微积分中的局部与整体思想分析

微积分中的局部与整体思想 第20卷第4期 2005年12月 洛阳大学 J0URNAL0FLU0YANGUNIVERSrIY V01.20No.4 Dec.20o5 微积分中的局部与整体思想分析 杨艳萍 (枣庄学院数学系,山东枣庄277160) 摘要:探讨了微积分中局部与整体关系的体现,并通过具体实例对局部与整体的 关系进行了分析. 关键词:微积分;辨证思想;局部与整体;分析 中图分类号:0172文献标识码:A文章编号:1007—113X(2005)04—0106—03 微分与积分中变量变化过程中的局部与整体之间的关系是相互对立统一的辨证关系.在微积分中, 通过局部的性质来揭示整体的性质,又通过整体性质来研究局部性质,是一个经常用到的重要方法. 1微元法中的局部与整体’ 求曲边梯形的面积,曲顶柱体的体积,曲面的面积,重心坐标等用的微元法,其过程就是通过抽取 一 个小区间来进行局部考虑,从而得到整体的一种具体体现. 例求由极坐标示的曲线所围平面图形的面积. 如果曲线由极坐标方程r=r()(0c0)表示,其中r()在 [0c,]上连续.求曲线r=r(),射线0=0c,0=/3所围成的图形的面 积(如图1所示). 在微积分中,我们采用如下的解法:在[,]中任意角处,取 一 个微小区间[,+d]作一小扇形,则此扇形的面积就为所求平面 1 图形的面积微元dA=1r2()d,再将扇形面积微元dA从0c到积 二 ,口1,口 分,就得到所求平面图形(扇形)的面积为:A=JdA=?Jr2()d.Ja二Ja 2闭区间套定理应用中的局部与整体 . 图1 闭区间套定理的应用,就在于把整体性质落到某个局部;而有限覆盖定理的应用,是将涉及无限的 问转化为有限的问题,以便把局部性质归纳为整体性质. 闭区间套定理的应用分析微积分中的许多定理,用闭区间套定理来证明,显得直观和易于接受, 它的主要特点是把整体性质收缩到某一点的任意邻域,达到”化整为零”的效果.用闭区间套定理证明问 题时,关键是构造一个满足一定条件的闭区间套,然后由区间套套出一个公共点,这个点往往就是满足 问题所要求的点.这类问题的模式为:证明存在某一个点具有性质P. 其证明的是:第一步,构造第一个闭区间[口,b]具有性质P’(性质P’根据性质P来选定); 第二步,常用二等分法,作出满足闭区间定理条件的闭区间序列{[口,b]}(=1,2,…),使每一个 [口,b]都具有性质P’;第三步,根据闭区间定理得出惟一的一个点?[口,b](=1,2,…),且 lima=limb=;第四步,利用上式和每个[o,b]都具有的性质P’,证明点具有性质P. 例1用区间套定理证明维尔斯特拉斯聚点定理,即:任何有界无穷点集都有聚点. 证明设E是有界无穷点集,则Ec[o,b].将区间[口,b]等分为两个子区间,其 (2)b一口=兰i竺—+1D(n一?), 二 于是,由区间套定理知,存在惟一的一点.?[口,b](n=1,2,…). 以下来证明.是的聚点:对于任给>0,由于lima=limb=o,故存在?,使b一口<,即 [口,b]cu(x.,),从而在V(x.,)内含有无穷多个E的点,即.为E的聚点. 3有限覆盖定理应用中的局部与整体 有限覆盖定理的运用分析有限覆盖定理揭示了闭区间的一个本质属性叫做”紧致性”.有限覆盖 定理是把闭区间上每一点的局部性质扩充到整个闭区间上整体性质的一种方法.它的特点是把”无限” 转化为”有限”,因为许多问题对”无限”的情形是不确定或不清楚的,但对”有限”的情形是确定或清楚 的.这类问题的模式是:证明闭区间[口,b]具有性质P. 其证明的步骤是:第一步,证明对于闭区间[口,b]中的每一个点,都有一个邻域(一,+), 此邻域具有性质P,所有这样的邻域构成了一个开区间集日,覆盖[口,b];第二步,根据有限覆盖定理, 可以从日中选出有限个开区间(.-6.,.+.),(:一,:+:),…,(一,+)覆盖[口,b]; 第三步,利用(一,;+)(i=1,2,…,k)具有性质P,证明闭区间[口,b]具有性质P. 例2用有限覆盖定理证明:若函数)在闭区间[口,6]上连续,则)在闭区间[n,6]上有界, 即存在M>0,对一切?[口,b],有)I< 证明因为)在闭区间[口,b]上连续,由连续函数的局部有界性知,对[口,b]上的每一个点, 都存在相应的邻域U(x,),对一切?u(x,)n[口,b],都有 I)I<I)I+1.(1) 考虑开区间集H={u(x,)Ix?[口,b]},显然日是[口,b]的一个有限开覆盖. 由有限覆盖定理知,存在日的有限子集H={U(,)?[口,b],i=1,2,3,…,k} 覆盖了 [口,b],又由(1)知 I)I<【,.()I+1,?u(x,f)n[口,b],i=1,2,…,k.(2) 令M=. m{)I+1},由(2)知,对一切?[口,b]有If()I< 4闭区间上连续函数性质中的局部与整体 函数在区间上连续的有界性是一个局部性质,但当区间变为闭区间时,此性质就转化成了整体性 质——在闭区间上的整体有界性. 例3证明闭区间上连续函数的有界性定理:若函数)在闭区间[口,b]上连续,则)在闭区间 [口,b]上有界,即存在>0,对一切?[口,b]有)I< 证明因为)在闭区间[口,b]上连续,由连续函数的局部有界性知,对[口,b]上的每一个点, 都存在相应的邻域U(x,),对一切?u(x,)n[口,b],都有 I)l<【,.()I+1.(3) 考虑开区间集H={u(x,)Ix?[口,b]},显然日是[口,b]的一个有限开覆盖. 由有限覆盖定理知,存在日的有限子集H={u(x,)?[口,b],i=1,2,3,…,k} 覆盖了 [口,b],又由(3)知 I)I<Ii)I+1,?U(x,)n[口,b],i=1,2,…,k.(4) 令M=. ma . x . {)I+1},由(4)知,对一切?[口,b]有()I< 5证明函数项级数和函数分析性质中的局部与整体 例4设)=?船一,证明函数)在(0,?)上连续. 分析要证明)在(0,?)上连续,只需证明)在任意一点?(0,?)处连续,这是由整体到 局部;要证明)在任意一点?(0,?)处连续,需要考虑函数项级数?船一的一致收敛性,而一致收 敛性是一个整体性质,又必须把点?(0,?)扩充成一个小区间,这是由局部到整体. ? 108?洛阳大学 证明设为(0,?)内的任意一点,因为>0,故存在>0,使E(,+?),即有 <章<孛南<’ 而级数?收敛,故由M判别法知,函数项级数Zne一在[,+?)上一致收 敛. 又‰()=一在[艿,+?)上连续,由函数项级数和函数的连续性定理得: 厂()=?一在 [,+?)上连续,从而)=2ne一在E[,+?)点连续. 又由于为(0,?)内的任意一点,故函数)在(0,?)上连续. 参考文献: [1]明清河.数学分析的思想与方法[M].济南:山东大学出版社,2004. [2]周春荔.数学观与方法论[M].北京:首都师范大学出版社,1996. ThePartialandWholeThoughtAnalysisinCalculus YANGYan—ping (MathematicsDepartment,ZaozhuangCollege,Zaozhuang277160,China) ABSTRACT:Themanifestationsbetweenpartialandwholerelationsarediscussed.ithascarriedonthea. nalysisthroughtheconcreteinstancestopartialandthewhole. KEYS:calculus;dialecticalthought;partialandwhole;analysis (责任编辑:杨耕文)