圆形的惯性矩推导公式5则

圆形的惯性矩推导公式5则 以下是网友分享的关于圆形的惯性矩推导公式的资料5篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。 《惯性矩、静矩,形心坐标公式范文一》 ?I?1 截面的静矩和形心位置 如图I ?1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分 S z =?y d A ??A ? S y =?z d A ? A ?(I ?1) 分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的静矩。 静矩可用来确定截面的形心位置。由静力学中确定物体重 1 心的公式可得 图I ?1 y d A ??y C A ? ?z d A ??A z C =? A ? = 利用公式(I ?1)，上式可写成 ?S y C ==z ? A A ? ? z d A S y ?z C ==? A A ?(I ?2) y d A 或 S z =Ay C ?? S y =Az C ? y C =z C S z A S y (I ?3) 2 ?????= A ??(I ?4) 如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形， 则由静 矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各 简单图形对 同一坐标轴的静矩的代数和。即: ? S z =?A i y ci ? ?i =1 ?n S y =?A i z ci ? ?i =1?(I ?5) 式中A i 、y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其 形心坐标，n 为简 单图形的个数。 将式(I ?5)代入式(I ?4)，得到组合图形形心坐标的计 算公式为 ? A y ?i ci ? ?y c =i =1n A i ????i =1 3 ?n A i z ci ???i =1 z c =?A i ???i =1?(I ?6) n n 例题I ?1 图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置。 解:建立直角坐标系zOy ，其中y 为截面的对称轴。因图形相对于y 轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此z C =0，只需计算y C 值。将截面分成?、?两个矩形，则 例题I ?1图 A ?=0.072m2，A ? =0.08m2 y ?=0.46m，y ?=0.2m y c = ?A y i i =1n n ci ?A i =1 4 i A I y I +A II y II = A I +A II 0. 072?0. 46+0. 08?0. 2==0. 323m 0. 072+0. 08 ?I ?2 惯性矩、惯性积和极惯性矩 如图I ?2所示平面图形代表一任意截面，在图 形平面内建立直角坐标系zOy 。现在图形内取微面积d A ，d A 的形心在坐标系zOy 中的坐标为y 和z ，到坐标原点的距离为ρ。现定义y 2d A 和z 2d A 为微面积d A 对z 轴和y 轴的惯性矩，ρ2d A 为微面积d A 对坐标原点的极惯性矩，而以下三个积分 I z =?y d A ? A ? ?2 I y =?z d A ? A ?2 I P =?ρd A ? A ?(I ?7) 5 2 222ρ=y +z 由图(I ?2)可见，，所以有 图I ?2 分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的惯性矩以及对坐标原点的极惯性 矩。 I P =?ρd A =?(y +z )d A =I z +I y A A 222 (I ?8) 即任意截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的两任意正交坐标轴的惯性矩之和。 另外，微面积d A 与它到两轴距离的乘积zy d A 称为微面积d A 对y 、z 轴的惯性积，而积分 I yz =?zyd A A (I ?9) 定义为该截面对于y 、z 轴的惯性积。 6 从上述定义可见，同一截面对于不同坐标轴的惯性矩和惯性积一 般是不同的。惯性矩的数值恒为正值，而惯性积则可能为正，可能为负，也可能等于零。惯性矩和惯性积的常用单位是m 4或mm 4。 ?I ?3 惯性矩、惯性积的平行移轴和转轴公式 一、惯性矩、惯性积的平行移轴公式 图I ?3 图I ?3所示为一任意截面， z 、y 为通过截面形心的一对正交轴，z 1、y 1为与z 、y 平行的坐标轴，截面形心C 在坐标系z 1O y 1中的坐标为(b ，a )，已知截面对z 、y 轴惯性矩和惯性积为I z 、I y 、I yz ，下面求截面对z 1、y 1轴惯性矩和惯性积I z 1、I y 1、I y 1z 1。 I z 1=I z +a 2A 2 (I ?11) (I ?10) 同理可得 I y 1=I y +b A 7 式(I ?10)、(I ?11)称为惯性矩的平行移轴公式。 下面求截面对y 1、z 1轴的惯性积I y z 。根据定义 11 I y 1z 1=?z 1y 1d A =?(z +b )(y +a )d A A A =?zy d A +a ?z d A +b ?y d A +ab ?d A A A A A =I yz +aS y +bS z +abA 由于z 、y 轴是截面的形心轴，所以S z =S y =0，即 I y 1z 1=I yz +abA (I ?12) 式(I ?12)称为惯性积的平行移轴公式。 二、惯性矩、惯性积的转轴公式 8 图(I ?4)所示为一任意截面，z 、y 为过任一点O 的一对正交轴，截面对z 、y 轴惯性矩I z 、I y 和惯性积I yz 已知。现将z 、y 轴绕O 点旋 转α角(以逆时针方向为正)得到另一对正交轴z 1、y 1轴，下面求截面对z 1、y 1轴惯性矩和惯性积I z 、I y 、I y z 。 1 1 11 图I ?4 I z 1= I z +I y 2 + I z -I y 2 cos 2α-I yz sin 2α (I ?13) 9 同理可得 I y 1= I z +I y 2 - I z -I y 2 cos 2α+I yz sin 2α (I ?14) I y 1z 1= I z -I y 2 sin 2α+I yz cos 2α (I ?15) 式(I ?13)、(I ?14)称为惯性矩的转轴公式，式(I ?15) 称为惯性积的转轴公式。 ?I ?4 形心主轴和形心主惯性矩 一、主惯性轴、主惯性矩 由式(I ?15)可以发现，当α=0o ，即两坐标轴互相重合 时， I y 1z 1=I yz ;当α=90o 时，I y 1z 1=-I yz ，因此必定有 10 这样的一对坐标轴， 使截面对它的惯性积为零。通常把这样的一对坐标轴称为截面的主惯性轴，简称主轴，截面对主轴的惯性矩叫做主惯性矩。 假设将z 、y 轴绕O 点旋转α0角得到主轴z 0、y 0，由主轴的定义 I y 0z 0= 从而得 I z -I y 2 sin 2α0+I yz cos 2α0=0 tan 2α0= -2I yz I z -I y (I ?16) 上式就是确定主轴的公式，式中负号放在分子上，为的是和下面两式相符。这样确定的α0角就使得I z 等于I max 。 由式(I ?16)及三角公式可得 cos 2α0=sin 2α0= I z -I y 11 2 (I z -I y ) 2+4I yz -2I yz 2 (I z -I y ) 2+4I yz 将此二式代入到式(I ?13)、(I ?14)便可得到截面对主轴z 0、y 0的主惯性矩 I z 0I y 0 I z +I y 122?=+(I z -I y ) +4I yz ? ?22 ? I z +I y 12?=-(I z -I y ) 2+4I yz ?22?(I ?17) 二、形心主轴、形心主惯性矩 通过截面上的任何一点均可找到一对主轴。通过截面形心的主轴叫做形心主轴，截面对形心主轴的惯性矩叫做形心主惯性矩。 例题I ?5 求例I ?1中截面的形心主惯性矩。 解:在例题I ?1中已求出形心位置为 z C =0，y C =0. 323m 12 过形心的主轴z 0、y 0如图所示，z 0轴到两个矩形形心的 距离分别为 a I =0. 137m ，a II =0. 123m 截面对z 0轴的惯性矩为两个矩形对z 0轴的惯性矩之和， 即 I z 0=I +A I a +I =0. 37?10-2m 4 截面对y 0轴惯性矩为 I II I y 0=I y +I y 00 I z I 2I II z I I +A II a 2II 3 0. 6?0. 1230. 2?0. 4=+0. 6?0. 12?0. 1372++0. 2?0. 4?0. 1232 1212 0. 12?0. 630. 4?0. 23 13 =+=0. 242?10-2m 4 1212 《静距、惯性矩及惯性积的概念公式汇总范文二》 构件典型截面几何性质的计算 2.1面积矩 1(面积矩的定义图2-2.1任意截 面的几何图形如图2-31所示为一任意截面 的几何图形(以下简称图形)。定义:积分和 分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和Sy，来表示，如式(2—2.1) (2—2.1) 面积矩的数值可正、可负，也可为零。面积矩的 量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm 3。 2(面积矩与形心 平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2) (2—2.2) 或改写成，如式(2—2.3) 14 (2—2.3) 面积矩的几何意义:图形的形心相对于指定的坐 标轴之间距离的远近程度。图形形心相对于某一坐标距 离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。 图形对通过其形心的轴的面积矩等于零;反之， 图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形 心。 3(组合截面面积矩和形心的计算 组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对 该轴面积矩的代数和。如式(2—2.4) (2—2.4) 式中，A和yi、zi分别代表各简单图形的面积和形 心坐标。组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。 (2—2.5) 2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积 1(极惯性矩 任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。定义: 积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号IP， 表示，如式(2—2.6) (2—2.6) 极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对 不同的点的极惯性矩一般是不同的。极惯性矩恒为正， 15 其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm4。 (1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2—7) (2—2.7) (2)对于外径为D、内径为d的空心圆截面对圆心的 极惯性矩，如式(2—2.8) (2—2.8) 式中，d/D为空心圆截面内、外径的比值。 2(惯性矩 在如图6-1所示中，定义积分，如式(2—2.9) (2—2.9) 称为图形对z轴和y轴的惯性矩。惯性矩是对一定 的轴而言的，同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。 惯性矩恒为正值，其量纲和单位与极惯性矩相同。 同一图形对一对正交轴的惯性矩和对坐标原点的 极惯性矩存在着一定的关系。 如式2—2.10) IP=Iz+Iy(2—2.10) 上式表明，图形对任一点的极惯性矩，等于图形 对通过此点且在其平面内的任一对正交轴惯性矩之和。 表6-1给出了一些常见截面图形的面积、形心和惯 性矩计算公式，以便查用。工程中使用的型钢截面，如 工字钢、槽钢、角钢等，这些截面的几何性质可从附录 16 的型钢表中查取。 3(惯性积 如图2—32所示，积分定义为图形对y，、 z轴的惯性积，用符号Iyz 表示，如式(2—11) (2—11) 图2-2.2具有轴 对称的图形 惯性积是对于一定的一对正交坐标轴而言的，即同一图 形对不同的正交坐标轴的惯性积不同，惯性积的数值可 正、可负、可为零，其量纲和单位与惯性矩相同。 由惯性积的定义可以得出如下结论:若图形具有 对称轴，则图形对包含此对称轴在内的一对正交坐标抽 的惯性积为零。如图2-32所示，y为图形的对称轴.则整 个图形对y、z轴的惯，性积等于零。 常见图形的面积、形心和惯性矩 表2—2.1 序形 心 位 图形 面积惯性矩(形心轴) 17 号置1 2 3 4 5 6 2(3组合截面的惯性矩 任意平面 图2-33所示。z 对正交的形心轴，1(惯性矩和惯性积的平行移轴公式图 y1为与形心轴平行 一对正交轴，平行 的距离分别为 已知图形对形心轴的 惯性矩Iz、Iy和惯 Izy，现求图形对 轴的惯性矩Iz1 性积Iz1y1。有惯性 惯性积的平行移轴公 式如式(2—2.12 (2—2.13) (2—2.12) 18 Iz1y1=Izy+abA(2—2.13) 可见，图形对于形心轴的惯性矩是对所有平行轴的 惯性矩中最小的一个。在应用平行移轴公式(2—2.12) 时，要注意应用条件，即y、z轴必须是通过形心的轴， 且z1、y1轴必须分别与z、y轴平行。在应用式(2—2.13) 计算惯性积时，还须注意a、b的正负号，它们是截面 形心c在z1oy1坐标系中的坐标值。 2(组合截合惯性矩计算 组合图形对某一轴的惯性矩，等于其各组成部分简 单图形对该轴惯性矩之和，如式(2—2.14) (2—2.14) 在计算组合图形对z、y轴的惯性矩时，应先将组 合图形分成若干个简单图形，并计算出每一简单图形对 平行于z、y轴的自身形心轴的惯性矩，然后利用平行 移轴公式(2—2.12)计算出各简单图形对z、y轴的惯性 矩，最后利用式(2—2.14)求总和。 2.4主惯性轴和主惯性矩 过图形上任一点都可得到一对主轴，通过截面图形 形心的主惯性轴，称为形心主轴，图形对形心主轴的惯 性矩称为形心主惯性矩。在对构件进行强度、刚度和稳 定计算中，常常需要确定形心主轴和计算形心主惯性 矩。因此，确定形心主轴的位置是十分重要的。由于图 19 形对包括其对称轴在内的一对正交坐标轴的惯性积为 零，所以对于如图6-4所示具有对称轴的截面图形，可 根据图形具有对称轴的情况，观察确定形心主轴的位 置。 (1)如果图形有一根对称轴，则此轴必定是形心主 轴、而另一根形心主轴通过形心，并与对称轴垂直，如 图2-34b)、d)所示。 (2)如果图形有两根对称轴，则该两轴都为形心主 轴，如图6-4a)、c)所示。 (3)如果图形具有3根或更多根对称轴，过图形形心 的任何轴都是形心主、轴，且图形对其任一形心主轴的 惯性矩都相等，如图6-4e)、f)所示。图2-2.4 具有 称轴的截面图 抗弯截面系数 在横截面上离中性轴最远的各点处，弯曲正应力最大，其值为 比值Iz/ymax仅与截面的形状与尺寸有关，称为抗弯截面系数，并用Wz表示，即Wz=Iz/ymax由公式可见，最大弯曲正应力与弯矩成正比，与抗弯截面系数成反比。抗弯截面系数Wz综合反映了横截面的形状与尺寸对弯曲正应力的影响。一些常用抗弯 20 截面系数 《惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式范文三》 惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点:(一).截面静矩和形心1.静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即 dSy?xdAdSx?ydA 整个图形对y、z轴的静矩分别为 Sy?Sx??xdAA (I-1) ?AydA2.形心与静矩关系 图I-1 设平面图形形心C的坐标为yC,zC 则 0?SxA ， ?SyA (I-2)推论1 如果y轴通过形心(即?0)，则静矩Sy?0;同理，如果x轴通过形心(即?0)，则静矩Sx?0;反之也成立。推论2 如果x、y轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心;如果y轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为 A1,A2,A3??An的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为1,1;2,2;3,3??，则图形对y轴和x轴的静矩分别为 《惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式范文四》 21 一.重点及难点: (一).截面静矩和形心 1.静矩的定义式 如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即 dSy?xdA dSx?ydA 整个图形对y、z轴的静矩分别为 Sy??xdA A Sx??ydA A (I-1) 2.形心与静矩关系 图I-1 设平面图形形心C的坐标为yC,zC 则 0 SySx ? ， ? (I-2) AA 推论1 如果y轴通过形心(即?0)，则静矩Sy?0;同理，如果x轴通过形心(即?0)，则静矩Sx?0;反之也成立。 推论2 如果x、y轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心;如果y轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。 3.组合图形的静矩和形心 22 设截面图形由几个面积分别为A1,A2,A3??An的简单图 形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为1,12,23,3??， 则图形对y轴和x轴的静矩分别为 Sy??Syi??Aii i?1n i?1n nn (I-3) Sx??Sxi??Aii i?1 i?1 截面图形的形心坐标为 ? ?Aii?1n n i ， ? ?Aii?1n n i (I-4) ?A 23 i?1 i ?A i?1 i 4.静矩的特征 (1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。 (2) 静矩有的单位为m3。 (3) 静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。 (4) 若已知图形的形心坐标。则可由式(I-1)求图形对坐标轴的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式(I-2)求图形的形心坐标。组合图形的形心位置，通常是先由式(I-3)求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式(I-4)求出其形心坐标。 (二).惯性矩 惯性积 惯性半径 1. 惯性矩 定义 设任意形状的截面图形的面积为A(图I-3)，则图形对O点的极惯性矩定义为 Ip???2dA (I-5) A 图形对y轴和x轴的光性矩分别定义为 24 Iy??x2dA ， Ix??y2dA (I-6) A A 惯性矩的特征 (1) 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的;轴惯性矩是对某一坐 标轴定义的。 (2) 极惯性矩和轴惯性矩的单位为m4。 (3) 极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正值。 (4) 图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以该点为坐标原 点的任意一对坐标轴的轴惯性矩之和，即 Ip???2dA??(x2,y2)dA?Iy,Ix (I-7) A A (5) 组合图形(图I-2)对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩， 分别等于各族纷纷图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之和，即 I???I?i ，Iy??Iyi ， Ix??Ixi (I-8) i?1 i?1 25 i?1 n n n 图I-2 图I-3 2. 惯性积 定义 设任意形状的截面图形的面积为A(图I-3)，则图形对y轴和x轴的惯性积定义为 Ixy??xydA (I-9) A 惯性积的特征 (1) 界面图形的惯性积是对相互垂直的某一对坐标轴定义的。 (2) 惯性积的单位为m4。 (3) 惯性积的数值可正可负，也可能等于零。若一对坐标周中有 一轴为图形的对称轴，则图形对这一对称轴的惯性积必等于零。但图形对某一对坐标轴的惯性积为零，这一对坐标轴重且不一定有图形的对称轴。 (4) 组合图形对某一对坐标轴的惯性积，等于各组分图形对同一 坐标轴的惯性积之和，即 26 Ixy??Ixy i (I-10) i?1n 3. 惯性半径 定义: 任意形状的截面图形的面积为A(图I-3),则图形对y轴和x轴的惯性半径分别定义为 iy? IyA ， ix? Ix (I-11) A 惯性半径的特征 (1) 惯性半径是对某一坐标轴定义的。 (2) 惯性半径的单位为m。 (3) 惯性半径的数值恒取证之。 (三).惯性矩和惯性积的平行移轴公式 平行移轴公式 Ix?IxC,a2AIy?IyC,bA 2 (I-12) Ixy?IxCy, (I-13) CabA平行移轴公式的特征 (1)意形状界面光图形的面积为A(图(I-4);xC，yC 轴为图形的形心轴;x，y轴为分别与xC，yC形心轴相距为a 27 和b的平行轴。 (2)两对平行轴之间的距离a和b的正负，可任意选取坐标轴x，y或形心xC，yC为参考轴加以确定。 (3)在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不一定是最小。 图I-4 (四)、惯性矩和惯性积的转轴公式.主惯性轴主惯性矩 转轴公式 Ix1? Ix,Iy 2Ix,Iy 2 ,Ix～Iy 2Ix～Iy 2 cos2?～Ixysin2? Iy1? ～ cos2?,Ixysin2? Ix1y1?转轴公式的特征 Ix～Iy 2 28 sin2?,Ixycos2? (1) 角度?的正负号，从原坐标轴x,y转至新坐标轴x1,y1，以逆时 针转向者为正(图5)。 (2) 原点O为截面图形平面内的任意点，转轴公式与图形的形心无 关。 (3) 图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直坐标轴的两个轴惯 性矩之和为常量，等于图形对原点的极惯性矩，即 Ix,Iy?Ix1,Iy1?IP 主惯性轴、主惯性矩 任意形状截面图形对以某一点O为坐标原点的坐 标轴x0、y0的惯性积为零(Ixy?0)，则坐标轴x0、y0称为图形通过 00 点O的主惯性轴(图6)。截面图形对主惯性轴的惯性矩Ix,Iy，称为 主惯性矩。 主惯性轴、主惯性矩的确定 (1) 对于某一点O，若能找到通过点O的图形的对称轴， 29 则以点O 为坐标原点，并包含对称轴的一队坐标轴，即为图形通过点O的一对主惯性轴。对于具有对称轴的图形(或组合图形)，往往已知其通过自身形心轴的惯性矩。于是，图形对通过点o的主惯性轴的主惯性矩，一般即可由平行移轴公式直接计算。 (2) 若通过某一点o没有图形的对称轴，则可以点o为坐标原点， 任作一坐标轴x，y为参考轴，并求出图形对参考轴x，y的惯性矩Ix,Iy和惯性积Ixy。于是，图形通过点o的一对主惯性轴方位及主惯性矩分别为 tan2?0?～Ix0 ?Iy0 2IxyIx～Iy (I-16) ?2?,Ixy (I-17) ?? 2 Ix,Iy 2 ?Ix～Iy???2? 主惯性轴、主惯性矩的特征 (1)图形通过某一点O至少具有一对主惯性轴，而主惯 30 性局势图形对通过同一点O所有轴的惯性矩中最大和最小。 (2)主惯性轴的方位角?0，从参考轴x，y量起，以逆时针转向为正。 (3)若图形对一点o为坐标原点的两主惯性矩相等，则通过点o的所有轴均为主惯性轴，且所有主惯性矩都相同。( 4)以截面图形形心为坐标原点的主惯性轴，称为形心主惯性轴。图形对一对形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩。 y1 图I-5 图I-6 二.典型例题分析 例I-a 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴的静矩。 解:计算此截面对于x轴的静矩Sx时，可以去平行于x轴的狭长条(见图)作为面积元素(因其上各点的y坐标相等)，即dA?b(y)dy。由相似三角形关系，可知: b(y)? bb (h～y),因此有dA?(h～y)dy。将其代入公式(I-1)的第二式，即得 hh h0 31 hbbh2bh2 (h～y)dy?b?ydy～?ydy? 0hh06 Sx??ydA?? A x 例题I-a图 解题指导:此题为积分法求图形对坐标轴的静矩。 例I-2 试确定图示?-b截面形心C的位置 解:将截面分为?、П两个矩形。为计算方便，取x轴和y轴分别与界面的底边和左边缘重合(见图)。先计算每一个矩形的面积Ai和形心坐标(i,i)如下: 矩形? A??10?120?120mm02 ?? 10120 ?5mm ，???60mm 22 矩形П A??10?70?700mm2 7010 ?45mm ，???5mm 22 将其代入公式(I-4)，即得截面形心C的坐标为 ??10, ? 32 A??,A??37500 ??20mm A?,A?1900 A,A??75500?????40mm A?,A?1900 解题指导: 此题是将不规则图形划分为两个规则图形利用已有的规则图形的面积和形心， 图?-b 例I-3 试求图I-c所示截面对于对称轴x轴的惯性矩Ix 解:此截面可以看作有一个矩形和两个半圆形组成。设矩形对于x轴的惯性矩为 Ix?，每一个半圆形对于x轴的惯性矩为Ix??，则由公式(I-11)的第一式可知，所给截面的惯性矩: Ix?Ix?,2Ix?? (1) 矩形对于x轴的惯性矩为: d(2a)380?2003 Ix????5330?104mm4 (2) 1212 半圆形对于x轴的惯性矩可以利用平行移轴公式求得。为此，先求出每个半圆形对于与x轴平行的形心轴xC(图b) 33 的惯性矩IxC。已知半圆形对于其底边的惯性矩为圆形对其 直径轴x?(图b)的惯性据之半，即Ix?? ?d4 128 。而半圆形的面积 为A? ?d2 8 ，其形心到底边的距离为 2d (图b)。故由平行移轴公式(I-10a)，3? 可以求出每个半圆形对其自身形心轴xC的惯性矩为: IxC 2d2?d42d2?d2 ?Ix?～()A?～() (3) 3?1283?8 2d ，故在由平行移轴公式，求得每个3? 由图a可知，半圆形形心到x轴距离为a,半圆形对于x轴 的惯性矩为: Ix???IxC 2d2?d42d2?d22d2?d2 34 ,(a,)A?～(),(a,) 3?1283?83?8 a22ad(,,) ? 43223a? ?d2d2 将d=80mm、 a=100mm (图a)代入式(4)，即得 Ix??? ?(80)2802 410022?100?80 (,,)?3460?104mm4 3223? 将求得的Ix?和Ix??代入式(1)，便得 Ix?5330?104,2?3460?104?12250?104 mm4 解题指导: 此题是将不规则图形划分为若干个规则图形，利用已有的规则图形的面积、 形心及对自身形心轴的惯性矩，结合平行移轴公式计算组合截面图形对组合截面形心的惯性矩。 图I-c x? 图I-c 常用截面惯性矩计算公式 35 《惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式范文五》 惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式 截面图形的几何性质 一.重点及难点: (一).截面静矩和形心 1.静矩的定义式 如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA，定义 它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即 dS y ?xdA dSx?ydA 整个图形对y、z轴的静矩分别为 Sy?Sx? ?xdA A (I-1) ? 36 A ydA 2.形心与静矩关系 图I-1 设平面图形形心C的坐标为yC,zC 则 0 ? SxA ， ? SyA (I-2) 推论1 如果y轴通过形心(即?0)，则静矩Sy?0;同理，如果x轴通过形心(即?0)，则静矩Sx?0;反之也成立。 推论2 如果x、y轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心;如果y轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。 3.组合图形的静矩和形心 设截面图形由几个面积分别为A1,A2,A3??An的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为1,1;2,2;3,3??，则图形对y轴和x轴的静矩分别为 nn yi Sy?Sx? ?S i?1n 37 ??Aii i?1n (I-3) Aii ?S i?1 xi ? ? i?1 截面图形的形心坐标为 n n ? ? i?1n Aii ， ? Ai ?A i?1ni?1 i 38 i (I-4) i ? i?1 ?A 4.静矩的特征 (1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。 (2) 静矩有的单位为m3。 (3) 静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。 (4) 若已知图形的形心坐标。则可由式(I-1)求图形对坐标轴的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式(I-2)求图形的形心坐标。组合图形的形心位置，通常是先由式(I-3)求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式(I-4)求出其形心坐标。 (二).惯性矩 惯性积 惯性半径 1. 惯性矩 定义 设任意形状的截面图形的面积为A(图I-3)，则图形对O点的极惯性矩定义为 Ip? ? 39 A ?dA (I-5) 2 图形对y轴和x轴的光性矩分别定义为 Iy? ? A xdA ， Ix? 2 ? A ydA (I-6) 2 惯性矩的特征 (1) 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的;轴惯性 矩是对某一坐 标轴定义的。 (2) 极惯性矩和轴惯性矩的单位为m4。 (3) 极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正值。 (4) 图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以 该点为坐标原 点的任意一对坐标轴的轴惯性矩之和，即 40 Ip? ? A ?dA? 2 ? A (x,y)dA?Iy,Ix (I-7) 22 (5) 组合图形(图I-2)对某一点的极惯性矩或某一轴的 轴惯性矩， 分别等于各族纷纷图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性 矩之和，即 n n i y n yi I?? ?I? ，I i?1 41 ? ?I i?1 ， Ix? ?I i?1 xi (I-8) 图I-2 图I-3 2. 惯性积 定义 设任意形状的截面图形的面积为A(图I-3)，则图形 对y轴和x轴的惯性积定义为 Ixy? ? A xydA (I-9) 惯性积的特征 (1) 界面图形的惯性积是对相互垂直的某一对坐标轴定 义的。 (2) 惯性积的单位为m4。 (3) 惯性积的数值可正可负，也可能等于零。若一对坐 标周中有 42 一轴为图形的对称轴，则图形对这一对称轴的惯性积必等于零。但图形对某一对坐标轴的惯性积为零，这一对坐标轴重且不一定有图形的对称轴。 (4) 组合图形对某一对坐标轴的惯性积，等于各组分图形对同一 坐标轴的惯性积之和，即 Ixy?3. 惯性半径 定义: 任意形状的截面图形的面积为A(图I-3),则图形对y轴和x轴的惯性半径分别定义为 iy? IyA ?I (I-10) xyi i?1 n ， ix? IxA (I-11) 惯性半径的特征 (1) 惯性半径是对某一坐标轴定义的。 (2) 惯性半径的单位为m。 (3) 惯性半径的数值恒取证之。 (三).惯性矩和惯性积的平行移轴公式 43 平行移轴公式 Ix?IxC,aAIy?IyC,bA 22 (I-12) Ixy?IxCyC,abA (I-13) 平行移轴公式的特征 (1)意形状界面光图形的面积为A(图(I-4);xC，yC 轴为图形的形心轴;x，y轴为分别与xC，yC形心轴相距为a和b的平行轴。 (2)两对平行轴之间的距离a和b的正负，可任意选取坐标轴x，y或形心xC，yC为参考轴加以确定。 (3)在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不一定是最小。 x 图I-4 (四)、惯性矩和惯性积的转轴公式.主惯性轴主惯性矩 转轴公式 Ix? 1 Ix,Iy 2Ix,Iy 2 44 , Ix～Iy 2Ix～Iy 2 cos2?～Ixysin2? Iy? 1 ～ cos2?,Ixysin2? Ixy? 11 Ix～Iy 2 sin2?,Ixycos2? 转轴公式的特征 (1) 角度?的正负号，从原坐标轴x,y转至新坐标轴x1,y1， 以逆时 针转向者为正(图5)。 (2) 原点O为截面图形平面内的任意点，转轴公式与图形 的形心无 关。 (3) 图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直坐标轴的 45 两个轴惯 性矩之和为常量，等于图形对原点的极惯性矩，即 I x ,Iy?Ix1,Iy1?IP 主惯性轴、主惯性矩 任意形状截面图形对以某一点O为坐标原点的坐 标轴x0、y0的惯性积为零(I x0y0 ?0)，则坐标轴x0、y0称为图形通过 x0 点O的主惯性轴(图6)。截面图形对主惯性轴的惯性矩I主惯性矩。 主惯性轴、主惯性矩的确定 ,Iy0 ，称为 (1) 对于某一点O，若能找到通过点O的图形的对称轴，则以点O 为坐标原点，并包含对称轴的一队坐标轴，即为图形通过点O的一对主惯性轴。对于具有对称轴的图形(或组合图形)，往往已知其通过自身形心轴的惯性矩。于是，图形对通过点o的主惯性轴的主惯性矩，一般即可由平行移轴公式 46 直接计算。 (2) 若通过某一点o没有图形的对称轴，则可以点o为坐 标原点， 任作一坐标轴x，y为参考轴，并求出图形对参考轴x，y 的惯性矩I x ,Iy 和惯性积I。于是，图形通过点o的一对主惯性轴方 xy 位及主惯性矩分别为 tan2?0?～ 2IxyIx～Iy (I-16) 2 Ix0Iy0 ? Ix,Iy 2 ? ?Ix～Iy?2 ??,Ixy??2?? (I-17) 47 主惯性轴、主惯性矩的特征 (1)图形通过某一点O至少具有一对主惯性轴，而主惯性局势图形对通过同一点O所有轴的惯性矩中最大和最小。 (2)主惯性轴的方位角?0，从参考轴x，y量起，以逆时针转向为正。 (3)若图形对一点o为坐标原点的两主惯性矩相等，则通过点 o的所有轴均为主惯性轴，且所有主惯性矩都相同。 (4)以截面图形形心为坐标原点的主惯性轴，称为形心主惯性轴。图形对一对形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩。 y1 0图I-5 图I-6 二.典型例题分析 例I-a 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴的静矩。 解:计算此截面对于x轴的静矩Sx时，可以去平行于x轴的狭长条(见图)作为面积元素(因其上各点的y坐标相等)，即dA?b(y)dy。由相似三角形关系，可知: b(y)? bh 48 (h～y),因此有dA? h bh (h～y)dy h 。将其代入公式(I-1)的第二式，即得 Sx? ? A ydA? ? bh (h～y)dy?b?ydy～ bh ? h ydy? 2 bh6 49 2 x b 例题I-a图 解题指导:此题为积分法求图形对坐标轴的静矩。 例I-2 试确定图示?-b截面形心C的位置 解:将截面分为?、П两个矩形。为计算方便，取x轴和y 轴分别与界面的底边和左边缘重合(见图)。先计算每一个 矩形的面积Ai和形心坐标(i,i)如下: 2矩形? A??10?120?1200mm ?? 102 ?5mm ，?? 1202 ?60mm 矩形П A??10?70?700mm2 ??10, 702 ?45mm ，?? 50 102 ?5mm 将其代入公式(I-4)，即得截面形心C的坐标为 ? A??,A?? A?,A?A??,A?? A?,A? ??[***********] ?20mm ? ?40mm 解题指导: 此题是将不规则图形划分为两个规则图形利用已有的规则图形的面积和形心， 计算不规则图形的形心。 图?-b 例I-3 试求图I-c所示截面对于对称轴x轴的惯性矩Ix 解:此截面可以看作有一个矩形和两个半圆形组成。设矩形对于x轴的惯性矩为 51 Ix?，每一个半圆形对于 x轴的惯性矩为Ix??，则由公式(I-11)的第一式可知， 所给截面的惯性矩: Ix?Ix?,2Ix?? (1) 矩形对于x轴的惯性矩为: Ix?? d(2a)12 3 ? 80?200 12 3 ?5330?10mm (2) 4 4 半圆形对于x轴的惯性矩可以利用平行移轴公式求得。为此，先求出每个半圆形对于与x轴平行的形心轴xC(图b)的惯性矩IxC。已知半圆形对于其底边的惯性矩为圆形对其直径轴x?(图b)的惯性据之半，即Ix?? ?d8 2 52 ?d 4 128 。而半圆形的面积 为A?，其形心到底边的距离为 2d3? (图b)。故由平行移轴公式(I-10a)， 可以求出每个半圆形对其自身形心轴xC的惯性矩为: IxC?Ix?～( 2d3?)A? 2 ?d 4 128 ～( 2d3? ) 2 ?d8 2 (3) 2d3? 53 由图a可知，半圆形形心到x轴距离为a,半圆形对于x轴 的惯性矩为: Ix???IxC,(a, 2 2 ，故在由平行移轴公式，求得每个 2d3?a 2 )A? 2 ?d 4 128 ～( 2d3? ) 2 ?d8 2 ,(a, 2d3? ) 54 2 ?d8 2 ? ?d4 ( d 32 , 2 , 2ad3a? ) 将d=80mm、 a=100mm (图a)代入式(4)，即得 Ix??? ?(80)4 2 ( 80 2 32 55 , 1002 2 , 2?100?80 3? )?3460?10mm 4 4 将求得的Ix?和Ix??代入式(1)，便得 Ix?5330?10 4 ,2?3460?10 4 ?12250?10 4 mm4 解题指导: 此题是将不规则图形划分为若干个规则图形， 利用已有的规则图形的面积、 形心及对自身形心轴的惯性矩，结合平行移轴公式计算组 合截面图形对组合 截面形心的惯性矩。 56 图I-c x ? 图I-c 常用截面惯性矩计算公式 57