三角函数公式大全

同角三角函数的基本关系 倒数关系: tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα= 1 商的关系:sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα= cotα=cscα/secα平方关系:sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+ tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin2 α+cos2 α=1tan α *cot α=1 一个特殊公式 (sina+sinθ)*(sina+sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ)证明:(sina+sinθ)*(sina+sinθ)=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2]=sin(a+θ)*sin(a-θ) 锐角三角函数公式 正弦:sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦:cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切:tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切:cot α=∠α的邻边/∠α的对边 二倍角公式 正弦sin2A=2sinA·cosA 余 弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) =2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2 (a)-1 正切tan2A=(2tanA)/(1-tan^2(A)) 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3 +α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推 导sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2si na(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin^3a cos3a = cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1 -cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin2a) =4sina[(√3/2)2-sin2a] =4sina(sin26 0°-sin2a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2s in[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2 ] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos2a-3/4) =4cosa[cos2a-(√3/2)^2]=4cosa(c os2a-cos230°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4 cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]si n[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasi n[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-c os(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) n倍角公式 sin(n a)=Rsina sin(a+π/n)……sin(a+(n-1)π/n)。其中R=2^(n-1)证明:当sin(na)=0时,sina=sin(π/n) 或=sin(2π/n)或=sin(3π/n)或=……或=sin【(n-1)π/n】这说明sin(na)=0与{sina-sin(π/n)}*{sina-sin(2π/n)} *{sina-sin(3π/n)}*……*{sina- sin【(n-1)π/n】=0是同解方程。所以sin(na)与{sina-sin(π/n)}*{sina-sin (2π/n)}*{sina-sin(3π/n)}*……*{sina- sin【(n-1)π/n】成正比。而(sina+sinθ)*(sina+sinθ)=sin(a+θ)*sin (a-θ),所以{sina-sin(π/n)}*{sina-sin(2π/n)}* {sina-sin(3π/n)}*……*{sina- sin【(n-1π/n】与sina sin (a+π/n)……sin(a+(n-1)π/n)成正比(系数与n有关,但与a无关,记为Rn)。然后考虑sin(2n a)的系数为 R2n=R2*(Rn)^2=Rn*(R2)^n.易证R2=2,所以Rn= 2^(n-1)半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sin A/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 c os^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin (a)/(1+cos(a)) 和差化积 sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)( 1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+ tanAtanB) 两角和公式 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsin βsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ积化和差 sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2双曲函数 sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式 一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin (2kπ+α)= sinαcos(2kπ+α)= cosαtan(2kπ+α)= tanαcot(2kπ+α)= cotα公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)= -sinαcos(π+α)= -cosαtan(π+α)= tanαcot(π+α) = cotα公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关 系:sin(-α)= -sinαcos(-α)= cosαtan(-α)= -tanαcot (-α)= -cotα公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)= sinαcos(π-α)= -cosαtan(π-α)= -tanαcot(π-α)= -cotα公式五:利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关 系:sin(2π-α)= -sinαcos(2π-α)= cosαtan(2π-α) = -tanαcot(2π-α)= -cotα公式六:π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:sin(π/2+α)= cosαcos (π/2+α)= -sinαtan(π/2+α)= -cotαcot(π/2+α)= -tanαsin(π/2-α)= cosαcos(π/2-α)= sinαtan(π/2-α) = cotαcot(π/2-α)= tanαsin(3π/2+α)= -cosαcos (3π/2+α)= sinαtan(3π/2+α)= -cotαcot(3π/2+α) = -tanαsin(3π/2-α)= -cosαcos(3π/2-α)= -sinαtan (3π/2-α)= cotαcot(3π/2-α)= tanα(以上k∈ Z) A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =√{(A2 +B2 +2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} }√示根号,包括{……}中的内容 诱导公式 sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (-α)=-t anαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosA tan(π/2+α)=-cotαtan(π/2 -α)=cotαtan(π-α)=-tanαtan(π+α)=tanα诱导公式记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限 万能公式