混沌现象

研究性实验 ——非线性电路中混沌现象的研究 一、 摘要 本文介绍了混沌现象的起源、产生混沌现象的原因以及非线性电路中的混沌现象， 最后用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据做了分段拟合。 二、 背景 1．混沌的起源 混沌理论是一门对复杂系统现象进行整体性研究的科学。我国科学家钱学森称混沌是宏观无序、微观有序的现象。混沌理论的创立，将非线性系统表现的随机性和系统内部的决定性机制巧妙地结合起来。 20世纪60年代，麻省理工学院的气象学家洛伦兹在计算机上进行天气模拟演算。他当时用的计算机，储存数据的容量是小数点后六位数字，但是在打印输出数据时，为了节省纸张，只输出小数点后三位数字。而洛伦兹在给第二次计算输入初始条件的时候，只输入了小数点后的三位，与精确的数据有不到0.1%的误差。就是这个原本应该忽略不计的误差，使最终的结果大相径庭，如图1所示。1963年，洛伦兹在美国《气象学报》上发表了题为“确定性的非周期流”的，提出了在确定性系统中的非周期现象。第2年，他发表了另外一篇论文，指出对于模式中参数的微小改变将导致完全不一样的结果，使有规律的、周期性的行为，变成完全混乱的状态。图2所示的就是我们今天谈到的混沌双吸引子。 2．模型及状态方程 动力学系统的状态定义为完全的表征系统的时间域行为的一个最小内部变量组，组成这个变量组的变量x1（t）, x2（t）,…,xn（t）称为系统的状态变量，其中t t0，t0为初始时刻。由状态变量构成的列向量为 图1  两个天气图像的分岔图2 混沌双吸引子 称为系统的状态向量，简称状态。状态空间则定义为状态向量取值的一个向量空间。由于状态变量只能取实数值，故状态空间是建立在实数域上的向量空间。对于某个确定时刻，状态表示为状态空间的一个点；而状态随时间的变化过程，则构成了状态空间中的一条轨迹。系统的状态空间描述由状态方程和输出方程组成，其一般形式为 其中u为输入向量。 若上式不包含输入向量u,则称该系统为自治系统，即该系统的当前状态完全由上一刻状态转移而来。 产生混沌现象的基本条件有以下两个。 （1）系统是非线性的。 （2） 描述系统的状态方程若是非自治的，则为二阶的；若为自治的，则需要至少3个以上变量。 我们采用如图3所示电路来演示混沌现象。其中电感L，电容C2及非线性电阻R组成正弦波振荡线路，电导G和电容C1将正弦波移相输出，实验中通过改变电导值来达到改变参数的目的。图4为非线性电阻元件R的伏安特性曲线，从特性曲线可知，加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。由于加在此元件R上的电压增加时，通过它的电流却减少，因而将此元件称为非线性负阻元件。 图3  实际非线性混沌实验电路                      图4非线性负阻元件伏安特性 该电路的非线性方程为 （1） （2） （3） 式中，导纳G = 1/（Rv1 + Rv2）,uc1和uc2分别表示加在C1和C2上的电压，iL表示流过电感器L的电流，g表示非线性电阻的导纳。上式变形为 系统含有3个状态变量，不含输入向量，称为自治过程，满足产生混沌的条件。 以上方程很难得到具体解的表达式，但可求得其数值解。 为了求得状态方程得数值解，我们可以先取G = a，选取参考点t = 0时测定[uc1  uc2iL]，并根据uc1的值，从图4中查得G。根据式（1），有 ，从而求得当时间变化 时， 的变化值 。同理，可由式（2）和式（3）求得 和 ，再令 ，其算法如下所示： 取 t = 0            ↓  ↓↓ GGG 以所求 为二维空间中的一点作图，可得到相应的相图。以 为三维空间的点作图，可以得到类似图2的状态图。 3．实验电路及实现 有源非线性负阻元件的实现方法有许多种，这里使用的是Kennedy于1993年提出的方法：使用2个运放（双运放TL082）和6个配置电阻来实现的，其电路图如图5所示。由于我们研究的只是元件的外部效应，即其两端电压及流过其电流的关系。因此，在允许的范围内，我们完全可以把它看成一个黑匣子，我们也可以利用电流或电压反位相等技术来实现负阻特性。只要知道它主要是一个负阻电路（元件），能输出电流维持LC2振荡器不断振荡，而非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列现象。 图5 有源非线性负阻电路图 三、 实验目的 1．学习有源非线性电阻的伏安特性。 2．通过研究一个简单的非线性电路，了解混沌现象和产生混沌的原因。 3．学会自己和制作一个实用电感器以及测量非线性器件伏安特性的方法。 四、 实验内容 1．实验现象的观察 （1）用示波器观测LC振荡器产生的波形，及经RC移相后的波形。 （2）用双踪示波器观测上述两个波形组成的相图（李萨如图）。 （3）改变RC移相器中R的阻值，观测相图周期的变化，观测倍周期分岔、阵发混沌、三倍周期、吸引子（混沌）和双吸引子（混沌）等现象,混沌产生的原因。 具体方法如下。 将示波器调至CH1-CH2波形合成挡，调节可变电阻器的阻值，我们可以从示波器上观察到一系列现象。最初仪器刚打开时，电路中有一个短暂的稳态响应现象，这个稳态响应被称作系统的吸引子，这意味着系统的响应部分虽然初始条件各异，但仍会变化到一个稳态，在本实验中对于初始电路中的微小正负扰动，各对应于一个正负的稳态。 当电导G继续平滑增大到达某一值时，我们发现响应部分的电压和电流开始周期性地回到同一个值，产生了振荡。这时，我们就说，我们观察到了一个单周期吸引子，它的频率决定于电感与非线性电阻组成的回路的特性。 再增加电导G时，我们就观察到了一系列非线性的现象。首先，电路中产生了一个不连续的变化：电流和电压的振荡周期变成了原来的两倍，也称分岔。继续增加电导，我们还会发现二周期倍增到四周期，四周期倍增到八周期。如果精度足够，当我们连续地，越来越小地调节时就会发现一系列永无止境的周期倍增，最终在有限的范围内会成为无穷周期的循环，从而显示出混沌吸引的性质。 需要注意的是，对应于前面所述的不同的初始稳态，调节电导G会导致两个不同的但却是确定的混沌吸引子，这两个混沌吸引子是关于零电位对称的。 实验中，我们很容易地观察到倍周期和四倍周期现象。再有一点变化，就会导致一个单漩涡状的混沌吸引子，较明显的是三周期窗口。观察到这些窗口表明了我们得到的是混沌的解，而不是噪声。在调节的最后，我们看到吸引子突然充满了原本两个混沌吸引子所占据的空间，形成了双漩涡混沌吸引子。 在实验中，尤其需要注意的是，由于示波器的扫描频率与要测量的信号频率不成整数倍数，当分别观察每个示波器输入端的波形时，可能无法观察到正确的现象。这样，就需要仔细分析，可以通过使用示波器的不同的扫描频率挡来观察现象，以期得到最佳的图像。 2．测量非线性负阻电路（元件）的伏安特性。 测量的线路如图6所示。图中，伏特表用来测量非线性元件两端的电压，安培计用来测量流过非线性元件的电流。由于非线性电阻是有源的，因此，回路中始终有电流。本实验中G使用47kΩ精密可调电阻器，其作用只是改变非线性元件的对外输出。如果使用电阻箱，可以得到很精确的电阻，尤其可以对电阻值作微小的调整，进而微小的改变输出，缺点是电阻值变化不连续，但并不影响测量。 图6  伏安特性测量线路图 实验中，电感的选择对结果的影响也很大，不适当的电感对波形甚至对结果都会产生极大影响，电感越大，使振荡周期过长；电流过小，则电流响应过快，无法形成振荡。实验发现，在一定范围内，电感L与振荡频率f成正比，与振幅成正比。 五、数据处理： 1．计算电感L 1) 相位法。根据RLC谐振规律，当输入激励的频率 时，RLC串联电路将达到谐振，L和C的电压反相，在示波器上显示的是一条过二四象限的45度斜线。 测量得：f=30.6kHz；实验仪器标示：C=1.095nF 由此可得： 估算不确定度： 估计u(C)=0.005nF，u(f)=0.1kHz 则： 即    最终结果： 2）振幅法。测量得：f=30.8kHz；实验仪器标示：C=1.095nF 由此可得： 估算不确定度： 估计u(C)=0.005nF，u(f)=0.1kHz 则： 即    最终结果： 2．用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理： （1）原始数据： R(Ω) U(V) R(Ω) U(V) R(Ω) U(V) 46000 -12.000 2048.3 -8.000 1759.4 -4.000 17700 -11.800 2039.7 -7.800 1733.5 -3.800 10800 -11.600 2030.8 -7.600 1705.8 -3.600 7670 -11.400 2021.4 -7.400 1675.8 -3.400 5889 -11.200 2011.7 -7.200 1643.3 -3.200 4739 -11.000 2001.3 -7.000 1608 -3.000 3933 -10.800 1990.6 -6.800 1569.3 -2.800 3339 -10.600 1979.3 -6.600 1526.6 -2.600 2880 -10.400 1967.5 -6.400 1479.4 -2.400 2520 -10.200 1955.1 -6.200 1427 -2.200 2232 -10.000 1942 -6.000 1368 -2.000 2112 -9.800 1928.2 -5.800 1302.1 -1.800 2105.9 -9.600 1913.6 -5.600 1288.5 -1.600 2099.6 -9.400 1908.2 -5.400 1284.8 -1.400 2093.1 -9.200 1882 -5.200 1279.9 -1.200 2086.4 -9.000 1864.5 -5.000 1273.2 -1.000 2079.3 -8.800 1846.1 -4.800 1263.2 -0.800 2072 -8.600 1826.5 -4.600 1246.9 -0.600 2064.4 -8.400 1805.6 -4.400 1215.5 -0.400 2056.6 -8.200 1783.4 -4.200 1128.7 -0.200             （2）数据处理： 根据 可以得出流过电阻箱的电流，由回路KCL方程和KVL方程可知： 由此可得对应的 值。 对非线性负阻R1，将实验测得的每个（I，U）实验点均标注在坐标平面上，可得： 图中可以发现，（0.004640152，-9.800）和（0.001382382，-1.800）两个实验点是折线的拐点。故我们在 、 、 这三个区间分别使用线性回归的方法来求相应的I-U曲线。 使用Excel的相关函数可以求出这三段的线性回归方程： 经计算可得，三段线性回归的相关系数均非常接近1，证明在区间内I-V线性符合得较好。 应用相关作图软件可以得出非线性负阻在U<0区间的I-U曲线。 将曲线关于原点对称可得到非线性负阻在U>0区间的I-U曲线： 3．观察混沌现象： （1）一倍周期： 一倍周期                            Vc1-t （2）两倍周期： 两倍周期                            Vc1-t （3）四倍周期： 四倍周期                        Vc1-t （4）单吸引子： 单吸引子                        阵发混沌 三倍周期                        Vc1-t (5)双吸引子： 双吸引子                        Vc1-t 六、 思考题 1．什么叫相图？为什么要用相图来研究混沌现象？本实验中的相图是怎么获得的？ 答：将电路方程x=V1(t)和y=V2(t)消去时间变量t而得到的空间曲线，在非线性理论中这种曲线称为相图。 在非线性理论中，我们会看到使用运动状态之间的关系，更有利于揭示事物的本质，它突出了电路系统运动的全局概念。 在本实验中，示波器CH1端接Vc1电压，CH2端接Vc2电压，这样就能获得Vc1-Vc2相图。 2．什么叫倍周期分岔，表现在相图上有什么特点？ 答：系统在改变某些参数后，运动周期变为原先的两倍，即系统需要两倍于原先的时间才能恢复原状。这在非线性理论中称为倍周期分岔。 倍周期分岔在相图上表现为原先的一个椭圆变为两个分岔的椭圆，运动轨线从其中的一个椭圆跑到另一个椭圆，再在重叠处又跑到原来的椭圆上。 3．什么叫混沌？表现在相图上有什么特点？ 答：混沌大体包含以下一些主要内容： （1） 系统进行着貌似无归律的运动，但决定其运动规律的基础动力学却是决定论的；