第二单元 正比例和反比例
变化的量
教学
:两种相关联量的变化情况。P18上的内容。
教学目标:
1.结合具体目标,体会生活中存在着大量互相依存的变量,让学生知道其中一种量变化,另一种量也随着变化。
2.在具体情境中,尝试用自己的语言描述两个变量之间的关系。
教学重点:两种变化的量。
教学难点:根据图表说明两种量的变化情况
教具准备: 直尺,三角板、课件等。
教学方法:自主探究
教学过程:
一、揭示课
。
教师:在现实生活中,存在着很多相关联的量。其中一种量变化,另一种量也随着变化。今天我们就来研究这些量的变化情况。
二、探索新知
活动一:观察并回答。
1.下表是小明的体重变化情况。
观察表中所反映的内容,搞清楚表中所涉及的量是哪两个量?观察后请回答。
2.上表中哪些量在发生变化?
3. 说一说小明10周岁前的体重是如何随年龄增长而变化的?
小结:小明的体重随年龄的增长而变化。2—6岁和6---10岁是体重的增长高峰。说明这两个阶段是孩子成长的重要阶段。
4.体重一直会随年龄的增长而变化吗?这说明了什么?
说明:体重和年龄是一组相关联的量。但体重的增长是随着人的生长规律而确定的。
5.教育学生要合理饮食,适当控制自己的体重。
活动二:骆驼被称为“沙漠之舟”,它的体温随时间的变化而发生较大的变化。
观察
上统计图:
1.图中所反映的两个变化的量是哪两个?
2.横轴表示什么?纵轴表示什么?
同桌两人观察并思考,得出结论后,记录在书上,然后再在全班汇报说明。
3.一天中,骆驼的体温最高是多少?最低是多少?
4.一天中,在什么时间范围内骆驼的体温在上升?在什么时间范围内骆驼的体温在下降?
5.第二天8时骆驼的体温与前一天8时的体温有什么关系?
6.骆驼的体温有什么变化变化的规律吗?
活动三:某地的一位学生发现蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系。
1.蟋蟀1分叫的次数除以7再加3,所得的结果与当时的气温值差不多。
2.如果用 t 表示蟋蟀每分钟叫的次数,你能用公式表示这个近似关系吗?请你写出这个关系式,全班展示,交流。
教师板书 h = t÷7+3 或 h =+3
3.你还发现生活中有哪两个量之间具有变化的关系?它们之间是怎样变化的?四人小组交流你收集到的信息,选派代表请举例说明
4.你还发现我们学过的数学知识中有哪些量之间具有变化的关系?
全课小结:今天我们研究的两个量都是相关联的。它们之间在变化的时候都具有一定的关系。下一节课我们将深入研究具有相关联的两个量,在变化时有相同的变化特征,这样的知识在数学上的应用。
三、深化练习。
找一找,生活中两种相关联的量,记录它们的变化情况。
四、作业。
下表是圆面积变化情况。
半径(米)
1
2
3
4
5
面积(平方米)
3.14
12.56
28.26
50.24
78.5
1. 上表哪些量在发生变化?
2. 圆的面积如何随着半径的增长而变化的?
正比例的意义 第 1 课时
教学内容:正比例的意义。P25~26的例题,“说一说”“想一想”“练一练”等。
教学目标:
1.结合丰富的事例,认识正比例,理解正比例的意义。
2.能根据正比例的意义,判断两个相关联的量是不是成正比例。
教学重点:理解正比例的意义。
教学难点:能根据正比例的意义,判断两个相关联的量是不是成正比例。
教 具:课件
教 法:自主探究
教学过程:
一、提示课题。
1.由学生说一说生活中两种相关联的量的变化情况。如年龄与体重.时间与温度.价钱与数量等。
2.教师:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,这样的两种量有什么关系呢?这就是我们今天要学习的内容。
板书:正比例
二、探索新知
活动一:在情境中感受两种相关联的量之间的变化规律。
(一)情境一:
1.观察,分别把正方形的周长与边长,面积与边长的变化情况填入表
格中。请根据你的观察,把数据填在表中。
2.填完表以后思考:正方形的周长与边长,面积与边长的变化是否有
关系?它们的变化分别有怎样的规律?规律相同吗?说说从数据中发现了什么?
3.小结:正方形的周长和面积都随边长的增加而增加,在变化过程中,
正方形的周长与边长的比值一定都是4。正方形的面积一边长的比是边长,是一个不确定的值。
(二)情境二:
1.一种汽车行驶的速度为90千米/小时。汽车行驶的时间和路程如下:
2.从表中你发现了什么规律?说说你发现的规律:路程与时间的比值(速度)相同。
(三)情境三:
1.一些人买一种苹果,购买苹果的质量和应付的钱数如下。
2.从表中发现了什么规律?应付的钱数与质量的比值(也就是单价)相同。
3.说说以上两个例子有什么共同的特点。
小结:路程随时间的变化而变化,在变化过程中路程与时间的比值相同;应付的钱数随购买苹果的质量的变化而变化,在变化过程中应付的钱数与质量的比值相同。
5.正比例关系:
(1)时间增加,所走的路程也相应增加,而且路程与时间的比值(速
度)相同。那么我们说路程和时间成正比例。
(2)购买苹果应付的钱数与质量有什么关系?
6.观察思考成正比例的量有什么特征?
一个量随另一个量的变化而变化,在变化过程中这两个量的比值相同。
(四)想一想:
1.正方形的周长与边长成正比例吗?面积与边长呢?为什么?
(1)正方形的周长随边长的变化而变化,且周长与边长的比值都是4,所以正方形的周长与边长成正比例。
(2)正方形的面积虽然也随边长的变化而变化,但面积与边长的比值是一个变化的值,所以正方形的面积和边长不成正比例。
请生用自己的语言说一说。
2.小明和爸爸的年龄变化情况如下:
小明的年龄/岁
6
7
8
9
10
11
爸爸的年龄/岁
32
33
(1)把表填写完整。
(2)父子的年龄成正比例吗?为什么?
(3)与同桌交流,再集体汇报。
三、深化练习(课本中练一练)。
四、总结。
五、作业。选用作业
习题
正比例练习课
教学内容:P27“练一练”第2、4题。
教学目标:
使学生进一步理解成正比例关系的两种量的变化情况,能正确判断这两种是否成正比例。
教学重点:正比例的意义。
教学难点:能正确判断两种相关联的量是否成正比例。
教具准备:课件等
教学方法:自主探究
教学过程:
一、基本练习。
1.一列火车行驶的时间和路程如下表:
时间/时
1
2
3
4
5
6
7
路程/千米
200
400
600
(1)你能将表格填完整吗?
(2)说一说你是怎样想的?
(3)这里的时间和路程成正比例吗?为什么?教师板书:=速度(相同)
因为速度相同(一定),所以路程和时间成正比例。
2.在布店的柜台上,一像下面一张写着花布米数和总价的表格。
数量(米)
1
2
3
4
5
6
7
总价(元)
3.1
6.2
9.3
(1)把表格填写完整。
(2)从表中你有什么发现?
(3)单价一定,数量和总价成反比例。
教师板书:=单价(相同)
3.小结。
二、深化练习。(练一练题目)
1.第2题:指名回答,集体订正。
2.第3题,第4题:学生单独做题,教师巡视,订正。
三、总结。
判断两种量是否成正比例的方法?(1)两种量相关联。(2)一量变化,另一种量也随着变化。(3)两种量的比值相同。
四、作业。选用作业设计习题
课题 画一画
教学内容:描点表示正比例关系。P19~20的例题。“试一试”.“练一练”等。
教学目标:
1.在具体情境中,通过“画一画”的活动,初步认识正比例图象。
2.会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点,并能在图中根据一个变量的值估计它所对应的变量的值。
3.进一步理解正比例的意义。
教学重点:初步认识正比例图象
教学难点:会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点
教具准备:课件
教学方法:自主探究
教学过程:
一、复习(判断下面的量是否成正比例关系?)
1.每行人数一定,总人数和行数。
2.长方形的长一定,宽和面积。
3.圆的半径与周长。
4.分子一定,分母和分数值。
5.长方形的周长一定,长和宽。
6.正方形的边长与面积。
7.圆的面积与半径。
二、探索新知
探索一个数与它的5倍之间的关系。
1.求出一个数的5倍,填写书上表格。自己独立完成。
一个数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
这个数的5倍
0
5
10
15
2.判断一个数的5倍和这个数有怎样的关系?说说你判断的理由
小结:一个数和它的5倍之间具有正比例关系。
3.根据上表,说出下图中各点的含义。(图见书上)。
请观察横轴表示什么?纵轴表示什么?然后说说各点表示的含义。
4.连接各点,你发现了什么?(所描的点都在同一条直线上)
5.利用书上的图,把下表填完整。
一个数
2.5
10.5
这个数的5倍
35
55
60
6.估计并找一找这组数据在统计图上的位置。(学生独立完成)
在统计图上估计一下,看看自己估计地是否准确
三、深化练习(1.“试一
目” 2.“练一练”第4题)。
四、总结。
五、作业。
“练一练”的1、3题
反比例的意义 第 1 课时
教学内容:教科书第31~33页上的内容。
教学目标:
1.结合丰富的实例,认识反比例。
2.能根据反比例的意义,判断两个相关联的量是不是成反比例。
3.利用反比例解决一些简单的生活问题,感受反比例关系在生活中的广泛应用。
教学重点:认识.理解反比例的意义。
教学难点:能根据反比例的意义判断两个相关联的量是不是成反比例。
教具准备:直尺等
教学方法:自主探究
教学过程:
一、复习。
1.判断下面各题中的两种量是否成正比例?为什么?
(1)工作效率一定,工作时间和工作总量。
(2)每头奶牛的产奶量一定,奶牛的头数和产奶总量。
(3)正方形的边长和它的面积。
二、探索新知
教师:我们已经学习了成正比例关系的量,今天我们继续研究两种量成反比例关系的变化规律。
情境(一)
认识课本中加法表中和是12的直线及乘法表中积是12的曲线。
引导学生发现规律:加法表中和是12,一个加数随另一个加数的变化而变化;乘法表中积是12,一个乘数随另一个乘数的变化而变化。
情境(二)
让学生把汽车行驶的速度和时间的表填完整,当速度发生变化时,时间怎样变化?每两个相对应的数的乘积各是多少?你有什么发现?独立观察,思考同桌交流,用自己的语言表达。
写出关系式:速度×时间=路程(一定)
观察思考并用自己的语言描述变化关系乘积(路程)一定
情境(三)
把杯数和每杯果汁量的表填完整,当杯数发生变化时,每杯果汁量怎样变化?每两个相对应的数的乘积各是多少?你有什么发现?用自己的语言描述变化关系
写出关系式:每杯果汁量×杯数=果汗总量(一定)
5.小结:都有两种相关联通的量,其中一种量变化,另一种量也随着变化,并且这两种量中相对应的两个数的乘积是一定的。这两种量之间是反比例关系。
三、想一想:第一题中哪个变化关系成反比例?并说明理由。
四、深化练习。
P33页第1.4题
五、总结。
怎样判断两种相关联的量成反比例?
关系式:X×Y=K(一定)
六、作业。
P33“练一练”2.3题
反比例的意义练习课
教学内容:判断两种量成什么比例(正比例或反比例)。
教学目标:
1.使学生进一步理解反比例的意义,能正确判断两种时是否成反比例。
2.使学生能正确判断两种量是否成正比例或反比例,提高学生的分析能力。
教学重点:进一步理解正.反比例的意义。
教学难点:能正确判断两种量是否成正比例或反比例。
教具准备:直尺、课件等。
教学方法:自主探究
教学过程:
一、基本练习。
1.填一填,说一说。
(1)每个箱中苹果的个数相同,运来苹果的箱数和苹果的总个数如下表。
箱数/箱
2
4
8
16
32
总个数/个
16
32
A 把表格填写完整。 B说一说箱数和总个数的变化情况。
C 哪一个量不变。 D 箱数和总个数成什么比例。
(2苹果的总个数一定,每个箱中苹果的个数和所装苹果的箱数如下表。
箱数/箱
2
4
8
10
20
总个数/个
100
50
A把表格填写完整。 B说一说每箱个数和箱数的变化情况。
C哪一个量不变? D每箱个数和箱数成什么比例?
二、综合练习。
判断下面两种量是否成正比例或反比例。
1.每袋大米的质量一定,大米的袋数和总质量。
2.一个人的年龄和身高。
3.长方形的周长和宽。
4.长方形的长一定,它的面积和宽。
5.三角形的面积一定,它的底和高。
6.圆的面积与半径。
过程要求:(1)逐个出示以上题目。(2)学生判断并说明理由。(3)教师归纳。
三、课堂小结。
四、作业。
观察与研究
教学内容:观察与研究。P27上的内容
教学目标:
1.让学生尝试用图表示成反比例的量之间的关系,进一步认识反比例的意义。
2.了解反比例曲线图的特征。
3.渗透事物之间都是相互联系和发展变化的观点,初步渗透函数思想
教学重点:探究长方形面积不变时,长与宽的关系。
教学难点:发现表示反曲线图的特征
教具准备:方格纸.直尺.三角板、课件等。
教学方法:自主探究
教学过程
一、复习引入。
在准备好的方格纸上把积是12的方格圈起来,再看一看可以连成直线还曲线?(指名回答)
二、探索新知
用x.y表示面积为24cm2的长方形相邻的两条边长,它们的变化关系如课本中表。
1.观察表格,说一说长和宽的变化情况,这里哪个量一定?(长扩大,宽缩小,相对应的长和宽的乘积是24)
2.面积一定时,长方形的长和宽有什么关系?(反比例关系)
3.根据数据在方格纸上画出这8个长方形。学生直接在课本上完成
4.连接图中的点A,B,C,D……(师生一起连线,证明自己的猜想)
三、深化练习。
教师投影出示准备好的题目,学生独立完成,教师巡视,订正。
四、总结。
五、作业。
图形的放缩
教学内容:P35、37的内容。(画一画.探究活动)
教学目标:
1.通过观察.操作,体会图形可以按一定的比例扩大或缩小。
2.懂得数对中两个数表示的意义,学会用数对确定点的位置的方法。
3.通过图形的放缩,结合具体情境,感受图形的相似。
教学重点:图形的缩小与扩大。
教学难点:图形扩大的原理。
教具准备:方格纸、图片、直尺、课件等。
教学方法:自主探究
教学过程
一、复习引入。
小红一家外旅游,照了许多相片,小红把几张放大后,挂在家里,把几张缩小后,放在夹子里。你知道相片放大或缩小的原理吗?
教师板书:图形的放缩
二、探索新知
1.教学例题。
(1)出示图讨论谁画得像呢?
引导学生分析这三名学生是如何画的。
①笑笑:图中的长与实际的长的比量多少?图中的宽与实际的宽的比是多少?(笑笑是按相同的比来画)
②淘气:图中的长与宽的比是多少?淘气也是按相同的比来画。
(2)小结
①笑笑.淘气都是按相同的比来画,所以都画得像。
②为什么同样大小的贺卡,却画出大小不同的长方形,而且有的像,有的不像呢?
③将较大的长方形画成较小的长方形,首先可能量出原来的长和宽缩+相同的倍数,才能画得像。
三、深化练习。(P36、37)
(1)“画一画”
(2)“探究活动”
小组交流后,独立操作,教师指导。
四、总结。
五、作业。
比例尺
教学内容:比例尺的意义。P38~39上的内容。
教学目标:
1.使学生理解比例尺的含义,能正确说明比例尺所表示的具体意义。
2.结合具体情境,利用比例尺解决有关的问题,提高学生的应用研究意识。
3.感受数学与日常生活的密切联系。
教学重点:比例尺的意义。
教学难点:运用比例尺求图上距离.实际距离
教具准备:挂图、直尺、课件等
教学方法:自主探究
教学过程
一、提示课题。
1.出示图
(1)观察平面图,找到比例尺。
(2)教师简介比例尺的重要作用。说明绘制地图(如建筑设计等)都必须用上比例尺。
2.什么是比例尺?这是我们本节课要学习的知识。
板书课题:比例尺
二、探索新知
1.出示笑笑家的平面图。
请学生认真观察图形,说一说:
(1)你得到哪些信息?(2)你想提出什么问题?
2.比例尺1:100是什么意思?
(1)学生猜想。(2)教师:比例尺1:100,是指图上1厘米长的线段实际100厘米。
3.比例尺的意义。
教师:比例尺是表示图上距离与实际距离的比。
板书:比例尺=(说明:一般情况下,比例尺的前项为1)
三、深化练习。2、5题
四、作业。“试一试”题目
比例尺
教学内容: 练习课。求比例尺.图上距离.实际距离等。P40~41练一练
教学目标:
1.使学生进一步理解比例尺的意义,掌握求图上距离和实际距离的方法。
2.使学生能运用比例尺的知识,解决有关实际问题。
教学重点: 理解比例尺的意义。
教学难点: 运用比例尺的知识,解决有关实际问题。
教具准备: 中国地图、课件等
教学方法: 自主探究
教学过程:
一、基本练习。
1.说一说什么是比例尺?
板书:比例尺=
2.你见过哪些比例尺?举例说明表示的意义。
3.算一算。
(1)小红家到学样的距离是1500米,图上距离是10厘米,这幅图的比例尺是多少?
(2)一条200长的跑道,画在比例尺是1:1000的图上,应画多少厘米?
(3)在比例尺是1:5000的图上量得操场的长4厘米,操场的长实际距离是多少米?
过程:学生独立做题,教师巡视,并作个别辅导,订正。
二、深化练习。
1.第1题。
(1)出示中国地图。
(2)量出北京和台北的距离,再计算出两地的实际距离。
(3)学生独立完成另一个问题。
2.第2题。
学生根据图,回答课本问题。
四、课堂小结。
五、作业。
“练一练”第3题
练习二 第 1课时
教学内容:正.反比例的练习。练习二的1~4题
教学目标:使学生进一步理解正.反比例的意义,能运用正.反比例的原理解决有关问题。
教学重点:正、反比例的意义
教学难点:运用正.反比例的原理解决有关问题。
教具准备:直尺等
教学方法:自主探究
教学过程:
一、基础练习。
1.正比例的意义。
(1)由学生说一说,在什么条件下两个量在正比例。
① 两个相关联的量
② 一个量增加,另一个量增加;一个量减少,另一个量减少。
③ 两个量的比值相同。
(2)举例说明。例:速度不变,所行的路程和时间成正比例。
2、反比例的意义。
(1)由学生说一说,在什么条件下两个量在反比例。
① 两个相关联的量
② 一个量增加,另一个量减少;一个量减少,另一个量增加。
③ 两个量的积一定。
(2)举例说明。例:路程一定,所需的时间和行驶的速度成反比例。
3.复习正.反比例的判断。
判断的方法和步骤:“一想”.“二找”.“三判断”。
一想:哪两种量是相关联的量?哪种量是一定量?
二找:两种相关联的量与不变量有什么关系?列出关系式。
三判断:根据关系式,一定的量是积还是商,判断是成正比例还是成反比例。
二、综合练习。
4题
1.第2题。
(1)把表填完整。(2)回答课本上的问题。
2.第4题。根据图回答问题。
三、课堂小结。
四、作业。
练习二第1.3题
练习二 第 2课时
教学内容:比例尺练习。练习二的5~7题
教学目标:
1.使学生能进一步理解并掌握比例尺的意义,能运用比例尺求图上距离或实际距离。
2.使学生能综合运用所学知识和技能解决问题,发展学生的应用意识。
教学重点: 理解并掌握比例尺的意义
教学难点: 运用比例尺求图上距离或实际距离。
教具准备: 直尺等。
教学方法:自主探究
教学过程:
一.基础练习。
1.什么是比例尺?
学生回答,教师板书:比例尺=
2.说一说。
(1)比例尺1∶800表示什么?
(2)比例尺1∶3000000表示什么?
对于比例尺1∶3000000,学生可能有不同的表述。
①图上距离1厘米相当于实际距离3000000厘米。
②图上距离1厘米相当于实际距离民30千米。
3.做一做。
图上距离4厘米,表示实际距离200千米。
(1)这幅地图的比例尺是多少?
(2)如果图上距离7厘米,实际是多少千米?
(3)如果实际距离是600千米,图上距离是多少厘米?过程要求:
①学生独立完成教师巡视课堂,了解学生练习情况。②全班反馈。
二.综合练习。5题)
(1)学生独立做题。
(2)指名回答。
(3)回答较好的给予表扬,
不好的教师引导学生回答。
三.课堂小结。
四.作业。练习二的第6.7题
整理和复习 第 1课时
教学内容: 圆柱和圆锥。P36“练一练”第1~7题。
教学目标: 1.使学生进一步理解掌握圆柱和圆锥的基础知识,并能综合运用所学知识和技能解决问题。
2.进一步丰富学生对空间的认识,发展学生的想象思维。
教学重点: 圆柱的表面积和体积,圆锥的体积计算。
教学难点: 解决有关圆柱.圆锥的实际问题。
教具准备: 直尺,课件等。
教学方法:自主探究
教学过程:
一、提示课题。
1.本学期我们学习了哪些内容?(指名学生回答)
2.本节课我们复习第一部分内容。
板书课题:圆柱和圆锥
二、知识疏理。
1.说一说在“圆柱和圆锥”单元中你学到哪些内容?
圆柱
特征
侧面积
表面积
体积
圆锥
特征
体积
(1)学生回答。(2)教师整理知识要点。
2.根据学到知识,你能提出什么问题?尝试解决,并与同学交流。
三、巩固练习。
1.第1题。
2.第2题。
学生独立做题,教师巡视,全班反馈。
3.第5.7题。
第7题 →第2题
指名板演,全班齐练,评讲。
四.课堂小结。
五.作业。“练一练”第3.4.6题
整理和复习
教学内容:正比例.反比例及比例尺。P37第8~13题。
教学目标:1.进一步理解和掌握正比例.反比例的意义,能较熟练地正确判断两个量成什么比例。
2.能运用正.反比例关系解决有关实际问题。
3.解决比例尺有关的实际问题。
教学重点:掌握正比例.反比例的意义。
教学难点:运用正.反比例关系解决有关实际问题,解决比例尺有关的实际问题
教具准备:课件.直尺等。
教学方法:自主探究
教学过程:
一、揭示课题。
1.教师说明本节课复习内容。
2.板书课题。
二、梳理知识。
1.说一说在“正比例和反比例”单元中,你学到了哪些知识。
2.判断下列关系中,两种量是否成比例?如成比例成什么比例?
X+Y=K(一定) X-Y=K (一定) AB=S(一定) 4A=C
三、巩固练习。
1.第8题。
(1)指名回答。(2)反馈。
2.第10题。
(1)读题,根据题意填表。(2)说一说你是怎么算的。(3)哪一个量一定,哪两个量成什么比例?
3.第12题。
(1)认真审题,明白“八折”是什么意思?(现价是原价的百分之八十或十分之八)
(2)计算打八折后的价格,再填表。
(3)画图。(把课本的图补充完整)
(4)说一说现价与原价的关系,并说明理由。
4.第13题。教师引导学生完成。
四、课堂小结。
1.说一说成正比例和反比例关系的特征。
2.举例说明生活中成正比例和反比例关系的量。
五、作业。“练一练”第9.11题