浅谈求函数最值问题的方法
摘要:本文介绍了八种求函数最值问题的方法,并结合高考试题及数学竞赛题来进行分析研究。
关键词:最大值;最小值;方法
0.引言
最值问题是一类特殊的数学问题,它在生产、科学研究和日常生活中有着广
泛的应用,而且在中学数学教学中也占有比较重要的位置,是历年高考重点考查
的知识点之一,也是近几年数学竞赛中的常见题型。在高考中,它经常与三角函
数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系,并以一些基础
题,小综合的中档题或一些难题的形式出现。由于其解法灵活,综合性强,能力
要求高,故而解决这类问题,要掌握各数学分支知识,能综合运用各种数学技能,
灵活选择合理的解题方法。本文现拟对求函数最值问题的方法作一个综述,以便
于广大师生系统掌握求函数最值的初等求解方法。
其中,本文大致按八个方面分类选谈求函数最值问题的方法,它们分别是:
判别式法、函数的单调性法、均值不等式法、换元法、几何法、构造方差法、复
数法和导数法。
1.判别式法
x 若函数yfx,()可化成一个系数含有的关于的二次方程: y
2ayxbyx()(),,,cy()0 。在ay()0,时,由于为实数,则有xy,
2,,,,byaycy()4()()0,由此可以求出所在的范围,确定函数的最值。 y
33例1.1 (1987,江苏省初中数学竞赛) 已知pq,,2,其中是实数,则pq,pq,的最大值为______。
3322解:设pq,,2()()2pqpqpq,,,,spq,,,由得,
2 ()[()3]2pqpqpq,,,,
3()3()2pqpqpq,,,,
1212222 是方程的两个实根. ??,,pqs()xsxs,,,,()0pq,3s3s 4222 ?,,,,,ss()03s
3整理化简, 得s,8,故. 即的最大值为2 s,2pq,
22例1.2 (1993,全国高中数学联赛) 实数4545xxyy,,,满足,设xy,
1122,sxy,,,则的值为_______。 ssmaxmin
4422解:由题意知, ,故 xys,,1()(1)xys,,55
4222222又xys,,xy, 是方程的两个实根. ?tsts,,,,(1)05
43932222 ?,,,,,,,,,ssss4(1)405255
10101010解得ss,,,即 ,,sminmax13,3133
118?,, ss5maxmin
2.函数的单调性法
当自变量的取值范围为一区间时,常用单调性法来求函数的最值。若函数在
整个区间上是单调的,则该函数在区间端点上取到最大值或最小值。若函数在整
个区间上不是单调的 ,则把该区间分成各个小区间,使得函数在每一个区间上
是单调的,再求出各个小区间上的最值,从而可以得到整个区间上的最值。
例2.1 求函数22的最小值和最大值。 fxxxxx()81448,,,,,
2,80xx,,解:先求定义域,由68,,x 得 ,214480xx,,,,
68,x又fxxxx()86,,,,x,6,8 , ,,,,,xx,,6
故当xxxx,,68,xx,6,8fx(),且增加时,增大,而减小.于是是随着,,
fx()6,8的增大而减小,即在区间上是减函数,所以 ,,
, fxf()(8)0,,fxf()(6)23,,minmax
x,13例2.2 求函数,的最大值和最小值。 y,,,x22xx,,252 3x,11,,解:x,,2 , x,1?y,,,,242,,x,,14,,x,,1x,1
141,,令t,,1,.当时,有 ftt(),,,,,tt112,,2,,t2
444 ,,,()(1)tt,0 ftfttt()()()(),,,,,212121tttt2112
14117,,,1在上是减函数,因此 ftf()(1)5,, , ?,,ftt()ftf()(),,minmax,,2,,t22
21y, , ?,yminmax517
3.均值不等式法
aaa,,,...12nnnaaa,,..., 均值不等式:设是个正数,则有,其中,aaa...12n12n2
等号成立的条件是aaa,,,...。 12n
运用均值不等式求最值,必须具备三个必要条件,即一正二定三等,缺一不可。“正”是指各项均为正数,这是前提条件;“定”是指各项的和或积为定值;
“等”是等号成立的条件。
例3.1(1990,全国高中数学联赛) 设n为自然数, ab,为实数,且满足
11ab,,2,,则的最小值是______。 nn,,ab11
ab,nn2解:?,ab10ab,>.由均值不等式得, ab,,()1 2
nnnn111111,,,,,,baba故 ,,,,1 nnnnnnnn11(1)(1)1,,,,,,,ababbaba
11当且仅当ab,,1,时,上式取等号.故的最小值是 1nn,,ab11
,1例 3.2 (1997,全国高中数学联赛)设azxyz,,,lglg[()1],
,1,1bxxyz,,,lglg(1),,lg[()1]xyzabc,,cy,lg,,记中最大数为M,则M的最小
,,,111axyzbyzxcxzy,,,,,,lg(),lg(),lg[()]
值为______。 ,,,111设xyzyzxxzy,,,,,()中的最小数为,则M= lgAA
解: 由已知条件得
,由已知条件知, xyzR,,,,于是
211,,,,11 Axyzxzy,,,()[()],,,,[()]()yzyzxx ,,,224
所以, ,且当时, ,故的最小值为,从而M的最小值为xyz,,,1A,2A,2A2
lg2
注:在用均值不等式求函数的最值时,往往需要配合一定的变形技巧,才可以把问题转化成求不等式的问题。
,,例3.3 (1994,全国高中数学联赛) 设0,,,,,则的最大值sin(1cos),22
是_______。
,解: 由0,,,,,有 sin0,2
,,,,2又 sin(1cos)2sincos,,2222
,,,222,22sincoscos 222
,,,2222sincoscos,,433222,,2() 93
,,22其中当,,2cot2arc2sincos,时,上式等号成立,即时成立,故22
43,sin(1cos),,的最大值为 92
4.换元法
用换元法求函数最值,就是根据函数表达式的特点,把某一部分看作一个整体或用一个新变元来代替,达到化繁难为简易,化陌生为熟悉,从而使原问题得解。换元法通常有三角代换和代数代换两种。
ab满足,,1,其中为不相等的正常数,求的最小xy,ab,xy,xy
值。 例4.1 正数
aubv解:令,,,,,,0uv xuvyuv,,
2auvbuv()(),,avbu则 ,,,abab2,,ab xy,,,,,,,ab,,uvuv
2avbu当且仅当,avbu,xyab,,,,即时上式取等号.故 ,,,,minuv
22例4.2(第九届“希望杯”全国数学邀请赛)实数12,,,xy适合条件,xy,
22则函数232xxyy,,的值域是_______。
,,,,解:由已知可设,,,12,,k,其中,, xkyk,,cos,sin,,,,,22,,
3222222222则 sxxyy,,,232,,,2cos3sincos2kkksin,,,, ,,,2sin2kk2
,k,2s,7当,sin21,,,即时,;当k,1,sin21,,,,?,,,,1xy,max4
,即 ,,,,4
2211,,22,7232xxyy,,xy,,,,时,.故的值域是 s,min,,222,,2
5.几何法
某些二元函数最值问题具有图形背景,这时我们可以将所给函数表达式化为
具有一定几何意义的代数表达式,再利用几何图形,对函数最值作出直观的说明和解释。根据函数所表示的几何意义,我们可以将函数分为以下几种:
5.1可视为直线斜率的函数的最值
211,,x例5.1.1 求函数fx,的最小值。 ,,x,2
y,1222解:令xyy,,,10,则fxgxy,,,且,于是问题转1,,xy,,,,,,x,2
化为:
22当点Pxy,xyy,,,10在上半个单位圆上运动时,,,,,
与的连线的斜率的最值(如图).显然,当点与点A,,2,1Pxy,B1,0APP,,,,,,
1重合时,直线的斜率最小,此时.当直线与上半个单位圆K,APAPAB3求22相切时,直线的斜率最大. xyy,,,10AP,,
设,则直线的方程为 KK,yKx,,,12AP,,AP
22直线与上半个单位圆相切 xyy,,,10AP,,
21K,4?,,d1 解得 K,0(舍去)或 K,OP223K,,1,,
14综上可得,直线的斜率的最值为: , KK,,KK,,APminABmaxAP33
14 , ?,fxfx,,,,,,,,,,,,,minmax33
5.2可视为距离的函数的最值
例5.2.1 (1992,全国高中数学联赛)函数
4242fxxxxxx,,,,,,,36131的最大值是_______。 ,,
解:将函数式变形,得
222222 fxxxxx,,,,,,,,(3)(2)(0)(1) ,,
可知函数yfx,的几何意义是: ,,
22在抛物线yx,上的点分别到点A3,2和点B0,1Pxx,,,,,,,
的距离之差,现求其最大值.
由知,当在的延长线上处时,fx取得最大值AB PAPBAB,,PABP',,
22?,,,,,,fxAB302110,, ,,,,,,max,,
5.3可视为曲线截距的函数的最值
例5.3.1 (1990,高考理工科试题)求函数vuuuu,,,sincossincos的最大值。
22解: 令xy,,1cos,sinuxuy,,vxyxy,,,,则,且.则问题转化为:
22vxy,,1在单位圆上运动时,求双曲线族 (视为常xy,xyxyv,,,,0,,
数)在v轴上的截距的最大值. y
当点
当时,由方程得 v,,1xyxyv,,,,0
,,xv,,yv , y,x,y,1x,1
由此可知:当x,,时, ;当时, x,,1y,,1y,,此双曲线族有公共的渐进线x,,1和,有公共的中心 ?y,,1O'1,1,,,,
22由此不难得出,当双曲线族xy,,1与单位圆切于点xyxyv,,,,02211T(,),2vv 时,纵截距取得极大值 ,而,故所求纵截距的极,,212222
大值就是最大值.
1因此,所求函数,2v的最大值为 2
6.构造方差法
nXXX,,,设个数据的平均数为,则其方差为 X12n
22212,, sXXXXXX,,,,,,, ...,,,,,,n12,,n
112,,222 ,,,,,,,,XXXXXX...... ,,,,1212nn,,nn,,
2显然s,0XXXX,,,,...(当且仅当时取等号)。应用这一公式,可12n简捷、巧妙地解决一些试题的最值问题。这种方法适用的范围很广,可以用来求
函数的最值,也可以用来求某一字母的最值以及求某一代数式的最值。
例6.1(1998,新加坡数学奥林匹克竞赛试题)求函数yxx,,,,1sin1sin
的最大值。
解:1sin,1sin,,xx的方差是
2221111,,22sxxxx,,,,,,,,1sin1sin1sin1sin,,,(2)0y ,,,,,,,,2222,,
2y,4.故 y,2max
例6.2(加拿大第七届中学生数学竞赛试题)确定最大的实数,使得实数z
解得满足: xy,
, xyz,,,5xyyzzx,,,3
2解:由已知得 , , xyz,,,5xyzxyzzzz,,,,,,,,,33553,,,,
111122,,,,222sxyxy,,,,,,,xyxy2的方差 xy,,,,,,,,,,,2222,,,,
112,,2 ,,,,,,52530zzz,,,,,,22,,
2?,,,310130zz
1313解得 .故的最大值为 z,,,1z33
注:对于例1,我们也可以用构造方差法来求解,解题过程如下:
3322解法2:不妨设pq,,2pqk,,,则由已知,即 pqpqpq,,,,2,,,,
12,,22得 ?,,pqk kkpq,,32,,,,3k,,
又的方差是 pq,
111122,,,,222,,,pqpq2spqpq,,,,,,,,,,,,,,22,,22,,
1122,,22,,,,kk()0 ,,223k,,
8322即08,,kk,002,,k02,,,pq,由此判定,解得,即,亦即.34kk,,k
故pq,的最大值为 2
7.复数法
用复数的方法解函数的最值,就是运用复数的模以及绝对不等式的性质来解
题。
zzzzzz,,,,,121212
22例7.1 求函数yxx,,,,,11216的最小值。 ,,复数的模的不等式 :
解: 令 zxizxi,,,,,,12412
22则 yxx,,,,,11216 ,,,,zzzz,,,12513i,,1212
其中,当且仅当时,上述不等式取等号. zz,,,,0,,12
122由两个复数相等的条件可求得, x, 当时,函数 y,13 ?,,,,xmin545
例7.2 已知是不全为零的非负实数,求 xyz,,
222222xyxyyzyzzxzx,,,,,,,, u, xyz,,
的最小值。
yzx333解: 设zxyizyzizzxi,,,,,,,,,,, 123222222
222222则 xyxyyzyzzxzx,,,,,,,,
33,,,zzz,,,zzz,,,,,,xyzxyzi,,,,12312322,,,,,,33xyzxyz ,,
?,u3argargargzzz,,xyz,,,0,当且仅当,即时,等号成立. 123
8.导数法
设函数fx在ab,上连续,在ab,上可导,则fx在ab,上的最大值和,,,,,,,,,,
最小值为fxab,fafb在内的各极值与,中的最大值与最小值。 ,,,,,,,,
要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最
值,通常都用该方法。导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视。
例8.1 求函数32fxxxx,,,,362x,,1,1,的最大值和最小值。 ,,,,
2解: fxxx'366,,,fx'0,,令,方程无解. ,,,,
22 函数在上是增函数. fxxx'366,,,,,,,3130x?fxx,,1,1,,,,,,,,故当时, ,当时, x,,1x,1fxf,,,,112fxf,,12,,,,,,,,minmax
,,n,,例8.2 求数列的最大项。 ,,n,10000,,,,
10000,xx解: 设,则 fx',fx,,,,,2x,10000210000xx,,,
1令,则得 fx'0,xf,,10000,10000,,,,200
x1又limlim0,,fx , f1,,,,,xx,,,,,10000x10001
1将limfx,及加以比较,得的最大值为 f10000f1fxf10000,,,,,,,,,,,x,,200
,,1n,, 数列的最大项为第10000项,这一项的值为 ?,,n,10000200,,,,
以上就是本文整理出的有关于求函数最值问题的八种解法。当然解函数最
值问题的方法不止这些,例如:二次函数法,反函数法,配方法等等。这里只是对求最值问题的方法作部分的归纳,具体的方法还有待读者去进一步的发现和
。
由于最值问题的解题方法的灵活多样性,所以教师在对最值问题的教学活动中,
应重视思想方法的渗透,把建构和发展学生数学思维作为教学活动的一项重要任
务。