李明波线段

李明波线段 李 明 波 线 段 郝锡鹏 提要 李明波在1987年证明:在平面直角坐标系的第一象限内， a,b不高出M()点所能滑过的线段的最大长度是 223 332c,(a，b) 一 问题的由来 1987年，毕业2年的李明波任土建技术员。李明波当时所经历过的工程实际，给他提出了这样一个问题:通过圆柱形桶体的水塔塔身底部门口，所能运进的直构件的最大长度是多少。 二 数学模型的建立 Y A a,bM() ? B X O 图 1 1 李明波所建立的数学模型是:如图1，在平面直角坐标系的第一象限中，用X轴代地面，Y轴代表门口对面的塔身内壁;点M(a,b)ba代表门上口，其横坐标代表塔身内径，纵坐标代表门 AB口高度;线段代表直构件，且两个端点分别在两个坐标轴上滑动, Mc并设从不高于点处能滑过的所有线段中的最大长度为[1]。 三 该线段集最长和最短于一体 M(a,b)1 在平面直角坐标系的第一象限内，若设不高于点能够滑 M(a,b)c过去的最长线段为，它必然会在滑到某一位置时触及到 M(a,b)点，而非最长线段在滑动过程中则不会触及到点。 Y A a,b() M? X O B 图 2 M(a,b)c2 鉴于1中所述，线段同时也属于过点且端点在X轴、Y轴上的一条线段，而且它应是这种线段中的最短线。长于最短线的 M(a,b)过点的其它线段，滑动时都不能抵达到最短线的位置从而无法通过，因为滑到最短线位置意味着它的长度将被压缩。 这就是李明波线段，集最长和最短于一体的奇妙性。 2 四 李明波的解决方法 李明波是用包洛原理来解决这个问题的，过程如下:Y Y 2 B B1 B i? ? M(a,b) M(a,b) P , ,A i O X X O A2 A1 图 3 图 4 AB如图3，线段沿两轴滑动时形成其包洛曲线。包洛曲线的含 ABABAB义是，滑动到任意位置都是其包洛曲线的切线。线段的ii MABc包洛曲线，如果分别低于、通过、高于点，则分别说明<、ABABcc=、>。 ABABc如图4，设、分别是长度为的线段滑动时的两个位置，2211 ,,与X轴之间的倾角分别为和。则它们的截距式方程为 xy ，,1 (1) c,c,cossin xy ，,1 (2) c,c,cossin 解(1)、(2)得 3 ,,sin,sin ,xc (3) tan,,tan, ,,,当时，两线与其包洛曲线的两个切点将无限接近，两线 P交点将无限接近包洛曲线，在(3)中用洛比达(L′Hospitale)法 P则计算点的横坐标 ,,,sin,sincos33x,c,c,ccos,,ccos,limlimlim 2tan,tan,,sec,,,,,,,,,, 即 3x,ccos, (4) 将(4)代入(2)解得 3y,csin, (5) 22yx2233sin,,()cos,,()由(5)、(4)可得，，所以cc 22yx2233sin,，cos,,()，(),1，即得包洛曲线方程为 cc 222 333x，y,c (6) M(a,b)ABc因为长度为的线段的包洛曲线经过点，故将M点坐标代入(7)得 222 333a，b,c (7) 或写成 223 332c,(a，b) (8) 4 五 评述 1 如前所述，李明波线段本身具有集最长和最短于一体的奇妙性，而李明波在解决这个问题时，又创造出另外的奇妙。 2 李明波在求极值时，并没有使用通常的导数法或不等式法，而是独辟蹊径地使用了包洛曲线。 3 在求包洛曲线方程时，李明波的方法同样别具一格，他使用了三角函数和洛比达法则，通俗直观，而比此费解的方法可参见文献[2]。 4 李明波通过这一小题，竟然使极大值和极小值与包洛曲线三种问 223 332c,(a，b)题浑然一体，而且得出的分数指数公式 也极为优美。 5 李明波线段还有另一种奇妙，李明波证明了它属于“尺规作图不能问题”[3]，并由此解决了另一个世界几何难题——证明了菲洛(Philo)线的尺规作图不可能，我们已写专题进行介绍[4]。 参 考 文 献 [1] 李明波、黄忠宝。水塔施工中应注意的极值问题[J]。低温建筑技 术，1990年第4期:28 [2] [德] 德里 著。100个著名初等数学问题——历史和解[M]。上海: 上海科学技术出版社，1982:星形线，247——251 [3] 王文才、施桂芬 编。数学小词典[M]。1983:9、29 [4] 郝锡鹏。李明波解开菲洛线尺规作图之迷。北京:津乾论坛。 [5] 李明波。古堡朝圣尺规作图的一个反例[J]。鞍山科技大学学报， 2004年第4期:449 5