵, 但满足如下: ?丁。?丁? 注:由于本章除了耦合矩阵么的行和为零外,就没有对耦合矩阵和内耦合矩阵 有额外的限制,并且把不确定性也考虑在内了,所以本章所要研究的动态网络 模型更具有实际意义。为了得到主要结果,本章需要以下的预备引理。 引理.:如果复杂线性时变系统 叠 .第三章具有不确定性复杂网络的稳定性分析 式中:?“,?”。”。 在平衡点兰上是渐近稳定的,当且仅当以下×维的实矩阵 才?么一彳’是稳定。 引理幺对于獭?,如果矩阵彳可以表示为瞄甜或者匮 那么系统.的渐近稳定等价于以下两个系统的渐近稳定: 毒 和 舌.占 引理.:分解定理如果矩阵?“”,那么存在一个酉矩阵 ?雕”使得~为向上矩阵,并且矩阵的对角元素是矩阵么的?个特 征值。矩阵丁就称为矩阵彳的一个转换。 引理.:对于任意矩阵,形,并且形形,和任意矩阵,, 以及适当维的向量,有以下不等式成立: ?蕊, 式中:占?。 .连续型动态网络稳定性分析 为了分析动态网络.的稳定性,需要把原来动态网络模型转化成 一些简单 的形式。 考虑动态网络.,使得,,?,五?胁。通过应用 卷积算子,把动态网络.重新写为如下: /【,?? .带有时滞和不确定性的复杂网络研究 定理.:零是动态网络.的一个渐近稳定的平衡点,当且仅当以下 ?个 ,线性连续系统是渐近稳定的: 孝?】孝,,,?, . 式中:以,?,?是矩阵彳的特征值。 证明:由引理.可知,存在一个矩阵?‘?是矩阵彳的一个转化, 使得有 ~。很显然,矩阵 是可逆的,并且仃』。~. 。设 孝丁 ,那么系统.就能转化为: 善丁,?, 厶孝:【?。?一。】善 【,?? 孝 注意到矩阵,?胆是一个以舻为块的对角矩阵,矩阵 是一个以以为对角块的向上块矩阵。因此,由引理.知,系统.的稳 定性等价于系统.的稳定性。证毕。 使用函数方法,得到一个保证动态网络.稳定性的充分条件, 如下: 定理.:如果存在一个对称正定矩阵,使得以下不等式成立: .“ ‖尸 。 ‖尸妒憎堙肋.如 式中:?,以,?,?是矩阵的特征值 那么动态网络.是渐近稳定的。 证明:取函数如下: 孝孝尸孝 . 其中正定对称矩阵是待求矩阵,对函数沿着系统.的第 ,?,个方程求导得:第三章具有不确定性复杂网络的稳定性分析 尸孝孝 尸舌 矿善 孝】孝 孝,尸【?以】孝 善【尸艘以以盯】孝 . 孝孝善 孝 孝【,尸丑刀】孝 孝彤 由引理.以及, ?,可得到 善孝孝尸孝 孝 善?阿 。.。? 、 ’ ?譬二兮竺芝竺蟮。尹?。 聊。聊孝 孝【应占一】善 ?垃一 把式子.代入式子.,可得到 矿孝?孝丁【以尸尸】孝 孝【纽】孝 ?【尸名尸 ..】孝 从补定理可知,式子.等价于 , 从而可得到对于系统.的?个等式都有孝,因此有,动态网络. 是渐近稳定的。 推论.:如果存在一个常数‖,使得以下的等式: 巨茁占一以夕% 有一个对称正定解尸,?【。,?】,那么动态网络.是渐近稳定的, 式中: 量和 ?。 证明:其证明基本上跟以上证明过程一样,只是把方程孝中的尸 带有时滞和不确定性的复杂网络研究 用替换,并且注意到式子矿孝中增加了户孝一项。 .离散型动态网络稳定性分析 在这一部分,把先前的结论推广到具有不确定性离散动态网络 中。不确定 性离散动态网络模型描述如下: ? . 毛七竹?毛溉,??;? 式中, 尼尼,尼,?,%后?以为节点的状态变量; ?脚为已知矩阵;常数为网络的耦合强度;?删“为各个节点状态变量之 间的内部耦合矩阵;耦合矩阵彳口『?。表示网络的拓扑结构,其中口扩定义 如下:如果节点和节点歹歹?之间有连接的话,那么就使得,口‖;否则 使得口扩口‖?。耦合矩阵彳的对角元素定义为:口甜』一?口扩一?‖,,,?,.,? 这里本章也假设不确定矩阵竹是范数有界的。不失一般,矩阵从可以分解如 下: ?硒 其中矩阵?私”和矩阵?职一是已知矩阵,矩阵?丁?删”是未知矩阵, 但满足如下: &? 同先前的部分相类似,这里也取七,;后,?,?。通过 使用卷积算子,动态网络.可写为如下: 【凡,后 . 定理.:零是动态网络.的一个渐近稳定的平衡点,当且仅当以下 ?个 维线性离散系统都是渐近稳定的:第三章具有不确定性复杂网络 的稳定性分析 孝后【丑】善七,,,?, . 式中:丑,?,?是矩阵的特征值。 证明:这个定理的证明过程跟定理.证明过程一样,所以证明省 略。 定理.:如果存在一个对称正定矩阵尸,使得以下不等式成立: . .毋印印肛竹印鞠. 式中:以,?,?是矩阵么的特征值 那么动态网络.就是渐近稳定的。 证明:取函数如下: 孝七孝七尸孝七 为了方便,这里定义:,。因此,对于系统.中第,?, 个等式都有: ?善后孝七一 孝七?】研,?,】孝七一孝 孝后? ?一 孝七【么 一尸】孝七 善七爿,剐 ?丁一尸】孝七 【。一圳 卜【???饱】【? 【?佗卜。一 一尸孝七 毒《 ??】孝一【以‘佗 一以一??明孝后?【以一坨 一以一??圆孝尼 ?孝七彳尸‖户烈 一尸】孝七带有时滞和不确定性的复杂网络研究 从补定理可知,式子.等价于: 。一 和 箕烈.。? 所以对于系统.中所有?个等式都有?孝,因此,可得到动态网络 .是渐近稳定的。证毕。 .数值仿真 为了验证主要理论结果,我们考虑一个含有个节点的维连续网络, 每 个节点的线性系统如下: 乞 刚言 ?吃屯 且 因此有 一, 乞??????? 假设耦合强度。.,内耦合矩阵巴三习,以及连接矩阵 ,. ., ? 一 ???? 一 ?屯 可得到矩阵么的特 征值为:五,一 ..一.一. 这里,我们使得一 . ?, .,、 , ? 叱? ? 一? ?.........。............. 第三章具有不确定性复杂网络的稳定性分析 工具箱,得到存在一个对称正定矩阵和常数 通过使用 .一.?. .. 尸. ,占. . .. 使得式子.成立。从定理.,可知有这么一个具有不确定性复杂网 络.集 合体是渐近稳定的,其不确定因素心满足: ,。 不失一般,这里假设 『. .. 其满足 『. . ’ ?厶. 在图.中,节点,,?,三个分量的轨迹图。带有时滞和不确定性的复 杂网络研究 图.节点三个分量的轨迹:,,其中,,..., 从图.可以看出,节点的三个分量都趋于稳定,而这些节点是在它 们相互作用 下都能达到稳定状态,从而说明整个网络是稳定的。 .总结 在本章中,我们分析了具有不确定性连续型和离散型复杂动态网络的稳定 性。用形式给出了稳定性判断定理,这些稳定性条件可应用于不同拓扑结 构和大小的网络中。我们也给出了一个数值仿真例子来说明定理的正确性。 第四章具有不确定性时滞复杂网络的稳定同步性分析 第四章具有不确定性时滞复杂网络的同步性分析 .引言 在自然界中,许多实际的网络系统如网络、生物系统网络、社会系 统网络等都可以用各种网络模型来描述,因此,近些年来,复杂网络受到了很多 领域研究人员的广泛关注。早期网络研究主要是一些简单的规则网络,随着计算 机技术突飞猛进的发展,人们对复杂网络的认识发生了根本性的变化。特别是 和提出的小世界模型以及和提出的无标度网 络模型,标志着复杂网络的研究进入了网络科学的新时代。 在复杂动态网络研究中,对时滞同步性问题的研究在理论上和实 际应用中都 具有极大的意义,在理论上,同步性的研究可以使我们更好的理解现实中无处不 在的同步现象如夏日夜晚青蛙的齐鸣、萤火虫的同步闪光和剧场中观众鼓掌频率 的渐趋一致等等,然而这些现象一般都含有时滞因素;同时同步有很多的实际应 用,如在激光系统、超导体材料和通信系统等领域中起着重要的作用。正因为时 滞同步性如此重要,因此引起了许多领域的研究人员对它地研究,文【】针对一 类时滞动态网络设计了反馈控制器,使得网络最终达到同步状态。 本章所要研究得是一类具有不确定性时滞复杂动态网络的同步性问题。在现 实中,我们不能够十分精确的去描述一个复杂网络系统,总存在着一些不确定性 的因素,再加上在现实网络中,由于拥塞,传输速度有限等因素,会造成动态网 络的延迟,因此,本章所考虑得这类复杂网络更贴切于实际中的网络。本章结合 使用了泛函方法和方法,从而得到了判断复杂网络同 步性的充分条件。 本章的其它组成部分如下:第二部分介绍了具有