反例在高等代数中的应用

反例在高等代数中的应用 反例在《高等代数》中的应用 摘要:《高等代数》是数学系的一门基础课程，其内容比较抽象，概念定理较多，学生在《高等代数》的学习中常常感到无法在现实生活中印证高等代数知识，导致无法运用高等代数的思维方式进行思考，在很大程度上降低了学习效率。经过本人一年来对《高等代数》课程的学习，接触并了解到了不少著名的定理和命，在学习的过程中，本人也发现，正面理解这些定理和命题往往存在 反例即是与正命题相矛盾的特例，在《高等代数》的学习中如能恰着很多困难， 当的运用反例，便能帮助学生正确的理解概念和定理，同时在很大程度上也减小了命题的难度，使学生从模糊思维中豁然开朗，达到事半功倍之效。文本把《高等代数》中的多项式、矩阵、二次型、线形空间、线线性变换等多个分支，根据命题条件的不同，分为了“命题中的关键字”，“对一般命题的特殊化”，“命题的反例”和“变换命题的条件”四个部分，多角度，列举多方面实例，阐明反例在《高等代数》中的具体应用及作用。在了解了反例的同时，也加深了对定理的理解，有力地培养了学生的数学思维，同时也起到了巩固所学知识的效果。 关键字:反例 高等代数 多项式 矩阵 命题 应用 1.引言 概念是思维的细胞，它是其他逻辑思维形式的直接或间接的组成部分。代数学的概念是代数学的研究对象。它具有高度的抽象性，逻辑的严谨性和应用的广泛性。在现代高等代数系统中，定理公式相对完备，条件非常严密，每一个公式或定理的条件都是缺一不可的。有的同学在学习的过程中，往往忽视其中一个看起来不重要的条件，最终导致结论的错误。对于《高等代数》的命题来说，给出证明和构造反例同样重要。反例是对命题十分简明的否定，同时又是对命题极有说服力的肯定，它往往能起到正面的例子难以起到的作用，恰当的列举反例能帮助学生正确的理解和掌握数学概念及定理内容，恰当的运用反例能减小命题证明的难度，并有较直观的说服力以下是对《高等代数》中反例的一点研究。 2(正文 2.1命题中的关键字 - 1 - 关键字，即一句话或一段文字中必不可少的词句。在一个命题中总是会存在几个重要的关键字，有些同学或是粗心大意，或是对定理的理解不够透彻，在学习的过程中往往会忽视这些重要的关键字。反例，能充分显示在某些定理中某些条件是必不可少的，适当的给出错误命题的反例，便会让同学们对关键字的重要性有更深刻的认识。 命题1:如果是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式，，p(x)f(x)g(x)由，一定能推出或者。 p(x)f(x)g(x)p(x)f(x)p(x)g(x) 注:命题中必需为“不可约多项式”的条件必不可少。 2p(x),(x，1)例:，，， f(x),x，1g(x),x，1p(x)f(x)g(x) 但，，与命题矛盾。 p(x)f(x)p(x)g(x) ,,:对于实系数多项式，如果命题2是实系数多项式f(x)的复根，那么的共轭数也是f(x)的根。 , 注:命题中“实系数”是必不可少的。 2例:已知方程有一根，求另一根及值。 x，4x，k,02ik 错解:因是原方程的一个根，由虚根成对定理，是另一根，由韦达理2i,2i 2，，k,2i，,2i,4定得，即原方程，显然都不是它的根。 x，4x，4,0,2i 由此说明，若不是实系数方程可导致结论的错误(题中不一定是实数) k 2.2 对一般命题的特殊化 一个一般性命题，可利用对其一种特殊情况的不真加以否定，来更好的证明原命题的正确性。这样会使得证明的过程变得更简洁，更便于学生理解和记忆。 命题1:矩阵乘法不适合交换律 ，，，，，，矩阵乘法定义:设，，那么矩阵，其中A,aB,bC,cijijijmnnpmp n c,ab，称为与的乘积，记为。 ABC,AB,ijikkj,1k 注:两个矩阵只有第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能相乘。 ?有意义，不一定有意义 ABBA - 2 - 410，， ,,103,1,113，，,,例:矩阵， B,A,,,,,2012102，，,,134，， 410，， ,,103,1,1139,2,1，，，，,, ，而不能相乘。 AB,,BA,,,,,,21022019911，，，，2，3,,134，， ABBA一般来说，有意义，当时没有意义。 m,pmnnpnpmn?和都有意义，但是它们的阶数不一定相等 ABBA 11579，，，，144123，，，，,,,,B,20例:，，，BA,246 AB,A,,,,,,,,,4563210，，，，,,,,3171115，，，， ABBA一般来说，与都有意义，当时，它们阶数不等。 m,nmnnpnpmn ?和都有意义且阶数相等，但不一定等于 ABBAABBA 121214710，，，，，，，，例:，，， B,AB,BA,A,,,,,,,,,310343401，，，，，，，， , ABBA 命题2:若，则不一定有或 AB,0A,0B,0 00,2424，，，，，，例:，， A,B,BA,,,,,,,1,2,3,600，，，，，， ，但， BA,0A,0B,0 命题3:矩阵的乘法运算不满足消去律 100，， ,,2A,A例:设矩阵A,010，满足，但且 A,EA,0,, ,,000，， 命题4:I.线性变换的乘法不满足交换律 II.线性变换的乘法不满足消去律 III.非零线性变换的乘积可能是零变换 1110，，，，2，2,,P例:在中，定义线性变化，，为，，,,(A),A,(A),A,,,,0000，，，， - 3 - 01，，,,,,，则?，,,,, ?， ?， ,,,0,,,0,,,,,,,,,(A),A,,00，， 2.3 逆命题的反例 由于审题的不仔细，在学习定理的时候，很多同学总是误把充分条件和必要条件都看成充要条件，或者凭自己的想法，不加任何证明的把单一方向的命题变成双向成立的命题。反例，能充分显示某些条件只是必要条件，但不是充要条件，某些条件只是充要条件，但不是必要条件。对于学生自认为“正确”的错误，使用反例驳斥非常有效。 命题1:对于中任意两个多项式，，在中存在一个最大P[x]f(x)g(x)P[x]公因式d(x)，且d(x)可以表成f(x)，g(x)的一个组合，即在P[x]中有多项式 ，使。 u(x)v(x)d(x),u(x)f(x)，v(x)g(x) 注:d(x),u(x)f(x)，v(x)g(x)成立，但是d(x)不一定为g(x)和f(x)的最大公因式。 xx例:设f(x)g(x)u(x)v(x)=1，=1，=，= 此时有d(x),x,1，x,1,2x f(x)g(x) 但显然2x不是与的公因式 当然更不是它们的最大公因式 命题2:如果不可约多项式p(x)是f(x)的重因式()，那么它是微商kk,1 ,f(x)的重因式。 k,1 注:此为充分条件，反之不成立。 2,f(x),x，1f(x),2x例:， ,xf(x) 是的因式，但不是重因式。 命题3:矩阵一定是等价矩阵。反之，等价矩阵不一定是合同矩阵 10101111，，，，，，，，例:取，，， A,P,B,Q,,,,,,,,,01010101，，，，，，，， - 4 - 显然，有，即与等价，但与不合同 B,PAQABAB TT 否则 B,CAC,CC 22abac，，a，bac，bd，，，，TT 令，，而 CC,,BC,C,,,,,,,22cdbdac，bdc，d，，，，，， 就有， ac，bd,1ac，bd,0 故矛盾 Tf,XAX:若正定(或)，则 命题4A,0A,0 注:此为充分不必要条件 ,10，，22f(x,x),,x,2x例:，， A,2,0A,1212,,0,2，， f(x,x)但是为负定 12 Tf,XAX所以不能推出正定 A,0 命题5:正交和必为直和。直和不一定为正交和 ,V,V，VV,V,V注:称为正交和，称为直和。 1112 2例:(内积) V,R ，，，，V,L(,),,1，1,,1，2V,V,V ，，V,L(,)，，则 112 ，，,，,,3,0 但 所以该和不是正交和 命题6:子空间的直和都是和，而子空间的和未必是直和 例:，是实数域，，,,,,，，，，V,a，a，aa是实数S,a，a，0a是实数V123i112i ，，V,S，S,x，y，z,V，显然，，，,,，，S,0，b，b，b是实数121223i ，，，，，，，，，，x，y，z,x，y，0，0，0，z,x，0，0，0，y，z V，V 所以不是直和 12 命题7:等价向量组的秩是相等的。反之，秩相等的向量组不一定等价 ,,,，，，，，，,,1,0,0,0,,0,1,0,0,,0,0,1,0例:设向量组，，，向量组，，AB211 - 5 - ,,，，,,0,0,0,1，，显然，两个向量组的秩都等于2，但是不等价。，，,,0,0,1,123 ,因为不能由，线性表示。 ,,321 ,，,，？？,命题8:一向量组称为线性无关，如果由12s k,，k,，？？，k,,0k,k,？？,k,0，可以推出 1122ss12s 误区:如果有完全都是零的数使向量组的线性组合为零，那么向量组线性无关。 ，，，，，，,,2，0，,9，,,0，8，3，,,,4，0，18k,k,k,0例:，有使123123k,，k,，k,,0,，,，,，但却是线性相关的。 112233123 n命题9:阶矩阵的特征多项式没有重根，则与对角形矩阵相似 AA 注:此命题为充分不必要条件 1,33，， ,,,,,,,2，,,4A,3,53例:矩阵，其特征多项式的根为 123,, ,,6,64，， 400，， ,,0,20 但却能与对角形矩阵相似。 A,, ,,00,2，， 2.4 变换命题中的条件 高等代数是一门非常严谨的学科，有些命题的真假与否，往往在于一字之差。变换一个术语，一个条件，命题的真假也会出现很大的偏差，而对于一个新的命题，证明其正确性，则必须经过严密的推理，但是如果想要否定一个命题，则只需要举出一个反例。 变化命题的条件会使两个命题从表面上看起来很相似，易产生混淆。反例有助于区分某些含义相近，容易引起混淆的概念。反例能揭示某些概念的本质，能促使人们人对某些概念进行更为深入的分析和研究。 命题1:实对称矩阵的特征值都是实数 注:实矩阵的特征值不一定是实数 ,01,1，，2例:，， A,,,,A,,,，1,,,i,,,101,，， - 6 - ,，，，，命题2:多项式没有公因式的充要条件是与互质 fxfx，，fx ,，，，，误区:没有重根的充要条件是与互质 fxfx，，fx 22例:在上，有公因式，却没有根，显然，更没有重根。 ，，R，，fx,x，1 ，，有无公因式不随系数域改变，而有无根会受到数域的影响。 注:fx 3.结语 在《高等代数》中，这样的反例不胜枚举，由于篇幅所限，讨论至此为止。不难看出，反例在《高等代数》的学习中，有着特殊的地位和价值。寻求反例的过程是加深理解，巩固知识的过程，是培养学生逆向思维和辩证思维的过程。在高等代数的学习中，经常分析命题中条件的充分性和必要性是培养学生学习能力的一条重要途径。然而，经过这段时间的学习、查阅并借助不少课外，同时也加入了一些自己的理解，对《高等代数》中一些基本命题，做了较深入地分析与探索，发现命题本身的正确性在于某些特殊条件和一些重要的关键字。本文从不同的侧面对一些易错命题进行了简单的分析，尽管有些命题的具体例子不易举出，只是以理论观点的形式展示给读者，但是它确实是正确的。 在对反例的探究过程中，本人也学到了很多新的知识，不仅仅是对于《高等代数》的学习，在完成本文的过程中也领会到了一些新的学习方法，学会了观察问题的两面性，多角度，全面的分析问题的重要性。这在以后的学习生活中是非常重要的。在今后的学习中，本人会更加细微，周全的对待知识点，从小的知识点延伸到大的代数问题，使《高等代数》中的有关问题甚至其他方面的学习都能更准确、系统、规范。 - 7 - 参考文献 [1] 王萼芳，石生明修订(高等代数[M]((第三版)(北京:高等教育出版 社(2003:12-18 [2] 倪淑琪(关于高等代数中范例的研究.[J]安广师范学院学报.2004年 [3] 陆峰(线性代数教学中使用反例教学的例证研究(湖北成人教育学院学 2008年 报( [4] 高秋阳(反例在《高等代数》课教学中的作用(内蒙古教育学院学报(1998 年 [5] 王向东，周士潘(高等代数常用方法[M](北京科学出版社1989 [6] 毛纲源(线性代数解题方法技巧归纳[M](武汉:华中理工大学出版 社(2000年 - 8 -