直线与圆-韦达定理

1．圆 ,直线 ,过 的动直线 与直线m相交于 ,与圆 相交于 两点, 是 中点. (Ⅰ) 与 垂直时,求证: 过圆心 ;(Ⅱ)当 时,求直线 的方程;(Ⅲ)设 ,试问 是否为定值 2．以原点为圆心的圆与直线 相切．（Ⅰ）求圆 的方程；（Ⅱ）若直线 ： 与圆 交于 ， 两点，在圆 上是否存在一点 ，使得 ，若存在，求出此时直线 的斜率；若不存在，说明理由． 3．圆 ，直线 （1） 求证：对 ，直线 与圆 总有两个不同的交点A、B；（2） 求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；（3） 若定点P（1，1）满足 ，求直线 的方程。 4．圆 经过点A（－2,0），B（0,2），且圆心 在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆 相交于P、Q两点．（1）求圆 的方程；（2）若 ，求实数k的值； （3）过点 作动直线 交圆 于 ， 两点．试问：在以 为直径的所有圆中，是否存在这样的圆 ，使得圆 经过点 5．如图，圆 ： ．（Ⅰ）若圆 与 轴相切，求圆 的方程； （Ⅱ）已知 ，圆 与 轴相交于两点 （点 在点 的左侧）．过点 任作一条直线与圆 ： 相交于两点 ．问：是否存在实数 ，使得 ？ 6．（14分）已知方程 . （1）若此方程表示圆，求 的取值范围； （2）若（1）中的圆与直线 相交于M，N两点，且OM ON（O为坐标原点）求 的值； （3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程. 7．圆 ，直线 ，直线 与圆 交于 两点，点 的坐标为 ，且满足 ．（1）当 时，求 的值；  （2）当 时，求 的取值范围． 8．圆C： ，直线 与圆C交于P、Q两个不同的点，M为P、Q的中点．（Ⅰ）已知 ，若 ，求实数 的值；（Ⅱ）求点M的轨迹方程；（Ⅲ）若直线 与 的交点为N，求证： 为定值． 9．圆 ： ，直线 .（1）直线l与圆 交于不同的两点 ，当 时，求 ；（2）若 ， 是直线l上的动点，过 作圆 的两条切线 、 ，切点为 、 ，探究：直线 是否过定点；（3）若 、 为圆 ： 的两条相互垂直的弦，垂足为 ，求 的面积的最大值. 10．已知圆 ： ，直线 与圆 相交于 ， 两点． （Ⅰ）若直线 过点 ，且 ，求直线 的方程； （Ⅱ）若直线 的斜率为 ，且以弦 为直径的圆经过原点，求直线 的方程． 11．已知圆 过坐标原点O且圆心在曲线 上.（Ⅰ）若圆M分别与 轴、 轴交于点 、 （不同于原点O），求证： 的面积为定值；（Ⅱ）设直线 与圆M 交于不同的两点C，D，且 ，求圆M的方程；（Ⅲ）设直线 与（Ⅱ）中所求圆M交于点 、 ， 为直线 上的动点，直线 ， 与圆M的另一个交点分别为 ， ，求证：直线 过定点. 12．圆C的圆心在坐标原点，与直线 相切.（1）求直线 被圆C所截得的弦AB的长；（2）过点G（1,3）作两条与圆C相切的直线，切点分别为M,N，求直线MN的方程；（3）若与直线 垂直的直线 不过点R（1,-1），且与圆C交于不同的两点P，Q.若∠PRQ为钝角，求直线 的纵截距的范围． 13．(本小题满分12分) 已知圆 ，点 ，直线 . (1) 求与圆 相切，且与直线 垂直的直线方程； (2) 在直线 上（ 为坐标原点），存在定点 （不同于点 ），满足：对于圆 上任一点 ，都有 为一常数，试求所有满足条件的点 的坐标. 14．如图，圆 与坐标轴交于点 . ⑴求与直线 垂直的圆的切线方程； ⑵设点 是圆上任意一点（不在坐标轴上），直线 交 轴于点 ，直线 交直线 于点 ， ①若 点坐标为 ，求弦 的长；②求证： 为定值. 参考答案 1．(Ⅰ)详见解析 (Ⅱ) 或 (Ⅲ) 是定值-5 【解析】 试题分析：(Ⅰ) 当 与 垂直时斜率相乘为 ，从而得到 斜率及方程(Ⅱ)直线与圆相交时常用弦长的一半，圆心到直线的距离，圆的半径构成的直角三角形求解(Ⅲ)先将直线 设出，与圆联立求出 点坐标 ，将直线 与直线 联立求得 ，代入 中化简得常数，求解时需注意直线方程分斜率存在不存在两种情况 试题解析：(Ⅰ)由已知 ,故 ,所以直线 的方程为 . 将圆心 代入方程易知 过圆心       4分 (Ⅱ) 当直线 与 轴垂直时,易知 符合题意;  当直线与 轴不垂直时,设直线 的方程为 ,由于 , 所以 由 ,解得 . 故直线 的方程为 或         -8分 (Ⅲ)当 与 轴垂直时,易得 , ,又 则 ,故 . 即 当 的斜率存在时,设直线 的方程为 ,代入圆的方程得 .则 ,即 , .又由 得 , 则 . 故 . 综上, 的值为定值,且             12分 另解一:连结 ,延长交 于点 ,由(Ⅰ)知 .又 于 , 故△ ∽△ .于是有 . 由 得 故 另解二:连结 并延长交直线 于点 ,连结 由(Ⅰ)知 又 , 所以四点 都在以 为直径的圆上,由相交弦定理得 考点：1.直线方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.向量的坐标运算 2．（Ⅰ） ;（Ⅱ）存在点 ，使得 . 【解析】 试题分析：（Ⅰ）设圆 的半径为 ，因为直线 与圆 相切，所以 ， 即可求出圆 的方程为 .（Ⅱ）方法一：因为直线 ： 与圆 相交于 ， 两点， 所以 ， 所以 或 ，假设存在点 ，使得 ，因为 ， 在圆上，且 ，同时 由向量加法的平行四边形法则可知，四边形 为菱形，所以 与 互相垂直且平分，所以原点 到直线 ： 的距离为     10分 即 ，解得 ， ，经验证满足条件，所以存在点 ，使得 ； 方法二：假设存在点 ，使得 ．记 与 交于点 ，因为 ， 在圆上，且 ，由向量加法的平行四边形法则可知四边形 为菱形，因为直线 斜率为 ，显然 ，所以 直线方程为 ， ， 解得 ， 所以点 坐标为 ，因为点 在圆上，所以 ，解得 ，即 ，经验证满足条件，所以存在点 ，使得 . 试题解析：解：（Ⅰ）设圆 的半径为 ，因为直线 与圆 相切， 所以       3分 所以圆 的方程为       5分 （Ⅱ）方法一：因为直线 ： 与圆 相交于 ， 两点， 所以 ， 所以 或     7分 假设存在点 ，使得     8分 因为 ， 在圆上，且 ，同时 由向量加法的平行四边形法则可知 四边形 为菱形，所以 与 互相垂直且平分      9分 所以原点 到直线 ： 的距离为     10分 即 ，解得 ， ，经验证满足条件    12分 所以存在点 ，使得     13分 方法二：假设存在点 ，使得 ．记 与 交于点 因为 ， 在圆上，且 ，由向量加法的平行四边形法则可知四边形 为菱形， 因为直线 斜率为 ，显然 ，所以 直线方程为     7分 ， 解得 ， 所以点 坐标为   9分 因为点 在圆上，所以 ，解得     11分 即 ，经验证满足条件    12分 所以存在点 ，使得     13分. 考点：1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系. 3．（1）证明见解析；（2） ，为圆的轨迹方程；（3） 或 ； 【解析】 试题分析：（1）由题可知，判断直线与圆的位置关系，我们常采取两种方法，圆心到直线的距离与半径的比较，若距离大于半径，则位置关系是相离，若距离等于半径，则位置关系是相切，若距离小于半径，则位置关系是相交；或是判断直线所经过的定点和圆的关系，点在圆内，则位置关系是相交，点在圆上，则位置关系是相切，点在圆外，则位置关系是相离；（2）关于求轨迹方程的问题，求哪个点的轨迹就设哪个点的坐标，通过题中的条件将x，y的关系式求出，即得轨迹方程；（3）过一点的直线用点斜式设出，再和圆的方程联立，由韦达定理以及 ，得出直线方程为 或 ； 试题解析：（Ⅰ）解法一：圆 的圆心为 ，半径为 。 ∴圆心C到直线 的距离 ，∴直线 与圆C相交，即直线 与圆C总有两个不同交点； 方法二：∵直线 过定点 ，而点 在圆内∴直线 与圆C相交，即直线 与圆C总有两个不同交点；（4分） （Ⅱ）当M与P不重合时，连结CM、CP，则 ，又因为 , 设 ，则 ， 化简得： 当M与P重合时， 也满足上式。 故弦AB中点的轨迹方程是 。（8分） （Ⅲ）设 ， ，由 ， ∴ ，化简的       ① 又由 消去y得     （*） ∴               ②    （10分） 由①②解得 ，带入（*）式解得 ， ∴直线 的方程为 或 。（12分） 考点：直线与圆的位置关系中点轨迹方程直线方程的应用 4．（1） ；（2） ； （3）在以 为直径的所有圆中，存在圆 ： 或 ，使得圆 经过点 ． 【解析】 试题分析：（1）根据题意设出圆心 和半径 ，列出 和 的方程，求得圆的方程；（2）根据 , 求得 ，所以圆心到直线 的距离为 ，求得 的值；（3）若圆 经过点 ，则必有 即 ①，当直线 的斜率不存在时，显然满足题意得圆，当直线 的斜率存在时，设其斜率为 ，直线 的方程为： ，代入圆 的方程，由韦达定理，得到 的值，联立①解得 的值，存在所求的圆，进而得到所求的圆的方程. 试题解析：（1）设圆心C（a，a），半径为r.因为圆C经过点A（－2,0），B（0,2），所以|AC|＝|BC|＝r，易得a＝0，r＝2，所以圆C的方程是 .                                3分 （2）因为 · ＝2×2×cos〈 ， 〉＝－2，且 与 的夹角为∠POQ， 所以cos∠POQ＝－ ，∠POQ＝120°，所以圆心C到直线l：kx－y＋1＝0的距离d＝1， 又d＝ ，所以 .                                  7分 （联立直线与圆的方程求解酌情给分） （3）（ⅰ）当直线 的斜率不存在时，直线 经过圆 的圆心 ，此时直线 与圆 的交点为 ， ， 即为圆 的直径，而点 在圆 上，即圆 也是满足题意的圆    8分 （ⅱ）当直线 的斜率存在时，设直线 ，由 ， 消去 整理，得 ，由△ ，得 或 ． 设 ，则有 ①                9分 由①得 ，  ② ，    ③ 若存在以 为直径的圆 经过点 ，则 ，所以 ， 因此 ，即 ，      10分 则 ，所以 ， ，满足题意．  12分 此时以 为直径的圆的方程为 ， 即 ，亦即 ．    13分 综上，在以 为直径的所有圆中，存在圆 ： 或 ，使得圆 经过点 ．                  14分 考点：1.圆的方程；2.直线方程；3.韦达定理. 5．（1） ；（2） . 【解析】 试题分析：（1）联立直线与圆的方程，利用判别式为0得出 值，即得圆的方程；（2）先求出 ，联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系进行求解. 解题思路: 直线圆的位置关系，主要涉及直线与圆相切、相交、相离，在解决直线圆的位置关系时，要注意结合初中平面几何中的直线与圆的知识.. 试题解析：（Ⅰ）因为 得 ， 由题意得 ，所以 故所求圆C的方程为 ． （Ⅱ）令 ，得 ， 即 所以 假设存在实数 ， 当直线AB与 轴不垂直时，设直线AB的方程为 ， 代入 得， ， 设 从而 因为 而 因为 ，所以 ，即 ，得 ． 当直线AB与 轴垂直时，也成立． 故存在 ，使得 . 考点：1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系. 6．（1） ；（2） ；（3） . 【解析】 试题分析：（1）由圆的一般方程知当 时 表示圆的方程；（2）联立直线与圆的方程，消元后的到关于 的一元二次方程，因为 所以 ，可求出 的值；（3）利用根与系数关系求出中点坐标即为圆心，再利用垂径定理求出弦长的一半即为半径，能写出圆的方程. 继续阅读