第十二章第五节平稳过程的相关函数与谱密度

第十二章第五节平稳过程的相关函数与谱密度 第十二章 第五节 平稳过程的相关函数与 谱密度 一、 相关函数的性质 X(t)平稳过程的自相关函数 R(,),是仅依赖于参数间距的函数。X 它有如下性质: R(,)性质1 是偶函数， X R(,,),R(,)即; XX R(,),E[X(t)X(t，,)](事实上， X R(,,),E[X(t)X(t,,)] X ,E[X(t,,)X(t,,，,)],R(,) ) X 2|R(,)|,R(0),,性质2 ， XXX 2|C(,)|,C(0),, ， XXX R(,)就是说，自相关函数和自协方X ,,0C(,)差函数 都在 处达X 到最大值。事实上 112222|E(XY)|,[EX],[EY](利用不等式) |R(,)|,|E[X(t)X(t，,)]|X 112222,[EX(t)][EX(t，,)],R(0)， X 1 |C,()|,|E[(X(t),EX(t)),(X(t，,),EX(t，,))]|X 112222,[E(X(t),EX(t))],[E(X(t，),EX(t，))],, 2,C(0),, 。 XX R(,)性质3 非负定。即对任意X ,,,,？,,g(,)实数和任意函数 12n 有 n R(,,,)g(,)g(,),0,Xijij 。 i,j,1 事实上 n R(,,,)g(,)g(,),Xijij i,j,1 n ,E[X(,)X(,)]g(,)g(,),ijij i,j,1 n2,E[X(,)g(,)],0,ii。 i,1 X(t)T性质4 如果是以为周期 的周期平稳过程，即满足 R(,)X(t，T),X(t)，那么，也是以 XT为周期的函数。 事实上 R(,，T),E[X(t)X(t，,，T)] X 2 ,E[X(t)X(t，,)],R(,)。 X 例如，随机相位正弦波 ,2X(t),acos(,t，,)是以为周期平稳, 2a (,),cos,,R过程。它的相关函数 X2 ,2 显然也是以为周期的函数。 , 性质5设均值为零的平稳过程 |,|,，,X(t)，当 时，过程的任 X(t)X(t，,)何两个状态与相互独立，则有 limR(,),0X 。 |,|,，, |,|,，,这是因为，当时， R(,),E[X(t)X(t，,)] X ,E[X(t)]E[X(t，,)],0 limR(,),0X所以有 。 |,|,，, 一般来说，噪声过程的均值通 |,|常为零，并且当充分大时，过程 X(t)X(t，,)的状态和通常呈现独立性，因而自相关函数趋于零。例如，输入某线性系统的是白噪声最电 3 Y(t)压，输出电压的自相关函数 as,a||,0()R,,e,,,,，,Y ， 2 |,|,，,当时， as,a||,0()R,,eY趋于零。 2 二、 谱密度 R(,)X(t)定义9 设是平稳过程 X R(,)的自相关函数。如果的傅里叶X(Fourier)变换 ，,j,,,F[R,()],R,()ed,,S(,),(12.11) XXX,,, S(,)X(t)存在，则称为平稳过程的谱X 密度。工程上常称它为功率谱密度。 F[R(,)]在式(12.11)中，表示 XR(,)的傅里是叶逆变换。 X ，, |R(,)|d,,，,可以证明，当时，X,,,F[R(,)]是存在的，因而谱密度 X S(,)存在。 X ，, |S(,)|d,,，,S(,)当时，的傅里XX,,, ,1F[S(,)]叶逆变换存在，即有 X 4 ，,11j,,,F[S,()],S(,)ed,，(12.12) XX,,,2, 式(12.11)和式(12.12)统称维纳一辛钦(Wiener-X)公式。 在一定条件下，可以证明 ，,1j1,,,F[S,()],S(,)ed,,R(,) 。 XXX,,,2, 例1 已知随机电报信号过程的 2,2,|,|R(,),Ie自相关函数为， X ,,0()，求它的谱密度。 解 由式(12.11)，谱密度为 ，,,j,,S,(),F[R,()],R(,)ed, XXX,,, ，,2,2,,||,j,,,Ieed, ,,, ，,02,2,,,j,,22,,,j,,,Ieed,，Ieed, ,,0,, ，,02,(2,，j,),2(2,,j,),,Ied,，Ied, ,,0,, 12(2),,，j,,，,,,I[e]| 0,，,2j 1,2(2,j,),0，I[e]| ,,,,,2j 5 1122，I,I 2,,j,2,，j, ,42,I。 224,，, X(t)设平稳过程的自相关函数 ,,|,|R(,),,e,,,为，其中是正数， X 则 ，,,j,,S,(),F[R,()],R(,)ed, XXX,,, ，,,,,||,j,,,,eed, ,,, ，,0,,,,j,,,,,j,,,,eed,，,eed, ,,0,, ，,0,(,，j,),(,,j,),,,ed,，,ed, ,,,,0 11 ,,,， ,，j,,,j, ,2,,， 22,，, ，,1j,,S,()ed,,R(,)XX由得 ,,,2, ，,,12j,,,,|,|,ed,,,e 。 22,,,，2,,, 1 ,(),SX例2已知谱密度， 42,，5,，4 X(t)求平稳过程的自相关函数。 6 解 方法一 1 ,(),SX 42,，5,，4 1 ,22 (,，1)(,，4) 111 ,,()， 22,，,，314 ，,1j,,R,(),S(,)ed, XX,,,2, ，,1111j,,,(,)ed, 22,,,，，3214,,, 111,,||,2|,|,(e,e) 324 11,,||,2|,|,e,e 。 612 方法二 R(,)由式(12.12)以及的偶函数X X(t)性质，的自相关函数 ，,1j,|,|,S(,)ed,R(,),R(|,|)X ,XX,,2, ，,11j,|,|,ed,， 42,,,2，5，4,,, 现用留数来计算式中的广义积分: 7 11S(z),,X 4222z，5z，4(z，1)(z，4) 1, (z,j)(z,2j)(z，j)(z，2j)在上半平面内有两个一级极点 z,jz,2j和 ，积分 ，,1j,|,|ed, 42,,,，5，4,, jz|,|jz|,|，Res[S(z)e,2j]},2,j{Res[S(z)e,j] XX 1jz|,|,2{[]|,je z,j(,2)(，)(，2)zjzjzj 1jz||,，[e]| z,2j,，，(zj)(zj)(z2j) 11,,||,2|,|,2,j{e,e} 6j12j 11,,||,2|,|,2,{e,e}， 612 于是得到 11,,||,2|,|()R,,e,eX 。 612 S(,)R(,)由求 ，或者反过来XX S(,)R(,)由求，也可以直接利用XX 傅里叶变换的性质，查傅里叶变 换表得到。 8 下列表12-1中给出了部分 S(,)R(,)和的对应关系。 XX ,(t)表中是一个广义函数，称为狄拉克(Dirac)函数，又称单位脉冲函数。它的表达式为 ,(t),,(t),lim ， ,0, (以弱收敛方式) 0,t,0, , 1, ,,,,,(t),0t,, ,,， 0,t,,,, ,(t)具有性质:对于任意连续 f(t)函数，都有 ，, f(t),(t,t)dt,f(t)00 ,,, ，, f(t),(t，t)dt,f(,t)00 。 ,,, ，,jtjt,,,,0F[,(t,t)],,(t,t)edt,e， 00,,, ，,jtjt,,,0F[,(t，t)],,(t，t)edt,e 00,,, 9 1,j,t,0F[e],,(t,t)， 0 1j,t,0F[e],,(t，t) 0 因为 ，,11j,,,F[,(,,,)],,(,,,)ed,00 ,,,2, 1j,,0,e ， 2, ，,11j,,,F[,(,，,)],,(,，,)ed,00 ,,,2, 1,j,,0,e ， 2, 所以 j,,0F[e],2,,(,,,)， 0 ,j,,0F[e],2,,(,，,) 0 1j,,,j,,00cos,,,(e，e)又， 02 F[cos,,],,[,(,，,)，,(,,,)] 000 由此性质出表12-1中第6和第7 个对应关系。 表12-1相关函数与谱密度对应表 序 号 10 1 2 3 4 5 6 7 8 例3求随机相位正弦波 X(t),acos(,t，,)的谱密度。 0 解 它的相关函数 2aR(,),cos,, ， X02 谱密度 2a[cos,,],FS(,),F[R(,)] 0XX2 2a,,[,(,，,)，,(,,,)] 。 002 X(t)例4 设平稳过程的自相 ||,a,R(,),ecos,,关函数， 0X 11 a,0其中常数，求谱密度。 1j,,,j,,00cos,,,(e，e)解 ， 02 ，,,j,,S,(),F[R,()],R(,)ed, XXX,,, ，,,a,||,j,,,ecos,,,ed, 0,,, ，,1,,,,j,j,,a||,j,,00,e(e，e),ed, ,,,2 ，,，,11,j(,,,),,j(,，,),,a,||,a,||00,eed,，eed, ,,,,,,22 0，,1,j(,,,),a,,j(,,,),,a,00,[eed,，eed,] ,,,,02 0，,1,j(,，,),a,,j(,，,),,a,00，[eed,，eed,] ,,,,02 111,，[] a,j,,,a，j,,,2()()00 111，，[] a,j,，,a，j,，,2()()00 aa ,， 2222a，(,,,)a，(,,,)00得到 aa ,S(),，X 。 2222a，(,,,)a，(,,,)00 三、谱密度的性质 S(,)平稳过程的谱密度有下列性X 12 质: ,S(,)性质1 是的实的、非负的X 偶函数。 R(,)R(,) 事实上，由是偶函数和XX 的非负定性 ，,,j,,S,(),F[R,()],R(,)ed, XXX,,, 0，,,j,,,j,,,R(,)ed,，R(,)ed, XX,,0,, 0，,j,s,j,,,R(,s)e(,ds)，R(,)ed, XX,,，,0 ，,，,j,,,j,,,R(,)ed,，R(,)ed, XX,,00 ，,,j,,j,,,R,()(e，e)d, X,0 ，, ,R(,)2cos,,d,， X,0 ,S(,)显然是的实的偶函数， X S(,)是非负的(证明较繁)。 X S(,)利用的偶函数性质，令 X ,,2(),,0S,X,(),G,X ， 0,,0,, G(,)称为单边谱密度，而谱密度 X S(,)又称为双边谱密度(见图X 13 12-2)。 在式 ，,1j1,,,F[S,()],S(,)ed,,R(,)中，XXX,,,2, S(,),,0令，得到谱密度与均方值 X的关系: 性质2 ，,122,,EX(t),R(0),S(,)d,，(12.13) XXX,,,2, X(t)对于一个平稳过程，称 T12E{X(t)dt}lim, ,T2T,，,T X(t)为平稳过程的平均功率。 T12E{X(t)dt}lim,因为 ,T2T,，,T T12,{E[X(t)]dt}lim, ,T2T,，,T T12,{,dt}Xlim, ,T2T,，,T 22,,X,,lim， X,，,T 14 2,所以，均方值就是平稳过程 X X(t)的平均功率。式(12.13)称为平均功率的谱表示式。 图12-2 四、互相关函数与互谱密度 X(t)Y(t)设随机过程和平稳相 X(t)Y(t)关(和都是平稳过程，且 E[X(t)Y(t，,)],R(,))，则互相关XY R(,)函数与互协方差函数 XY C(,),仅是的函数。 XY 互相关函数与两个过程的自相关函数之间有不等式 |R(,)|,|E[X(t)Y(t，,)]| XY 11122222,[EX(t)][EY(t，,)],[R(0)R(0)]， XY 15 2|R(,)|,R(0)R(0) ; XYXY 相应地，互协方差函数与自协方差函数之间有不等式 |C,()|,|E[(X(t),EX(t)),(Y(t，,),EY(t，,))]| XY 112222,[E(X(t),EX(t))],[E(Y(t，),EY(t，))],, 12,[C(0)C(0)] ， XY 2|C(,)|,C(0)C(0) ， XYXY R(,)在绝对可积的条件下， XY 存在 ，,,j,,S,(),F[R,()],R(,)ed,(12.14) XYXYXY,,, X(t)Y(t)称为平稳过程和的互谱密度。 反之， ，,1j,,R,(),S(,)ed, (12.15) XYXY,,,2, 式(12.14)和式(12.15)表明， R(,)互相关函数与互谱密度 XY 16 S(,)也构成傅里叶变换对。 XY S(,)互谱密度与两个过程XY 的自谱密度之间有不等式(互谱不等式) 2 |S(,)|,S(,)S(,) 。 XYXY 17