张量积B_zier体的广义离散

张量积B_zier体的广义离散 B z ie r (骆岩林 陈凌钧 浙江大学 ) 应用数学系, 杭州, 310027胡事 民 ()清华大学计算机系, 北京, 100084 提 要 本文给出了张量积体的广义离散定理, 并得到了计算新的控制顶点的显式公式.B ézie r B zie r é 关键词: B zie r é体; 离散; 重新参数化 中图法分类号: 241. 5; 391. 72O T P 0 引 言 自由曲线曲面造型一直是 的核心问题. 人们常用自由曲面, 如曲面和一 CA GD B zie r éB 1, 2 样条曲面表示三维空间中的物体的边界. 近年来, 由于理论研究和实际应用的需要, 人们对 ( ) (高维、三变量 甚至多变量物体的表示及性质日益感兴趣. 这首先是因为自由体 F ree fo rm ) ()() 非常适合于表示实体 . 在实体造型 中, 几种传统的实体表示 vo lum e So lid So lid m o de lin g 方法, 如 表示和 2表示都只定义实体的外形, 没有对其内部给出定义. 因而对于不 C SG B R ep 仅需要外形定义而且需要内部定义的场合, 如结构有限元分析, 自由体具有很大的优越性. 另 外, 自由体在实际中有许多应用, 比如: 描述自由曲面的变形, 温度、压强等物理场的表示等. 3 4, 5 和 讨论了 表示的三三次参数实体. 研究了自由体 S tan to n T imm e r H e rm ite L a sse r的表示, 对张量积体的构造、性质及其在实体造型中的应用作了讨 - B e rn ste in B zie r éB zie r é 论. 我们注意到, 离散在体的应用中是很重要的; 而已有的 体的离散算法是基 B ézie r B zie r é () 于曲线的离散, 只能将体沿定义域 立方体的一个等值面, 如 u = u 离散为两个B zie r éB zie r é0 6 体. 胡事民等已给出了曲面的广义离散定理. 本文将曲面的广义离散推 广B zie r éB zie r éB zie r é 到体, 即沿定义域内的一个双一次曲面离散体, 得到了广义离散的显式公式.B zie r éB zie r é 由于文中应用算子表示和重新参数化技巧, 定理的证明较为简洁. 1 体的算子表示B zie r é 3 在仿射坐标系 E 中, l ×m × n 次B zie r é体可定义为l m n l m n () ()()( ) ( ) i j P u , v , w = P i, j , kB u B v B k w 16 66 i= 0 j = 0 k = 0 ll- i ( ) () 为 l 次单变量B e rn ste in 基. i i () 与曲面类似, B zie r é体 P u , v , w 有相应的三类切矢: 5() ()u 向切矢: P u , v , w = P u , v , w u 5u 5() v 向切矢: P u , v , w =v ()P u , v , w 5v () 5w 向切矢: P u , v , w =w ()P u , v , w 5w () 对B zie r é体上的任一点, 若这三个切矢互不平行, 即它们的混合积 P , P , P 不为零, 则u v w 称B zie r é体在该点是正则的, 否则, 该点为奇点. 如果B zie r é体中所有的点都是正则的, 则称该 B zie r é体是正则的. 我们一般只考虑正则的B zie r é体. 在 研究 B zie r é曲线、曲面和体的性质时, 利用一些算子符号, 可以大大简化推理与计 7, 8 () 算. 通过引用如下算子, 我们可以给出B zie r é体 P u , v , w 的算子表示. () 1不变算子 I : I P i, j , k = P i, j , k () 2移位算子 E : E P = P , E P = P , E P = P i1 i, j , k i+ 1, j , k 2 i, j , k i, j + 1, k 3 i, j , k i, j , k + 1 () 3差分算子 ? : ? P = P - P , ? P = P - P ,i1 i, j , k i+ 1, j , k i, j , k 2 i, j , k i, j + 1, k i, j , k ? P = P - P 3 i, j , k i, j , k + 1 i, j , k () 于是B zie r é体1可表示为: l m n () ( ) ( ) ( ) ()P u , v , w = I + u ? I + v ? I + w ? P 21 2 3 000 2 B zie r é体的广义离散 () B zie r é体 P u , v , w 的定义域为一立方体, 如图 () () () () 1 所示. a , 1, 1c, 1, 0d , 0, 0b, 0, 1为定义域的 边界线上四点, 满足 0 ? a , b, c, d ? 1, 由这四点构成 的双一次曲面将定义域分割为两个子区域D 1 和D 2. () 相应地, B zie r é体 P u , v , w 也分解为两个 t r imm ed 体. 我们将指出: 这两个 t r imm ed 体可表示为 B zie r é () 体, 其控制顶点可由B zie r é体 P u , v , w 的控制顶点 (用显式公式计算; 当 0 < a , b, c, d < 1 时, 如果 P u , ) v , w 是正则的, 则所得到的两个新B zie r é体是正则图 1 参数域的分解 的. 不失一般性, 我们只讨论定义在D 1 上的 t r imm ed 体的B zie r é表示, 定义在D 2 上的 t r imm ed 体的B zie r é表示可类似讨论. 我们使用如下的参数变换 (() () () () ) u = r a s t + b 1 - st + cs 1 - t+ d 1 - s1 - t T : v = s w = t ) ( 注意到, 变换 T 将子区域D 映射为立方体{ r, s, t, 0 ? r, s, t ? 1}, 我们得到:1 l i 6 l l( ) ( ) rP ( ) + s? i 0, j , k 引理 1I + rs? P = B I 11 0, j , k 6i= 0 ) ) ) ) (((( 令 A = 1 - a I + a E 1 , B = 1 - bI + bE 1 , C = 1 - cI + cE 1 , D = 1 - d I + d E 1 , 我们有: i () () () () ) ( (引理 2 I + a s t + b 1 - st + cs 1 - t+ d 1 - s1 - t? P =1 0, j , k i h i - h gh - gf i- k - f ih i- h()( )( ) A C B D B sB g tB f th 6 6 6h = 0 g = 0 f = 0 证明: 将参数变换 T 代入左式, 我们有i ( () () () () ) ) (I + as t + b 1 - st + cs 1 - t+ d 1 - s1 - t? P = 1 0, j , k ( (() () () () ) I 1 - a s t - b 1 - st + cs 1 - t+ d 1 - s1 - t+ i(() () () () ) ) E a s t + b 1 - st + cs 1 - t+ d 1 - s1 - tP = 1 0, j , k ( (() () ) () (() ) ) I s 1 - a t- c 1 - t+ 1 - s1 - bt - d 1 - t+ i((() ) () (() ) ) E s a t + c 1 - t+ 1 - sbt + d 1 - tP =1 0, j , k (((( () ) () () ( () ) () ) s 1 - a I t + 1 - cI 1 - t+ 1 - s1 - bI t + 1 - d I 1 - t+ i(() ) () (() ) ) s a E t + cE 1 - t+ 1 - sbE t + d E 1 - tP = 1 1 1 1 0, j , k (( () ) ) ) () ( (s 1 - a I + a E t + 1 - cI + cE 1 - t+1 1 i () ( ( () ) ) ) () ) ) ( ( 1 - s1 - bI + bE 1 t + 1 - d I + d E 1 1 - tP 0, j , k = i ((() ) () (() ) ) s A t + C 1 - t+ 1 - sB t + D 1 - tP =0, j , k i i- h ih() (() ) (() ) sA t + C 1 - tP =B t + D 1 - t B 0, j , k h 6h = 0 i h i - h gh - gf i- h - f ih i- h()( )( ) sB tB t证毕. A C B D B g f h 6 6 6h = 0 g = 0 f = 0 () ( 定理 3 B zie r é体 P u , v , w 定义在D 上的 t r imm ed 体可以表示为张量积B zie r é体 P r,1 ) s, tl m + in + i m + in+ i l( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P , s, tH B r B s B t 3 r= i, y , xy i x 66 6 i= 0 y = 0 x = 0 其中 m i i m j h( ) i()Q 4hx H i, y , x = 6 6m + ih = 0 j = 0 h + j = y y n h i - h h i - h n k g f ( )igh - gf i- h - f ()Q = A CBD hx P 0, j , k 5 6 6 6i + k g = 0 f = 0 k = 0 g + f + k = x x () ( ) 而且当 0 < a , b, c, d < 1 时, 如果 P u , v , w 是正则的, 则 P r, s, t是正则的. () 证明: 将变换 T 代入 2式, 并应用引理 1 和 2, 如下的计算表明, 定义D 上的 t r imm ed 体 1 可表示为张量积B zie r é体的形式. l m n () ( ) ( ) ( ) P u , v , w = I + u ? I + v ? I + w ? P =1 2 3 000 l ( (() () () () ) ) I + ? r a s t + b 1 - st + cs 1 - t+ d 1 - s1 - tr1 m n ( ) ( ) I + v ? I + w ? P =2 3 000 l l l( ) ( () () () () ) ) (rI + a s t + b 1 - st + cs 1 - t+ d 1 - s1 - t? r B i 1 6 i= 0 m n ( ) ( ) I + v ? I + w ? P =2 3 000 l i h i - h h i- hgh - gf i- h - f i( ) ()( )( ) A C B D B sB tB t ri r h g f 66 6 i= 0 h = 0 g = 0 f = 0 m n n() ( ) j sB t P 0 j k = k 6 j = 0 k = 0 l i m m i() ( ) ( ) s B s ri v r B j h 66 i= 0 h = 0 j = 0 h n i - h i- h ng h - g fi- h - fk( )( )( )B = P C B D 0 j k g tB f tB k tA 6 6 6 g = 0 f = 0 k = 0 m i l i m j h m + i() () B srj + h i v r 6 6m + ii= 0 = 0 j = 0 h j + h n h i - h hi - hn k gfi- h - f n+ igh - gf ( ) C B DP =B t A0 j k rf + g + k 6 6 6 n + i g = 0 f = 0 k = 0 g + f + k m i l i m n + i j h ( )n+ i im + i() () ( )i v j + h sB tQ =B z h x 6 6 6 m + i i= 0 h = 0 j = 0x = 0 j + h l m + in + i lm + in+ i ( ) ( ) ( ) H B r B s B t i, y , xy x i 6 6 6i= 0 y = 0 x = 0 注意到, 变换 T 的 J aco b ian 行列式 () 5u , v , w () () () ()| | = a s t + b 1 - st + cs 1 - t+ d 1 - s1 - t( ) 5r, s, t 由于 () () () () m in {a , b, c, d } ? a s t + b 1 - st + cs 1 - t+ d 1 - s1 - t?m in {a , b, c, d } () 5u , v , w () ( ) 由 0 < a , b, c, d < 1 得知, | | ? 0; 于是得证: 如果 P u , v , w 是正则的, P r, s, t是( ) r, s, t5 正则的. 证毕. (注: 对 P 沿 s 和 t 方向分别升阶 l - i 次, 即可得到 P 的规范的B zie r é表示, 次数为 l × m ) ()+ l× n + l. 3 注 记 本文研究B zie r é体的广义离散, 讨论了B zie r é体沿定义域内的一个双一次曲面离散所得 到的两个 t r imm ed 体的B zie r é表示, 得到了广义离散的显式公式. 算子表示和重新参数化技巧 的使用, 使叙述和推理较为简洁. gh - gf i- h - f () 另外我们还要指出, 5式中A C B D 是可以递归计算的. 与文献6 相同, 应用组 () () 合数学的技巧, 不难证明 4式和 5式亦可用递归算法计算. B zie r é体的很多性质尚待讨论, 作为本文的直接推广, 还可研究B zie r é体沿定义域内的一 () 个高次代数曲面 u = f v , w 的广义离散, 这对B zie r é体真正用于实体造型非常重要. 致谢: 本文是在金通氵光教授的指导和帮助下完成的, 在此表示感谢! 参 考 文 献 1 , . . 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