菱形的性质及判定
菱形的性质
及判定
中考
A要求 B要求 ,要求 菱形 会识别菱形掌握菱形的概念、性质和判定,会用菱形的性质和会用菱形的知识解决有关
判定解决简单问题 问题
知识点睛
1(菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(
2(菱形的性质
菱形是特殊的平行四边形~它具有平行四边形的所有性质~•还具有自己独特的性质:
? 边的性质:对边平行且四边相等(
? 角的性质:邻角互补~对角相等(
? 对角线性质:对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角(
? 对称性:菱形是中心对称图形~也是轴对称图形(
菱形的面积等于底乘以高~等于对角线乘积的一半(
点评:其实只要四边形的对角线互相垂直~其面积就等于对角线乘积的一半(
3(菱形的判定
判定?:一组邻边相等的平行四边形是菱形(
判定?:对角线互相垂直的平行四边形是菱形(
判定?:四边相等的四边形是菱形(
重、难点
重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先她是平行四边形,但它是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定
。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续,又是以后要学习的正方形的基础。
难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形,所以它不但具有平行四边形的性质,同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形,就可以得到许多关于边、角、对角线的条件,在实际解题中,应该应用哪些条件,怎样应用这些条件,常常让许多学生手足无措,教师在教学过程 中应给予足够重视。
13.1.3菱形的性质和判定 讲义?学生版 page 1 of 7
例题精讲
板块一、菱形的性质
【例1】 ? ?菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 ?在平面上,一个菱形绕它的中心旋转,使它和原来的菱形重合,那么旋转的角度至少是
【例2】 ?如图2,一活动菱形衣架中,菱形的边长均为若墙上钉子间的距离,则16cmABBC,,16cm
度( ,,1
ABC
1
图2
?如图,在菱形中,,、分别是、的中点,若,则菱形 EFABADEF,2ABCD,,:A60ABCD
的边长是______(
A
EF
BD
C 【例3】 如图,E是菱形的边AD的中点,于H,交的延长线于F,交AB于P, ABCDEFAC,CB
:AB与EF互相平分(
D
E
HCA
P
BF
BDHAD【例4】 ? 如图1所示,菱形中,对角线、相交于点,为边中点,菱形的ABCDACOABCD
24周长为,则的长等于 ( OH
A
H
BDO
C
图1
ACBDDEBC,,,8cm4cm,,【巩固】 ?如图,已知菱形的对角线于点E,则DE的长为 ABCD
【例5】 ? 菱形的周长为,两邻角度数之比为,则菱形较短的对角线的长度为 20cm2:1
【巩固】 如图2,在菱形中,,,则菱形的边长为( ) ABCDAC,6BD,8
A( B( C( D( 51068
13.1.3菱形的性质和判定 讲义?学生版 page 2 of 7
AD
BC图2
【巩固】 如图3,在菱形中,,、分别是边和的中点,于点,则EFABPABCD,,:A110BCEPCD,
( ) ,,FPC
A( B( C( D( 35:45:50:55:
D
A
EP
C
FB
图3
如图,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个锐角为的菱形,剪【例6】 ?60:
口与折痕所成的角的度数应为( ) ,
A(或 B(或 C(或 D(或 15:30:30:45:45:60:30:60:
【巩固】 菱形中,E、F分别是、的中点,且,,那么,EAF等于 (ABCDBCCDAEBC,AFCD,
【巩固】 如图,将一个长为,宽为的矩形纸片对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线(虚10cm8cm
线)剪下,再打开,得到的菱形的面积为( )
222210cm20cm40cm80cmA( B( C( D(
D
AC
B图1
ACBD,【例7】 ?已知菱形的两条对角线的乘积等于菱形的一条边长的平方,则菱形的一个钝角ABCD
的大小是
【例8】 如图,菱形花坛的周长为,,•沿着菱形的对角线修建了两条小路和ABCD20m,,:ABC60AC
BD,求两条小路的长和花坛的面积(
A
ODB
C
图2
EFAEAFEFAB,,,【例9】 已知,菱形中,、分别是、上的点,若,求的度数(ABCDBCCD,C
13.1.3菱形的性质和判定 讲义?学生版 page 3 of 7
A
BD
EF
C
板块二、菱形的判定
【例10】 如图,如果要使平行四边形成为一个菱形,需要添加一个条件,那么你添加的条件ABCD
是 (
AD
BC
【例11】 ?如图,在中,平分,的中垂线交于点,交于点,求证:四边BDBDABEF,ABC,ABCBC
形BEDF是菱形
A
DE
CBF 【巩固】 已知:如图,平行四边形的对角线的垂直平分线与边AD、分别相交于E 、F.ABCDACBC
求证:四边形是菱形. AFCE
EAD
O
BCF
【例12】 如图,在梯形纸片中,,,将纸片沿过点D 的直线折叠,使点落在ABCDADBC//ADCD,C
,,AD上的点处,折痕DE交于点E,连结.求证:四边形是菱形( CBCCECDCE
C'DA
CBE
EADHFABP【例13】 ?如图,是菱形的边的中点,于,交的延长线于,交于,ABCDEFAC,CB
证明:AB与EF互相平分
EEAADD
PP
BCBCFF
AE,ABEE【巩固】 ?已知:如图,在平行四边形ABCD中,是BC边上的高,将沿BC方向平移,使点13.1.3菱形的性质和判定 讲义?学生版 page 4 of 7
与点重合,得(若,当与满足什么数量关系时,四边形是菱形,ABC,GFC,,:B60BCABFG
证明你的结论(
AGD
BEFC
【例14】 如图,在中,,是的中点(分别作于,于,MMDAB,DE,ABCABAC,BCMEAC,DFAC,
于,于(相交于点(求证:四边形是菱形( FPDMEPEGAB,GDFEG、
A
GFP
DE
MCB
【例15】 如图,中,,是的平分线,交于,是边上的高,交ADDABAD,ABC,,:ACB90,BACBCCH
于,于,求证:四边形是菱形( FDEAB,ECDEF
C
D
F
ABHE
【巩固】 ?如图,M是矩形内的任意一点,将,MAB沿AD方向平移,使AB与重合,点M移ABCDDC
动到点M'的位置
?画出平移后的三角形;
MDMCMM,,'ABAD,?连结,试说明四边形的对角线互相垂直,且长度分别等于的MDMC'
长;
?当M在矩形内的什么位置时,在上述变换下,四边形是菱形,为什么, MDMC'
DA
M'M
BC
三、与菱形相关的几何综合题
【例16】 已知等腰中,,AD平分交于D点,在线段AD上任取一点P(A点?ABCABAC,,BACBC
PEFAB?EFABM除外),过点作,分别交、于、点,作,交于点,连ACBCPMAC?
ME结.
AEPM?求证四边形为菱形
PAEPMEFBM?当点在何处时,菱形的面积为四边形面积的一半, 13.1.3菱形的性质和判定 讲义?学生版 page 5 of 7
C
D
PEF
BA
M
课后练习
1. 菱形周长为,一条对角线长为,则其面积为 ( 52cm10cm
ABaE,4,BEaBADP,,,:2120,,2. 如图,在菱形中,在上,点在上,则BDABCDBCPEPC,的最小值为
DA
P
BCE
233. 已知菱形的一个内角为,一条对角线的长为,则另一条对角线的长为________( 60:
4. 已知,菱形中,、分别是、上的点,且,(求:EFABCDBCCD,,,,:BEAF60,,:BAE18
的度数( ,CEF
AD
F
BEC
5. 如图,在中,,D是的中点,连结AD,在AD的延长线上取一点E,连结BE,,ABCABAC,BC
(当AE与AD满足什么数量关系时,四边形是菱形,并说明理由( CEABEC
B
DAE
C
6. 如图,,ABE、、均为直线同侧的等边三角形(已知( ,ACD,BCFBCABAC,? 顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类,直接写出构成图形的类型和相应
的条件(
? 当为 度时,四边形ADFE为正方形( ,BAC
F
E
D
A
BC
BE,BAMBE,M7. 如图,已知、CF分别为,ABC中、,C的平分线,于,ANCF,于N,求
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证:( MNBC?
A
EFNM
CB
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