[教学]免费下载 高考数学解析几何综合题解题思路案例分析[1]

[教学]免费下载 高考数学解析几何综合题解题思路案例[1] 高考数学填空题常胜技巧 数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为:完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求 数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。 一、直接法 这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。 例1设其中i，j为互相垂直的单位向量，又，则实数m = 。a,(m，1)i,3i,b,i，(m,1)j,(a，b),(a,b) 解:?，??a，b,(m，2)i，(m,4)j,a,b,mi,(m，2)j.(a，b),(a,b)(a，b),(a,b),0 222，而i，j为互相垂直的单位向量，故可得m(m，2)j，[,(m，2)，m(m,4)]i,j,(m，2)(m,4)j,0 m,,2?。 m(m，2),(m，2)(m,4),0, ax，1f(x),例2已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 。 (,2,，,)x，2 ax，11,2a1,2a11,2a,0f(x),,a，g(x),解:，由复合函数的增减性可知，在上为增函数，?，?a,。(,2,，,)x，2x，2x，22 例3现时盛行的足球彩票，其规则如下:全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果:胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为 。 解:由题设，此人猜中某 11，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为。一场的概率为1333 二、特殊化法 当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。 cosA，cosC,例4 在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则 1，cosAcosC 33cosA,,cosC,0解:特殊化:令，则?ABC为直角三角形，，从而所求值为。a,3,b,4,c,555 2例5 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则y,ax(a,0) 11 。 分析:此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q，当k变化时PF、，,pq FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息:尽管PF、FQ不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位 11y,(0,),置进行求解，而不失一般性。 解:设k = 0，因抛物线焦点坐标为把直线方程代入4a4a 1111|PF|,|FQ|,x,抛物线方程得，?，从而，,4a。 2a2apq 22,2,例6 求值 。 cosa，cos(a，120)，cos(a，240), 3,a,0分析:题目中“求值”二字提供了这样信息:答案为一定值，于是不妨令，得结果为。2 三、数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。 2例7 如果不等式A,{x|0,x,2}的解集为A，且，那么实数a的取值范围是 。4x,x,(a,1)x 2y,(a,1)x解:根据不等式解集的几何意义，作函数和函数的图象(如图)，从图上容易得出实数a的取y,4x,x 1,sin(，arctan),,，a,2,，,值范围是。 例8 求值 。 32 13111,1,sin(，arctan),arctancos(arctan)，sin(arctan)解:，构造如图所示的直角三角形，则其中的角即为，2322222 5，2151211从而 所以可得结果为。 cos(arctan),,sin(arctan),.102255 y22例9 已知实数x、y满足，则的最大值是 。 (x,3)，y,3x,1 y22解:可看作是过点P(x，y)与M(1，0)的直线的斜率，其中点P的圆上，如图，当直线处于图中(x,3)，y,3x,1 y切线位置时，斜率最大，最大值为。 tan,,3x,1 四、等价转化法 通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。 3例10 不等式的解集为(4，b)，则a= ，b= 。 解:设x,t，则原不等式可转x,ax，2 31322化为:?a > 0，且2与是方程的两根，由此可得:。at,t，,0,at,t，,0a,,b,36b(b,4)228 222例11 不论k为何实数，直线与曲线恒有交点，则实数a的取值范围是 y,kx，1x，y,2ax，a,2a,4,0 22,1,a,3解:题设条件等价于点(0，1)在圆内或圆上，或等价于点(0，1)到圆，?。(x,a)，y,2a，4 12例12 函数x,[,3],y,0.单调递减区间为 解:易知?y与y有相同的单调区间，而y,4x,1，23,x4 1322[,3]，?可得结果为。总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填 y,11，4,4x，13x,38 空题的关键。 ,1五、练习 1 已知函数，则 ，，f3,_______.，，fx,x，1 ,1,13,x，1讲解 由，得，应填4. 请思考为什么不必求呢, ，，，，f3,x,4fx,,1,,M,x,,,,x,N1log10,2( 集合的真子集的个数是______. ,,12,,x,, 90,,,,M,x1,lgx,2,x,N,x10,x,100,x,N讲解 ，显然集合M中有90个元素，其真子集的个数是2,1，应 2902,1.2,1填. 快速解答此题需要记住小结论;对于含有n个元素的有限集合,其真子集的个数是 2x,13( 若函数的图象关于直线对称，则 ，，b,_____.,,y,x，a,2x，3,x,a,b a，2a，ba,,4b,6x,,,1讲解 由已知抛物线的对称轴为,得 ，而，有，故应填6. 22 2x111,,,,,,fx,，，4( 果函数，那么 ，，，，，，，，f1，f2，f，f3，f，f4，f,_____.,,,,,,21，x234,,,,,, 771,,，，.f1，3,讲解 容易发现，这就是我们找出的有用的规律，于是 原式,，应填，，ft，f,1,,22t,, 1，，, 本题是2002年全国高考题，十分有趣的是，2003年上海春考题中也有一道类似题:设fx，利用课本x2，2 ，，，，，，，，，，f,5，f,4，,,,，f0，,,,，f5，f6,______.中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得 ____，，,tan,,cos,5( 已知点P在第三象限，则角的终边在第象限. ,,tan,0,sin,0,,,,,讲解 由已知得 从而角的终边在第二象限，故应填二. ,,cos,,0,cos,,0,,, 2cosx__________，，x,0,,6( 不等式lg20,1()的解集为讲解 注意到，于是原不等式可变形为 ，，lg20,1 ,,,,2cosx,0,cosx,0.0,x,,0,x,x0,x,，x,R. 而，所以，故应填,,22,, ,x,,a,_____.y,sin2x，acos2x7( 如果函数的图象关于直线对称，那么 8 ,,,,,2讲解 ，其中. 是已知函数的对称轴，，x,,tan,,a2？,，,k，？，，y,1，asin2，,,,,,882,, 3,3,,,即 ， 于是,,,故应填 . ,k，，k,Z,1,,a,tan,tank，,,1.,,,,44,, 在解题的过程中，我们用到如下小结论: 函数和的图象关于过最值点且垂直于x轴的直线分别成轴对称图形.，，，，y,Asin,x，,y,Acos,x，, ,3,,,,8( 设复数在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向z,2sin，cos,,OZOZ,,,,,111442,, 量，对应的复数为，则 tan,,____.，，z,rcos,，isin,OZOZ222 233,,,,讲解 应用复数乘法的几何意义，得,,, ，，，，，,,,,2sin,,cos,，2sin,，cos,iz,zcos,isin,,21244,, ,,,,2sin,cos2tan，12tan，1,于是 tan,,， 故应填 . ,,,,2tan,12sin，cos2tan,1 20052005,,,,xy22,,,,， 9(设非零复数满足 ，则代数式 的值是____________.x,yx，xy，y,0,,,,x，yx，y,,,, 2,,,,xxx13,,,,，，1,1 讲解 将已知方程变形为,,,， 解这个一元二次方程，得,,,,,,i,,.,,,,yyy22,,,, 2005,,11322005,3，668，1,,1,1，,,,,显然有, 而,于是 原式,，, ，，，，，1，,1，,，，，，,,,,,1，,1.,在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值得重视.2,, nan,_____.10( 已知,,是公差不为零的等差数列，如果是,,的前n项和，那么 aSannnlimSn,,n 2nan22nn，1，，nS,,,,2. 讲解 特别取a,n，有，于是有 故应填2.nnlimlimlim1Snn，，2，1n,,n,,n,,n1，n 1,，，，n是奇数n,5a,S,________.,,11( 列aS,a，a，,,,，a中， , 则,nn22n122nnlim2n,,,,，(n是偶数)n5, 21,12155，，，，？S,a，a，,,,，a，a，a，,,,，a，讲解 分类求和，得 ，故应填(？2n132n,1242nS,，,2nlim8118n,,11,,2255 n2，，，，2〉2n，1n,3;2，4，6，,,,，2n,n，n，2n,1;12( 以下四个命题:?? nn,2，，，，，，，，fn,n,1,n,3;，，，，fn,n,4.?凸n边形内角和为 ?凸n边形对角线的条数是2 ，，n,kk,N,k,kn,nn其中满足“假设时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当(是题中给定的n000 的初始值)时命题成立”的命题序号是,,,,,,,,, . 322,2，3，12,1，1，2讲解 ?当n=3时，，不等式成立; ?当n=1时，，但假设n=k时等式成立，则 22,,, ; ，，，，，，，，2，4，6，,,,，2k，1,k，k，2，2k，1,k，1，k，1，2 ，，，，，，，，，，，，，，,,f3,3,1,fk,k,1,fk，1,fk，,,k，1,1,;? ，但假设成立，则 44,2k，1k，1,2kk,2,,，，，，，，，，f，，4,f，，k,，，，，，，fk，1,fk，k,3,.? ，假设成立，则 故应填??.222 13(某商场开展促销活动，一种对奖券，号码从000000到999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面(即中奖号码占全部号码的百分比)为,,,,,,,,, . 33讲解 中奖号码的排列方法是: 奇位数字上排不同的奇数有种方法，偶位数字上排偶数的方法有，从而中奖号码共5P5 33P，53350.75%.有种，于是中奖面为 故应填 ，100%,0.75%,P，551000000 73214( 的展开式中的系数是 x__________.，，，，x，1x,2 7777322x，，，，，，，，，，x，1x,2,xx,2，x,2x,2讲解 由知，所求系数应为的x项的系数与项的系数的和，即有 6464，，，，C,2，C,2,1008，77 ,,, 故应填1008. 15( 过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是________. 22222讲解 长方体的对角线就是外接球的直径, 即有 2R，，2R,4R,3，4，5,50, 250,.从而，故应填 S,4,R,50,球 16( 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是,,,,,,,,, (只需写出一个可能的值)( 讲解 本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是:每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定,1，1，2,，从而得出,1，1，1,，,1，2，2,，,2，2，2,三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体， 141411111111最后计算出这三个四面体的体积分别为: , ,，故应填.、 、 中的一个即可.6121261212 17( 如右图，E、F分别是正方体的面ADDA、面BCCB的中心，则四边形BFDE在该正方体的面上的射影可能是,,,,,,.11111 (要求:把可能的图的序号都填上) DC1 1 A1 B1 E F D C A 24B 1? 3? ? ? 讲解 因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFDE在该正方体的面上的射影可分为:上下、左右、前后三个方向的射影，1 2也就是在面ABCD、面ABBA、面ADDA上的射影. 四边形BFDE在面ABCD和面ABBA上的射影相同，如图?所示;1111111 323四边形BFDE在该正方体对角面的ABCD内，它在面ADDA上的射影显然是一条线段，如图?所示. 故应填??.11111 218 直线被抛物线截得线段的中点坐标是___________. y,x,1y,4x y,x,1,,2讲解 由消去y，化简得 x,6x，1,0,,2y,4x, x，x12x,,3，0，，设此方程二根为x，y，所截线段的中点坐标为，则 , 故 应填 ，，.x，x3,220012 y,x,1,2.00 22xy，,1 19 椭圆上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是_____________________.925 2,,PF，PF12,,PF，PF,2a,10,讲解 记椭圆的二焦点为F，F，有 则知m,PF,PF,,25.121212,,2,, PF,PF,5，，，，,3,03,0. 显然当，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25. 故应填或12 2x，，y,0,y,20 20 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是，在杯内放一个玻璃球，要使球触2 及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是___________. 讲解 依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为 222,，，xyrr，,,，,22222，，y,21,r.y,0 由 消去x，得 ，， (*)解出 或 要y，21,ry,0，，x，y,r,r.x,y,，,2, r,1.r,00,r,1.，，2r,1,0,y,0使(*)式有且只有一个实数根，只要且只需要即 再结合半径，故应填 数学 怎样解填空题 【考点梳理】 一、题型特点 填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点:其形态短小精悍，考查目标集中，答案简短、明确、具体，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确等等。 不过填空题和选择题也有质的区别。首先，表现为填空题没有备选项。因此，解答时既有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足，对考生独立思考和求解，在能力要求上会高一些，长期以来，填空题的答对率一直低于选择题的答对率，也许这就是一个重要的原因。其次，填空题的结构，往往是在一个正确的命题或断言中，抽去其中的一些内容(既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活。在对题目的阅读理解上，较之选择题，有时会显得较为费劲。当然并非常常如此，这将取决于命题者对试题的设计意图。 填空题与解答题比较，同属提供型的试题，但也有本质的区别。首先，解答题应答时，考生不仅要提供出最后的结论，还得写出或说出解答过程的主要步骤，提供合理、合法的说明。填空题则无此要求，只要填写结果，省略过程，而且所填结果应力求简练、概括和准确。其次，试题内涵，解答题比起填空题要丰富得多。填空题的考点少，目标集中，否则，试题的区分度差，其考试信度和效度都难以得到保证。这是因为:填空题要是考点多，解答过程长，影响结论的因素多，那么对于答错的考生便难以知道其出错的真正原因。有的可能是一窍不通，入手就错了，有的可能只是到了最后一步才出错，但他们在答卷上表现出来的情况一样，得相同的成绩，尽管它们的水平存在很大的差异。对于解答题，则不会出现这个情况，这是因为解答题成绩的评定不仅看最后的结论，还要看其推演和论证过程，分情况评定分数，用以反映其差别，因而解答题命题的自由度，较之填空题大得多。由此可见，填空题这种题型介于选择题与解答题这两种题型之间，而且确实是一种独立的题型，有其固有的特点。 二、考查功能 1(填空题的考查功能大体上与选择题的考查功能相当。 同选择题一样，要真正发挥好填空题的考查功能，同样要群体效应。但是，由于填空题的应答速度难以追上选择题的应答速度，因此在题量的使用上，难免又要受到制约。从这一点看，一组好的填空题虽然也能在较大的范围内考查基础知识、基本技能和基本思想方法，但在范围的大小和测试的准确性方面填空题的功能要弱于选择题。不过，在考查的深入程度方面，填空题要优于选择题。作为数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断，几乎没有间接方法可言，更是无从猜答，懂就是懂，不懂就是不懂，难有虚假，因而考查的深刻性往往优于选择题。但与解答题相比其考查的深度还是差得多。就计算和推理来说，填空题始终都是控制在低层次上的。 2(填空题的另一个考查功能，就是有效地考查阅读能力、观察和分析能力。在高考数学考试中，由于受到考试时间和试卷篇幅的限制，在权衡各种题型的利弊和考查功能的互补时，填空题由于其特点和功能的限制，往往被放在较轻的位置上，题量不多。 三、思想方法 同选择题一样，填空题也属小题，其解题的基本原则是“小题不能大做”。解题的基本策略是:巧做。解题的基本方法一般有:直接求解法，图像法和特殊化法(特殊值法，特殊函数法，特殊角法，特殊数列法，图形特殊位置法，特殊点法，特殊方程法，特殊模型法)等。 【例题解析】 一、直接求解法——直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的方法，称之为直接求解法。它是解填空题的常用的基本方法。使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。 例1 已知数列{a}、{b}都是等差数列，a=0、b= -4，用S、S′、分别表nn11kk示数列{a}、{b}的前k项和(k是正整数)，若S+S′ =0，则a+b的值为 。 nnkkkk ka，aka，akb，b()()()1k1k1k解 法一 直接应用等差数列求和公式S=，得+=0，又a+b= -4, ?a+b=4。k11kk222 法二 由题意可取k=2(注意:k?1，为什么,)，于是有a+a+b+b=0，因而a+b=4,即a+b=4。 121222kk 例2 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛。3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7 名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种(用数字作答)。 3232解 三名主力队员的排法有种，其余7名队员选2名安排在第二、四位置上有种排法，故共有排法数AA=252种。AA3737 例3 如图14-1，E、F分别为正方体的面ADDA、面BCCB的中心，则四边形BFDE在该正方体的面上的射影可11111 能是 (要求:把可能的图的序号都填上)。 解 正方体共有3 组对面，分别考察如下:(1)四边形BFDE在左右一组面上的射影是图?。因为B点、F点在面AD上11的射影分别是A点、E点。(2)四边形BFDE在上下及前后两组面上的射影是图?。因为D点、E点、F点在面AC上的11 射影分别是D点、AD的中点、BC的中点;B点、E点、F点在面DC上的射影分别是C点、DD的中点、CC的中点。故111本题答案为??。 例4已知抛物线的焦点坐标为F(2,1)，准线方程为2x+y=0，则其顶点坐标为 解 过焦点F(2,1)作准线的垂线段，由解几 11知识可得抛物线顶点为垂线段的中点。又由于准线的斜率k= -2,k=，?O为垂足，从而易得OF的中点，即顶点为(1, )。OF22 例5 老师给出一个函数y=f(x)，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质: 甲:对于x?R，都有f(1+x)=f(1-x) 乙:在 (-?,0上函数递减 丙:在(0,+?)上函数递增 丁:f(0)不是函数的最小值] 如果其中恰有三人说得正确，请写出一个这样的函数 解 由题意知，以甲、乙、丙、丁四个条件中任意2三个为一组条件，写出符合条件的一个函数即可。例如同时具备条件甲、乙、丁的一个函数为y=(x-1)。 11例6 若-=1，则sin2θ的值等于 。 cos,sin, 112解 由-=1得sinθ-cosθ=sinθcosθ ? 令sin2θ=t，则?式两边平方整理得t+4t-4=0，解之得t=2-2。2cos,sin, z,i1例7 已知z=3+4i,z= -2-5i,则arg()= 。 12z，z12 z,iz,iz,i,111解 将z=3+4i,z= -2-5i代入整理得=3i，故arg()=。122z，zz，zz，z121212 2nx例8 若(+)展开式中的第5项为常数，则n= 。 x n,3r2rn-rrrr2x解 由T=C()()=C2x及题意可知，当r=4时，n-3r=0，?n=12。r+1nnx 二、图像法——借助图形的直观形，通过数形结合，迅速作出判断的方法称为图像法。文氏图、三角函数线、函数的图像及 2方程的曲线等，都是常用的图形。例9 若关于x的方程=k(x-2)有两个不等实根，则实数k的取值范围是 1,x 332解 令y=,y=k(x-2),由图14-3可知k5)。本题实质上可转化为考察所给直线与双曲线的右支有无交916 点的问题，结合图形判断，易得??直线与双曲线的右支有交点。 ,,,，x2cos,y例11 点P(x,y)是曲线C:(θ为参数，0?θ<π)上任意一点，则的取值范围是,xy,sin,, y 22 。 解 曲线C的普通方程为(x+2) +y=1(y?0)，则可视为P点与原点O连线的斜率，结合图形x3 y14-4判断易得的取值范围是[-，0]。 x3 三、特殊化法——当填空题的结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特 殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替之，即可得到结论。 1.特殊值法 例12 设a>b>1，则logb,loga,logb的大小关系是 。 abab 11解 考虑到三个数的大小关系是确定的，不妨令a=4,b=2，则logb=,loga=2,logb=, ?logb0)的焦点，并且与x轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a= 222 。 解 ?抛物线y=a(x+1)与抛物线y=ax具有相同的垂直于对称轴的焦点弦长，故可用标准方程y=ax替2换一般方程y=a(x+1)求解，而a值不变。由通径长公式得a=4。 8(特殊模型法 例19 已知m,n是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题: ?若α?γ，β?γ，则α?β; ?若n?α，n?β，则α?β; ?若α内不共线的三点到β的距离都相等，则α?β; ?若nα，mα，且n?β,m?β，则α?β; ?若m,n为异面直线，n?α，n?β，m?β,m?α,则α?β; 则其中正确的命题是 。(把你认为正确的命题序号都填上) 解 依题意可构造正方体AC，如图14-5，在正方体中逐一判断各命题易得正确命题的是??。1 四、构造法——在解题时有时需要根据题目的具体情况，来设计新的 模式解题，这种设计工作，通常称之为构造模式解法，简称构造法。 例20 如图14-6，点P在正方形ABCD所在的平面外，PD?ABCD， PD=AD，则PA与BD所成角的度数为 解 根据题意可将上图补形成一正方体，在正方体中易求得为60?。 解析几何综合题解题思路案例分析 解析几何综合题是高考命题的热点内容之一. 这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，考生在解答时，常常表现为无从下手，或者半途而废。据此笔者认为:解决这一类问题的关键在于:通观全局，局部入手，整体思维. 即在掌握通性通法的同时，不应只形成一个一个的解题套路，解题时不加分析，跟着感觉走，做到那儿算那儿. 而应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道运算难关. 22yxlk0,k,1C:,,11 判别式----解题时时显神功 案例1 已知双曲线，直线过点，斜率为，当，，A2,022 lk2时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标。 分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从 l“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到:过点B作与平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式 ,,0是所构造方程的判别式. 由此出发，可设计如下解题思路: ，，l:y,k(x,2)0,k,1 2 直线l’在l的上方且到直线l的距离为 2l':y,kx，2k，2,2k ,,0 把直线l’的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式 解得k的值 解题过程略. l分析2:如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”，2相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路: 问题 2 kx,2，x,2k 有唯一解 关于x的方程，，,20,k,12k，1 转化为一元二次方程根的问题 求解 2l简解:设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为: M(x,2，x) 2kx,2，x,2k 于是，问题即可转化为如上关于的方程.,2，，，，0,k,1,x2k，1 2222，x,x,kx0,k,1由于，所以，从而有 kx,2，x,2k,,kx，2，x，2k. 2,2222，x,(2(k，1),2k，kx),，，,22,kx，2，x，2k,2(k，1)于是关于的方程 ，，x,,,,2,kkkx2(，1),2，,0, 2,2222k,1x，2k2(k，1),2kx，2(k，1),2k,2,0,，，，，，，,0,k,1 由可知: ,,2,kkkx2(，1),2，,0., 2222222(k，1),2k，kx,0，，，，，，k,1x，2k2(k，1),2kx，2(k，1),2k,2,0 方程的二根同正，故恒 22222，，，，，，k,1x，2k2(k，1),2kx，2(k，1),2k,2,0成立，于是等价于 . ，，, 25,,0 由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得 . xk,5 点评:上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性. 222 判别式与韦达定理-----二者联用显奇效 案例2 已知椭圆C:和点P(4，1)，过P作直线交椭圆于A、xy，,28 APAQB两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程. ,, PBQB分析:这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的. kkx,y由于点的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率作为参数，如何将与联系起来,Q(x,y) APAQ一方面利用点Q在直线AB上;另一方面就是运用题目条件:来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到,, PBQB4(x，x),2xxABABkx,x，要建立与的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.8,(x，x)AB 通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数. APAQ,, PBQB 4(x，x),2xxABAB x,8,(x，x)AB 在得到之后，如果能够从整体上把握，认识到:所谓消参，目的不过是得到关于的方程(不含k)，则可由x,y，，x,fk y,1k,解得，直接代入即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。 ，，x,fky,k(x,4)，1x,4 4(x，x),2xx4,xx,xAPAQ121211简解:设，则由可得:，解得:(1)x,,，，,,Ax,y,B(x，y),Q(x,y)1122x,4x,x8,(x，x)PBQB2212 设直线AB的方程为:，代入椭圆C的方程，消去得出关于 x的一元二次方程: yy,k(x,4)，1 4k(4k,1),x，x,,122,222,2k，1 (2) ? ，，2k，1x，4k(1,4k)x，2(1,4k),8,0,22(1,4k),8,xx,.122,2k，1, 4k，3kx,.代入(1)，化简得: (3) 与联立，消去得:，，2x，y,4(x,4),0.y,k(x,4)，1k，2 2,102，1016,21016，2102,,,64k，64k，24,0,k,在(2)中，由，解得 ，结合(3)可求得 ,x,.4499 16,21016，210,x,故知点Q的轨迹方程为: (). 点评:由方程组实施消元，产生一个标2x，y,4,099 准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点 在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道. 3 求根公式-----呼之欲出亦显灵 22xyAP，,1l案例3 设直线过点P(0，3)，和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.94PB APxA,分析:本题中，绝大多数同学不难得到:=，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事PBxB 实上，所谓求取值范围，不外乎两条路:其一是构造所求变量关于某个(或某几个)参数的函数关系式(或方程)，这只需利 用对应的思想实施;其二则是构造关于所求量的一个不等关系. APxA,分析1: 从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量x,x，同时这两个变量的范围不好控ABPBxB 制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将x,x转化为关于k的表达式，到此为止，将AB直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出. 把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y 得到关于x的一元二次方程 求根公式 x= f(k)，x= g(k) AB AP/PB = —(x/ x) A B 得到所求量关于k的函数关系式 由判别式得出k的取值范围 AP1lll简解1:当直线垂直于x轴时，可求得; 当与x轴不垂直时，设，直线的方,,，，Ax,y,B(x，y)1122PB5 2,k,k,2769522程为:，代入椭圆方程，消去得 解得 x,y.y,kx，3，，9k，4x，54kx，45,01,22k，94 2,27k，69k,5k,0k,0因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.当时，，x,129k，4 22x18k,9k，29k,518,27k,69k,5AP11,1,， 所以 ===.由 x,,,2222PBx9k，459k，29k,59k，29k,529，29,2k 181AP1522211,,,,,,1,,,, 解得 k,， 所以 ， 综上 .,,(,54k),180，，9k，4,09PB555929，,2k 分析2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到:判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很 kk快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题 xAP1,,无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，x,x12PBx2 即我们可以构造关于的对称关系式. x,x12 把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y 得到关于x的一元二次方程 韦达定理 x+ x= f(k)，x x= g(k) AB AB AP/PB = —(x/ x) A B 构造所求量与k的关系式 由判别式得出k的取值范围 关于所求量的不等式 22ly简解2:设直线的方程为:，代入椭圆方程，消去得 (*)y,kx，3，，9k，4x，54kx，45,0 k,54,x，x,,2122,xk13245,219k，4,，，,k,2.,,则 令，则， 在(*)中，由判别式可得 ，,,0,,29,xk，4520452,xx,.122,9k，4, 232436k1361,44,，，2,,,,5,,从而有 ， 所以 ， 解得 . 2,5554520k， AP110,,,1,1,,,,,,1结合得. 综上，. PB55 点评:范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法. 解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里. 立体几何解题如何添加辅助线 有人说，解立体几何题“得辅助线者得天下”。此话说得虽有点过头，但学会添加辅助线确实是我们快捷解题的关键。那么， 辅助线该如何添加呢,这里我先介绍一段口诀:“有了中点配中点，两点相连中位线;等腰三角形出现，顶底中点相连线;有了垂面作垂线，水到渠成理当然。”然后结合口诀分析几个例子，供同学们参考。 A、B,,,C、D,l,例1 如图1，在二面角中，ABCD是矩形，且，M、N依次是AB、PC,,l,,P,,,PA,,,PA,AD的中点。证明:MN是异面直线AB和PC的公垂线。 分析:要证明此题，必须添加适当的辅助线。根据题设条件中的N点是PC的中点，则可考虑利用“有了中点配中点，两点相连中位线”的辅助线的做法。 1证明:选取PD的中点Q，连接QN、QA，则QN是?PDC的中位线，且QN,DC.2 1因为ABCD是矩形，M是AB的中点，所以AM?DC，且，所以AM,DC2 PA,,,QN//AM，所以四边形AMNQ为平行四边形，所以AQ?MN。由易证AB,AB,AD, ?平面PAD，CD?平面PAD，所以AB?AQ，所以AB?MN，所以AQ?PD。又CD?AQ，所以AQ?平面PCD，即AQ?平面，所以AQ?PC，故而，MN?PC，所以MN是异面直线AB和PC的公垂线。 , 例2 如图2，在三棱锥A,BCD中，若?BAC,?CAD,?DAB,60?，AC,AD，求证:AB?CD。 分析:题设条件中出现了“AC,AD”，即?ACD为等腰三角形，则可考虑利用“等腰三角形出现，作底边的中点”来添加辅助线。 证明:取DC中点E，连接AE、BE。则AE ?CD易证?BAC??BAD，所以BC,BD，所以BE?CD，所 以CD?平面BAE，所以CD?AB。 例3 如图3，底面是等腰直角三角形的直棱柱 , D是的中点。(1)CCABC,ABC,，ACB,,AA,AC,111112 求证:平面?平面;(2)求二面角的ABDABBB,BD,A111 大小。 分析:(1)要证明平面?平面，则应转化为线ABDABB11 面垂直，即在其中一个平面内找一条直线垂直于另一个平面。 注意到题设中直棱柱的底面是等腰三角形，因而可考虑利用“等 腰三角形出现，作底边的中点”来添加适当的辅助线。(2)要 求二面角的大小，应考虑作出二面角的平面角，要作二面角的平面角，注意到(1)所证结果中出现了两平面垂直，所以可考虑利用“有了垂面作垂线，然后利用三垂线”的作辅助线的办法，作出其中一个平面的垂线以后，利用三垂线定理来作二面角的平面角(本题请同学们结合图中已添加的辅助线自己完成，第2小题的答案是二面角的大小为B,BD,A1 30arcsin。) 6 高考三角函数解题思路 一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式 一步到位转换到区间(-90º，90º)的公式. kk,,,1.sin(kπ+α)=(-1)sinα(k?Z);2. cos(kπ+α)=(-1)cosα(k?Z); kk,,,3. tan(kπ+α)=(-1)tanα(k?Z);4. cot(kπ+α)=(-1)cotα(k?Z). 二、见“sinα?cosα”问题，运用三角“八卦图” 1.sinα+cosα>0(或<0)α的终边在直线y+x=0的上方(或下方); 2. sinα-cosα>0(或<0)α的终边在直线y-x=0的上方(或下方); 3.|sinα|>|cosα|α的终边在?、?的区域内; ,,,4.|sinα|<|cosα|α的终边在?、?区域内. 三、见“知1求5”问题 造Rt?，用勾股定理，熟记常用勾股数(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，仍然注意“符号看象限”。 四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。 五、“见齐思弦”=>“化弦为一”: 22 已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sinα+cosα. 六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式: 22221.sin(α+β)sin(α-β)=sinα-sinβ; 2.cos(α+β)cos(α-β)= cosα-sinβ. 2七、见“sinα?cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则: (sinα?cosα)=1?2sinαcosα=1?sin2α 22故1.若sinα+cosα=t,(且t?2),则2sinαcosα=t-1=sin2α; 22 2.若sinα-cosα=t,(且t?2),则2sinαcosα=1-t=sin2α. 八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式: tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考:tanα-tanβ=,,, 九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系:(A?0) ,,,1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称; ,,,2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称; ,,,3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。 十、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式: 222222221.|sinx|?1,|cosx|?1;2.(asinx+bcosx)=(a+b)sin2(x+φ)?(a+b); 3.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a+b?c. 十一、见“高次”，用降幂，见“复角”，用转化. 22,,,1.cos2x=1-2sinx=2cosx-1. 2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等.