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奥数辅导资料一元一次方程【内容综述】　　一元一次方程是最简单的方程,它是进一步学习方程、不等式和函数的基础，许多方程都是通过变形后转化为一元一次方程来解的。本期主要介绍一些解一元一次方程的基本和技巧。　只含有一个未知数（又称为一元）,且其次数是１的方程叫做一元一次方程，任何一个一元一次方程总可以化为的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式）。　　解一元一次方程的一般步骤:（1）去分母;（2)去括号；(3)移项；（４）合并同类项,化为最简形式;(5)方程两边同除以未知数的系数,得出方程的解。【要点讲解】§1含参量的一元一次方程　　含有参变量的方程在求解时往往需分类讨论,关于的方程。　　因为未注明，所以它的解有下面三种情况:　　（1)当时，方程有唯一解；　(2)当时,方程的解为任意数；　　（３)当,时，方程无解。　★例１解关于χ的方程。　　　　思路这是含参量的一元一次方程，需分类讨论。　解：把原方程变形为　　　即　　　当，即且时，方程有唯一解;当且，即且时,方程无解;　　　当且，即时，方程的解为任意数。　★★例２若a,b,c是正数,解方程。解法一：原方程两边乘以abc,得到方程　　,　　　移项合并同类项得　　即　　由，,知　,　　即。　解法2：对原方程左端的每一项减去１，得　即　　∵由,,知　∴　　∴　　说明通过细心观察方程的自身特点,巧妙地分析为３个，为3个，使原方程易于求解。　★★例3ｋ为何正数时，方程的解是正数?　　思路当方程有唯一解时,此解的正负可由a,b的取值确定：　(1)若ｂ=0时，方程的解是零;反之，若方程的解是零,b=0成立。　　（2）若时，则方程的解是正数；反之,若方程的解是正数,则成立。　(3)若时,则方程的解是负数；反之,若方程的解是负数，则成立。　解：按未知数χ整理方程得　　要使方程的解为正数,需要　　不等式的左端　　　因为,所以只要或时上式大于零，所以当或时,原方程的解是正数，因此或，即为所求。§2含有绝对值符号的一次方程解含有绝对值符号的一次方程时，可利用绝对值的定义脱去绝对值符号,转化为普通的一元一次方程。其关键是需分情况脱去绝对值符号。　★★★例4　若关于χ的方程无解，只有一个解，有两个解,则ｍ,n，k的大小关系是（）　　　（Ａ）;　　(B）;　（C）;(D）;　思路　对于方程,　当时,此时方程无解；当时，此时方程的解为;　当时,此时方程的解为或。　　解:无解,则　　　　有一个解,则　有两个解,则。　　　所以，成立,选择(A）。　例5解关于χ的方程　（１)；　　　(２）。　　思路解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号,这可用“零点分段法”,即令　,，分别得到χ=－２，χ=３,用-2，3将数轴分成三段：χ≥3,-2<χ<3,χ≤-2然后在每一段上去掉绝对值符号再求解。　解:(1）当χ≤-2时，原方程化为　　　　解得χ＝-2；　　　当－２＜χ<3时，原方程化为　即5＝5，所以-２<χ＜３是原方程的解。　　　当χ≥3时,原方程化为　解得χ＝3。综合以上得,原方程的解为－2≤χ≤3。　(2)当χ<2时，原方程化为　　即　　　由知，若ａ＞１时,解为；　　　　当2≤χ≤３时,原方程化为　即若ａ=１时，解为2≤χ≤3;　当ａ>３时,原方程化为即　由知,若a>1时,解为。　综合以上得;当a>1时，解为；当a=１时，解为２≤χ≤3；当a<1时，无解。说明由绝对值符号内代数式值为零解出分类“零点”;在每种情况下求得的解必须在分类条件内;对含字母的方程需要进行讨论。★★★★例６求关于χ的方程的所有解的和。思路　此方程有两层绝对值符号,先由,利用绝对值的定义，去掉外层的绝对值符号,使得方程转化为只含有一个绝对值符号的方程,然后再去掉里层的绝对值符号求解。　解：由原方程得　　　即　　　　　∴,,,,　　故§3　含有高斯函数符号的一次方程　高斯函数示不超过的最大整数，如,，，解含高斯符号的方程的基本方法是,利用定义脱去方括号符号，转化为普通一元一次方程求解。　★★★★例7求方程的所有根的和。　　解：设(t为整数。）　　　则，　　因为　　即,　　　　　　　t=-２,-3　对应的为,。从而原方程所有根的和★★★★★例8　 设n是自然数,表示不超过的最大整数,解方程　　　思路　因，由是n自然数,知n与n+1中必为一奇一偶，所以是整数。因是整数，2，3,4,5,…,n都是整数，所以由=　解：原方程变形为　合并同类项得　　　　即　思维训练A级　★１.若方程与方程是同解方程,则的值为(）　　　（A）4；（B）－4；　　（Ｃ)8；　　（D）-８。　　★★2．方程的解是()　　(Ａ）199６；　　(B）1９97；　(C)1998;　　(Ｄ）19９9。　★★★3.是关于χ的一元一次方程，且χ有惟一解，则χ＝______＿____＿__。　　★★★4．如果表示不超过χ的最大整数，那么方程的解χ=____＿__＿__＿＿。　★★★５.已知方程，当取何值时，方程无解？当取何值时,方程有无穷多个解?当取３时,方程的解是多少？若方程的解是-2，那么的值是多大?B级　★★★６．已知方程有一个负根而且没有正根，那么的a取值范围是__＿__＿_＿＿_。　★★★7.如果关于χ的方程有无穷多个解,那么参数ａ的值满足条件__＿＿___＿__。　★★★★8．若a>０,b<0,则方程的解是什么?9．若abc＝１，解方程。参考答案：A级　１．（Ｄ）;　2.(D），提示:利用拆项求和法将原方程化简为。3.1.5,提示：由题意得３a+2b＝0，且a≠0。　　4.-2，提示:方程变形为，显然χ只能是整数,且χ<0。　　5．当时，方程无解;当时,方程有无穷多个解；当=3时,χ=2;当χ＝-2时,=１。B级　６.a≥１，提示：由方程有负根,有,从而,故；若方程有正根,则χ=χ＋1,即，解出<１,从而方程没有正根应≥１。7.a=±4，提示:分χ≤-1,-1<χ<3,χ≥3,三种情况来讨论。　8.当χ≥a时,原方程化为,解得χ=。当ｂ<χ<时，原方程化为,此式恒成立。当χ≤b时，原方程化为，解得χ=ｂ，综上原方程的解是b≤χ≤a。9．　　　∴原方程的解为χ=1９９9。