《复变函数与积分变换》(西安交大-第四版)课后答案

习题一解答 1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。 （1） i23 1 + ； （2） i1 3i i 1 −− ； （3） ( )( ) 2i 5i24i3 −+ ； （4） i4ii 218 +− 解 （1） ( )( ) ( )2i313 1 2i32i3 2i3 2i3 1 −=−+ −=+ 所以 13 3=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ + i23 1Re ， 13 2 2i3 1Im −=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ + , ( )2i3 13 1 2i3 1 +=+ ， 13 13 13 3 13 3 2i3 1 22 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=+ ， kπ2 i23 1arg i23 1Arg +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + ",2,1,0,2 3 2arctan ±±=+−= kkπ （2） ( ) ( ) ( ) ( ) i,2 5 2 33i3 2 1i i)(1i1 i13i ii i i1 3i i 1 −=+−−−=+− +−− −=−− 所以 , 2 3 i1 3i i 1Re =⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ −− 2 5 i1 3i i 1Im −=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ −− 2 5i 2 3 i1 3i i 1 +=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −− ， 2 34 2 5 2 3 i1 3i i 1 22 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=−− ， kπ2 i1 i3 i 1arg i1 i3 i 1Arg +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −− ",±,±,=,+−= 2102 3 5arctan kkπ . （3） ( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( ) 4 2i7i26 2i2i 2i5i24i3 2i 5i24i3 −−=− −−+=−+ 13i 2 7 2 26i7 −−=−−= 所以 ( )( ) 2 7 2i 5i24i3Re −=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ −+ ， ( )( ) 13 2i 5i24i3Im −=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ −+ ， 1 ( )( ) l3i 2 7 2i 5i24i3 +−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+ ( )( ) 2 295 2i 5i24i3 =−+ ， ( )( ) ( )( ) kππkπ 2 7 26arctan22 i2 i52i43arg i2 i52i43Arg +−=+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+ ( ) ",2,1,0,12 7 26arctan ±±=−+= kk π . （4） ( ) ( ) ( ) ( ) ii141iii4ii4ii 10410242218 +−−−=+−=+− 3i1i4i1 −=+−= 所以 { } { } 3i4iiIm1,i4iiRe 218218 −=+−=+− 3i1i4ii 218 +=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− ， 10|i4ii| 218 =+− ( ) ( ) ( ) 2kπ3i1arg2kπi4iiargi4iiArg 218218 +−=++−=+− = .2,1,0,k2kπarctan3 "±±=+− 2．如果等式 ( ) i1 3i5 3yi1x +=+ −++ 成立，试求实数 x, y为何值。 解：由于 ( ) ( )[ ]( ) ( )( )3i53i5 3i53yi1x 3i5 3yi1x −+ −−++=+ −++ ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 34 3y51x3i3y31x5 −++−+−++= [ ] ( ) i1185y3xi43y5x 34 1 +=−+−+−+= 比较等式两端的实、虚部，得 ⎩⎨ ⎧ =−+− =−+ 341853 34435 yx yx 或 ⎩⎨ ⎧ =+− =+ 5253 3835 yx yx 解得 11,1 == yx 。 3．证明虚单位 i有这样的性质：-i=i-1= i 。 4．证明 21) | | 1 16) Re( ) ( ), Im( ) ( ) 2 2i z zz z z z z z = z= + = # − 2 证明：可设 iz x y= + ，然后代入逐项验证。 5．对任何 ， 是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对 那些 值才成立？ z 2 | |z z= 2 2 2 z 解：设 ，则要使 成立有 iz x y= + 2 | |z z= 2 2 22ix y xy x− + = + y 0，即 。由此可得 为实数。 2 2 2 2 ,x y x y xy− = + = z 6．当 时，求 的最大值，其中 n为正整数，a为复数。 1|| ≤z || azn + 解：由于 |a||a||z|az nn +≤+≤+ 1 ，且当 n a ez argi= 时，有 ( ) |a|ea|a|eea|z aann an +=+=+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=+| 11 argiargi argi 故 为所求。 ||1 a+ 8．将下列复数化成三角示式和指数表示式。 （1）i； （2）-1； （3）1+ 3 i； （4） ( )π0isincos1 ≤≤+− ϕϕϕ ； （5） i1 2i +− ； （6） ( ) ( )3 2 isin3cos3 isin5cos5 ϕϕ ϕϕ − + 解：（1） 2 πi e 2 πisin 2 πcosi =+= ； （2） iπeisinπcosπ1 =+=− （3） 3 πi 2e 3 πisin 3 πcos2 2 3i 2 123i1 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=+ ； （4） 21 cos isin 2sin i2sin cos 2sin sin icos 2 2 2 2 2 2 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ⎛ ⎞− + = + = +⎜ ⎟⎝ ⎠ π)(0,e 2 2sin 2 πisin 2 πcos 2 2sin 2 πi ≤≤=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+−= − ϕϕϕϕϕ ϕ ； （5） ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=−=−−=+− 2 1i 2 12i1i12i 2 1 i1 2i ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= 4 πisin 4 πcos2 = 4 πi e2 − （6） ( )( ) ( ) ( ) 2 2 3i5 i3 i10 i9 i19 3 cos5 isin5 e / e e /e e cos3 isin3 ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ − −+ = =− ϕ= 3 ϕϕ isin19cos19 += 9．将下列坐标变换公式写成复数的形式： 1）平移公式： 1 1 1 1 , ; x x a y y b = +⎧⎨ = +⎩ 2）旋转公式： 1 1 1 1 cos sin , sin cos . x x y y x y α α α α = −⎧⎨ = +⎩ 解：设 1 1iA a b= + ， 1 1 iz x y1= + ， iz x y= + ，则有 1） ；2）1z z A= + i1 1(cos i sin ) ez z z αα α= + = 。 10．一个复数乘以-i，它的模与辐角有何改变？ 解：设复数 ，则zezz Argi||= ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −− =⋅||=− 2Argi2iArgi πzπz |z|eeeziz ，可知复数的模不变， 辐角减少 2 π 。 11．证明： ，并说明其几何意义。 2 2 21 2 1 2 1 2| | | | 2(| | |z z z z z z+ + − = + 2| ) 证明： 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 | | | | ( )( ) ( )( 2( ) 2(| | | | ) z z z z z z z z z z z z z z z z z z + + − = + + + − − = + = + ) 其几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和。 12．证明下列各题： 1）任何有理分式函数 ( )( ) ( ) P zR z Q z = 可以化为 iX Y+ 的形式，其中 X 与Y 为具 有实系数的 x与 的有理分式函数； y 2）如果 ( )R z 为 1）中的有理分式函数，但具有实系数，那么 ( ) iR z X Y= − ； 3）如果复数 ia b+ 是实系数方程 10 1 1 0 n n n na z a z a z a − −+ + + + =" 的根，那么 也是它的根。 ia b− 证 1） ( ) ( ) ( ) Re( ( ) ( )) Im( ( ) ( ))( ) ( ) ( , ) ( , )( ) ( ) P z P z Q z P z Q z P z Q zR z Q z q x y q x yQ z Q z = = = + ; 2） ( ) ( ) ( )( ) i i ( ) ( )( ) P z P z P zR z X Q z Q zQ z ⎛ ⎞ Y X Y= = = = + = −⎜ ⎟⎝ ⎠ ; 3）事实上 ( ) 10 1 1n n n nP z a z a z a z a− −= + + + +" 4 ( )zPzazazaa nn =++++= "2210 13．如果 ，试证明 itez = （1） nt z z n n cos21 =+ ； （2） nt z z n n sini21 =− 解 （1） nteeee z z n n sin21 intintintint =+=+=+ − （2） nteeee z z n n sini21 intintintint =−=−=− − 14．求下列各式的值 （1） ( 5i3 − ) ； （2） ( )6i1+ ； （3） 6 1− ； （4） ( ) 31i1− 解 （1） ( ) ( ) 6/5i56/i55 322 2 i 2 32i3 ππ −− ==⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=− ee 5π 5π32 cos isin 16 3 16i 6 6 ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ （2） ( ) ( )6 66 i /4 3 i/21 i1 i 2 2e 8e 8i 2 2 π π⎡ ⎤⎛ ⎞+ = + = = = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦ 。 （3） ( ) ( )1 iπ 2 1 /6iπ+26 61 e e , 0,1,2,3,4,5kk kπ +− = = = 。可知 6 1− 的 6个值分别是 , 2 i 2 3e /6i +=π ie /2i =π ， 2 i 2 3ei /65i +−=π 2 i 2 3e /6i7 −−=π ， ，i23i −=/πe 2 i 2 3411i −=/πe 。 （4） ( ) ( ) 0,1,2=,==⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ 2−212=−1 3⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− 3 1 /−3 1 3 1 kee kππ π 2 4 i 64i 22ii 。 可知 的 3个值分别是 ( )1/31 i− , 12 7sini 12 7cos22 , 12 sini 12 cos22 612/7i6 62/i6 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=− ππ ππ π π e e ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += 4 5sini 4 5cos22 64/5i6 πππe 。 15．若 (1 i) (1 i)n n+ = − ，试求 n的值。 5 解 由题意即 i / 4 i / 4 i / 4 i / 4( 2e ) ( 2e ) ,e en n n nππ π π− −= = ， sin ， 0 4 nπ = 故 4 , 0, 1, 2,n k k= = ± ± "。 16．（1）求方程 的所有根 083 =+z （2）求微分方程 08''' =+ yy 的一般解。 解 （1） ( ) ( )1 i 1 2338 2 kz e π += − = ，k=0,1,2。 即原方程有如下三个解： ,3i1+ ,2− 3i1− 。 （2）原方程的特征方程 有根083 =+λ i311 +=λ ， 22 −=λ ， i313 −=λ ，故其 一般形式为 ( )xCxCeeCy xx 3sin3cos 3221 ++= − 17．在平面上任意选一点 ，然后在复平面上画出下列各点的位置： z 1 1 1, , , , ,z z z z z z − − − 。 o x y z -z z z− 1 z 1 z 1 z − 18．已知两点 与 （或已知三点 ）问下列各点位于何处？ 1z 2z 321 ,, zzz （1） ( )212 1 zzz += （2） ( ) 21 1 zzz λλ −+= （其中λ为实数）； （3） ( )3213 1 zzzz ++= 。 解 令 1,2,3i =+= ,kyxz kkk ，则 （1） 2 i 2 2121 yyxxz +++= ，知点 z位于 与 连线的中点。 1z 2z 6 （2） ( ) ( )[ ]122122 i yyλyxxλxz −−+−−= ，知点位于 与 连线上定比1z 2z |z|z |z|z 12 1λ − −= 处。 （3） ( ) ( 321321 3 i 3 1 yyyxxxz +++++= )，由几何知识知点 z 位于 的重心 处。 321 zzz∆ 19．设 三点适合条件：1 2 3, ,z z z 0321 =++ zzz , 1321 === zzz 。证明z1，z2，z3是内接于单位圆 1=z 的一个正三角形的顶 点。 证 由于 1321 === zzz ，知 的三个顶点均在单位圆上。 321 zzz∆ 因为 2 3 31 z z= = 3z ( )[ ] ( )[ ] 212322112121 zzzzzzzzzzzz +++=+−+−= 21212 zzzz ++= 所以， 12121 −=+ zzzz ，又 )())(( 122122112121 2 21 zzzzzzzzzzzzzz +−+=−−=− ( ) 32 2121 =+−= zzzz 故 321 =− zz ，同理 33231 =−=− zzzz ，知 321 zzz∆ 是内接于单位圆 1=z 的一个正三角形。 20．如果复数z1，z2，z3满足等式 32 31 13 12 zz zz zz zz − −=− − 证明 321312 zzzzzz −=−=− ，并说明这些等式的几何意义。 由等式得 )arg()arg()arg()arg( 32311312 zzzzzzzz −−−=−−− 即 231312 zzzzzz ∠=∠ 。又因为 ( ) ( ) ( ) ( ) 12 32 3213 3112 13 12 zz zz zzzz zzzz zz zz − −=−+− −+−=− − 又可得 123312 zzzzzz ∠=∠ ，所以知 321 zzz∆ 是正三角形，从而 321312 zzzzzz −=−=− 。 7 21．指出下列各题中点 z的存在范围，并作图。 （1） | 5 ；（2）|z − = 6 1|i2| ≥+z ； （3）Re( 2) 1z + = − ；（4） ( ) 3iRe =z ； （5） |i||i| −=+ zz ；（6） 4|1||3| =+++ zz （7） Im( ) 2z ≤ ；（8） 1 2 3 ≥− − z z ； （9）0 arg z π< < ；（10） ( ) 4 iarg π=−z 解：（1）以点 0 5z = 为心，半径为 6的圆周（见下图（a））； （2）以点 i20 −=z 为心，半径为 1的圆周及外部（见下图（b））； （3）由于Re( 2) 1 3z x+ = − ⇔ = − 知点 z的范围是直线 3x = − （见下图（c））； （4） xyyxz i)i(ii +=−= ，故 .33)iRe( =⇔= yz 知点 z的范围是直线 y=3（见下 图（d））； （5） 2 2i i i i i)( i) ( i)( i)z z z z z z z z+ = − ⇔ + = − ⇔ + − = − + ⇔（ 2 2i i 1 i i 1 i i 0 2Re(i ) 0 2 0z z z z z z z z z y− + + = + − + ⇔ − = ⇔ = ⇔ = 0.y⇒ = 知点 z的范围是实轴（见下图（e））； （6） 2222 14)2(122)14(3413 +=−⇔+−=−⇔+−=+⇔=+++ zxzxzzzz 1 34 )204123 22 22 =++⇔=++⇔ yxyx （ ，即点 z 的范围是以（-3,0）和（-1,0） 为焦点，长半轴为 2，短半轴为 3的一椭圆（见下图（f））； （7） ，（见下图（g））；。2y ≤ （8） ≥+−−⇔−−≥−−⇔−≥−⇔≥− − 933)2)(2()3)(3(231 2 3 222 zzzzzzzzz z z 2 52 2 4 5 .即点 z 的范围是直线 2 z z z z z x− − + ⇔ + ≤ ⇔ ≤ 2 5=x 以及 2 5=x 为边 界的左半平面（见下图（h））； （9）不包含实轴上半平面（见下图（i））； （10）以 i为起点的射线 0,1 >+= xxy （见下图（j））； 8 x y -2 (b) O i x5 (a) y O -3 (d) y 3i x O (c) x y z -i i y x i3 -2 O y 5/2 x x y=x+1 i y O ( e) (f) (g) (h) (i) 2i (j) 22．描出下列不等式所确定的区域，并指是有界的还是无界的，闭的还是开的， 单连的还是多连的。 （1） ； （2）0Im >z 41 >−z ； （3） 1Re0 << z ； （4）2 3z≤ ≤ ； （5） 31 +<− zz ； （6） 1 arg 1z π− < < − + ； 9 （7） 141 +<− zz ； （8） | 2 | | 2 |z z 6− + + ≤ ； （9） 2 | 2 | 1z z− − + > ； （10） (2 i) (2 i) 4zz z z− + − − ≤ 。 解 （1） 0Im >z y O x 不包含实轴的上半平面，是无界的、开的单连通区域。 （2） 41 >−z x y 5 O 1 圆 的外部（不包括圆周），是无界的、开的多连通区域。 16)1( 22 =+− yz （3） 0 1Re << z 由直线 x = 0与 x = 1所围成的带形区域，不包括两直线在内，是无界的、开的 单连通区域。 xO y 2 3 O x y （4）2 3 z≤ ≤ 10 以原点为中心，2 与 3 分别为内、外半径的圆环域，不包括圆周，是有界的、 开的多连通区域。 （5） 131 −>⇔+<− xzz y -1 D O x 直线 x = -1右边的平面区域，不包括直线在内，是无界的、开的单连通的区域。 （6） 1 arg 1z π− < < − + x y o -1 由射线 1=θ 及 πθ +=1 构成的角形域，不包括两射线在内，即为一半平面，是 无界的、开的单连通区域。 （7） 2 2 217 81 4 1 15 15 z z x y⎛ ⎞ ⎛− < + ⇔ + + >⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎞⎟⎠ O x D 8/15 -17/15 y 11 中心在点 15 17−=z ，半径为 15 8 的圆周的外部区域（不包括圆周本身在内），是无 界的、开的多连通区域。 （8） | 2 | | 2 |z z− + + ≤ 6 x y o 3 5 是椭圆 2 2 1 9 5 x y+ = 及其围成的区域，是有界的、闭的单连通区域。 （9） 2 242 | 2 | 1 4 1, 0 15 z z x y x− − + > ⇔ − > < D －1/2 y x 是双曲线 2 244 15 x y 1− = 的左边分支的内部区域，是无界的、开的单连通区域。 （10） (2 2i) ( i) 4zz z z− + − − ≤ x y o 2 -1 12 是圆 9及其内部区域，是有界的、闭的单连通区域。 23．证明：z平面上的直线方程可以写成 2 2( 2) 1x y− + + =（ ） Czaza =+ （a是非零复常数，C是实常数） 证 设 直 角 坐 标 系 的 平 面 方 程 为 将CByAx =+ )( i2 1Im),( 2 1Re zzzyzzzx −==+== 代入，得 CzBAzBA =−+− )i( 2 1)i( 2 1 )i( 2 1 BA令 a = + ，则 ( 2 1a = )iBA − ，上式即为 Czaza =+ 。 24．证明复平面上的圆周方程可写成： 0, (zz z z c )cα α α+ + + = 其中 为复常数， 为实常数 。 2 2( ) 2( ) 0z a z a R zz az az aa R+ + = ⇔ + + + − = ，其中 c 实证 aa R= − 为 常数。 25．求下列方程（t是实参数）给出的曲线。 （1） ； 2） tbtaz sinicos +=tz i)1( += （ ； （3） t tz i+= ； （4） 22 ittz += ， 5） （6） 7） z e a bα= = + 为复数 1） 。即直线 （ （ tα ch i shz a t b t= + i it tz ae be−= + , ( i ) ⎩⎨ ⎧ ∞<<−∞= =⇔+=+= t ty tx tyxz ,)i1(i xy = 。 解（ （ 2 ） sin sinicosi ⎩⎨ = ⇔+=+= by tbtayxz π20,cos ≤<⎧ = t t tax ， 即 为 椭 圆 1 2 2b2 2 =+ y a x ； （3） ⎪⎩ ⎪⎨ =⇔ y 1，即为双曲线 1 ⎧ =+=+= t tx t tyxz ii =xy ； ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =⇔+=+= 2 2 2 2 1ii t y tx t tyxz（4） 1，即为双曲线 =xy 中位于第一象限中的一 支。 13 2 2 2 2 ch ch i sh 1 sh x a t x yz a t b t y b t a b =⎧= + ⇔ ⇔ − =⎨ =⎩ ，双曲线 （5） 2 2 2 2 1,( ) ( ) x y a b a b + =+ − 椭（6） 圆 2 arctan2 2 a y b xx y e+ = （7） 26．函数 z w 1= 将 z 平面上的下列曲线变成 平面上的什么曲线w ( )ivuwiyxz +=+= , ？ （1） ； （2）622 =+ yx xy = ； （3） ( ) 11 22 =+− yx 1x = ； 4）（ 2222 11 yx yi yx x iyxz w +−+=+== ， 2222 , yx yv yx xu + −=+=解 ，可得 1）（ )( 2 2 2 2 1 1x yu v x ++ = = = ，是 平面上一圆周； （2） w2 2 22 2 4x yy ++ ( ) v yxyx ++ 2222 yy yx xu −=−−==+= 22 ，是 平面上一直线； x = w （3）由 1，知 2 1 ,u = 1 y+ 21 yv y −= ，从 2 2 211u v uy+ = =+ + 而 此为 2 2 21 1 2 2 u v⎛ ⎞ ⎛− + =⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎞⎟⎠ 是 平面上一圆周； （4） w ( ) 2 1211 22 2222 =+⇔=+⇔=+− yx xxyxyx ，于是 2 1=u ，是 平面上一 平行 的直线。 27．已知映射 ，求 （ w 与 v轴 3zw = 1）点 i1 =z ， i12 +=z ， i33 +=z 在 像。 （2）区域 w平面上的 3 arg0 π<< z 在 平面上的像。 解 设 ，则 。于是 ） w θirez = θω 333 ierz == 4 2 2 i 1 4 sini 4 cos2i1,i π ππzez =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=+=== i2 π e （1 6 i 3 2 23z ⎜⎜⎝ = 2 6 sini 6 cos2 2 1i3i πππ e=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=⎟⎟⎠ ⎞⎛ +=+ 14 经映射后在 平面上的像分别是 ， w i3/3i1 −== πew 2i2 2 132 3 ⎟⎞ٛ i 2 1222 42 +−=⎟⎠⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−== π ew ， i82 2 i3 3 == π ew （2）因为以原点为顶点的角形域的顶角张大三倍，所以为 π<< warg0 。 ．设函数f(z 在 处连续，且 029 ) z0 (zf 0) ≠ ，证明存在z0的邻域使 。 证 因为 0 fzf zz 0)( ≠zf )( 0z)(lim =→ ，且 0)( 0 ≠zf 。可取 02 )( 0 >= zfε ，则 0>∃δ ，当 δ<− 0zz 时，有 2 )( )()( 00 zf zfzf =<− ε 从而 )( 20 )( 0zf 0)( zfzf <− ，即 2 0 )( 0zf)( >>zf 即点 ),( δzUz∈ 时，则 。 30．设 0)( ≠zf 0 lim ( ) z z f z A= ，证明 → ( )f z 在 的某一去心邻域内是有界的。 证 取 0z 1ε = ，则存在 0δ > ，当 00 | |z z δ< − < 时， | ( ) | 1f z A− ≤ 。故在 00 | |z z δ< − < 内， | ( ) | | ( ) | | ( ) | | | 1 | |f z f z A A f z A A A= − + ≤ − + ≤ + 。 31．设 1( ) , ( 0) 2i z zf z z z z ⎛ ⎞= − ≠⎜ ⎟⎝ ⎠ 试证当 时0z → ( )f z 的极限不存在。 证 2x 2 1 2( ) 2i z z xyf z z z y ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ，显然。 证32．试 )arg(arg ππ ≤<− zz 在负实轴上（包括原点） 除此而外在 面上处处连续。 证 设 不连续， z平 zzf arg)( = ，因为 f(0)无定义，所以 f(z)在原点 z=0处不连续。 实轴上的点时，即 00当z0为负 )00( <= x ，xz 有 ⎩⎨ ⎧ −= ⎪⎪ ⎟⎠⎜⎝ −→ πxxx arctanlim0 ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎞⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎛ + = −→ → → → π π π y y z y y x zz arctanlim arglim 0 0 arg 0 不存 ⎝+ xx00 zarg 在负实轴上不连续。而 argz在 z平面上的所以 z lim→ 在，即zz 其它点 处的连续性显然。 15 1 习题二解答 1．利用导数定义推出： 1 2 1 11)( ) ' , ( ) 2 'n nz nz n z z − ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠是正整数； ） 。 证 1） 1 2 2 1 1 0 0 ( )( ) ' lim lim( ) n n n n n n n nz z z z zz nz C z z z nz z − − − − ∆ → ∆ → + ∆ −= = + ∆ + ∆ =∆ " 2） 20 0 1 1 1 1 1' lim lim ( )z z z z z z z z z z z∆ → ∆ → −⎛ ⎞ + ∆= = − = −⎜ ⎟ ∆ + ∆⎝ ⎠ 2．下列函数何处可导？何处解析？ （1） ( ) yxzf i2 −= （2） 3 3( ) 2 3 if z x y= + （3） ( ) yxxyzf 22 i+= （4） ( ) sin ch i cos shf z x y x y= + 解 （1）由于 1,0,0,2 −=∂ ∂=∂ ∂=∂ ∂=∂ ∂ y v x v y ux x u 在 z平面上处处连续，且当且仅当 2 1−=x 时，u,v才满足 C-R条件，故 ( ) yxvuzf ii −=+= 仅在 直线 2 1−=x 上可导，在 z平面上处处不解析。 （2）由于 26u x x ∂ =∂ ， 0 u y ∂ =∂ ， 0 v x ∂ =∂ ， 29v y y ∂ =∂ 在 z 平面上处处连续，且当且仅当 2 22 3 , 2 3 0x y x y= ± =即 时，u,v 才满足 C-R 条件，故 ( ) 3 3i 2 3 if z u v x y= + = + 仅在直线 2 3 0x y± = 上可导，在 z平面上处处不解析。 （3）由于 2y x u =∂ ∂ ， xy y u 2=∂ ∂ ， xy x v 2=∂ ∂ ， 2x y v =∂ ∂ 在 z平面上处处连续，且当且仅当 z=0时，u,v才满足 C-R条件，故 ( ) yxxyzf 22 i+= 仅在点 0=z 处可导，在 z平面处处不解析。 （4）由于 cos chu x y x ∂ =∂ ， sin sh u x y y ∂ =∂ ， sin sh v x y x ∂ = −∂ ， cos ch v x y y ∂ =∂ 在 z平面上处处连续，且在整个复平面 u,v才满足 C-R条件，故 ( ) sin ch i cos shf z x y x y= + 在 z平面处处可导，在 z平面处处不解析。 3．指出下列函数 ( )f z 的解析性区域，并求出其导数。 1） 5( 1)z − ； （2） 3 2iz z+ ； 3） 2 1 1z − ； （4） ( , 0) az b c d cz d + + 中至少有一个不为 解 （1）由于 ( ) 45( 1)f z z′ = − ，故 ( )zf 在 z平面上处处解析。 （2）由于 ( ) i23 2 +=′ zzf ，知 ( )zf 在 z平面上处处解析。 （3）由于 ( ) ( ) ( ) ( )2222 11 212 +−−=−−=′ zz zz zzf 知 ( )zf 在除去点 1±=z 外的 z平面上处处可导。处处解析， 1±=z 是 ( )zf 的奇点。 2 （4）由于 ( ) 2( ) ad bcf z cz d −′ = + ，知 ( )zf 在除去 / ( 0)z d c c= − ≠ 外在复平面上处处解析。 5．复变函数的可导性与解析性有什么不同？判断函数的解析性有那些方法？ 答： 判定函数解析主要有两种方法：1）利用解析的定义：要判断一个复变函数在 0z 是否解析，只 要判定它在 0z 及其邻域内是否可导；要判断该函数在区域D内是否解析，只要判定它在D内是否 可导；2）利用解析的充要条件，即本章§2中的定理二。 6．判断下述命题的真假，并举例说明。 （1）如果 ( )zf 在 0z 点连续，那么 ( )0zf ′ 存在。 （2）如果 ( )0zf ′ 存在，那么 ( )zf 在 0z 点解析。 （3）如果 0z 是 ( )zf 的奇点，那么 ( )zf 在 0z 不可导。 （4）如果 0z 是 ( )zf 和 ( )g z 的一个奇点，那么 0z 也是 ( ) ( )f z g z+ 和 ( ) / ( )f z g z 的奇点。 （5）如果 ( , )u x y 和 ( , )v x y 可导（指偏导数存在），那么 ( ) if z u v= + 亦可导。 （6）设 ( ) if z u v= + 在区域内是解析的。如果u是实常数，那么 ( )f z 在整个D内是常数；如 果 v是实常数，那么 ( )f z 在整个D内是常数； 解 （1）命题假。如函数 ( ) 222|| yxzzf +== 在 z平面上处处连续，除了点 z=0外处处不可导。 （2）命题假，如函数 ( ) 2|| zzf = 在点 z=0处可导，却在点 z=0处不解析。 （3）命题假，如果 0 0( ) ( )f z z z f z在 点不解析，则 称为 的奇点。如上例。 （4）命题假，如 ( ) sin ch , ( ) i cos shf z x y g z x y= = ， ( / 2,0)z π= 为它们的奇点，但不 是 ( ) ( )f z g z+ 的奇点。 （5）命题假。如函数 ( ) xyxzzzf iRe 2 +== 仅在点 z=0处满足 C-R条件，故 ( )zf 仅在点 z=0 处可导。 （6）命题真。由u是实常数，根据 C-R方程知v也是实常数，故 ( )f z 在整个D内是常数； 后面同理可得。 7．如果 ( ) vuzf i+= 是 z的解析函数，证明： ( ) ( ) ( ) 222 |'||||| zfzf y zf x =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ 证 ( ) 22|| vuzf += ，于是 ( )f z 在D（区域）内解析 ( )f z 在 0z 解析 ( )f z 在D内可导 ( )f z 在 0z 可导 ( )f z 在 0z 连续 3 ( ) 22 || vu x vv x uu zf x + ∂ ∂+∂ ∂ =∂ ∂ ， ( ) 22 || vu y vv y uu zf y + ∂ ∂+∂ ∂ =∂ ∂ 由于 ( ) vuzf i+= 为解析函数，故 y v x u ∂ ∂=∂ ∂ ， x v y u ∂ ∂−=∂ ∂ ， 从而 ( ) ( ) ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ 2222 22 22 1|||| x vu x uu vu zf y zf x ⎥⎥⎦ ⎤ ∂ ∂⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−+∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+ x u x vuv x v x uuv x vv x uv 22 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 222222 22 2 22 2 22 ||||1 1 zfzfvu vu x v x uv x v x uu vu =++= ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ += 9．证明：柯西-黎曼方程的极坐标形式是 θ∂ ∂=∂ ∂ v rr u 1 ， θ∂ ∂−=∂ ∂ u rr v 1 证 令 θθ sin,cos ryrx == ，利用复合函数求导法则和 vu, 满足 C-R条件，得 θθ sincos y u x u r u ∂ ∂+∂ ∂=∂ ∂ ( ) r urr x ur y ur y vr x vv ∂ ∂=∂ ∂+∂ ∂=∂ ∂+−∂ ∂=∂ ∂ θθθθθ cossincossin 即 θ∂ ∂=∂ ∂ v rr u 1 。又 ( ) θθθ cossin ry ur x uu ∂ ∂+−∂ ∂=∂ ∂ θθθθ sincossincos x u y u y v x v r v ∂ ∂+∂ ∂−=∂ ∂+∂ ∂=∂ ∂ θθθ ∂ ∂−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂−= u r r x ur y u r 1sincos1 总之，有 θ∂ ∂=∂ ∂ v rr u 1 ， θ∂ ∂−=∂ ∂ u rr v 1 。 10．证明：如果函数 ( ) ivuzf += 在区域 D内解析，并满足下列条件之一，那么 ( )zf 是常数。 （1） ( )zf 恒取实值。 （2） ( )zf 在 D内解析。 （3） ( ) || zf 在 D内是一个常数。 （4） ( )zfarg 在 D内是一个常数。 （5） cbvau =+ ，其中 a、 b与 c为不全为零的实常数。 4 解 （1）若 ( )zf 恒取实值，则 0=v ，又根据 ( )zf 在区域 D内解析，知 C-R条件成立，于是 0=∂ ∂=∂ ∂ y v x u ， 0=∂ ∂−=∂ ∂ x v y u 故 u在区域 D内为一常数，记 ( )实常数Cu = ，则 ( ) Civuzf =+= 为一常数。 （2）若 ( ) ivuivuzf −=+= 在区域 D内解析，则 ( ) y v y v x u ∂ ∂−=∂ −∂=∂ ∂ ， ( ) x u x v y u ∂ ∂=∂ −∂−=∂ ∂ （1） 又 ( ) ivuzf += 在区域 D内解析，则 y v x u ∂ ∂=∂ ∂ ， x v y u ∂ ∂−=∂ ∂ （2） 结合（1）、（2）两式，有 0=∂=∂ ∂=∂ ∂=∂ ∂ vy v x v y u x u ， 故 vu, 在 D内均为常数，分别记之为 ( )为实常数212211 ,, CCCuCu == ， 则 ( ) CiCCivuzf =+=+= 21 为一复常数。 （3）若 ( ) || zf 在 D内为一常数，记为 1C ，则 2122 Cvu =+ ，两边分别对于 x和 y求偏导，得 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =∂ ∂+∂ ∂ =∂ ∂+∂ ∂ 022 022 y vv y uu x vv x uu 由于 ( )zf 在 D内解析，满足 C-R条件 x v y u y v x u ∂ ∂−=∂ ∂ ∂ ∂=∂ ∂ , 代入上式又可写得 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =∂ ∂+∂ ∂ =∂ ∂−∂ ∂ 0 0 y uu x uv y uv x uu 解得 0=∂ ∂=∂ ∂ y v x u 。同理，可解得 0=∂=∂ ∂ vy v x v 故 vu, 均为常数，分别记为 21 , CvCu == ，则 ( ) CiCCivuzf =+=+= 21 为一复常数。 （4）若 zarg 在 D内是一个常数 1C ，则 ( ) 0≠zf ，从而 ( ) 0≠+= ivuzf ，且 ( ) ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ <<− ><+ > = 0,0,arctan 0,0,arctan 0,arctan arg vu u v vu u v u u v zf π π ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <<− ><+ > = 0,0 0,0 1 1 1 1 vuC vuC uC π π 总之对 ( )zfarg 分别关于 x和 y求偏导，得 5 0 1 1 222 2 =+ ∂ ∂−∂ ∂ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂ vu x uv x vu u v x uv x vu u 0 1 1 222 2 =+ ∂ ∂−∂ ∂ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−∂ ∂ vu y uv y vu u v y uv y vu u 化简上式并利用 ( )zf 解析，其实、虚部满足 C-R条件，得 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =∂ ∂−∂ ∂ =∂ ∂−∂ ∂− 0 0 y uv x uu y uu x uv 解得 0=∂ ∂=∂ ∂ y u x u ，同理也可求得 0=∂ ∂=∂ ∂ y v x u ，即u和 v均为实常数，分别记为 2C 和 3C ，从而 ( ) CiCCivuzf =+=+= 32 为一复常数。 （5）若 cbvau =+ ，其中 a、b和 c为不全为零的实常数，这里 a和 b不全为 0，即 022 ≠+ ba ， 否则此时a、b和 c全为零。对方程 cbvau =+ 分别对于 x和 y求偏导，得 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =∂ ∂+∂ ∂ =∂ ∂+∂ ∂ 0 0 y vb y ua x vb x ua 再利用解析函数 ( ) ivuzf += 的实、虚部 u和 v满足 C-R条件，得 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =∂ ∂+∂ ∂ =∂ ∂−∂ ∂ 0 0 y ua x ub y ub x ua 解得 0=∂ ∂=∂ ∂ y u x u ，同理也可求得 0=∂ ∂=∂ ∂ y v x v ，知函数 ( )zf 为一常数。 11.下列关系是否正确？ （1） zz ee = ； （2） zz coscos = ； （3） zz sinsin = 解（1） zyxxxz eeyyeyyee ==−=+= −i)sini(cos)sini(cos （2） ( ) ( ) zeeeeeez zzzzzz cos 2 1 2 1 2 cos iiii ii =+=+=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += −− − 。 （3） ( ) ( ) )( i2 1 i2 1 i2 1sin iiiiii zzzzzz eeeeeez −−=−=−= −−− = ( ) zee zz sin i2 1 ii =− − 。 12．找出下列方程的全部解。 （3） 01 =+ ze ； （4） 0cossin =+ zz ； 解（3）原方程等价于 1−=ze ，于是它的解为： 6 ( ) ( )[ ] ( )kkz 21i21argi|1|ln1Ln +=+−+−=−= ππ ",2,1,0 ±±=k （4）由于 ( )i i i i1sin cos , 2i 2 z z z ze ez z e e − −−= − = − + ，故 ( )1i1 i2i2 +−=− zz ee i1 i1i2 + −=ze ( ) ( )( )[ ]πkz 2iargi|i|ln i2 1iLn i2 1 i1 i1Ln i2 1 +−+−=−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + −= ",2,1,0, 4 12 2i2 i ±±=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−= kkk πππ 13．证明： （1） ( ) 212121 sinsincoscoscos zzzzzz −=+ ; ( ) 212121 sincoscossinsin zzzzzz −=+ ; （2） 1cossin 22 =+ zz ；（3） zzz cossin22sin = ；（4） z zz 2tan1 tan22tan −= ； （5） zz cos 2 sin =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −π ， ( ) zz coscos −=+π ； （6） 2 2 2 2 2 2| cos | cos sh ,| sin | sin shz x y z x y= + = + 证 （1）左 ( ) ( ) ( )[ ]2121 2 1cos 21 zzizzi eezz +−+ +=+= 右= 2121 sinsincoscos zzzz − i2i222 22112211 iiiiiiii zzzzzzzz eeeeeeee −−−− −−−++= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2121212121212121 iiiiiiii zzzzzzzzzzzzzzzz eeeeeeee +−−−−++−−−−+ +−−++++= = ( ) ( ) 2 2121 ii zzzz ee +−+ + 可见左=右，即 ( ) 212121 sinsincoscoscos zzzzzz −=+ ； 左= ( ) ( ) ( )[ ]2121 ii21 i21sin zzzz eezz +−+ −=+ 右 2121 sincoscossin zzzz += ( ) ( ) ( ) ( )22112211 iiiiiiii i2 1 2 1 2 1 i2 1 zzzzzzzz eeeeeeee −−−− −++−−= ( ) ( ) ( ) ( )[ ]21212121 iiii i4 1 zzzzzzzz eeee +−−−−+ −−+= ( ) ( ) ( ) ( )[ ]21212121 iiii i4 1 zzzzzzzz eeee +−−−−+ −+−+ = ( ) ( )[ ]2121 ii 22 i4 1 zzzz ee +−+ − i2 1= ( ) ( )[ ]2121 ii zzzz ee +−+ − 可见左=右，即 ( ) 212121 sincoscossinsin zzzzzz +=+ （2） 2ii2ii 22 i2i2 cossin ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=+ −− zzzz eeeezz 7 ( ) ( ) 12 4 12 4 1 i2i2i2i2 =++++−−= −− zzzz eeee （3）左= ( )zz eez 2i2i i2 12sin −−= 右= ( ) ( )zzzz eeeezz iiii 2 1 i2 12cossin2 −− +−= ( ) ( )zzzz eeee 2i2i2i2i i2 111 i2 1 −− −=−−+= 可见左=右，即 zzz sincos22sin = 。 （4） z z z z z z zz zz z zz 2 2 22 tan1 tan2 cos sin1 cos sin2 sincos cossin2 2cos 2sin2tan −=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−=−== （5）由（1）知 ( ) ( ) ( )zzzz −+−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − sin 2 coscos 2 sin 2 sin 2 sin ππππ ( ) ( ) ( )( ) ( )izizzizi eeeez −−−− +=+=−= 2 1 2 1cos zcos= 由（1）得 ( ) zzzz cossinsincoscoscos −=−=+ πππ （6）左＝ 2 2 2 2 2 2| cos | | cos ch isin sh | cos ch sin shz x y x y x y x y= − = + ＝ 2 2 2 2 2 2cos (1 sh ) sin sh cos shx y x y x y+ + = + 左＝ 2 2 2 2 2 2| sin | | sin ch i cos sh | sin ch cos shz x y x y x y x y= + = + ＝ 2 2 2 2 2 2sin (1 sh ) cos sh sin shx y x y x y+ + = + 。 14．说明：1）当 y→∞时， | sin( i ) |x y+ 和 | cos( i ) |x y+ 趋于无穷大； 2）当 t为复数时， | sin | 1t ≤ 和 | cos | 1t ≤ 不成立。 解 1） i -i | || sin | | | 2i 2 z z y ye e e ez −− −= ≥ ； | cos |z 同理。 2）设 i ,t y y R= ∈ ，则 | || sin | 2 y ye et − −= ，则当 y→∞时显然题设不成立。 15．求 ( )iLn − ， ( )i43Ln +− 和它们的主值。 解 ( ) ( )( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−=+−+−=− πππ kk 2 2 i2iargi|i|LniLn ",2,1,0, 2 12i ±±=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= kkπ ( ) ( ) 2 iiargi|i|lniln π−=−+−=− ( ) ( )[ ]πk2i43argi|i43|lni43Ln ++−++−=+− ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+= ππ k2 3 4arctani5ln 8 ( ) ",2,1,0,12 3 4arctani5ln ±±=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−−= kk π ( ) ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 4−+=+−++−=+− 3 arctani5lni43argi|i43|lni43ln π 。 16．证明对数的下列性质：1） 1 2 1 2Ln( ) Ln Lnz z z z= + ；2） 1 2 1 2Ln( / ) Ln Lnz z z z= − 。 证明 1） 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2Ln( ) ln(| |) i Arg ln ln i Arg +i Argz z z z z z z z z z= + = + + 1 2Ln Lnz z= + ； 2） 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2Ln( / ) ln(| / |) i Arg / ln ln i Arg -i Argz z z z z z z z z z= + = − + 1 2Ln Lnz z= − 。 17．说明下列等式是否正确：1） 2Ln 2Lnz z= ；2） 1Ln Ln 2 z z= 。 解：两式均不正确。1） 2Ln 2ln | | i Arg(2 ), 2Ln 2ln | | 2i Arg( )z z z z z z= + +而 ＝ ； 2） 1 1 1 iLn ln | | i Arg( ), Ln ln | | Arg( ) 2 2 2 2 z z z z z z= + +而 ＝ 。 18．求 2i1 π− e ， 1 iexp 4 π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ＋ ， i3 和 ( )ii1+ 的值。 解： eeeee i 2 sini 2 cos2 i 2 i1 −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −== −− ππ ππ ( )1 1 1i4 4 4 41 i 2exp cos i sin 1 i 4 4 4 2 e e e e ππ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ＋ ＋ ＋ ( )i ln3 i arg3 2i iLn3 2 i ln33 k ke e e eπ π+ +⎡ ⎤ −⎣ ⎦= = = ( ) ",2,1,0,3lnsini3lncos2 ±±=+= − ke kπ ( ) ( ) [ ] ( )( )i i ln|1 i| i arg 1 i 2iLn 1 i1 i ke e π+ + + +++ = = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +== ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− 2 2lnsini 2 2lncos 2 4 1 2 42 2ln i kk ee πππ ， ",2,1,0 ±±=k 19．证明 1( ) 'a az az −= ，其中a为实数。 证明 ln 2 ln 2 11( ) ' ( ) ' (ln ) 'a a z k i a z k i a az e a z e a z az z π π+ + −= = = = 。 20．证明 1） 2 2ch sh 1z z− = ；2） 2 2sh ch ch 2z z z+ = ； 3） ( )1 2 1 2 1 2sh sh ch ch shz z z z z z+ = + ； ( )1 2 1 2 1 2ch ch ch sh shz z z z z z+ = + 。 证明 1） 2 2 2 2ch sh ( ) ( ) 1 2 2 z z z ze e e ez z − −+ −− = − = ； 2） 2 2 2 2 2 2sh ch ( ) ( ) 1 2 2 2 z z z z z ze e e e e ez z − − −− + ++ = + = = ； 3） 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )( ) ( )( )sh ch ch sh 4 4 2 z z z z z z z z z z z ze e e e e e e e e ez z z z − − − − + − −− + + − −+ = + = ( )1 2sh z z= + 。 9 21．解下列方程：1）sh 0z = ；2）ch 0z = ；3） sh iz = 。 解 1）由sh 0z = 得 2 1ze = ， 1 Ln1 i , 0, 1, 2, 2 z k kπ= = = ± ± "。 2）由ch 0z = 得 2 1ze = − ， 1 (2 1)Ln( 1) i , 0, 1, 2, 2 2 kz kπ+= − = = ± ± "。 3）由sh iz = 得 ize = ， 1Ln i i(2 ) , 0, 1, 2, 2 z k kπ= = + = ± ± "。 23．证明: sh z的反函数 2Arsh Ln( 1)z z z= + + 。 证 设 sh w z= ， 2 2 1 0 2 w w w we e z e ze −− = ⇒ − − =即 解得 2 1we z z= + + , 故 2Arsh Ln( 1)w z z z= = + + 。 24．已知平面流速场的复势 ( )zf 为 （1） ( )2i+z ； （2） 3z ； （3） 1 1 2 +z ； 求流动的速度以及流线和等势线的方程。 解（1） ( ) ( ) ( ) ( )i2i2' −=+== zzzfzV 为流速，又 ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )12i11ii 2222 +++−=++=+= yxyxyxzzf 知流线和等势线方程分别为 ( ) 11 Cyx =+ 和 ( ) 222 1 Cyx =+− 。 （2）流速 ( ) ( ) 22 33' zzzfzV === ，又 ( ) ( ) ( )22223 3i3 yxyyxxzzf −+−== , 流线方程： ( ) 1223 Cyyx =− ， 等势线方程： ( ) 222 3 Cyxx =− 。 （3）流速 ( ) ( ) ( )2222 12'12'11' +−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +== z zz zzzfzV 又 ( ) ( ) 2222 22 222 41 2i1 2i1 1 1 1 yxyx xyyx xyyxz zf ++− −+−=++−=+= ， 流线方程为 ( ) 122222 41 Cyxyx xy =++− ， 等势线方程为 ( ) 22222 22 41 1 C yxyx yx =++− +− 。 - 1 - 习题三解答 1.沿下列路线计算积分 ∫ +i dzz30 2 。 （1）自原点到 i3+ 的直线段 （2）自原点沿实轴至 3，再由 3沿垂直向上至 i3+ ； （3）自原点沿虚轴至 i，再由 i沿水平方向右至 i3+ 。 解（1） ⎩⎨ ⎧ = = , ,3 ty tx 10 ≤≤ t ，故 ttz i3 += ， 10 ≤≤ t 。 ( )dtdz i3+= 于是 ( ) ( )dtttdzz i3i3 213 0 1 0 2 ++=∫ ∫+ ( ) ∫+= 10 23i3 dtt ( ) i 3 266i3 3 1 0 1 |i)3( 3 1 333 +=+=+= t （2） ∫ ∫ ∫ ∫+ + ++=i30 i30 2222 21 dzzdzzdzzdzz CC 。 1C 之参数方程为 ⎩⎨ ⎧ = = , ,3 ty tx ( )10 ≤≤ t ； 2C 之参数方程为 ⎩⎨ ⎧ = = , ,3 ty x ( )10 ≤≤ t 故 ( )∫ ∫ ∫+ +=⋅++⋅=i30 10 10 222 i3266ii339 dttdttdzz 。 （3） ∫ ∫ ∫ ∫∫+ + +=+=i30 i0 i3i 22222 43 dzzdzzdzzdtzdzz CC 。 ( )10i:3 ≤≤= ttzC ； ( )10i3:4 ≤≤+= ttzC ， 故 ( )∫ ∫ ∫+ +=⋅++⋅−=i30 10 10 222 i32663i3i dttdttdzz 2．分别沿 xy = 与 2xy = 算出、积分 ( )∫ + +i dzyx10 2 i 的值。 解（1）沿 xy = 。此时 ( )10i ≤≤+= tttz 。 ( )dtdz i1+= ，于是 ( ) ( )( )∫ ∫+ ++=+i10 10 22 i1ii dtttdzyx ( ) ( ) ( )∫ +−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ++=++= 1 0 2 i 6 5 6 1 2 i 3 1i1ii1 dttt 。 （2）沿 2xy = ，此时 ( )10i 2 ≤≤+= tttz 。 ( )dttdz 2i1+= ，故 ( ) ( )( )∫ ∫+ ++=+i10 10 222 2i1ii dttttdzyx ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ++=++= 10 10 322 2ii12i1i1 dtttdttt ( ) i 6 5 6 1 2 i 3 1i1 +−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++= 。 3．设 ( )zf 在单连域 D内解析，C为 D内任何一条正向简单闭曲线，问 ( )[ ] ( )[ ]∫ ∫ == 0ImRe dzzfdzzf CC 是否成立，如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。 解 未必成立。令 ( ) zzf = ， 1: =zC ，则 ( )zf 在全平面上解析，但是 x 3+i C2 C1 O C3 i C4 y (z) 3 - 2 - ( )[ ] [ ]∫∫ = π θθ20 ReRe iiC deedzzf ( )∫ ≠=+−= π πθθθθ20 0icosisincos d ( )[ ] [ ]∫ ∫= π θθ20 iiImIm deedzzfC ( )∫ ≠−=+−= π πθθθθ20 0cosisinsin d 4．利用单位圆上 1z z = 的性质，及柯西积分公式说明 2 i C zdz π=∫v ，其中C为正向单位圆周 | | 1z = 。 解 1 2 i C C zdz dz z π= =∫ ∫v v ，（利用柯西积分公式） 5．计算积分 dz z z C∫ 的值，其中 C为正向圆周：（1） 2=z ；（2） 4=z 解 （1）因在 2|| =z 上有 2|| =z ， 4|| 2 ==⋅ zzz ，从而有 z z 4= ，故有 i42 2|| 2||2|| 4 π=== ∫∫ ∫ == dzzdzdzzz zC z Z （2）因在 C上有 4|| =z ， 16|| 2 ==⋅ zzz ，从而有 z z 16= ，故有 i84 4|| 4||4|| 16 π=== ∫∫ ∫ == dzzdzdzzz zC z Z 6．利用观察法得出下列积分的值。 解 利用柯西－古萨基本定理和柯西积分公式。 7．沿指定曲线的正向计算下列各积分。 （1） ∫ −C z dz z e 2 ， 1|2:| =−zC （2） 2 2C dz z a−∫v ， :| |C z a a− = （3） i 2 1 z C e dz z +∫v ， :| 2i | 3 / 2C z − = （4） 3C zdz z −∫v ， :| | 2C z = （5） 2 3 ,( 1)( 1)C dz z z− −∫v :| | 1C z r= < （6） 3 cosC z zdz∫v ， 0C z为包围＝ 的闭曲线 （7） 2 2( 1)( 4)C dz z z+ +∫v ， :| | 3 / 2C z = （8） sinC zdzz∫v ， 1|:| =zC （9） ∫ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −C dz z z 2 2 sin π ， 2|:| =zC （10） 5 z C e dz z∫v ， 1|:| =zC 解 （1）由 Cauchy积分公式， ∫ ==− =C zz z eedz z e i2i2 2 2 2 ππ （2） 解 1： ∫ ∫ =+=−+=− =C C az aazdzaz azaz dz i1i2 1 22 ππ ， 解 2： ∫ ∫∫ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ +−−=−C CC dzazdzazaaz dz 112122 [ ] i0i221 aa ππ =−= （3）由 Cauchy积分公式， i i i 2 i /( i) 2 i / 1 - i i z z z C C z e dz e dz z e e z z z π π = += = =+ +∫ ∫v v - 3 - （4）（5）（6）由柯西基本定理知：其结果均为 0 （7）因被积函数的奇点 i±=z 在 C 的内部， i2±=z 在 C 的外部，故由复合闭路定理及 Cauchy 积分公式有： ∫∫ ∫ =+=− +++++=++ 31|i| 2231|i| 2222 )4)(1()4)(1()4)(1( zC z zz dz zz dz zz dz = ( )( ) ( )( )∫∫ =+=− + +++− ++ 31|i| 2 3 1|i| 2 i 4i 1 i 4i 1 zz dz z zzdz z zz i 2 i 2 )4i)(( 1i2 )4i)(( 1i2 −== +− +++= zz zzzz ππ 0 33 =−= ππ （8）由 Cauchy积分公式， 0 sin 2 isin | 0zC zdz z z π == =∫v （9）由高阶求导公式， ( ) 0'sini2 2 sin 2 2 == ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − = ∫ πππ zC zdzz z （10）由高阶求导公式， (4) 05 2 i i( ) | 4! 12 z z zC e dz e z π π == =∫v 8．计算下列各题： 1） 3 i 2 i ze dz π π−∫ ； 2） 0i 6 ch 3zdzπ∫ ； 3） i 2- i sin zdzππ∫ ； 4） 10 sinz zdz∫ ； 5） i 0 ( i) zz e dz−−∫ ； 6） i 21 1 tan ( 1 i )cos z dzz+∫ 沿到的直线段。 解 1） 3 i23 i 2 i i 0 2 z z ee dz ππ π π− − =∫ ＝ 2） 0 0i / 6i 6 1ch 3 sh 3 | i/3 3 zdz zπ π= = −∫ 3） i i2 i - i- i - i 1 cos 2 sin 2 1sin ( ) | ( sh 2 )i 2 2 4 2 z z zzdz dz π π π ππ π π π −= = − = −∫ ∫ 4） 1 1 00 sin (sin cos ) | sin1 cos1z zdz z z z= − = −∫ 5） i i 00 ( i) (i 1 ) | 1 cos1 i(sin1 1)z zz e dz z e− −− = − − = − + −∫ 6） i 2 i 2 2 121 1 tan 1 1(tan tan / 2) | (tan1 tan 1 th 1) i th1 cos 2 2 z dz z z z + = + = − + + +∫ 9．计算下列积分： 1） 4 3( ) , :| | 4 1 2iC dz C z z z + =+ +∫v 其中 为正向 2） 2 2i , :| 1| 6 1C dz C z z =+∫v 其中 － 为正向 3） 1 2 1 23 cos , :| | 2 :| | 3 C C C z dz C z C z z= + = =∫v 其中 为正向， 为负向 - 4 - 4） 1 6, i 2 5C dz C z i ± ±∫v 其中 为以 ， 为顶点的正向菱形－ 5） 3 , | | 1 :| | 1( ) z C e dz a a C z z a ≠ =−∫v 其中 为 的任何复数， 为正向 解 1） 4 3( ) 2 i(4 3) 14 i 1 2iC dz z z π π+ + =+ +∫v ＝ 2） 2 | i| 1 | i| 1 2i 2 /( i) 2 /( i) 0 1 - i iC z z i z i zdz dz dz z z z− = + = + −= + =+ +∫ ∫ ∫v v v 3） 1 2 1 2 0 03 3 3 cos cos cos 2 i 2 i(cos ) '' | (cos ) '' | 0 2! 2!z zC C C C C z z zdz dz dz z z z z z π π − = = = + = − = − =∫ ∫ ∫v v v 4） 2 i iC dz z π=∫v － 5） 当 | | 1a > 时， 3 31/( ) | | 1 0( ) z C ez a z dz z a − ≤ −∫v在 上解析，故 ＝ ； 当 | | 1a < 时， 3 2 i ( ) '' | i( ) 2! z z a z a C e dz e e z a π π= =−∫v ＝ 10．证明：当C为任何不通过原点的简单闭曲线时， 2 1 0 C dz z =∫v 。 证明 当原点在曲线C内部时， 02 1 2 i(1) ' | 0z C dz z π == =∫v ；当原点在曲线C外部时， 21/ z 在C内 解析，故 2 1 0 C dz z =∫v 。 11．下列两个积分的值是否相等？积分 2）的值能否利用闭路变形原理从 1）的值得到？为什么？ 1） | | 2z z dz z= ∫v ； 2） | | 4z z dz z= ∫v 解 2 i | | 2 0 2i 0 z z dz e d z π θ θ− = = =∫ ∫v ； 2 i | | 4 0 4i 0 z z dz e d z π θ θ− = = =∫ ∫v ，故两个积分的值相等。但不能利用闭路 变形原理从 1）的值得到，因 z z 不是一个解析函数。 12．设区域D为右半平面， z为D内圆周 | | 1z = 上的任意一点，用在D内的任意一条曲线C连结原 点与 z，证明 20 1Re . 1 4 z d πζζ ⎡ ⎤ =⎢ ⎥+⎣ ⎦∫ 证明 函数 2 1 1 ζ+ 在右半平面解析，故在计算从 0 到 z沿任意一条曲线C的积分时与积分路径无 关。则 i1 2 2 2i0 0 0 0 1 1 i 2i cos . 1 1 1 4 2 2cos 2 z ed dx d d x e ηθ θ η π ηζ η ηζ η= + = ++ + + +∫ ∫ ∫ ∫ （分子分母同乘以 2i1 e η−+ ）， - 5 - B1 C1 C2 B2 M N E F B G H 故 20 1Re . 1 4 z d πζζ ⎡ ⎤ =⎢ ⎥+⎣ ⎦∫ 13．设 1C 与 2C 为相交于M N、 两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为 1B 与 2B 。 1B 与 2B 的公 共部分为B。如果 ( )f z 在 1B B− 与 2B B− 内解析，在 1C 、 2C 上也解析，证明： 1 2 ( ) ( ) C C f z dz f z dz=∫ ∫v v 。 证明 在 1B B− 上 ( )f z 为解析函数，则由柯西基本定理 ( ) 0 MENGM f z dz =∫v ；同理 ( ) 0 MHNFM f z dz =∫v 则 ( ) ( ) ( ) ( ) NGM MEN MHN NFM f z dz f z dz f z dz f z dz+ = +∫ ∫ ∫ ∫ ，即 1 2 ( ) ( ) C C f z dz f z dz=∫ ∫v v 。 14．设 C为不经过 a与-a的正向简单闭曲线，a为不等于零的 任何复数，试就a与-a同C的各种不同位置，计算积分 ∫ −C dzaz z 22 。 解 （i）当 a在 C的内部而-a在 C的外部时 ∫∫ =+=−+=− =C azC az zdz az az z dz az z ii222 ππ 。 （ii）当 a− 在 C的内部而 a在 C的外部时， ∫ ∫ =−=+−=− −=c c azaz zdz az az z dz az z ii222 ππ （iii）当 a与－a在 C的内部时，设 1C , 2C 分别为以 aa −, 为心半径充分小的圆周使 21,CC 均在C的内 部且互不相交也互不包含，则由复合闭路定理及 Cauchy积分公式得 ∫ ∫∫ =+=+−+−+=−c cc iiidzaz az z dz az az z dz az z 21 222 πππ （iv）当 a与－a都在 C的外部时，由 Cauchy-Gourssat定理得 ∫ =−C dzaz z 022 。 15．设 1C 与 2C 为两条互不包含，也互不相交的正向简单闭曲线，证明： 1 2 22 0 0 1 0 0 0 0 2 ,1 sin 2 i sin ,C C z z Cz dz zdz z z z z z z Cπ ⎡ ⎤ ⎧+ =⎢ ⎥ ⎨− −⎢ ⎥ ⎩⎣ ⎦∫ ∫v v 当 在 内时, 当 在 内时. 证明 利用 Cauchy积分公式， 0 1z C当 在 内时, 0 1 2 2 2 0 0 1 | 2 i z zC z dz z z z zπ == =−∫v ，而 2 0 1 sin 0 2 i C zdz z zπ =−∫v ； 0 2z C当 在 内时, 1 2 0 1 0 2 i C z dz z zπ =−∫v ，而 0 2 0 0 1 sin sin | sin 2 i z zC zdz z z z zπ == =−∫v 。故结论成立。 16．设函数 ( )zf 在 1||0 << z 内解析，且沿任何圆周 C： rz =|| ， 10 << r 的积分为零，问 ( )zf 是否需在 z=0处解析？试举例说明之。 解 不一定。如令 ( ) 21zzf = ，则其在 1||0 << z 内解析，且沿任何圆周 C： rz =|| ， 10 << r 的积分 - 6 - ( ) ∫∫ = == rzC dzzdzzf || 2 01 但显然 ( ) 21zzf = 在 z=0处不解析。 17.设 ( )zf 与 ( )zg 在区域 D内处处解析，C为 D内任何一条简单光滑闭曲线，它的内部全属于 D。如 果 ( ) ( )zgzf = 在 C上所有点都成立，试证在C的内部所有点处 ( ) ( )zgzf = 也成立。 证 因 ( ) ( )zgzf , 在D内处处解析故在C上及其内部也处处解析，设 0z 为C的内部的任一点，则由 Cauchy积分公式有 ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ −=−= C C dzzz zgizgdzzz zfizf 0000 2 1, 2 1 ππ ， 又因在 C上 ( ) ( )zgzf = ，故 ( ) ( )∫ ∫ −=−C C dzzz zgdzzz zf 00 ， 从而 ( ) ( ),00 zgzf = 由 0z 的任意性，在C的内部均有 ( ) ( )zgzf = 。 18．设区域D是圆环域， ( )f z 在D内解析，以圆环的中心为中心作正向圆周 1 2K K与 ， 2 1K K包含 ， 0z 为 1 2K K, 之间任一点，试证（3.5.1）仍成立，但 1 2 ( ).C K K− +要换成 见图 证明 参照 78页闭路变形定理的证明方法。 19．设 ( )zf 在 单连通区域D内解析，且不为零，C为D内任何一条简单光滑闭曲线，问积分 ( )( )∫C zf zf ' dz 是否为零？为什么？ 解 等于零。因 ( )zf 在 D内解析，故 ( )zf 具有各阶导数且仍为解析函数，从而 ( )zf ' 在 D内也解析， 又因在 D内 ( ) 0≠zf ，故 ( )( )zf zf ' 在 D内解析，从而在 C上及 C的内部也解析，于是由 Cauchy-Gourssat定理， 有 ( )( )∫ =C dzzf zf 0' 。 20．试说明柯西－古萨基本定理中的C为什么可以不是简单闭曲线？ 21．设 ( )f z 在区域D内解析，C为D内的任意一条正向简单闭曲线，证明：对在D内但不在C上 的任意一点 0z ，等式： 2 0 0 '( ) ( ) ( )C C f z f zdz dz z z z z =− −∫ ∫v v 成立。 证明 利用 Cauchy 积分公式，有 0 0 0 '( ) 2 i '( ) | 2 i '( )z z C f z dz f z f z z z π π== =−∫v ；而由高阶导数公式 0 02 0 ( ) 2 i '( ) | 2 i '( ) ( ) 1! z zC f z dz f z f z z z π π== =−∫v ，故所证等式成立。 22．如果 ( , )x yϕ 和 ( , )x yψ 都具有二阶连续偏导数，且适合拉普拉斯方程，而 y xs ϕ ψ= − ， x yt ϕ ψ= + 那么 is t+ 是 ix y+ 的解析函数。 证明 由 ( , )x yϕ 和 ( , )x yψ 都具有二阶连续偏导数，而 y xs ϕ ψ= − ， x yt ϕ ψ= + 知， ,s t具有一阶 连续的偏导数，在证 ,s t满足 C－R方程即可。注意 0xx yyϕ ϕ+ = ， 0xx yyψ ψ+ = ，则 x yx xx xy yy ys tϕ ψ ϕ ψ= − = + = ； y yy xy xx yx xs tϕ ψ ϕ ψ= − = − − = − ，故 ,s t满足 C－R 方程，即 - 7 - is t+ 是 ix y+ 的解析函数。 23．设u为区域D内的调和函数及 iu uf x y ∂ ∂= −∂ ∂ ，问 f 是不是D内的解析函数？为什么？ 解 f 是D内的解析函数。因u为区域D内的调和函数，故 xu 和 yu− 在D内有一阶连续的偏导数。 又 2 2 2 2 x y u u u u x x y y ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ = = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ； 2 y x u u u x x y y ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ = = − −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ，即满足 C－R方程。 24．函数v x y= + 是u x y= + 的共轭调和函数吗？为什么？ 解 不是。因 iu v+ 不能构成一解析函数。 25．设u和 v都是调和函数，如果 v是u的共轭调和函数，那么u也是 v的共轭调和函数。这句话对 吗？为什么？ 解 不对。参考 27题的第二问。 26．证明：一对共轭调和函数的乘积仍是调和函数。 证明 设 v是u的共轭调和函数，则 0xx yyu u+ = ， 0xx yyv v+ = ， x yu v= ， y xu v= − 。又 ( ) 2xx xx x x xxuv u v u v uv= + + ， ( ) 2yy yy y y yyuv u v u v uv= + + ，故 ( ) ( ) 0xx yyuv uv+ = ，即一对 共轭调和函数的乘积仍是调和函数。 27．如果 ( ) if z u v= + 是一解析函数，试证： 1） i ( )f z 也是解析函数； 2） u− 是 v的共轭调和函数； 3） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | ( ) | | ( ) | 4( ) 4 | '( ) |x x f z f z u v f z x y ∂ ∂+ = + =∂ ∂ 。 证明 1）i ( ) if z v u= − ，而 ( ) if z u v= + 是一解析函数，故 ,u v满足 C－R方程，进而 ( )x yv u= − ， ( )y xv u= − − 。故 i ( )f z 也是解析函数。 2）由 ( ) if z u v= + 是一解析函数， i ( ) if z v u= − 。故 u− 是 v的共轭调和函数。 3） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | ( ) | | ( ) | ( )( )f z f z u v x y x y ∂ ∂ ∂ ∂+ = + +∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 4( ) 4 | '( ) | x x y y xx yy xx yy x x u v u v u u u v v v u v f z = + + + + + + + = + = 28．证明： 2 2u x y= − 和 2 2yv x y= + 都是调和函数，但是 iu v+ 不是解析函数。 证明 2xu x= ， 2yu y= − ， 2 2 22( )x xyv x y −= + ， 2 2 2 2 2( )y x yv x y −= + ， 2 2 2 3 2 2 2 8 2 ( ) ( )xx x y yv x y x y = −+ + ， 3 2 2 3 2 2 2 8 6 ( ) ( )yy y yv x y x y = −+ + ，则 2 ( 2) 0xx yyu u+ = + − = ， 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 8 8 8 0 ( ) ( ) ( )xx yy x y y yv v x y x y x y + = + − =+ + + 。 - 8 - 29．求具有下列形式的所有调和函数u：1） ( ),u f ax by a b= + 与 为常数；2） yu f x ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠。 解 1）由 2 2', '', '',x xx yyu af u a f u b f= = = 而 0xx yyu u+ = ，则 '' 0f = ，即 1 2( )f c ax by c= + + 。 2）由 2 2 3 4 2 1 1', 2 ' '', ', '',x xx y yy y y yu f u f f u f u f x x x x x = − = + = = 而 0xx yyu u+ = ，则 2 1 221 '' 2 ' 0, arctan y y yf f f c c x x x ⎛ ⎞+ + = = +⎜ ⎟⎝ ⎠ 即 。 30．由下列各已知调和函数求解析函数 ( ) if z u v= + ： 1） 2 2( )( 4 )u x y x xy y= − + + ； 2） 2 2 , (2) 0yv fx y= =+ ； 3） 2( 1) , (2) iu x y f= − = − ； 4） arctan , 0yv x x = > 。 解 1） 2 2 2 23 6 3 , 3 6 3x yu x xy y u x xy y= + − = − − ，则 2 2 2 2 2'( ) i 3 6 3 i(3 6 3 ) 3(1 )x yf z u u x xy y x xy y i z= − = + − − − − = − ，故 3( ) (1 ) i ,f z i z c c= − + ∈\； 2） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2i 1'( ) i i ( ) ( ) ( ) ( )y x x y xy x y xy zf z v v x y x y x y zz z − − − −= + = + = = =+ + + ，故 1 1 1( ) , (2) 0 ( ) 2 f z c f f z z z = − + = = −又 ，则 ； 3） '( ) i 2 2i( 1) 2i( 1 i ) 2i( 1)x yf z u u y x x y z= − = − − = − − + = − − ，故 2 2( ) i( 1) , (2) i ( ) i( 1)f z z c f f z z= − − + = − = − −又 ，则 ； 4） 2 2 2 2 2 2 i 1'( ) i iy x x y x y zf z v v x y x y x y zz z − −= + = + = = =+ + + ，故 ( ) ln ,f z z c c= + ∈\。 31．设 sinpxv e y= ，求 p的值使 v为调和函数，并求出解析函数 ( ) if z u v= + 。 解 2sin ( 1) 0pxxx yyv v e y p+ = − = ，知 1p = ± 。当 1p = 时， ( ) ,zf z e c c= + ∈\；当 1p = − 时， ( ) ,zf z e c c−= − + ∈\。 32．如果 ( , )u x y 是区域D内的调和函数，C为D内以 0z 为中心的任何一个正向圆周： 0| |z z r− = ， 它的内部完全含于D。试证： 1） ( , )u x y 在 0 0( , )x y 的值等于 ( , )u x y 在圆周C上的平均值，即 2 0 0 0 00 1( , ) ( cos , sin ) 2 u x y u x r y r d π ϕ ϕ ϕπ= + +∫ ； 2） ( , )u x y 在 0 0( , )x y 的值等于 ( , )u x y 在圆域 0 0| |z z r− ≤ 上的平均值，即 0 2 0 0 0 02 0 0 0 1( , ) ( cos , sin ) r u x y u x r y r rd dr r π ϕ ϕ ϕπ= + +∫ ∫ 。 证明 1）由平均值公式（P86） - 9 - 2 0 00 1( ) ( e ) 2 if z f z R d π θ θπ= +∫ 只取其实部有： 2 0 0 0 00 1( , ) ( cos , sin ) 2 u x y u x r y r d π ϕ ϕ ϕπ= + +∫ ； 2）由 1）知 0 0 2 0 0 0 0 0 02 20 0 0 0 0 1 1( cos , sin ) 2 ( , ) ( , ) r r u x r y r rd dr u x y rdr u x y r r π ϕ ϕ ϕ ππ π+ + = =∫ ∫ ∫ 。 33．如果 ( ) if z u v= + 在区域D内处处解析，C为D内的正向圆周：| |z R= ，它的内部完全含于D。 设 z为C内一点，并令 2 /z R z=� ，试证 2 ( ) ( ) 0 C C f zfd d z z R ζ ζζ ζζ ζ= =− −∫ ∫�v v 。 证明 因 z 为C 内一点， 2 2| | | / | / | | | | Rz R z R z R R z = = = >� ，故 ( )f z ζ ζ − � 在C 及其内部解析。由 Cauchy基本定理知： 2 ( ) ( ) 0 C C f zfd d z z R ζ ζζ ζζ ζ= =− −∫ ∫�v v 。 34．根据柯西积分公式与习题 33的结果，证明 2 2 2 1 1 1 ( ) ( )( ) ( ) 2 i 2 i ( )( )C C z R zz ff z f d d z R z z R z ζζ ζ ζπ ζ ζ π ζ ζ ⎡ ⎤ −= + =⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦∫ ∫v v ， 其中C为 | |z R= |. 证明 由柯西积分公式有： 1 ( )( ) 2 i C ff z d z ζ ζπ ζ= −∫v ；而由 33 题结果知 2( ) 0C zf d z R ζ ζζ =−∫v ，故 将这两式相减即得。 35如果令 i ie , eR z rθ ϕζ = = ，验证 2 2 2 / i . ( )( ) ( )( ) R 2 cos( ) d d d z R z z z Rr r ζ ζ ζ θ ζ ζ ζ ζ θ ϕ= =− − − − − − + 并由 34题的结果，证明 2 2 i2 2 20 1 ( ) ( e )( ) 2 2 cos( ) R r f Rf z d R Rr r θπ θπ θ ϕ −= − − +∫ . 取其实部，得 2 22 2 20 1 ( ) ( cos , sin )( , ) ( cos , sin ) 2 2 cos( ) R r u R Ru x y u r r d R Rr r π θ θϕ ϕ θπ θ ϕ −= = − − +∫ 这个积分称为泊松（Poisson）积分。通过这个公式，一个调和函数在一个圆内得值可用它在圆周上的 值来表示。 证明 2 iR RR R e θ ζζ ζ −= = ⋅ = ，故 22 / / .( )( ) ( )( )( )( ) d d d Rz R z z zz z ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζζ ζ = =− − − −− − 又 i i d iR e d id R e θ θ ζ θ θζ ⋅= =⋅ ， 2 2( )( ) 2 cos( )z z R Rr rζ ζ θ ϕ− − = − − + ，故 - 10 - 2 2 / i ( )( ) 2 cos( ) d d z z R Rr r ζ ζ θ ζ ζ θ ϕ=− − − − + 。 又由 34题知 2 2 2 i 2 2 2 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( e )( ) 2 i ( )( ) 2 2 cos( )C C R zz f R r f R df z d z R z R Rr r θζ θζπ ζ ζ π θ ϕ − −= =− − − − +∫ ∫v v 。 36．设 ( )f z 在简单闭曲线C内及C上解析，且不恒为常数， n为正整数. 1）试用柯西积分公式证明： 1 [ ( )][ ( )] 2 i n n C ff z d z ζ ζπ ζ= −∫v . 2）设M 为 | ( ) |f ζ 在C上的最大值， L为C的长，d 为 z到C的最短距离，试用积分估值公式 （3.1.10）于 1）中的等式，证明不等式： 1/ | ( ) | 2 nLf z M dπ ⎛ ⎞≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠ . 3）令 n →+∞，对 2）中的不等式取极限，证明： | ( ) |f z M≤ 。这个结果表明：在闭区域内不 恒为常数的解析函数的模的最大值只能在区域的边界上取得（最大模原理）。 证明 1）在柯西积分公式中将里面的函数 ( )f z 换成[ ( )]nf z 即得。 2）由 1）知 1 [ ( )]| ( ) | | [ ( )] | 2 2 n n n n C f Lf z f z ds M z d ζ π ζ π= ≤ ≤−∫v ，故 1/ 1/ | ( ) | 2 2 n n nL Lf z M M d dπ π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 。 3）对 2）中的不等式取极限（ n →+∞），即得。 习题四解答 1．下列数列{ }nα 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： 1） 1 i 1 in n n α += − ；2） i1 ; 2 n nα −⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ 3） i( 1) ; 1 n n n α = − + + 4） ；5） i / 2n n e πα −= i / 21 n n en πα −= 解 1） 2 2 2 1 i 1 2 i 1 i 1 1n n n n n n n α + −= = +− + + ，又 2 2 1 2lim 1, lim 0 1 1n n n n n n→∞ →∞ − 2= − =+ + n，故α 收敛， lim 1nn α→∞ = − 2） i 21 2 5 nn i n e θα − −⎛ ⎞⎛ ⎞= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ，又 2lim 0 5 n i n e θ−→∞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ，故 nα 收敛， lim 0nn α→∞ = 3）由于 nα 的实部{ }( 1)n− 发散，故 nα 发散 4）由于 i / 2 cos i sin 2 2 n n n ne π π πα −= = − ，其实部、虚部数列均发散，故 nα 发散 5） i / 21 1 1cos i sin 2 2 n n n ne n n n π π πα −= = − ，知 1 1lim cos 0, lim sin 0 2 2n n n n n n π π →∞ →∞= = ， 故 nα 收敛， lim 0nn α→∞ = 2．证明： 0, | |<1, , | |>1, lim 1, 1, | |=1, 1. n n α αα α α α →∞ ⎧⎪∞⎪= ⎨ =⎪⎪ ≠⎩不存在， 3．判断下列级数的绝对收敛性与收敛性： 1） 1 in n n ∞ = ∑ ； 2） 2 i ln n n n ∞ = ∑ ； 3） 1 (6+5i) 8 n n n ∞ = ∑ ； 4） 2 cos i 2nn n∞ = ∑ 。 解 1）由 i cos i sin 2 2 n n nπ π= + ， 1 cos 2 n n n π ∞ = ∑ 与 1 sin 2 n n n π ∞ = ∑ 为收敛的交错项实级数， 所以 1 in n n ∞ = ∑ 收敛，但 i 1nn n= ，故 1 in n n ∞ = ∑ 发散，原级数条件收敛； 1 2）与 1）采用同样的方法，并利用 1 1 ( 2 ln n n n ≥ ≥ )； 3）因 (6+5i) 61 8 8 nn n ⎛ ⎞= ⎜⎜⎝ ⎠⎟⎟ ，而 1 61 8 n n ∞ = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∑ 收敛，故 1 (6+5i) 8 n n n ∞ = ∑ 绝对收敛； 4）因 ，而cos i chn = n chlim 0 2nn n →∞ ≠ ，故 2 cos i 2nn n∞ = ∑ 发散。 4．下列说法是否正确？为什么？ （1）每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛； （2）每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点； （3）每一个在 连续的函数一定可以在 的邻域内展开成 Taylor级数。 0z 0z 解（1）不对。如 在收敛圆∑∞ =0n nz 1 1 0 1 1 (1 ) n n n k kz k zz z ∞ + = = =− − ∑ 在上式中令 iz e θ= ， i i 1 0 1 ( ) n n n k e k eθ θ ∞ + = =− ∑ ( )2 0cos i sin cos( 1) i sin( 1)1 2 cos n nnk k n k nk kθ θ θ θθ ∞ = − − = + − +− + ∑，即 分离实部和虚部即得结论。 19．如果 为正向圆周 | |C 3z = ，求积分 ( ) C f z dz∫ 的值.设 ( )f z 为 1） 1 ( 2z z + )； 2） 2 ( 1) z z z + + ； 3） 2 1 ( 1)z z + ； 4） ( 1)( 2) z z z+ + 。 解 1( ) 2 i C f z dz cπ −=∫ 1） 12 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2( 1) ,| | 2 ( 2) 2 2 2 (1 ) 2 n n n nz z z z z z z z z z ∞ + = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − = − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∑ > 。 故 ( ) C f z dz∫ ＝0。 2） 11 0 2 1 1 1 1( 2) ( 2) ( 1) ,| | ( 1) (1 ) n n nz z z z z z z z z z ∞ + = ⎛ ⎞+ ⎛ ⎞ 1z= + − = + − − >⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∑ 故 ( ) C f z dz∫ ＝2 iπ 。 3） 12 3 2 3 11 1 1 1 1 ( 1) ,| | 1 ( 1) (1 ) n n nz n z z z z z z ∞ − − = = = −+ + ∑ > 。故 ( )C f z dz∫ ＝0。 11 4） 1 2 0 0 1 1 ( 1) ( 1) 2 ,| | 2 ( 1)( 2) (1 ) (1 ) n n n n n n nz z z z z z z z z z z ∞ ∞ = = ⎛ ⎞ − −= − = −⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ∑ ∑ > 故 ( ) C f z dz∫ ＝2 iπ 。 20．试求积分 的值，其中 为单位圆 | | 2 ( )n nC z dz ∞ =− ∑∫v C 1z = 内的任何一条不经过 原点的简单闭曲线。 解 2 2 1 1 1 ,0 | | 1 1 n n z z z z z ∞ =− = + + < <−∑ 。而 为单位圆 | |C 1z = 内的任何一条不经 过原点的简单闭曲线，故 1 2 ( ) 2 i 2n nC z dz c iπ π∞ − =− = =∑∫v 。 12 习题五解答 1、下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。 （1） ( )22 1 1z z + ； （2） 3 sin z z ； （3） 1 1 23 +−− zzz ； （4） ( ) z z 1ln + ； （5） ( )( )21 1 z z z eπ+ + ； （6） 1 1 ze − ； （7） 2 1 ( 1zz e − )； （8） n n z z +1 2 ； （9） 2 1 sin z . 解（1） ( ) ( )22 1 1 f z z z = + 是有理函数，故奇点只是极点，满足 ( )22 1z z + =0，故 ，与0=z i±=z 为 其奇点， 为一级极点，而0=z i±=z 为其二级极点。 （2）因 30 sinlim z z z→ = ∞则 为其极点。再确定极点的级，有两种方法： 0=z a. 为 为的一级零点；而 为 的三级零点。故0=z sin z 0=z 3z 0=z 为 3 sin z z 的二级极点。 b. 2 30 0 sin sinlim lim 1 0 z z z zz z z→ → = = ≠ ，故 0=z 为其二级极点， （3）原式= ( ) ( )11 1 )1)(1( 1 22 +−=−− zzzz ，故 1=z 为其二级极点，而 1−=z 为一级极点。 （4）a． ( ) ( )∑∞ = + +−=+ 0 1 1 11ln n n n n zz ， 1||0 << z ， ( ) ( )∑∞ = + −=+ 0 1 11ln n n n n z z z 无负幂项，故 为其可去奇点。 0=z b． ( ) ( ) 11 1lim1lnlim 00 =+= + →→ zz z zz ，故 为可去奇点。 0=z （5）由 得01 2 =+ z i±=z 为 的一级零点，由1 0( 21 z+ ) zeπ+ = 得 ( )2 1 ikz k= + ( )",2,1,0 ±±=k 为 ( )ze+1 的零点，又 ( )1 k k zz z e eππ π π+ ′ = = − ≠ 0，所以 为kz ( )ze+1 的一级零点，因此， i±=z 为二级极点； ， ( 为一级极点。 ( )2 1kz k= + i )1, 2,k = ± " （6）由 1 1 0 ( 1) !( 1) n z n n e n z ∞ − = −= −∑ ，知 1=z 为本性奇点。 （7）因 2 0 1 (1 ) ( 1)! 2 3! n z n z z zz n ∞ = − = = + + ++∑ " 0ze z ，故 = 为 2 ( 1zz e )− 的三级零点，因而是 2 1( 1zz e )− 的三级极点，而 2 i, ( 1, 2, )z k kπ= = ± ± " 均为一级极点。 （8）由 ，01=+nz 1−=nz ，得 ( ) n k k ez π12i += ( )1,1,0 −= nk " 为原式一级极点。 （9） 2sin 0 , iz z k z kπ π= ⇒ = ± = ± ， 0,1,2,k = "由 - 1 - ( ) 2 22 2 0 0sin | 2 cos | 0 0z k z k kz z z kπ π= = =⎧′ = = ⎨≠ ≠⎩ ， 2 0(sin ) '' 2zz = = ，知 0z = 是 2 1 sin z 的二级极点， z kπ= ± ， iz kπ= ± （ ）均为1,2,3,k = " 21sin z 一级极点。 2．求证：如果 是0z ( )zf 是 m（ ）级零点，那么 是1m > 0z ( )zf ' 的 1−m 级零点。 证 由题知： ，( ) ( ) ( )zzzzf mϕ0−= ( ) 00 ≠zϕ ，则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zzzzzzmzf mm '' 010 ϕϕ −+−= − ( ) ( ) ( ) ( )[ ]zzzzmzz m '010 ϕϕ −+−= − 故 是 的 m-1级零点。 0z ( )zf ' 3．验证： i 2 z π= 是 ch 的一级零点。 z 解 由 ich cos 0 2 2 π π= = ， i 2 i(ch ) ' sh isin i 2 2z z π π π = = = = ，知 i 2 z π= 是 ch 的一级零点。 z 4． 是函数0z = 2(sin sh 2 )z z z −+ − 的几级极点？ 解 0 0 (sin sh 2 ) 0, (sin sh 2 ) ' (cos ch 2) 0z zz z z z z z z z= =+ − = + − = + − =0z= ， 0 0 0 (sin sh 2 ) '' ( sin sh ) 0, (sin sh 2 ) ''' ( cos ch ) 0z z zz z z z z z z z z z= = =+ − = − + = + − = − + =0z= ， (4) (5) 0 00 0 (sin sh 2 ) (sin sh ) 0, (sin sh 2 ) (cos ch ) 2 z zz z z z z z z z z z z z= == =+ − = + = + − = + = ， 故 是函数 sin 的五级零点，也即为0z = sh 2z z+ − z 2(sin sh 2 )z z z −+ − 的十级极点。 5．如果 ( )f z 和 是以( )g z 0z 为零点的两个不恒等于零的解析函数，那么 0 0 ( ) '( )lim lim ( ) ( ) '( )z z z z f z f z g z g z→ → = ∞或两端均为 。 证 因 ( )f z 和 是以( )g z 0z 为零点的两个不恒等于零的解析函数，可设 0( ) ( ) ( )f z z z zϕ= − ， 0( ) ( ) ( )g z z z zψ= − ， ( ), ( )z zϕ ψ 为解析函数，则 0 0 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z zf z z g z z z z z ϕ ϕ ψ ψ −= =− ， 0 0 ( ) ( ) '( )'( ) '( ) ( ) ( ) '( ) z z z zf z g z z z z z ϕ ϕ ψ ψ + −= + − ， 故 0 0 ( ) ( )lim lim ( ) ( )z z z z f z z g z z ϕ ψ→ →= ， 0 0 0 0 0 ( ) ( ) '( )'( ) ( )lim = lim lim '( ) ( ) ( ) '( ) ( )z z z z z z z z z zf z z g z z z z z z ϕ ϕ ϕ ψ ψ→ → → ψ + − =+ − ，即 0 0 ( ) '( )lim lim ( ) ( ) '( )z z z z f z f z g z g z→ → = ∞或两端均为 6．若 与( )zϕ ( )zψ 分别以 为 m级与 n级极点（或零点），那么下列三个函数在 处各有什 么性质？ z a= z a= （1） ；（2） ；（3）( ) ( )z zϕ ψ ( ) ( )/zϕ ψ z ( ) ( )z zϕ ψ+ 解 由题意， ( ) ( )( )0 m f z z z z ϕ = − ， ( ) ( ) ( )0 n g z z z z ψ = − ，其中 ( )f z ， ( )g z 在 点解析且a ( ) 0f a ≠ ， 。 ( ) 0g a ≠ - 2 - （1） 是z a= ( ) ( )z zϕ ψ⋅ 的 级极点。 nm + （2）对于 ，当 时，a是( ) ( )/zϕ ψ z nm < mn − 级零点；当 时，a是 级极点；当nm > nm − nm = 时， 是可去奇点。 a （3）当 时，点 a是 的nm ≠ ( ) ( )z zϕ ψ+ { }nm,max 级极点，当 nm = 时，点 是 的极点。 （可退化为可去），其级不高于 m，点 也可能是 a ( ) ( )zϕ ψ+ z a ( ) ( )zϕ ψ+ z 的可去奇点（解析点）。 7．函数 ( ) ( )2 1 1 f z z z = − 在 处有一个二级极点，这个函数又有下列洛朗展开式 1z = ( ) ( ) ( ) ( )2 5 4 3 1 1 1 1 ,| 1| 1. 1 1 1 1 z z z z z z = + − + − >− − − −" ， 1|2| >−z 所以“ 又是 的本性奇点”，又其中不含1z = ( )zf ( ) 12 −−z 幂项，因此 ，这些说法对 吗？ ( )Res ,1 0f z =⎡ ⎤⎣ ⎦ 解 不对， 不是1z = ( )zf 的本性奇点，这是因为函数的洛朗展开式是在 1|2| >−z 内得到的，而不是在 2=z 的圆环域内的洛朗展开式。 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 21 1 1Res ,1 lim 1 1 2 1 ! 1z df z z dz z z→ ⎡ ⎤= −⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ − −⎢ ⎥⎣ ⎦ = − 孤立奇点的分类必须根据在这个奇点邻域内洛朗展开式来决定。 8．求下列各函数 在有限奇点处的留数： ( )zf 1） 2 1 2 z z z + − ； 2） 2 4 1 ze z − ； 3） 4 2 1 ( 1) z z + + 3 ； 4） cos z z ； 5） 1cos 1 z− ； 6） 2 1sinz z ； 7） 1 sinz z ； 8） sh ch z z 。 解 1） ( ) 20 1 1Res ,0 lim 2 2z zf z z z z→ += = −⎡ ⎤⎣ ⎦ − ( )， 22 1 3Res ,2 lim( 2) 2 2z zf z z z z→ += − =⎡ ⎤⎣ ⎦ − 2） ( ) 4 21 z ezf z−= ， 为分母的四级零点，是分子的一级零点，所以是0=z ( )zf 的三级极点。 ( )[ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −⋅= → 4 2 3 2 2 0 1 !2 1lim0,Res z ez dz dzf z z = 3 4− 或展开洛朗级数 ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−−−= "32 4 8 !3 14 !2 12111 zzz z zf 知 ( )[ ] 3 40,Res 1 −== −czf 3） ( ) 2 432 2 3i 1 1Res ,i lim ( i) i2! ( 1) 8z d zf z z dz z→ ⎡ ⎤+= −⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ +⎣ ⎦ 3= − ， - 3 - ( ) 2 432 2 3i 1 1Res , i lim ( i) i2! ( 1) 8z d zf z z dz z→− ⎡ ⎤+− = + =⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ +⎣ ⎦ 3 4） 1 2 Res ( ), ( 1) ( ) 2 (cos ) ' 2 k z k zf z k k z ππ π ππ π+ = + ⎡ ⎤+ = = − +⎢ ⎥⎣ ⎦ ， 0, 1, 2,k = ± ± " 5） 2 0 1 ( 1)cos ,| 1| 0 1 (2 )!( 1) n n n z z n z ∞ = −= − >− −∑ ，知 ( ) 1Res ,1 0f z c−= =⎡ ⎤⎣ ⎦ 6） 1 2 2 2 1 1 1 ( 1)sin ,| | 0 (2 1)! n n n z z z z n z −∞ − = −= >−∑ ，知 ( ) 1 1Res ,0 6f z c−= = −⎡ ⎤⎣ ⎦ 7） [ ] 2 0 1Res ( ),0 lim 0 sinz df z z dz z z→ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦ ， [ ] 1 ( 1)Res ( ), , 1, 2, ( sin ) ' k z k f z k k z z kπ π π= −= = = ± "± 8） 1( ) i 2 1 shRes ( ), ( ) i 1, 2 (ch ) ' z k zf z k k z π π = + ⎡ ⎤+ = =⎢ ⎥⎣ ⎦ 为整数。 9．计算下列各积分（利用留数；圆周均取正向） （1） 3| | 2 sin z z dz z= ∫v ； （2） ( ) 2 2 | | 2 1 z z e dz z= −∫v ； （3） 3| | 2 1 cos m z z dz z= −∫v ，（其中 为整数）； m （4） ； （5） | 2i| 1 th z zdz − = ∫v ( ) | | 3 tan z z dzπ = ∫v ； （6） | | 1 1 ( ) ( )n nz dz z a z b= − −∫v （其中 为正整数， 且 | | ）。 n 1,| | 1,| | | |a b a≠ ≠ < b 解（1） ( ) z zzf sin= ， 故( ) 1lim 0 =→ zfz 0=z 为 ( )zf 的可去奇点则 ( )[ ] 00,Res 1 == −czf 故原积分=0。 （2）在 内，C ( ) ( )2 2 1−= z ezf z 以 1=z 为其二级极点，则 ( ) 2 11Res ,1 lim( ) 2z zz 2f z e =→= ′ =⎡ ⎤⎣ ⎦ e 由留数基本 定理有原积分=4 .i2eπ (3) =)(zf ...) !6!4!2 1(1cos1 42 2 −+−=− − zz zz z mm 故以 0=z 为其 2−m 级极点。设 ( )∫= C dzzfI 当 时，2≤m ( )[ ] 00,Res 1 == −czf ， ； 0=I 当 时，22 >= nm ( )[ ] 00,Res 1 == −czf ， 0=I ； 当 时，212 >+= nm ( )[ ] ( ) ( ) ( )1/1!2/10,Res 2 31 −−=−= −− mnzf mn ！ 由此 )!1i/(2)1( 2 3 −−= − mI m π 或说 为大于或等于 3的奇数时，m 3 2( 1) 2 i/( 1)! m I mπ − = − − （4） ( ) i1, ch shth π⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=== z kz z zzzf k 为其一级极点 ( )",1,0 ±=k 0=k 时， i20 π=z 在 内，则 1|i2| =−z ( )[ ] 1sh,Res 00 == zzzf 故 ( ) ( ) i22i,Resi2 πππ =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡== ∫ zfdzzfI C - 4 - （5） ( ) zzf πtan= 在 | | 内有一级极点3z = 2 1+= kzk （ 0, 1, 2, 3k = ± ± − ），共 6个。故 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + 2 1,tanRes kπ = ( ) ππ π 1 cos sin 2 1 −=′ +=kzz z ，由留数定理 ( ) 1tan 2 i Res , 2 i 6 12ikC zdz f z zπ π π π ⎛ ⎞= = ⋅ ⋅ −⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠∑∫v = − （6）当1 | 时，被积函数在单位圆内解析，故积分为 0； | | |a b< < 当 | | 时，| | 1a b< < 1 1 1 2 1 1 ( 1)Res[ ( ), ] lim ( ) ( 1)! ( ) ( ) [( 1)!] ( ) n n n n n nz a d nf z a z a n dx z a z b n a b − − 2 1 (2 2)! n− −→ − −= − =− − − − − 1 1 1 2 1 1 ( 1)Res[ ( ), ] lim ( ) ( 1)! ( ) ( ) [( 1)!] ( ) n n n n n nz a d nf z b z b n dx z a z b n b a − − − −→ − −= − =− − − − 2 1 (2 2)! n− b ，故积分为 0； 当 | | 时，积分＝1 | |a < < 1 2 2 ( 1) (2 2)! [( 1)!] ( ) n n n n a b − 1− − − − − 10．判定 z = ∞是下列各函数的什么奇点？并求出在∞的留数。 1） 2 1 ze ； 2）cos ； 3）sinz − z 223 z z+ 。 解 1）可去奇点， 的留数为零。∞ 21( ) ( ) ( ) tt f z f e t ϕ = = = ； 2） 2 2 1 1 0 0 1( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) (2 )! (2 1)! n n n n n n z zt f z f t n n ϕ +∞ ∞ + = = = = = − − − +∑ ∑ ，故 z = ∞ z 为函数的本性奇点，又由于 在整个复平面解析，故 的留数为零。 cos sinz − ∞ 3） 2 2 4 2 2 3 9(1 ) 3 z z z z z = − + ++ " 不含正幂项，故为可去奇点，留数为 1 2c− = 2 2 1 1 2Res[ ( ), ] Res[ ( ) ,0] Res[ ,0] 2 (1 3 ) f z f z z z z ∞ = = =+ 。 11．求 ]的值，如果 ( )[ ∞,Res zf （1） 1 )( 2 −= z ezf z （2） )4()1( 1)( 4 −+= zzzzf 解（1） 1 )( 2 −= z ezf z 有两个一级极点 ,1,1 −== zz 故由全部留数和为零的定理，则 ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] 1 lim 1 lim1,Res1,Res,Res 11 −−+−=−−−=∞ −→→ z e z ezfzfzf z z z z = 1sh 22 1 −=+− −ee （2） ( ) ( ) ( )41 1 4 −+= zzzzf 以 为一级极点，0=z 1−=z 为四级极点， 4=z 为一级极点，用有限奇点 留数和来求无穷远点的留数，计算过程太麻烦，一般采用直接在 ∞=z 的圆环域（解析） ∞<< ||4 z 内展开 为洛朗级数的方式，则有 - 5 - ( ) ( ) ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⋅⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⋅ =−+= zz zz zzz zf 41z11 1 41 1 4 4 4 = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + zz z zz z 41 1·11 11 4111 1 4 64 6 = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++− ...1641...111·1 2 4 26 zzzzz 显见 故,01 =−c ( )[ ] 0,Res =∞zf .（注也可利用规则 IV）。 12．计算下列各积分，C为正向圆周。 1） 15 2 2 4 3 , :| | 3( 1) ( 2)C z dz C z z z =+ +∫v ； 2） 13 1 z C z e dz z+∫v ， 2|:| =zC ； 3） 2 1 n n C z dz z+∫v （ 为一整数），n :| | 1C z r= > 。 解 1）函数 15 2 2 4( 1) ( 2) z z z+ + 3 在 | | 的外部，除3z = ∞点外没有其他奇点，因此根据定理二与规则 IV， 15 2 2 4 3 2 2 2 4 3 1 12 i Res[ ( ), ] 2 i Res[ ( ) ,0] ( 1) ( 2) 1 2 i Res[ ,0] 2 i (1 ) (1 2 ) C z dz f z f z z z z z z z π π π π = − ∞ =+ + = =+ + ∫v 2） ( ) ze z zzf 13 1+= 有奇点， 1−=z ， ，0=z 1−=z 为一级极点，而 0=z 为本性奇点，在 +∞<< ||2 z 内展 开 ，则 ( )zf ( ) zz e z ze z z zzf 1213 · 1111 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + = = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+− ... !2 111...111 22 2 zzzz z = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−−+− ... !2 111...111 22 2 zzzz zz ...1 3 1 !2 12 +−+= z z 得 , 3 1 1 =− −c 故原积分 ( ) ici ππ 3 22 1 −== − . 3）当 时，1n = 2 2 i Res[ ( ), 1] 2 i 1C z dz f z z π π= −+∫v = ；当 1n ≠ 时， 2 2 1 1 1(1 ) 1 1 1 n n n n n n n n n z z z z z z z z z− = = − + + = − + ++ + " " 知 ，故1 0c− = 2 0 1 n n C z dz z =+∫v 。 13计算下列积分 1) 2 0 1 5 3sin d π θθ+∫ ； 2） 22 0 sin cos d a b π θ θθ+∫ ； 3）(a b> > 0) 2 21(1 ) dxx +∞ −∞ +∫ ； - 6 - 4） 2 40 1 x dx x +∞ +∫ ； 5） 2 cos4 5x dxx x +∞ −∞ + +∫ ； 6） 2sin1x x dxx +∞ −∞ +∫ 。 解 1）由于被积函数的分母5 3sinθ+ 在0 2θ π≤ ≤ 内不为零，因而积分有意义。 2 2 | | 1 | | 1 i 3 1 2 2 i Res[ ( ), ] 1 i 3 10i 35 3 2i 2 2 i 6 +10i 2 z z z dzI dz z z z z z z π ππ = = =− = = =− + −+ = = ∫ ∫v v i3f z − 2）由于被积函数的分母 cosa b θ+ 在0 2θ π≤ ≤ 内不为零，因而积分有意义。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | | 1 | | 1 1( ) i( 1)2i 2 i{Re [ ( ),0] Res[ ( ), ]} 1 i 2 ( 2 ) 2 z z z dz z a a bzI dz s f z z z z bz az b ba b z π = = − − −= = = ++ + ++ ∫ ∫v v f z + − 又 2 2 2 2 2 2 0 ( 1 )( 3 (3 )) iRes[ ( ),0] ( 2 ) z z a az bz z af z b az bz b= − + + + += =+ + − ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i( 1) iRes[ ( ), ] 4 ( 3 2 ) a a bz b a a b z a bf z b z b az bz b− + −= − + − − −= =+ + 故 2 22 2 ( )I a a b b π= − − 。 3）函数 2 2 1( ) (1 ) f z z = + 在上半平面内只有 2级极点 i，且 2 2 3i i 1 2Res[ ( ), i] lim ( i) ( ) lim ( i) (2i) 4z z d df z z f z dz dz z→ → = − = = − =+ i− ， 故 2 2 1 (1 ) dx x +∞ −∞ +∫ ＝2 i Res[ ( ), i] 2f z ππ = 。 4）注意到被积函数为偶函数， 2 2 4 40 1 1 2 1 x xI dx dx x x +∞ +∞ −∞= =+ +∫ ∫ 函数 2 4( ) 1 zf z z = + 在上半平面内只有一级极点 i 3 i 4 4,e e π π ，且 i 4 2 3 i 1 iRes[ ( ), ] 4 4 4 2z e zf z z π π = −= = 3 i 4 2 3 3 i 1 iRes[ ( ), ] 4 4 4 2z e zf z z π π = += = − ； 故 1 i 3 i2 i(Res[ ( ), ] Res[ ( ), ]) 2 4 4 2 2 I f z f zπ π ππ= + = 。 5）对于 i 2 4 5 xeI dx x x ∞ −∞= + +∫ ，令 ( ) 2 14 5R z z z= + + ，则 2 iz = − + 为上半平面内的 的一级极( )zR - 7 - 点，故有： ( ) i 1i 2 i (sin 2 i cos 2)Res , i 2 4 2 z z z e eR z e z − =− + +⎡ ⎤ = = −⎣ ⎦ + ， 则原积分＝ 。 i 1Re{2 i Res[ ( ) , 2 i]} cos 2zR z e eπ π −− + = 6）对于 i 21 xxeI dx x ∞ −∞= +∫ ，令 ( ) 21 zzzR += ，则 i=z 为上半平面内的 ( )zR 的一级极点，故有： ( )[ ] ( ) 2i)i)(( ilimi,Res 1i i i − → =+−−= e zz zezezR z z z ( )[ ] ii,Resi2 1i −== eezRI z ππ ，则原积分 1Im{ }I eπ −= = 14．试用下图中的积分路线，求例 4中的积分： 0 sin x dx x +∞∫ 。 解 0 sin 1 sin 2 x xdx dx x x +∞ +∞ −∞=∫ ∫ ，采用 沿如如图所示闭曲线来计算上式右端的积分（ 为 的一级极点，且在实轴上）。由 Cauchy基本定理，有 i /ze z 0z = i /ze z 第 14题图 R− r− Rr y xO R i Cr i i i i i ii i i i 0 r z x z z z xR R R R R R r C r R R R R R R e e e e e edz dx dz dz dz dx z x z z z x + − + − − + − + −+ + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = ， 令 x t= − ，则有 i -x xr R R r e edx dx i x x − − = −∫ ∫ ，所以 i i sin2i x xR r R r R r e edx dx dxx x x x − −+ =∫ ∫ ∫ 。 又 i i( i) -i - 2 2i 2 i z x R RR R R R R R R R R e e edz dx dx e z x R x R +− + − − + = ≤+ +∫ ∫ ∫ ≤ ，知 ii i lim 0 zR R R RR e dz z − + +→+∞ =∫ ； i i( i ) -i 2 20 0 1i i z R y yR R R R R e e edz dy dy z R y R y Re R + −+ −= ≤ ≤+ +∫ ∫ ∫ ，同理 i i 1z RR R R e edz z R −− − + −≤∫ ，知 i ii i lim 0 z zR R R R R RR e edz dz z z + − − +→+∞ ⎧ ⎫+ =⎨ ⎬⎩ ⎭∫ ∫ 和例 4采用同样的方法得到 i 0 lim i r z Cr e dz z π→ = −∫ 。 - 8 - 故 + 0 sin2i ix dx x π∞ =∫ ，即 0 sin 2x dxx π +∞ =∫ 。 15．利用公式（5.4.1）计算下列积分： 1） | | 3 1 2 i z dz z π = =∫v ； 2） 2 | | 3 2 i 1z z dz z π = =−∫v ； 3） | | 3 tan 4 i z zdz π = = −∫v ； 4） | | 3 1 0 ( 1)z dz z z= =+∫v 。 16．设 为区域 内的一条正向简单闭曲线，C D 0z 为 内一点。如果C ( )f z 在 内解析，且D 0( ) 0f z = ， 。在 内0'( ) 0f z ≠ C ( )f z 无其他零点。试证： 0 1 '( ) 2 i ( )C zf z dz z f zπ =∫v 。 证 ( )f z 在C内只有一级零点 0z ，而 0 0 ( ) '( ) '('( ) ( ) ( ) ( ) z z f z z f zzf z ) f z f z f z −= + ，知 0z 为函数 0( ) '(( ) z z f z f z − ) 的 可去奇点，故由留数定理和（5.4.1）知 0 0 0 0 ( ) '( ) '( )1 '( ) 1 1 0 2 i ( ) 2 i ( ) 2 i ( )C C C z z f z z f zzf z dz dz dz z z f z f z f zπ π π −= + =∫ ∫ ∫v v v + = 。 17．若 在 上及其内部解析，且在C上( )zϕ :| | 1C z = ( )| |zϕ 1< ，证明在 内只有一个点C 0z 使 ( )0 0z zϕ = 。 证 令 ( )f z = −z，则在 上，C ( ) 1f z = ，而 ( ) 1 ，则方程 在圆 | |nz aze = 1z = 内有 n个根。 证 设 ， ，在( ) nazzf −= ( ) zezg = 1≤z 内均解析，且当 1|| =z 时， |， 而|||||| azaaz nn =−=− eeez ≤= ϕcos|| ea > ， 故 ( ) ( ) |||||||||| zgeaazzf zn =>=−= 。 根据路西定理知， 与 + 在( )zf ( )zf ( )zg 1|:| =zC 内的零点个数相同，即 的根的个数与 的根的 个数相同，即为 n。 nz aze = 0=− naz 19．证明方程 的根都在圆环域01237 =+− zz 2||1 ≤≤ z 内。 证 当 2 + ( )zgzzz =−≥ 373 ，故 的 根与 的根的个数相同，即在 01237 =+− zz ( ) 12=zf 1=z 内无根，综上所述， 的根全在 内。 01237 =+− zz 2||1 ≤≤ z - 9 - 傅氏变换习题解答 习题一 1．试证：若 满足傅氏积分定理的条件，则有 ( )tf 0 0 ( ) ( ) cos ( )sinf t a td b tdω ω ω ω ω ω+∞ +∞= +∫ ∫ 其中 1( ) ( ) cos , 1( ) ( )sin a f b f d d ω τ ωτπ τ ω τ ωτ τπ +∞ −∞ +∞ −∞ = = ∫ ∫ 证 ( ) ( ) ( )j j1 1 (cos jsin )cos 2 2 tf t f e d e d fωτ ω td dτ τ ω τ ωτ ωτ ω τπ π +∞ +∞ +∞ +∞− −∞ −∞ −∞ −∞= = −∫ ∫ ∫ ∫ ω ( ) ( ) ( ) 0 0 0 11 + cos cos(cos jsin ) jsin 2 1 + ( ) cos ( )sinsin sin f d tdf td d a td b tdf d dt τ ωτ τ ω ωτ ωτ ωτ ω τ ω ππ ω ω ω ω ω ωτ ωτ τ ωωπ +∞ +∞+∞ +∞ −∞−∞ −∞ +∞ +∞+∞ +∞ −∞ −∞ − = = + ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ 因 ， 。 ( )sin cosf td dτ ωτ ω τ ω ω+∞−∞∫ 为 的奇函数 ( )cos cosf td dτ ωτ ω τ ω ω+∞−∞∫ 为 的偶函数 2．试证：若 满足傅氏积分定理的条件，当( )tf ( )tf 为奇函数时，则有 ( ) ( ) ( ) ωωω dtbtf ∫+∞= 0 sin 其中 ( ) ( ) ( ) 0 2 sinb f dω τ ωτπ +∞= ∫ τ 当 为偶函数时，则有 ( )tf ( ) ( ) ( ) ωωω dtatf cos 0∫+∞= 其中 ( ) ( ) ( ) 0 2 cosa f dω τ ωτπ +∞= ∫ τ 证 设 是奇函数 ( )tf ( ) ( ) j j1 2 tf t f e d e dωτ ωτ τ ωπ +∞ +∞ − −∞ −∞= ∫ ∫ ( )( ) j1 cos jsin2 tf d e dωτ ωτ ωτ τ ωπ +∞ +∞ −∞ −∞= −∫ ∫ ( ) j 0 1 sin j tf d e dωτ ωτ τ ωπ +∞ +∞ −∞= ∫ ∫ ( ) j12 j tb e dωω ω +∞ −∞= ∫ 。（ ( )ωb 是ω的奇函数） ( )( ) ( ) 0 1 cos jsin sin 2 j b t t d b tdω ω ω ω ω ω+∞ +∞−∞= + =∫ ∫ ω 设 是偶函数 ( )tf ( ) ( ) j j1 2 tf t f e d e dωτ ωτ τ ωπ +∞ +∞ − −∞ −∞= ∫ ∫ ( )( ) j1 cos jsin2 tf d e dωτ ωτ ωτ τ ωπ +∞ +∞ −∞ −∞= −∫ ∫ ( ) ( )j 0 1 cos 2 ta e d a tdωω ω ω ω+∞ +∞−∞= =∫ ∫ ω ( )ωa 是ω的偶函数。（注也可由 1题推证 2题） 3．在题 2中，设 ，试算出( ) 1, | | 1 0, | | 1 t f t t ≤⎧= ⎨ >⎩ ( )ωa ，并推证 0 , | | 1 2 sin cos , | | 1 4 0, | | 1 t td t t π ω ω πωω +∞ ⎧ <⎪⎪⎪= =⎨⎪ >⎪⎪⎩ ∫ 证 是偶函数 ( )tf ( ) ( )∫ ==∞+= ωωπωωπωπω sin201sin2cos02 ttdttfa ( ) ( )∫ ∫ +∞=+∞= ωω ωωπωωω dttdat cossin02cos0f 所以 ( ) 0 | | 1 2 sin cos 0 1 | | 1 2 2 2 4 0 | | t t d f t t t π ω ω π π πωω +∞ ⎧ 1 <⎪⎪ +⎪= = =⎨⎪ >⎪⎪⎩ ∫ = 。 习题二 1． 求矩形脉冲函数 , 0( ) 0, A t f t τ≤ ≤⎧= ⎨⎩ 其他 的傅氏变换。 解 ( ) =ωF ¶ ( ) ( ) j j 0 t tf t f t e dt Ae dtω ω τ− −+∞= =⎡ ⎤⎣ ⎦ −∞∫ ∫ j i j 0 1 1 j j j te e eA A A τω ωτ ωτ ω ω ω − − −− −= = =− − 2． 求下列函数的傅氏积分： （1） （2） （3） ( ) 2 221 ,0, 1 t t f t t ⎧ − <= ⎨ >⎩ 1 ( ) ⎩⎨ ⎧ ≥ <= − 0,2sin 0,0 tte t tf t ( ) 0, 1 1, 1 0 1, 0 1 0, 1 t t f t t t −∞ < < −⎧⎪− − < <⎪= ⎨ < <⎪⎪ < < +∞⎩ 解 （1）函数 满足傅氏积分定理的条件，傅氏积分公式为 ( ) ⎩⎨ ⎧ > <−= 1||,0 1||,1 2 t tttf ( ) ( ) i i1 2 t tf t f t e dte dω ω ωπ +∞ +∞ − −∞ −∞= ∫ ∫ ( )1 2 i i11 1 2 t tt e dte dω ω ωπ +∞ −−∞ −= −∫ ∫ ( )1 2 i 0 1 1 cos tt tdte d 12 i 2 3 0 1 sin 2 cos 2sin sin tt t t t t t e dωω ω ω ω ωπ ω ω ω ω +∞ −∞ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ] ωω ωπ +∞ −∞= −∫ ∫ ( ) i 3 2 sin cos1 te dω ω ω ω ωπ ω +∞ −∞ −= ∫ 304 sin cos cos tdω ω ω ω ωπ ω +∞ −= ∫ （2） 满足傅氏积分定理的条件，其傅氏积分公式为 ( ) ⎩⎨ ⎧ ≥ <= − 0,2sin 0,0 tte t tf t ( ) ( ) i i i i 0 1 1 sin 2 2 2 t t t t tf t f t e dte d e te dtω ω ω ωe dω ωπ π +∞ +∞ +∞ +∞− − −∞ −∞ −∞= =∫ ∫ ∫ ∫ − i2 i2 i i 0 1 2 2i t t t t te de ee e dtω ω ωπ −+∞ +∞ − − −∞ −= ∫ ∫ ( ) ( )( )i 2 i 2 i014 i t t t t te e dteω ω ω dωπ +∞ +∞ − + − − − +−∞= −∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 i 2 1 i 2 i 0 1 4 i 1 i 2 1 i 2 t t te e e d ω ω ω ωπ ω ω +∞− + − − − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦+∞ −∞ ⎡ ⎤= −⎢ ⎥− + − − − +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ( ) ( ) i 1 1 1 4 i 1 i 2 1 i 2 te dω ωπ ω ω +∞ −∞ ⎡ ⎤− −= −⎢ ⎥− + − − − +⎣ ⎦∫ ( ) ( )2 2 45 2 i1 cos isin25 6 t t ω ω dω ω ωπ ω ω +∞ −∞ − −= +− +∫ ( ) ( )2 2 2 4 2 4 5 cos 2 sin 5 sin 2 cos1 i 25 6 25 6 t t t t d d ω ω ω ω ω ω ω ωω ωπ ω ω π ω ω +∞ +∞ −∞ −∞ − + − −= +− + − +∫ ∫ ( )2 2 40 5 cos 2 sin2 25 6 t t d ω ω ω ω ωπ ω ω +∞ − += − +∫ （3）函数 ，满足傅氏积分定理的条件，其傅氏积分公式为 ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ << <<−− = 是奇函数 其他,0 10,1 01,1 t t tf ( ) ( ) ( )i i i 0 1 1 sin 2 i t t tf t f t e dte d f t tdtω ω ωe dω ω ωπ π +∞ +∞ +∞ +∞− −∞ −∞ −∞= =∫ ∫ ∫ ∫ 1 i i 0 1 1 11 sin i i t ttdte d e dω ωcosωω ω ωπ π +∞ +∞ −∞ −∞ ω −= ⋅ =∫ ∫ ∫ ωωω ω π tdsin cos12 0∫+∞ −= 在 的间断点 处以( )tf 1,0,10 −=t ( ) ( )2 00 00 −++ tftf 代替。 3．求下列函数的傅氏变换，并推证下列积分结果。 （1） | |( ) tf t e β−= （ 0β > ），证明 | |2 20 cos 2 tt d e βω πωβ ω β +∞ −=+∫ （2） ，证明( ) tetf t cos||−= ( )∫+∞ −=++0 ||4 2 cos 2 cos 4 2 tedt tπωωω ω （3） 证明( ) ⎩⎨ ⎧ > ≤= ,||,0 ,||,sin π π t tt tf 20 sin , | |sin sin 2 1 0, | | t tt d t π πωπ ω ωω π +∞ ⎧ ≤⎪= ⎨− ⎪ >⎩ ∫ 解 （1） ¶( ) =tF ( ) | | it tf t e e dtβ ω+∞ − −−∞=⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ = i i 0 0 2 cos 2 2 t t t t e ee tdt e dt ω ω β βω −+∞ +∞− − +=∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i 0 0 0 i i t t t t e e e e dt β ω β ω β ω β ω β ω β ω +∞ +− − − − +∞ − − − +⎡ ⎤= + = +⎣ ⎦ − − − +∫ ∞ 2 2 1 1 2 i i β β ω β ω β ω= + =− + + ( )tf 的积分表达式为 ( ) ( )∫+∞∞−= ωωπ ω deFtf ti21 ( )2 21 2 cos i sin2 t t d β ω ω ωπ β ω +∞ −∞= ++∫ 2 202 cos tdβ ω ωπ β ω +∞= +∫ 即 | |2 20 cos 2 tt d e βω πωβ ω β +∞ −=+∫ （2） ( ) =ωF ¶ ( )[ ] ∫∫ +∞∞− − − −+∞ ∞− −− +== dteeeedtteetf t tt ttt ωω i ii ||i|| 2 cos ( ) ( ) ( ) ( ){ }0 01 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 10 012 t t te dt e dt e dt e dtω ω ω t+∞ +∞+ − − + − + − − − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦−∞ −∞= + + +∫ ∫ ∫ ∫ ω = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 i 1 1 i 11 i 1 1 i 1 0 0 2 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 t tt t e ee e ω ωω ω ω ω ω +∞ +∞− + − − − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −∞ −∞ ⎧ ⎫1 ⎪ ⎪+ + +⎨ ⎬+ − − + − + − − − +⎪ ⎪⎩ ⎭ ω ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1ω ω ω ω ⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥+ − − + − − + +⎣ ⎦ 2 4 2 4 4 ω ω += + ( )tf 的积分表达式为 ( ) ( ) ωω ω πωωπ ωω dedeFtf tt i4 2 i 4 42 2 1 2 1 ∫∫ +∞∞−+∞∞− ++== ∫ +∞ + += 0 4 2 cos 4 421 ωωω ω π td 因此有 ( )∫+∞ −==++0 ||4 2 cos 22 cos 4 2 tetftd tππωωω ω （3） ( ) =ωF ¶ ( ) ( ) i isint tf t f t e dt te dtπω ωπ+∞ − −−∞ −= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ ∫ ( ) ∫∫ −=−= − πππ ωωω 0 sinsini2sinicossin tdttdtttt = ( ) ( )[ ]∫ −−+π ωω0 1cos1cosi dttt ( ) ( ) ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − −−+ += ω ω ω ω ππ 1 1sin 1 1sin i 00 tt ( ) ( ) ( ) ( ) 21 1sin1sin1sin1sini ω πωωπωπωωπω − −−−−+−+= 21 sini2 ω ωπ −−= ( )tf 的积分表达式为 ( ) ( ) ∫∫ +∞∞−+∞∞− ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −−== ωωωππωωπ ωω dedeFtf tt i2i 1sini22121 ( ) ∫∫ +∞+∞∞− −=+−−= 0 22 1 sinsin2sinicos1sini ωω ωωππωωωωωππ dtdtt 因此有 ( )∫ ∞+ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > ≤==−0 2 ||,0 ||,sin 221 sinsin π πππωω ωωπ t tttfdt 4．已知某函数 的傅氏变换为( )tf ( ) =ωF sinωω ，求该函数 ( )tf 。 解 ( ) ( ) ( )∫∫ +∞∞−+∞∞− +== ωωωωωπωωπ ω dttdeFtf t sinicossin2121 i ( ) 0 sin(1 ) sin 11 sin 1cos 2 2 t t td d ω ωω ω ω ωπ ω π ω +∞ +∞ −∞ + + −= =∫ ∫ ( ) ( )∫ ∫+∞ +∞ −++= 0 0 1sin211sin21 ωω ωπωω ωπ dtdt （*） 而由 ∫+∞ =0 2sin πdxx x 得 当 时，0>u ∫ ∫ ∫+∞ +∞ +∞ ===0 0 0 2sinsinsin πωωωωω ω dxx xduu udu 当 时，0 = < = 1||,0 1||, 4 1 1||, 2 1 t t t tf 5．已知某函数的傅氏变换为 0( ) [ ( ) ( )]F 0ω π δ ω ω δ ω ω= + + − ，求该函数 。 ( )tf 解 ( ) ( ) i i0 01 1 [ ( ) ( )]2 2t tf t F e d e dω ωω ω π δ ω ω δ ω ωπ π +∞ +∞ −∞ −∞= = + + −∫ ∫ ω 0 0-i i 0cos2 t te e t ω ω ω+= = 6．求符号函数（又称正负号函数） 1, 0sgn 1, 0| | ttt tt − <⎧= = ⎨ >⎩ 的傅氏变换。 解 符号函数不满足傅氏积分定理的条件，显然 不收敛。按照如下方式推广傅氏 变换的定义。首先注意到可取 ，且 | sgn |t dt +∞ −∞ → +∞∫ / / , 0 ( ) 0 0 0 t n n t n e t f t t e t −⎧ >⎪= =⎨⎪− <⎩ sgn lim ( )nnt f t→∞= ， ，而[sgn ] lim [ ( )] df nn F t F f t→∞= ( )nf t 满足傅氏积分定理的条件，且 [ ]nF ω = ¶ ( ) ( ) 0i / i /0t t n t t nn i tf t f t e dt e e dt e e dtω ω+∞ +∞− − −−∞ −∞= = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ω− = 1 1 1 1i i n n ω ω − + − = 2 2 2 i 1 n ω ω − ⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎝ ⎠ 故 [ ]F ω = ¶ ( ) 2 2 2 , 02 ilim [ ] i 1 0, 0 nn f t F n ωωω ω ωω→∞ ⎧ ≠− ⎪= = =⎡ ⎤ ⎨⎣ ⎦ ⎛ ⎞ ⎪ =+ ⎩⎜ ⎟⎝ ⎠ 注： 一般地，若 lim ( ) ( )nn f x f x→+∞ = ，且 ( )nf x 古典意义下的傅氏变换 [ ]nF ω = ¶ ( )nf t⎡ ⎤⎣ ⎦，( 1 都 存在，且当 ，函数族{ [ ,2,n = ") n →+∞ ]}F ω 收敛，则称该极限为 ( )f x 在极限意义下的傅氏变换，即 [ ]F ω =¶[ ( )] lim [ ]nnf x F ω→+∞= 7．求函数 1( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 a af t t a t a t tδ δ δ δ= + + − + + + − ] 2 的傅氏变换。 解 ( ) =ωF ¶ ( )[ ]tf ( ) ( )i i1 2 t tt a e dt t a e dtω ωδ δ+∞ +∞− −−∞ −∞⎡= + + −⎢⎣∫ ∫ i i2 2t ta at e dt t e dtω ωδ δ +∞ +∞− − −∞ −∞ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦∫ ∫ i ii i 2 21 2 a a a ae e e e ω ωω ω −−⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ cos cos 2 aa ωω= + 8．求函数 ( ) cos sinf t t= t的傅氏变换。 解 ( ) =ωF ¶ ( ) icos sin tf t t te dtω+∞ −−∞=⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ ∫∫ +∞∞− −−+∞∞− − −== dteeedtte tttt ωω i2i2ii i2212sin21 ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= ∫∫ +∞∞− +−+∞∞− −− dtedte tt 2i2ii41 ωω ( ) ([ ]2222i41 −−+−= ωπδωπδ ) ( ) ([ ]22 2 i −−+= ωδωδπ ) 9．求函数 3( ) sinf t = t的傅氏变换。 解 ( ) =ωF ¶ ( ) 3 isin tf t te dtω+∞ −−∞=⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ = i1 (3sin sin 3 )4 tt t e dtω +∞ − −∞ −∫ i [3 ( 1) 3 ( 1) ( 3) ( 3)] 4 π δ ω δ ω δ ω δ ω= + − − − + + − 。 10．求函数 ( ) sin(5 ) 3 f t t π= + 的傅氏变换。 解 ( ) ( ) i i 1sin(5 ) (sin 5 3 cos5 ) 3 2 t tF f t e dt t e dt t t e dtω ω i tωπω +∞ +∞ +∞− −−∞ −∞ −∞= = + = +∫ ∫ ∫ − 1 3i [ ( 5) ( 5)] [ ( 5) ( 5)] [( 3 i) ( 5) ( 3 i) ( 5) 2 2 2 ππ δ ω δ ω π δ ω δ ω δ ω δ ω= + − − + + + − = + + + − ]− 11．证明δ −函数是偶函数，即 ( ) ( )t tδ δ= − 。 证 设 ( )f x 为任意一个在 ( , )−∞ +∞ 无穷次可微的函数，则 ( ) ( ) ( ) ( ) (0)t f t dt u f u du fδ δ+∞ +∞−∞ −∞− = − =∫ ∫ ，又由 δ −函数的筛选性质知 ，知 ，故 ( ) ( ) (0)t f t dt fδ+∞−∞ =∫ ( ) ( ) ( ) ( )t f t dt t f t dtδ δ+∞ +∞−∞ −∞− =∫ ∫ δ −函数是偶函数。 12．证明：若¶[ ]j ( ) ( )te Fϕ ω= ，其中 ( )tϕ 为一实函数，则 ¶ 1[cos ( )] [ ( ) ( )], 2 t F Fϕ ω ω= + − ¶ 1[sin ( )] [ ( ) ( )], 2 j t F Fϕ ω ω= − − 其中 ( )F ω− 为 (F )ω− 的共轭函数。 证 因为 ( ) ( ) ( )tj cos jsinte tϕ ϕ ϕ= + ， ( ) ( ) ( )j cos jsint t tϕ ϕ ϕ− = −e 所以 ( ) ( ) ( ) 2 cos （*） ii tt eet ϕϕ ϕ −+= ( ) ( ) ( ) i2 sin ii tt eet ϕϕ ϕ −−= （**） 但 ¶ [ ]( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫+∞∞− −−+∞∞−−−− == dteedteee ttttt ωϕωϕϕ iiiii ( )ω−= F 由本题 ( 、 式得 )* ( )** ¶ [ ( )] 2 1cos =tϕ {¶ ( )[ ]+te ϕi ¶ ( )[ ]te ϕi− } ( ) ( )[ ]ωω −+= FF 2 1 ] {¶ ( )[ ]−te ϕi ¶ ( )[ ]te ϕi− } ( ) ( )[ ]ωω −−= FF i2 1 ¶ [ ( ) i2 1sin =tϕ 13．证明周期为 T的非正弦函数 ( )f t 的频谱函数为 0( ) 2 ( )n n F cω π δ ω ω+∞ =−∞ = ∑ − ，其中 为nc ( )f t 的傅氏级 数展式中的系数。 证 设 T πω 20 = ,则周期为 T的非正弦函数 ( )f t 的傅氏级数的复指数形式为: ( ) 0in tnf t c e ω+∞ −∞ = ∑ ( ) =ωF ¶ ( ) ( ) i tf t f t e dt ( )00 ii i n tn t tn nc e e dt c e dtω ωω ω+∞ +∞+∞ +∞ − −−−∞ −∞−∞ −∞= =∑ ∑∫ ∫ω +∞ − −∞=⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ ( ) ( )0 02 2n n n c n c n ω ω πδ ω ω π δ ω ω+ +∞ − =−∞ = − = −∑ ∑ 14．求如图所示的三角形脉冲的频谱函数。 O t ( )f t 2 τ 2 τ− A 解 0, | | / 2 2( ) , 0 / 2 2 , / 2 t Af t t A t A t A t τ ττ ττ ⎧⎪ >⎪⎪= − + ≤ ≤⎨⎪⎪ + − ≤ ≤⎪⎩ 0 ，则 ( )f t 的频谱函数为 ( )ωF =¶ ( ) 0 / 2i i / 2 0 2 2( ) ( )t tA Af t t A e dt t A e τω ω τ τ τ − − −= + + − +⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ ∫ dt i i 2 2 2 2 2 2 2 2 i 2 2 i 4 1 cos 2 2 A e e A ωτ ωτ 2 ωτ ωτ τ ω ω τω ⎡ ⎤− + − + + ⎛ ⎞⎢ ⎥= − = −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ωτ 15．求作如图所示的锯齿形波的频谱图。 h ( )tf t O T 2T 3T -T -3T -2T -3T ( ) ( )Ttt T htf <≤= 0解 如图可知,在一个周期 T内的表达式为 ,它的傅氏级数的复指数形式为: 可见 的傅氏系数为 ( ) ∑+∞ −∞= = n tn neCtf ωi ( )tf ( ) 22 11 0 0 0 2 20 ht T htdt T h T dttf T C T T T ==== ∫ ∫ ( ) dtetf T C T tn n ∫= 0 i1 ω ∫ −= T tn dtteThT 0 i1 ω ∫ −= T tin dtteTh 02 ω ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ +−= ∫ − − dte nn et T h T tn Ttn 0 i 0 i 2 i 1 i ωω ωω ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+−= −− 22 ii 2 1 i ωω ωω n e n Te T h TnTn ( )",2,1i ±±== n Tn h ω 它的频谱为 hCA == ||2 00 , πω n h Tn hCA n === 2||20 , 其中 ( )…=== ,2,12 n T nnn πωω 这样对应不同的频率得出各次谱波的振幅,因此频谱图如图所示. A h O ωω ω43ω2ω 16．求高斯（Gauss）分布函数 2 221( ) 2 t f t e σπσ −= 的频谱函数 解 教科书中 P10，例 2 已解得钟形脉冲函数 的傅氏变换为2tAe β− 2 / 4A e ω βπβ − ，本题中 1 2 A πσ= ， 22 1 σβ = ，所以 ( )ωF =¶ ( ) 2 2 2 2 i2 21 2 t tf t e e dt e σ ω ωσ πσ −+∞ −− −∞= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ 习题三 1．若 1( )F ω = ¶ ( )1f t⎡ ⎤⎣ ⎦， 2 ( )F ω = ¶ ( )2f t⎡ ⎤⎣ ⎦， ,α β 是常数，证明（线性性质）： ¶ ( ) ( )1 2 1 2( ) ( )f t f t F Fα β α ω β+ = +⎡ ⎤⎣ ⎦ ω ， ¶ [ ] ( ) ( )1 1 2 1 2( ) ( )F F f t fα ω β ω α β− + = + t 。 i t 证 ¶ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i1 2 1 2 1 2t tf t f t f t f t e dt f t e dt f t eω ωα β α β α β+∞ +∞ +∞− −−∞ −∞ −∞+ = + = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ dtω− 1 2( ) ( )F Fα ω β ω= + 2．若 ( ) =ωF ¶ ，证明（对称性质）：( )[ tf ] j1( ) ( ) 2 tf F t e dtωω π +∞ − −∞± = ∫ ∓ ，即¶[ ( )] 2 ( )F t fπ ω= ±∓ 。 证 因 i1( ) ( ) 2 tf t F e ω dω ωπ +∞ −∞= ∫ ，令 x t= − ， -i1( ) ( )2 tf t F e ω dω ωπ +∞ −∞− = ∫ （*） 令 t ω= ，则 -i1 1( ) ( ) 2 2 tf F t e dtωω π π +∞ −∞− = =∫ )]F t¶[ ( ，即¶[ ( )] 2 ( )F t fπ ω= － ； （*）式中令 t ω=－ ，则 -i -i1 1( ) ( ) ( ) 2 2 t tf F t e d t F t e dω ωω 1 2 tπ π π +∞ +∞ −∞ −∞= =∫ ∫－ （－） － ＝ ¶ ，即 ¶[ ( [ ( )]F t )] 2 ( )F t fπ ω=－ 。 3．若 ( ) =ωF ¶ ， a为非零常数，证明（相似性质）¶[ ]( )[ ]tf 1( ) | | f at F a a ω⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠。 证 设 ，有¶0a > -i -i-i 1 1 1[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )at ut a af at f at e dt f at e d at f u e du F a a a ω ω ω a ω+∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞= = = =∫ ∫ ∫ ； 同理 时，¶0a > -i -i-i 1 1 1[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )at ut a af at f at e dt f at e d at f u e du F a a a ω ω ω a ω+∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞= = = − = −∫ ∫ ∫ ； 综上，¶[ ] 1( ) | | f at F a a ω⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠。 4．若 ( ) =ωF ¶ ，证明（象函数的位移性质）： ( )[ tf ] ¶ [ ] ( )01 j0( ) tF e fωω ω− ±=∓ 0( )Ft ，即 ¶ ( )0j[ ]te f tω± 。 ω ω =∓ 证 ¶ ( ) ( ) ( )0 0 0j j j( )j 0[ ] (t t tte f t e f t e dt f t e dt Fω ω ω ωω )ω ω+∞ +∞± ± −−−∞ −∞= = =∫ ∫ ∓ ∓ 。 5．若 ( ) =ωF ¶ ，证明（象函数的微分性质）：( )[ tf ] ( )d F d ωω = ¶ ( )[ j ]tf t− 。 证 ( )d F d ωω = ( ) ( ) ( )j j j tjt t d df t e dt f t e dt tf t e dt d d ω ω ω ω +∞ +∞ +∞− − −∞ −∞ −∞= = −∫ ∫ ∫ ( )]tf t−ω− ＝¶[ j 。 6．若 ( ) =ωF ¶ ，证明（翻转性质） ( )[ tf ] ( ) =−ωF ¶ ( )[ ]f t− 证 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )i it tF f t e dt f t e d tω ωω +∞ +∞− − − − −−∞ −∞− = = − −∫ ∫ = ( ) i tf t e dtω+∞ −−∞ − =∫ ¶ ( )f t−⎡ ⎤⎣ ⎦。 7．若 ( ) =ωF ¶ ，证明：¶( )[ tf ] 0 01[ ( )cos ] [ ( ) ( )]2f t t F F 0ω ω ω ω ω= − + + ， ¶ 0 0 1[ ( )sin ] [ ( ) ( )] 2 j f t t F F 0ω ω ω ω ω= − − + 。 证 ¶ ( ) ( ) ( )0 0 0 0j j j( ) j( )j0 1[ ( ) cos ] 2 2 t t t tte ef t t f t e dt f t e dt f t e d ω ω ω ω ω ωωω −+∞ +∞ +∞− − − +− −∞ −∞ −∞ + t⎡ ⎤= = +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ 0 0 1 [ ( ) ( )] 2 F Fω ω ω ω= − + + ； ¶ ( ) ( ) ( )0 0 0 0j j j( ) j( )j0 1[ ( )sin ] 2 j 2 j t t t tte ef t t f t e dt f t e dt f t e dt ω ω ω ω ω ωωω −+∞ +∞ +∞− − − +− −∞ −∞ −∞ − ⎡ ⎤= = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ 0 0 1 [ ( ) ( )] 2 j F Fω ω ω ω= − − + 。 8．利用能量积分 2 1[ ( )] | ( ) | 2 2f t dt F dω ωπ +∞ +∞ −∞ −∞=∫ ∫ ，求下列积分的值： （1） 2 1 cos x dx x +∞ −∞ −∫ ； （2） 42sin x dxx +∞ −∞∫ ； （3） 2 21(1 ) dxx +∞ −∞ +∫ ； （4） ( ) 2 221 x dx x +∞ −∞ +∫ 解 （1） 2 1 cos x dx x +∞ −∞ −∫ =2 2 2 2 sin sin2 x xdx dx x x +∞ +∞ −∞ −∞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ +∞ ∞−= π2 1 ¶ ωd x x 2 sin ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ （*） ¶ dx x xxdxe x x x x x∫ ∫+∞∞− +∞− ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 0i cossin2sinsin ωω ( ) ( ) dxx xx∫ +∞ −++= 0 1sin1sin ωω （**） 再由 2 sin 0 π=∫+∞ dxx x 得 ( ) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −> −= −<− =+∫ ∞+ 1, 2 1,0 1, 21sin 0 ωπ ω ωπ ω dx x x ， ( ) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ < = >− =−∫ ∞+ 1, 2 1,0 1, 21sin 0 ωπ ω ωπ ω dx x x 所以由（**）式得 ¶ ⎩⎨ ⎧ <<−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 其他,0 11,sin ωπ x x 因此由（*）式得 1 2 2 1 1 cos 1 2 x dx d x π ω ππ +∞ + −∞ − − = =∫ ∫ （2） 2 2 4 2 2 1sin sin 2sin 4 x xx dx dx x x +∞ +∞ −∞ −∞ − =∫ ∫ 2 2sin 1 sin 2 x xdx dx x x +∞ +∞ −∞ −∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ 21 sin 1 1 2 2 2 x dx x π +∞ +∞ −∞ −∞ ⎛ ⎞= = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ¶ 2 sin x d x ω⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫− == 1 1 2 24 1 πωππ d （3）参见本题第 4小题。 （4） ( ) ( ) 2 2 2 22 2 1 1 1 1 x xdx dx x x +∞ +∞ −∞ −∞ + −= + +∫ ∫ ( )22 2 1 1 1 1 dx dx x x +∞ +∞ −∞ −∞= −+ +∫ ∫ 2 1 arctan | 1 2 dt x x π π 2 π+∞ +∞−∞−∞ ⎛ ⎞= = − − =⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∫ ( )22 1 1 21 dx x π +∞ +∞ −∞ −∞=+∫ ∫ ¶ 2 2 1 1 d x ω⎡ ⎤⎢ ⎥+⎣ ⎦ ¶ i2 2 1 1 cos 1 1 1 x 2 xe dx d x x x ω ω+∞ +∞− −∞ −∞ ⎡ ⎤ = =⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦ ∫ ∫ x（利用留数理论计算） ⎪⎭ ⎪⎬⎫⎪⎩ ⎪⎨⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ +∫ ∞+∞− i,1iRes2Re1Re 2 ||i 2 ||i z edt t e zt ωω π ( ){ } |||||| iRe i1 i2Re ωω ω ππππ −− − =+= ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ + ee e 故 ( )∫ ∫ ∫ +∞ ∞− +∞ ∞− +∞ −− ==+ 0 2||22 22 2 1 1 1 ωπωππ ωω dededt t 22 |0 2 ππ ω =−= +∞−e 于是 ( ) 221 22 2 πππ =−=+∫ +∞ ∞− dtt t 。 习题四 1、证明下列各式： （1） ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1f t f t f t f t∗ = ∗ ； （2） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3[ ] [ ]f t f t f t f t f t f t∗ ∗ = ∗ ∗ ； （3） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2[ ] [ ] [a f t f t af t f t f t af t∗ = ∗ = ∗ ]（ 为常数）; a （4） ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]tfetfetftfe ttt 2121 ααα ∗=∗ （ 为常数）; a （5） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2[ ] [ ]f t f t g t g t f t g t f t g t f t g t f t g t+ ∗ + = ∗ + ∗ + ∗ + ∗ ； （6） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 2 1df t df td f t f t f t f tdt dt dt ⎛ ⎞ ⎛∗ = ∗ = ∗⎡ ⎤ ⎜ ⎟ ⎜⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞⎟⎠ . 证 （1） ( ) ( )1 2 1 2( ) ( )f t f t f f t dτ τ τ+∞−∞∗ = −∫ ( ) ( )1 2 2 1( ) ( )f t u f u du f t f t+∞−∞= − = ∗∫ ； （2）记 ， 2 3( ) ( )* ( )g x f t f t= ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3[ ] ( ) ( ) ( )f t f t f t f f d f t dζ τ ζ ζ τ τ+∞ +∞−∞ −∞⎡ ⎤∗ ∗ = − −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ 1 2 3 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )f f f t d d f g t dζ τ ζ τ τ ζ ζ ζ ζ+∞ +∞ +∞−∞ −∞ −∞⎡ ⎤= − − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ − ( ) ( ) ( )1 1 2( )* ( ) [ ]3f t g t f t f t f t= = ∗ ∗ ； （3） ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2[ ] ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( )[ ( )]a f t f t a f f t d af f t d f af t dτ τ τ τ τ τ τ τ τ+∞ +∞ +∞−∞ −∞ −∞∗ = − = − = −∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2[ ] [af t f t f t af t= ∗ = ∗ ]； （4） ( ) ( ) ( )1 2 1 2( ) ( )t t te f t e f t e f e f t dα α ατ α ττ τ τ+∞ −−∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤∗ = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∫ ( ) ( )1 2 1 2( ) ( )t te f f t d e f t f tα ατ τ τ+∞−∞= − = ∗⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ； （5） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2[ ] [ ] [ ] [ ]f t f t g t g t f f g t g t dτ τ τ τ+∞−∞+ ∗ + = + ⋅ − + −∫ τ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 1 2 2f g t d f g t d f g t d f g t dτ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ+∞ +∞ +∞ +∞−∞ −∞ −∞ −∞= ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 1 2 2 2f t g t f t g t f t g t f t g t= ∗ + ∗ + ∗ + ∗ ； （6） ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2d df t f t f f t ddt dt τ τ τ +∞ −∞∗ = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ ( ) ( )1 2df f t ddtτ τ τ +∞ −∞ ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ( ) ( )1 2 df t f t dt ⎡ ⎤= ∗ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 2 1d d df t f t f t f t f t f tdt dt dt ⎡ ⎤∗ = ∗ = ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ( ) ( )1 2 d f t f t dt ⎡ ⎤= ∗⎢ ⎥⎣ ⎦ 因此有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 2 1df t df td f t f t f t f tdt dt dt ⎡ ⎤ ⎡∗ = ∗ = ∗⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎥⎦ 。 3． 若 ( )1 0, 0, 0t t f t e t− <⎧= ⎨ ≥⎩ 与 ( )2 sin , 0 , 2 0, t t f t π⎧ ≤ ≤⎪= ⎨⎪⎩ 其他; 求 ( ) ( )1 2f t f t∗ 。 解 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2f t f t f f t dτ τ τ+∞−∞∗ = −∫ ( )20 e f t dτ τ τ+∞ −= −∫ （*） 当0 2 t π< ≤ 时，（*）式为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i1 2 0 0sin 2i t tt t e ef t f t e t d e d τ τ τ ττ τ τ − − − − − −∗ = − =∫ ∫ ( ) ( )1 i 1 ii i 0 0 1 2i t tt te e d e e dτ ττ τ− + − −−⎡ ⎤⎥= −⎢⎣ ⎦∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−+−= −− − +− i1i1i2 1 0 i1 0 i1 i t it t t e e e e ττ ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −− −−+− −= −−+− i1 1 i1 1 i2 1 i1ii1i tttt eeee = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −++ − −−− i1i1i2 1 ii tttt eeee 2 iiii i2 1 iiii tttttttt eeeeeeee −−−−−− −+−++−−= ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++−−= −−− i2 i2 i2 i i22 1 iiii ttttt eeeee = ( )tett −+− cossin 2 1 当 2 π>t 时，（*）式为 ( ) ( ) ( )1 2 2 sin t t f t f t e t dτπ τ τ−−∗ = −∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−−+−= − −− −− +− i1i1i2 1 2 i1 i2 i1 i t t t t t t e e e e πτπτ ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −++ −= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−−−− − +−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+− i1i1i2 1 2 i1 i1i12 i1 i ππ tt t it t t t eeeeee ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − +++ −= − i1 i1 i1 1i i2 1 22 ππ eee t 2 ii1i1i i2 2222 ππππ eeeee t −+++++−⋅= − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += − 21 2 π ee t 当 时，（*）式为 0. 0⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩ 当 时 当 时 当 时 3．若 1( )F ω = ¶ ( )1f t⎡ ⎤⎣ ⎦， 2 ( )F ω = ¶ ( )2f t⎡ ⎤⎣ ⎦，证明¶ 1 2 1 21[ ( ) ( )] ( ) ( )2f t f t F Fω ωπ⋅ = ∗ 。 证 ¶ 1 i1 2 1 2 1[ ( )* ( )] [ ( ) ( ) ] 2 tF F F F d e dωω ω τ ω τπ +∞ +∞− −∞ −∞= −∫ ∫ τ ω i( ) i2 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( 2 t tF e d e F d f t fω τ τω τ ω τ τ τ ππ +∞ +∞ − −∞ −∞= − − =∫ ∫ ` 2 )t⋅ 4、求下列函数的傅氏变换. （1） ( ) ( ) ( )0sinf t tω= u t ； （2） ( ) ( )0sintf t e t u tβ ω−= ⋅ ； （3） ( ) ( )0costf t e t u tβ ω−= ⋅ ； （4） ( ) ( )0j tf t e u tω= ； （5） ( ) ( )0j 0tf t e u t tω= − ； （6） ( ) ( )0j tf t e t u tω= ⋅ 解（1） ( ) =ωF ¶ ( )[ ] ( ) ( )∫+∞∞− −= dtettutf tωω i0sin ( )∫+∞∞− − −−= dteeetu t tt ω ωω i ii i2 00 ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −= ∫ ∫+∞∞− +∞∞− +−−− dtetudtetu tt 00 iii21 ωωωω i21= ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−+−−+− 0000 i 1 i 1 ωωπδωωωωπδωω ( ) ( )[ ]002 0 2 0 2 i ωωδωωδπωω ω +−−−−−= ( ) ([ ]00220 0 2 i ωωδωωδπωω ω −−++−= ) （2） ( ) =ωF ¶ ( ) ( ) i0sint tf t e u t te dtβ ωω+∞ − −−∞=⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ = 0 0 i i i 0 2 i t t t te ee e dt ω ω β ω −+∞ − −−∫ ( ) ( )( )0 0i i012i t te e dtβ ω ω β ω ω+∞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦= −∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0i i 0 0 0 0 1 2i i i t te eβ ω ω β ω ω β ω ω β ω ω +∞ +∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟− + − − + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎜ ⎟⎝ ⎠ ( ) ( )0 0 1 1 1 2i i iβ ω ω β ω ω ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟+ − + +⎝ ⎠ ( ) ( ) 0 0 22 2 0 0 2i1 2i i i ω ω β ω ω β ω ω= =+ + + + （3） ( ) =ωF ¶ ( ) ( ) i0cost tf t e u t te dtβ ωω+∞ − −−∞=⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ 0 0 i i i 0 2 t t t te ee e ω ω β ω −+∞ − −+= ∫ dt ( ) ( )( )0 0i i012 t te e dtβ ω ω β ω ω+∞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦= +∫ ( ) ( )0 01 1 12 i iβ ω ω β ω ω⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟+ − + +⎝ ⎠ = ( )2 20 i i β ω β ω ω + + + （4）由像函数的位移性质及¶ ( )[ ] ( )ωπδω += i1tu 得 ¶ ( ) ( ) ( )0i 00 1 i te u tω πδ ω ωω ω⎡ ⎤ = + −⎣ ⎦ − （5）根据位移性质 ¶ ¶( )[ ] 0i0 ωt-ettu =− ( )[ ] ( )⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ += ωπδωi 10iωt-etu 再根据像函数的位移性质 ¶ ( ) ( )0 00 ii 0 - tω te u t t e ω ω−⎡ ⎤− =⎣ ⎦ ( ) ( )00 1 i πδ ω ωω ω ⎡ ⎤+ −⎢ ⎥−⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) 0 0i 0 0i te ω ω πδ ω ωω ω − − = + −− （6）由微分性质¶ 得 ( ) ( ) ( ) ( )ωnn Ftfit =− ][ ¶ ( )[ ] ωddttu i= ¶ ( )[ ] ( ) ′⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += ωπδωi 1itu ( )ωδπω 'i 1 2 +−= 再由象函数的位移性质得 ¶ ( )[ ] ( ) ( )020i i10 ωωδπωωω −′+−−=ttue t 5．证明互相关函数和互能量谱密度的下列性质： 21 12 21 12( ) ( ), S ( ) ( )R R Sτ τ ω= − = ω 。 证 21 1 2 1 2 12( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R f t f t dt f u f u du Rτ τ τ+∞ +∞−∞ −∞= + = − =∫ ∫ τ− ； i i i -i 21 21 12 12 12 12S ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )R e d R e d R e d R e d S ωτ ωτ ωτ ωτω τ τ τ τ τ τ τ τ+∞ +∞ +∞ +∞− −−∞ −∞ −∞ −∞= = − = =∫ ∫ ∫ ∫ ω= 。 6．已知某信号的相关函数 2 | |1( ) 4 aR e ττ −= ，求它的能量谱密度 ( )S ω 。 证 0i 2 | | i i( 2 i) i( 2 i) 0 1 1( ) ( ) 4 4 a aS R e d e e d e d eωτ τ ωτ ω τ ω τa dω τ τ τ τ+∞ +∞ +∞− − − − − − +−∞ −∞ −∞ τ⎡ ⎤= = = +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ 2 1 1 1 4 i( 2 i) i( 2 i) 4 a a a a 2ω ω ω ⎡ ⎤= − ==⎢ ⎥− +⎣ ⎦ + 。 7．已知某波形的相关函数 ( ) ( )τωτ 0cos2 1=R ( )为常数0ω ,求这个波形的能量谱密度. 解 波形的能量谱密度 ( ) ( ) ∫∫ +∞∞− −+∞∞− − ⋅== ττωττω ωτωτ dedeRS i0i cos21 2 1= ¶ [ ] ( ) ([ ]000 2cos ωωδωωδ πω −++=t ) 8．若函数 1 , 0 ( ) 0, b t t f t a ⎧ ≤ ≤⎪= ⎨⎪⎩ 其他 a，与 2 1, 0 ( ) 0, t a f t ≤ ≤⎧= ⎨⎩ 其他 ，求 1( )f t 和 2 ( )f t 的互相关函数 12 ( )R τ 。 证 当 | | aτ > 时， ; 12 1 2( ) ( ) ( ) 0R f t f t dτ τ+∞−∞= +∫ t = 当0 aτ< ≤ 时， 212 1 2 0( ) ( ) ( ) ( )2 a b bR f t f t dt tdt a a a ττ τ τ+∞ −−∞= + = =∫ ∫ − ; 当 0a τ− ≤ ≤ 时， 2 212 1 2( ) ( ) ( ) ( )2 a b bR f t f t dt tdt a a aτ τ τ τ+∞−∞ −= + = =∫ ∫ − . 拉氏变换习题解答 习题一 1．求下列函数的拉氏变换,并用查表的方法来验证结果. (1) ( ) sin 2 tf t = ； (2) ( ) 2tf t e−= ； (3) ( ) 2f t t= ； (4) ( ) sin cosf t t= t； (5) ( ) sinhf t = kt； (6) ( ) coshf t k= t； (7) ( ) 2cosf t = t ; (10) ( ) 2cosf t t= . 解 (1) & ( ) i i 2 2 0 0 ( )sin 2 2i t t st stt e e ef t e dt dt − −+∞ +∞− −= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ ∫ i i( ) ( ) 2 2 0 1 ( ) 2i s t s t e e dt +∞ − − − += −∫ i i( ) ( ) 2 2 0 01 i i2i 2 2 | |s t s te e s s − − − ++∞ +∞⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥− + − −⎣ ⎦ i i 1 1 1 1 2 2 i i i i2i 2i 2 2 2 2 s s s s s s ⎡ ⎤ + − +⎢ ⎥= − =⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎛⎢ ⎥− + − +⎜ ⎟⎜⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎞⎟⎠ ( )2 2 1 22 Re 01 4 1 4 s ss = = >++ (2) & ( ) 2 ( 2) 0 0 t st s tf t e e dt e +∞ +∞− − − += =⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ ∫ dt ( ) ( 2) 0 1 Re 2 ( 2) 2 |s te s s s +∞− + = = >− + + − (3) & ( ) 2 2 00 0 1 2| st st stef t t e dt t te dt s s −+∞ +∞+∞− −= = − +⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ ∫ 2 20 02 2|st stte e dts s +∞+∞− −= − + ∫ ( )3 202 2 Re 0|st te ss s +∞− == − = > (4) & ( ) 0 0 1sin cos sin 2 2 st stf t t te dt te dt +∞ +∞− −= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ ∫ ( 2i) ( 2i)014i s t s te e dt +∞ − − − +⎡ ⎤= −⎣ ⎦∫ ( ) ( ) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−−−−= +∞+−+∞−− i2i2i4 1 || 0i)2(0i)2( s e s e tsts ( )0Re 4 1 i2 1 i2 1 i4 1 2 >+=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−−= ssss (5) & ( ) 0 0 sinh 2 kt kt st ste ef t kte dt e dt −+∞ +∞− −−= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ ∫ ( )( ) ( )0 012 s k t s k te dt e dt+∞ +∞− − − += −∫ ∫ ( ) ( ) 0 01 2 ( ) ( ) | |s k t s k te e s k s k +∞ +∞− − − +⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟− − − +⎝ ⎠ ( )2 21 1 1 Re max{ , }2 k s k s k s k s k ⎛ ⎞= − = > −⎜ ⎟− + −⎝ ⎠ k - 1 - (6) & ( ) 0 0 cosh 2 kt kt st ste ef t kte dt e dt −+∞ +∞− −+= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ ∫ ( )( ) ( )0 012 s k t s k te dt e dt+∞ +∞− − − += +∫ ∫ ( ) ( ) 0 01 2 ( ) ( ) | |s k t s k te e s k s k +∞ +∞− − − +⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟− − − +⎝ ⎠ ( )2 21 1 1 Re max{ , }2 s s k s k s k s k ⎛ ⎞= + = > −⎜ ⎟− + −⎝ ⎠ k (7)& ( ) ( )2 0 0 1cos 1 cos 2 2 st stf t t e dt t e dt +∞ +∞− −= ⋅ = +⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ ∫ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⋅+= ∫∫ +∞ −+∞ − dtetdte stst 00 2cos21 ( )0Re)4( 24121 2 2 2 >+ +=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++= sss s s s s (8)& ( ) ( )2 0 0 1sin 1 cos 2 2 st stf t t e dt t +∞ +∞− −= ⋅ = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ ∫ e dt ( )0 01 cos 22 st ste dt t e dt+∞ +∞− −= − ⋅∫ ∫ ( )2 21 1 2 Re 02 4 ( 4)s ss s s s⎛ ⎞= − = >⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ 2．求下列函数的拉氏变换. (1) ; (2) ( )( ) .4 42 20 ,0 ,1 ,3 ≥ <≤ <≤ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= t t t tf . 2 2 ,cos ,3 π π > < ⎩⎨ ⎧= t t t tf (3) ; (4) ( ) ( ).52 tetf t δ+= ( ) ( ) ( ) .sincos ttutttf −= δ 解 （1） & ( )[ ] ( ) ∫∫ ∫ −+∞ −− −== 420 20 3 dtedtedtetftf ststst )43(133 42 4 2 2 0 || ssstst ee ss e s e −− −− +−=+−= （2）& ( )[ ] ( ) ∫∫∫ ∞+ −−∞+ − ⋅+== 2 2 00 cos3 π st π stst dtetdtedtetftf ∫ ∞+ −−=− ++−= 2 ii 2 0 2 3 | π π dteeee s st tt t st ∫ ∞+ +−−−− ++−= 2 i)(i)(2 )( 2 133 π π dteee ss tsts s ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ +−+−−+−= +∞ = +−+∞ = −− − i)(i)(2 133 || 2 i)( 2 i)( 2 s e s e e ss t ts t ts s πππ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−−+−= +−−− − ii2 133 2 i)( 2 i)( 2 s e s ee ss sss πππ 2 2 2 1 133 ss e s e ss ππ −− +−−= （3） & ( )[ ] [ ] ( ) dtetdteedtetetf ststtstt −+∞+∞ −+∞ − ∫∫∫ +=+= 00 20 2 5)(5 δδ ( ) 2 955 2 15 2 1 | 0 − −=+−=+−= = −−+∞ ∞−∫ ssesdtets tststδ （4）& ( ) ( ) 0 cos sinst stf t t t e dt te dtδ+∞ +∞− −−∞= ⋅ ⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ ∫ 111111cos 2 2 220| +=+−=+−⋅= = − s s ss et t st 3．设 是以( )tf π2 为周期的函数,且在一个周期内的表达式为 ( ) ⎩⎨ ⎧ << ≤<= ππ π 2 0 ,0 ,sin t tt tf ，求& ( )[ ].tf - 2 - 解 周期为 T的函数 的拉氏变换为 ( )tf & ( )[ ] ( ) ( )0Re, 1 1. 0 >−= ∫ −− sdtetfetf T st sT 因此有 & ( )[ ] ( ) dtet e dtetf e tf sts st s − − − − ⋅−=−= ∫∫ ππππ 02202 sin1 11 1 ∫ −−− −−= ππ 0 ii 2 i21 1 dteee e st tt s ( ) ( ) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−−−−⋅−= = +− = −− − iii2 1 1 1 || 0i)(0i)( 2 s e s e e t ts t ts s ππ π ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + −−− −⋅−= +−−− − i 1 i 1 i2 1 1 1 i)(i)( 2 s e s e e ss s ππ π ( )( )11 1111 1 222 +−=++−= − − − ses e e s s s π π π 。 4.求下列各图所示周期函数的拉氏变换 ( )1 ( )2 tO π 2π ( )f t ( )tf b O 4b3b 2b b t ( )3 ( ) 4( )tf 1 O 5a t4a 3a 2a a -1 t 5b ( )tf 4b3b2bb 1 O -1 解 (1)由图易知 ( )tf 是周期为 b的函数,且在一个周期内的表达式为 ( ) btttf <≤= 0, 由公式 & [ ]( ) ∫ −−−= b st bs dttee tf 01 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−−−−= ∫ −−− b stbbsbs dtestese 00 111 1 | ( )⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−−−= − − − 1 1 1 1 2 bs bs bs ess be e 2 1 1 1 s bsebsebs e bsbs bs −−+−⋅−= −− − ( )bses bs bs −−−+= 11 2 (2)已知 是周期T( )tf π= 的周期函数,在一个周期内 ( ) sin , 0f t t t π= ≤ < 由公式 - 3 - & ( ) 0 1 sin 1 st bsf t te dte π − −=⎡ ⎤⎣ ⎦ − ∫ 21 11 1 s s e e s π π− += − + 2 1 coth 1 2 s s π= + (3)由图可知 是周期 的周期函数,在一个周期内 ( )tf aT 4= ( ) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ <≤ <≤ <≤ <≤ −= ata ata ata at tf 43 32 2 0 ,0 ,1 ,0 ,1 由公式 & ( )[ ] ( )∫ −−−= a st as dtetfe tf 4 041 1 ( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −+−= −−− ∫∫ dtedtee st a a a st as 3 204 1 1 1 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−−−= = − = − − s e s e e a at sta t st as 3 20 41 1 s eee e asasas as 23 4 1 1 1 −−− − −+−⋅−= ( )( )( ) ( )( )( )( )asas asas as asas ees ee es ee −− −− − −− ++ +−=− −−= 11 11 1 11 24 2 ( ) ( ) 2 2 1 1 1 tanh 11 1 as asas as e as es e s e − −− − −= ⋅ =++ + (4)由图易知, 是周期为 的周期函数,在一个周期内 ( )tf b2 ( ) ⎩⎨ ⎧ <≤− <≤= btb bt tf 2,1 0,1 由公式 & ( )[ ] ( )∫ −−−= b st bs dtetfe tf 2 021 1 ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −+−= ∫ ∫ −−− b stb b st bs dtedtee 0 2 2 11 1 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−= = − = − − s e s e e b bt stb t st bs || 20 21 1 s eee e bsbsbs bs −−− − −+−⋅−= 2 2 1 1 1 ( )2 2 11 1 tanh 1 2 bs bs e bs s e s − − −= ⋅ =− 习题二 1．求下列函数的拉氏变换式. （1） ( ) 2 3 2f t t t= + + （2） ( ) ttetf −=1 （3） ( ) 2( 1) tf t t e= − （4） ( ) atttf sin 2α= （5） ( ) cosf t t a= t （6） ( ) tttf 2cos32sin5 −= - 4 - （7） （8）( ) tetf t 6sin2−= ( ) 4 cos 4tf t e−= t （9） （10）( ) tnettf α= ( ) ( )53 −= tutf （11） （12）( ) ( teutf −−= 1 ) ( ) t etf t3 = 解（1）利用& [ ] ( ) 1,11 −>+Γ= + αααα st ， & & &( )[ ]=tf 2 3 2t t⎡ ⎤+ + =⎣ ⎦ 2 3t⎡ ⎤ +⎣ ⎦ & 3 2 2t ⎡ ⎤ +⎢ ⎥⎣ ⎦ & [ ]1 3 2 2 3 2 s s s = + + （2）& & & &( )[ ]=tf [ ]=− tte1 [ ]−1 [ ]tte ds d s += 1 & [ ] ( )2 ' 1 11 1 11 −−=−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−= sssse t （3）& & &( )[ ]=tf 2( 1) tt e⎡ ⎤− =⎣ ⎦ 2( 2 1) tt t e⎡ ⎤− + = 2 2 d ds &[ ＋2]te d ds &[ ＋&[ ] ]te te⎣ ⎦ 2 3 4 5 ( 1) s s s − += − （4）& &( )[ ]=tf a at a t 2 1sin 2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ & [ ]att sin ds d a2 1−= & [ ]atsin 2 2 2 21 '2 ( a s a s a s a ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ 2) （5）& &[( )[ ]=tf ]cost at =－ d ds &[ ]cos at 2 22 2 2 2' ( ) s s s a s a −⎛ ⎞= − =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ 2 a （6）& & [ =5&( )[ ]=tf 32sin5 −t ]t2cos [ ] 32sin −t & [ ]t2cos 4 310 4 3 4 10 222 + −=+−+= s s s s s （7）& &( )[ ]=tf 2 26sin 6 ( 2) 36 te t s −⎡ ⎤ =⎣ ⎦ + + 这里有 & [ ] 36 66sin 2 += st 再利用位移性质得到. （8）同（7）利用& [ ] 16 4cos 2 += s st 及位移性质 & &( )[ ]=tf ( ) 4 2 4cos 4 4 1 t se t s − 6 +⎡ ⎤ =⎣ ⎦ + + （9）利用& [ ] 1!+= nn snt 及位移性质得 & ( )[ ]=tf & [ ] ( ) 1! +−= natn as net - 5 - （10）解法 1由 ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ < > =− 3 5 3 5 ,0 ,1 53 t t tu & ( )[ ]=tf & ( )[ ] ( )∫+∞ −−=− 0 5353 dtetutu st ∫ ∞+ − +∞ = − − =−== 35 3 5 3 5| s e s e dte s t st st 解法 2 由相似性质 & ( )[ ] ss tu 1 3 1 3 13 =⋅= 由位移性质 & &( )[ ] =−53tu } 3 53{ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −tu se 3 5−= & ( ) 5 3 3 s eu t s − =⎡ ⎤⎣ ⎦ （11）因为 ( ) ⎩⎨ ⎧ <<− >>−=− − − − 0,01 0,01 ,0 ,1 1 te te eu t t t 所以 & ( )[ ] ( ) ∫∫ +∞ −+∞ − === 00 1sdtedtetftf stst （12）利用& 2 1 2 1 2 1 2 1 ss t π= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛Γ =⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − 及位移性质 & ( )[ ]=tf & 3 3 −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ st e t π 2．若&[ ( )] ( )f t F s= ， 为正实数，证明（相似性质）&a 1[ ( )] ( )sf at F a a = 。 证 & 0 0 1 1[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) s atst a sf at f at e dt f at e d at F a a −+∞ +∞−= = =∫ ∫ a 3．若&[ ( )] ( )f t F s= ，证明 ( ) ( )nF s = &[( ，Re 。特别&[ ( ，或) ( )]nt f t− ( )s > c )] '( )tf t F s= − ( )f t = 1 t − & ，并利用此结论，计算下列各式： 1[ '( )]F s− （1） 3( ) sin 2tf t te−= t，求 ；（2）( )F s 3 0 ( ) sin 2 t tf t t e td−= ∫ t，求 ； ( )F s （3） 1( ) ln 1 sF s s += − ，求 ( )f t ； （4） 3 0 ( ) sin 2 t tf t te t−= ∫ dt，求 。 ( )F s 解 ( ) ( )nF s = n n d ds &[ ( )]f t 0 0 0 ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) n n st st n st n n d df t e dt f t e dt t f t e dt ds ds +∞ +∞ +∞− −= = = −∫ ∫ ∫ − - 6 - ＝&[( ，Re 。 ) ( )]nt f t− ( )s > c （1）利用公式& ( )[ ] ( )sFttf '−= & &( )[ ]=tf 3 sin 2t dte t ds −⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ & 3[ sin 2 ]te t− 22 2 2 2 4( ( 3) 2 ( 3) 4 s s s ⎛ ⎞ += − ′ =⎜ ⎟+ + ⎡ ⎤⎝ ⎠ + +⎣ ⎦ 3) （2）由积分性质 & s de t 12sin 0 3 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡∫ − τττ & [ ] ( ) 43212sin 23 ++⋅=− sste t 再由像函数的微分公式 & ( )[ ]=tf & ( ) ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ++−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∫ − ]43[ 22sin 20 3 ssdsddet t τττ ( )( )[ ]222 2 43 131232 ++ ++= ss ss （3） 2 1 1'( ) ln ' 2 1 1 sF s s s +⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟− −⎝ ⎠ & 2 inh ]t t t [ s ，知 2( ) sinhf t t t = （4）& &( )[ ]=tf 3 0 1sin 2 t tte tdt s −⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ & [ ]tte t 2sin3− ( )( )[ ]22 43 34 ++ += ss s 4．若&[ ( )] ( )f t F s= ，证明& ( ) ( ) s f t F s ds t ∞⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ，或 ( )f t t= &－1 ( )s F s ds ∞⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦∫ 。并利用此 结论，计算下列各式： （1） sin( ) ktf t t = ，求 ； （2）( )F s 3 sin 2( ) te tf t t − = ，求 ； ( )F s （3） 2( ) ( 1) sF s s = − 2 ，求 ( )f t ； （4） 3 0 sin 2( ) tt e tf t dt t − = ∫ ( )F s，求 。 解 0 0 0 ( )( ) ( ) ( )st st st s s s f tF s ds f t e dtds f t e dsdt e dt t ∞ ∞ +∞ +∞ ∞ +∞− − − == = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ & ( )f tt⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ （1） &( ) =sF sin s kt t ∞⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ &[ ]sin kt du 2 2 arctan |ss k udu u k k ∞ ∞= =+∫ arctan 2 s k π= − arccot s k = （2） &( ) =sF ∫∞− =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ s t t te 2sin3 & [ ]dute t 2sin3− ( )∫∞ ∞+=++= s suduu |2 3arctan4322 2 3arctan 2 +−= sπ 2 3cotarc += s （3） &( ) ttf = ( ) 1 22 1s u du t u ∞− ⎡ ⎤⎢ ⎥ =⎢ ⎥−⎣ ⎦ ∫ & ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −⋅ − ∞− su 1 1 2 1 2 1 t= & ( )tt eet ss −− −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +⋅−−⋅ 4 1 1 1 4 1 1 1 4 11 tt sh 2 = - 7 - （4） &( ) =sF s de t 12sin 0 3 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡∫ − ττ τ τ & ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − t te 2sin3τ ∫∞⋅= ss1 & [ ] ∫∞− ++⋅== st duusdute 4)3( 212sin 23 2 3cotarc1 2 3arctan1 | +=+= ∞= s s u s su 5．计算下列积分： (1) ∫+∞ −− −0 2 .dt t ee tt (2) ∫+∞ −−0 cos1 dtet t t (3) ∫+∞ −− − 0 coscos dt t ntebte mtat (4) (5) (6) .2cos 0 3∫+∞ − tdte t .0 2∫+∞ − dtte t .2sin0 3∫+∞ − tdtte t (7) .sinsh 0 2∫ ∞+ − ⋅ dtt tte t (8) .sin 0 2∫+∞ − dtt te t (9) .sin 0 3∫+∞ − tdtet t (10) ∫+∞0 2 2sin dt t t . (11) 0 erf .te t +∞ −∫ dt (12) 00 J ( ) .t dt+∞∫ 其中 2 0 2erf t ut eπ −= ∫ du称为误差函数， 2 0 2 0 ( 1)J ( ) ( !) 2 kk k tt k +∞ = − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ 称为零阶贝塞尔(Bessel)函 数。 解 (1)由公式 ( )∫ ∫+∞ ∞=0 0dtttf & 得 ( )[ ]dstf ∫ ∫+∞ ∞−− =−0 0 2 dt t ee tt & [ ] ds ss dsee tt ∫∞−− ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +−+=− 02 2111 2ln21ln |0 =++= ∞ s s (2) ∫ ∫+∞ ∞− =−0 0cos1 tet & ( )[ ]dste t cos1−− ( )∫∞ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ +−+= 0 2 11 1 1 1 ds s s s ( ) 2ln2 1 11 1ln |02 =++ += ∞ s s (3) ∫ ∫+∞ ∞−− =−0 0coscos dtt ntebte mtat & [ ]dsntebte mtat coscos −− − ( ) ( ) dsnms msbas as∫∞ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ +−++ += 0 2222 ( ) ( ) | 022 22 ln 2 1 ∞ =++ ++= snms bas 22 22 ln 2 1 ba nm + += (4)已知 & [ ] ∫+∞ − +=⋅= 0 2 42cos2cos s sdtett st ，因此 ∫ +∞ = − =+=0 32 3 13 3 4 2cos s t s stdte (5) & [ ]∫+∞ − =0 2 dtte t 411 222 == == ss st (6)已知& [ ] 4 22sin 2 += st 再由微分性质& [ ] ( )222 44422sin +=′⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +−= s sstt 得 ( )∫ +∞ = − =+=0 322 3 169 12 4 42sin s t s stdtte ( ) ∫∫ ∞∞+ − =⋅ 00 2 sinsh7 dt t tte t & dsteee tt t ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −− sin 2 2 ∫∞= 021 & ( ) ( )[ ]dstete tt sinsin 1212 +−−− − ( ) ( ) dsss∫∞ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ +++ − +−+ = 0 22 112 1 112 1 2 1 ( ) ( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ++−−+= ∞∞ || 00 12arctan12arctan21 ss - 8 - ( ) ( )[ ]12arctan12arctan 2 1 −−+= 8 1arctan 2 1 π== (8) ∫ ∫+∞ +∞− =0 0 2sin dt t te t & [ ] ∫∞− = 02 21sin dste t & ( )[ ]dste t 2cos1−− ( ) ( ) |020 2 41 1ln 2 1 41 1 1 1 2 1 ∞∞ ++ +=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ +−+= ∫ s sds s s s 5ln 4 1= (9)已知& [ ] , 1 1sin 2 += st 利用微分性质& [ ] ( )42 3 2 3 4 2424 1 1sin + −=″′⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−= s ss s tt ∫+∞ − =0 3 sin tdtet t & [ ] ( ) 042424sin 142 3 1 3 =+ −= = = s s s sstt (10) ∫ ∫+∞ +∞ ′⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=0 0 22 2 1sinsin dt t tdt t t ∫ ∫+∞ +∞∞ =+−= 0 00 2 2sin2sinsin | dtt tdt t t t t ∫∞= 0 & [ ] ∫∞ += 0 422sin dssdst 22arctan |0 π== ∞s (11) 0 erfte tdt +∞ − =∫ & 1 1 1 2erf( ) 21s s t s s= = ⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ + (12) &[ ]00 J ( )t dt+∞ =∫ 0 0 2 0 1J ( ) 1 1s s t s= = = =+ 6．求下列函数的拉氏逆变换. （1） ( ) . 4 1 2 += ssF （2） ( ) . 1 4s sF = （3） ( ) ( ) .1 1 4+= ssF （4） ( ) . 3 1 += ssF （5） ( ) .9 32 2 + += s ssF （6） ( ) ( )( ) .31 3 −+ += ss ssF （7） ( ) . 6 1 2 −+ += ss ssF （8） ( ) . 134 52 2 ++ += ss ssF 解（1） &( ) =tf ( )[ ] 2 11 =− sF & t s 2sin 2 1 4 2 2 1 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − （2） &( ) =tf !3 11 4 1 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡− s & 313 1 6 1!3 t s =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − （3）由& 341 6 11 t s =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡− 及位移性质& ( )[ ] ( )tfeasF at=−−1 得 ( ) =tf & ( )[ ]=− sF1 & ( ) tets −− =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + 3 4 1 6 1 1 1 （4） &( ) =tf ( )[ ] =− sF1 & te s 31 3 1 −− =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + （5） &( ) =tf ( )[ ] 21 =− sF & +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − 92 1 s s & tt s 3sin3cos2 9 3 2 1 +=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − - 9 - （6） & &( ) =tf ( )[ ] =− sF1 ( )( )⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+ +− 31 31 ss s =& 2 3 1 1 3 3 2 11 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−− − ss & 2 1 3-s 11 −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡− & ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − 1 11 s tt ee −−= 2 1 2 3 3 （7） & &( ) =tf ( )[ ]=− sF1 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+ +− 6 1 2 1 ss s & ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++− − 3 2 2 3 5 11 ss 5 3= & 5 2 2 11 +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − s & tt ee s 321 5 2 5 3 3 1 −− +=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + （8） & &( ) =tf ( )[ ]=− sF1 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ +− 134 52 2 1 ss s & ( )( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ ++− 22 1 32 122 s s 2= & ( )( ) 3 1 32 2 22 1 +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ +− s s & ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ − 22 1 32 3 s ( )2 2 21 12 cos3 sin 3 6cos3 sin 3 3 3 t t te t e t e t− − −= + = + t 7．求下列各图所示函数 ( )f t 的拉氏变换. ( )f t A A− τo 2τ 3τ 4τ t o t ( )f t 2 4 6 τ 3τ 5τ (1) (2) o t ( )f t 2 4 6 8 2 o t ( )f t 1 2 3 τ 2τ 3τ 4 (3) (4) (1) 由图易知, 是周期为( )tf 2τ 的周期函数,在一个周期内 - 10 - ( ) , 0 , 2 A t f t A t τ τ τ ≤ <⎧= ⎨− ≤ <⎩ 由公式 & ( ) ( )22 01 sts Af t f t e dt e τ τ − −=⎡ ⎤⎣ ⎦ − ∫ ( )( )22 0 11 st stsA e dt e dte τ ττ τ− −−= + −− ∫ ∫ 2 0 21 | |st stt t s e eA e s s τ τ τ τ − − = = − ⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ 2 2 1 1 s s s s A e e e e s τ τ τ τ − − − − − + −= ⋅− ( )2 2 1 tanh 1 2 s s eA A s e s τ τ sτ− − −= ⋅ =− (2) 由图易知 0 ( ) 2[ ( ) ( 3 ) ( 5 ) ] 2 ( (2 1) ) k f t u t u t u t u t kτ τ τ ∞ = = − + − + − + = − +∑" τ ， 当 时，&Re( ) 0s > ( ) (2 1) 2 0 2 2 1 sin s k s s k ef t e s s e s τ τ τ 1 h sτ −∞ − + − = = = ⋅ =⎡ ⎤⎣ ⎦ −∑ (3) 由图易知 ( ) 8 ( ) 2 ( 2)f t u t u t= − − ，当 时， Re( ) 0s > & ( ) 2 2 0 1 8 2 2 (4 ) s ks s k ef t e e s s s s τ −∞ − − = = = − = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ∑ (4)由图易知 0 ( ) [ ( ) ( ) ( 2 ) ] ( k )f t u t u t u t u t kτ τ τ∞ = = + − + − + = −∑" ( ) 0s >，当Re 时 & ( ) 0 1 1 1 1 (1 coth ) 1 2 ks s k sf t e s s e s τ τ 2 τ∞ − − = = = ⋅ = +⎡ ⎤⎣ ⎦ −∑ 习题三 1．设 1( )f t ， 2 ( )f t 均满足拉氏变换存在定理的条件（若它们的增长指数均为 c ），且 & 1 1[ ( )] ( )f t F s= ，& 2 2[ ( )] ( )f t F s= ，则乘积 1 2( ) ( )f t f t⋅ 的拉氏变换一定存在，且 &[ ] j1 2 1 2j1( ) ( ) ( ) ( )2 jf t f t F q F s q dq β βπ + ∞ − ∞⋅ = −∫ 其中 cβ > ，Re( )s cβ> + 。 证 由于 均满足拉氏变换存在定理的条件以及增长指数均为 ，知乘积( ) ( )tftf 21 , 0c ( ) ( )tftf 21 也一 定满足拉氏变换存在的定理的条件且增长指数为 根据拉氏存在定理的证明当.2 0c 0c>β 时， & ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 20 stf t f t f t f t e dt+∞ −⋅ =⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ 在 0Re cs +≥ β 上存在且一致收敛.由于 ( ) ( )i1 1i12 i qtf t F q β βπ + ∞ − ∞= ∫ e dq 而 & ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 20 stf t f t f t f t e dt+∞ −⋅ =⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ ( ) ( )i 1 20 i12 i qt stF q e dq f t e dt β βπ +∞ + ∞ − − ∞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ - 11 - ( ) ( )i ( )1 2i 012 i s qF q f t e dtdq β βπ + ∞ +∞ − − − ∞= ∫ ∫ ( ) ( )i 1 2i12 i F q F s q dq β βπ + ∞ − ∞= −∫ 2．求下列函数的拉氏逆变换（像原函数），并用另一种方法加以验证. （1） ( ) .1 22 assF += （2） ( ) ( )( ) .bsas ssF −−= （3） ( ) ( )( )2bsas cssF ++ += （4） ( ) ( )222 22 2 as assF + += （5） ( ) ( ) .1 322 sassF += （6） ( ) ( )( )bsasssF ++= 1 （7） ( ) .1 44 assF −= （8） ( ) ( )2 2 1 12 − −+= ss sssF （9） ( ) ( ).1122 −= sssF （10） ( ) ( )( )41 22 ++= ss ssF （1）解法 1 ( ) =tf & &( )[ ]=− sF1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +⋅ − 22 1 1 as a a a 1= & a at as a sin 22 1 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − 解法 2 ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −++⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ += i,Resi,Res 2222 aas ea as etf stst a at a e a e atat sin i2i2 ii =−= − 解法 3 ( ) =tf & =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − 22 1 1 as & ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−− − i 1 i 1 i2 11 asasa i2 1 a = （& −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − i 11 as & ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − i 11 as ） ( ) a atee a atat sin i2 1 ii =−= − （2）解法 1 ( ) =tf & &( )[ ] =− sF1 ( )( )⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −− − bsas s1 ( )( ) ( )( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−= bbsas sea bsas se stst ,Res,Res ( )btatbtat beae baab be ba ae −−=−+−= 1 解法 2 ( ) =tf & &( )[ ] =− sF1 ( )( )⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −− − bsas s1 =& ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−−− − bs b as a ba 11 ba −= 1 （ &a bas −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − 11 & ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − bs 11 ( )btat beae ba −−= 1 （3）解法 1 ( ) =tf & ( )[ ]sF1− ( )( )( ) ( ) ( )( ) ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −++ ++⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −++ += b bsas ecsa bsas ecs stst ,Res,Res 22 ( ) ( ) bs st at e as cs ds d ab eac −= − ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + ++− −= 2 ( ) ( ) btbtat eba cate ba bce ba ac −−− − −+− −+− −= 22 解法 2 &( ) =tf ( )[ ] =− sF1 & ( )( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ +− 2 1 bsas cs =& ( ) ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +⋅− −++⋅− −++⋅− −− 222 1 111 bsba bc bsba ca asba ac ( )2ba ac − −= & ( )21 1 ba ca as − −+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − & ba ac bs − −+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − 11 & ( ) ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ + − 2 1 1 bs - 12 - ( ) ( ) btbtat teba bce ba cae ba ac −−− − −+− −+− −= 22 （4）解法 1 & &( ) =tf ( )[ ] =− sF1 ( ) ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ + +− 222 22 1 2 as as =& ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +++⋅ − ' 2222 1 2 1 2 3 as s as a a a2 3= & 2 1 22 1 +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − as a & ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + ' 22 1 as s attat a cos 2 1sin 2 3 −= 解法 2 ( ) =tf & ( )[ ]sF1− ( ) ( ) ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − + ++⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ + += i,2Resi,2Res 222 22 222 22 ae as asae as as stst ( ) ( ) i2 22 i 2 22 i 2 i 2 as st as st e as as ds de as as ds d −== − +++ += tatatata tee a tee a iiii 4 1 i4 3 4 1 i4 3 −− −−−= attat a cos 2 1sin 2 3 −= （5）解法 1 ( ) =tf & ( ) 23221 11 asas =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − & ( )⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +− − 223 1 11 asss (12a = & −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡− 3 1 1 s & ( ) )1 221 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − ass ∫−= tta 032 21(1 & )1 221 dtas ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ +− 32 0 1 1 1 sin 2 2 t t a a a ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ tdt ( )32 41 1 1 cos2 t aa a= − − t 解法 2 &( ) =tf ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − 322 1 1 sas ( ) ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ += i,Resi,Res0,Res 322322322 asas ea sas e sas e ststst ( ) ( )3 i 3 i 0 222 2 ii2ii22 1 aa e aa e as e ds d tata s st −−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += − = ( )at a t a cos11 2 1 4 2 2 −−= （6）解法 1 ( ) =tf & ( )( )⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+ − bsass 11 =& ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +⋅−−+⋅−+⋅ − bsbabasbaasab 1111111 = ab 1 & ( )baas −+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡− 111 & ( )babas − 1−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − 11 & ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − bs 11 ( ) ( ) btat ebabebaaab −− −−−+= 111 解法 2 &( ) =tf ( )( )⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ − bsass 11 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+++⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+++⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++= bbsass ea bsass e bsass e ststst ,Res,Res0,Res - 13 - ( ) ( ) btat ebabebaaab −− −−−+= 111 （7）解法 1 ( ) =tf & ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − 44 1 1 as =& ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−− − 2233 1 2 111 4 1 as a aasasa ( ) at a ee a atat sin 2 1 4 1 33 −−= − ( )atata sinsh2 1 3 −= 解法 2 ( ) =tf & ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − 44 1 1 as ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= i,Resi,Res,Res,Res 44444444 aas ea as ea as ea as e stststst ( ) ( )3 i 3 i 33 i4i444 a e a e a e a e tataatst −++−= −− ( )atat a sinsh 2 1 3 −= （8）解法 1 ( ) =tf & ( ) =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −+− 2 2 1 1 12 ss ss & ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+−+− − 2 1 1 2 1 21 sss =& +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−− s 11 & +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − 1 21 s & ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − 2 1 1 2 s tt tee 221 ++−= 解法 2 ( ) =tf & ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −+− 2 2 1 1 12 ss ss ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −++⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −+= 1, 1 12Res0, 1 12Res 2 2 2 2 stst e ss sse ss ss 1 2 121 = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −++−= s ste s ss ds d tt tee 221 ++−= （9）解法 1 ( ) =tf & &( )[ ]=− sF1 ( )⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −− 11221 ss =& ( ) teesss tt −−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−− −− 2 11 1 1 1 1 2 1 2 1 tsht −= 解法 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= 1,1Res1,1Res0,1Res 222222 ss e ss e ss etf ststst ttee s e ds d tt s st −=−+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= − = sh 221 0 2 （10）解法 1 ( ) =tf & ( )( )⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ − 41 22 1 ss s =& ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+ − 413 1 22 1 s s s s ( 3 1= & −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − 12 1 s s & ( )tt s s 2coscos 3 1) 42 1 −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − 解法 2 &=)(tf ( )( )⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ − 41 22 1 ss s ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+++⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +++⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+++⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++= i2,41Resi2,41Resi,41Resi,41Res 22222222 ss se ss se ss se ss se stststst ( ) ( ) ( ) ( )( )i41i4 i2i41i4 i24ii2 i4ii2 i 2 i2 2 i2 2 i 2 i −+ −++++− −++= −− tttt eeee 6666 i2i2ii tttt eeee −− +++= ( )tt 2coscos 3 1 −= - 14 - 3.求下列函数的拉氏逆变换. （1） ( ) ( )22 41+= ssF （2） ( ) 2+= s ssF （3） ( ) ( )( )21 12 ++ += sss ssF （4） ( ) 45 1 24 ++= sssF （5） ( ) 569 1 2 ++ += ss ssF （6） ( ) 2 2 1ln s ssF −= （7） ( ) ( ) .54 2 22 ++ += ss ssF （8） ( ) ( ) .221 22 ++= sssF （9） ( ) ( )22 2 134 44 ++ ++= ss sssF （10） ( ) . 6116 52 23 2 +++ ++= sss sssF （11） ( ) 463 3 23 +++ += sss ssF （12） ( ) ( )( )3 2 31 332 ++ ++= ss sssF （13） ( ) 2 21 s esF s−+= 解 （1）& ( ) =⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ + − 22 1 4 1 s & ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ′⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +++ − 48 1 4 2 16 1 22 1 s s s 16 1= & 8 1 4 2 2 1 +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − s & ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ′⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + − 42 1 s s ttt 2cos 8 12sin 16 1 −= （2） &( ) =tf =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − 2 1 s s & ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +− − 2 211 s =& [ ]−− 11 & ( ) tet s 21 2 2 2 −− −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + δ （3） &( ) =tf ( )( )⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ +− 21 121 sss s ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −++ ++⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −++ ++⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ += 2, 21 12Res1, 21 12Res0, 21 12Res sss es sss es sss es ststst ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 12lim 2 12lim 21 12lim 210 + +++ ++++ += −→−→→ ss es ss es ss es st s st s st s tt ee 2 2 3 2 1 −− −+= （4） &( ) =tf =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ − 45 1 24 1 ss & ( )( ) =& 1 2 21 1 1 23 1 6 4s s− ⎡ ⎤⋅ −⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ − 41 1 22 1 ss 1 3 = & 6 1 1 1 2 1 −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − s & ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − 4 2 2 1 s tt 2sin 6 1sin 3 1 −= （5） &( ) =tf =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ +− 569 1 2 1 ss s & ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + +− 4 3 19 1 2 1 s s 9 1= & ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + + ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + + − 2222 1 3 2 3 1 3 2 3 2 3 1 3 1 ss s ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅+⋅= −− tt etet 3 1 3 1 3 2sin 3 2cos 9 1 tett 3 1 3 2cos 3 2sin 9 1 −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += （6） &( ) =tf ts s 11ln 2 2 1 −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −− & 1− ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ′⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 2 2 1ln s s t 1−= & tss s 12 1 2 2 1 −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −− − & ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −++− − sss 2 1 1 1 11 - 15 - ( ) ( )t t ee t tt ch1221 −=−+−= − （7） &( ) =tf ( ) =⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ++ +− 22 1 54 2 ss s & ( )[ ] ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ++ +− 22 1 12 2 s s =& ( ) 2 1 12 1 2 1 2 1 −=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ′⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++− − s & ( ) ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ′⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ − 12 1 2 1 s ( )t−⋅−= 2 1 & ( ) tteet t s tt sin 2 1sin 212 1 22 2 1 −−− =⋅=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ （8） &( ) =tf ( ) =⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ++ − 22 1 22 1 ss & ( )[ ] ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ++ − 22 1 11 1 s 2 1= & ( ) ( ) ⎪⎭ ⎪⎬⎫⎪⎩ ⎪⎨⎧ ′⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ ++++ − 11 1 11 1 22 1 s s s ( 2 1= & ( ) +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ − 11 1 2 1 s & ( ) ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ′⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ +− 11 1 2 1 s s tte t −= − sin( 2 1 & ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ +− 11 1 2 1 s s ） ( )ttete tt cossin 2 1 −− −= ( )ttte t cossin 2 1 −= − （9） &( ) =tf ( ) =⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ++ ++− 22 2 1 134 44 ss ss & ( ) ( )[ ] ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ++ +− 22 2 1 92 2 s s =& ( ) ( )[ ] ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ++ −++ − 222 1 92 9 92 1 ss =& ( ) ( ) ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ′⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ +−++⋅ − 2222 1 32 2 2 1 32 3 6 1 s s s tte t 2 13sin 6 1 2 += − & ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ +− 22 1 32 2 s s ttete tt 3cos 2 13sin 6 1 22 −− += ( )ttte t 3cos33sin 6 1 2 += − （10） &( ) =tf =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +++ ++− 6116 52 23 2 1 sss ss & ( )( )( )⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +++ ++− 321 52 21 sss ss ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+++ +++⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+++ +++⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+++ ++= 3, 321 52Res2, 321 52Res1, 321 52Res 222 sss ess sss ess sss ess ststst ( )( ) ( )( ) ( )( ) stsssts ess ss ss sse ss ss 21 52lim 31 52lim 32 52lim 2 3 2 2 2 1 ++ +++++ +++++ ++= −→−→−→ ttt eee 32 10113 −−− +−= （11） &( ) =tf =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +++ +− 463 3 23 1 sss s & ( ) ( )⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +++ +− 131 3 3 1 ss s =& ( ) ( ) ( )⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++++++ − 1]31[ 2 31 1 22 1 sss =& ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤ ++ +−+⋅+⎢⎣ ⎡ ++ 31 1 3 2 1 1 3 2 31 1 22 1 s s ss − 3 1= & ( ) ( ) 3231 3 221 +⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ++ − & s 3 2 1 11 −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − s & ( ) ( ) ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ++ +− 22 1 31 1 s s teete ttt 3cos 3 2 3 23sin 3 1 −−− −+= ( )tte t 3sin33cos22 3 1 +−= − (12) &( ) =tf ( )( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ ++− 3 2 1 31 332 ss ss =& ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +⋅−+++−+⋅ − 32 1 3 16 3 1 2 3 3 1 4 1 1 1 4 1 ssss 4 1= & 4 1 1 11 −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − s & 2 3 3 11 +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − s & ( ) 63 1 2 1 −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − s & ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − 3 1 3 1 s - 16 - tttt etteee 3233 2 3 2 3 4 1 4 1 −−−− −+−= (13) &( ) =tf =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + −− 2 2 1 1 s e s & +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡− 2 1 1 s & ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −− 2 2 1 s e s ( ) ( ) ( )⎩⎨ ⎧ ≥− <≤=−−+= 2,12 20, 22 tt tt tutt 习题四 1．求下列卷积。 （1） （2）.11∗ tt ∗ （3） （4） ( .,* 为正整数nmtt nm ) t ) tet ∗ （5） （6） .cossin tt ∗ .sin*sin ktkt （7） . （8） sinh *sinht *sinh .at at （9） （10）( ) ( .*u tfat − ( ) ( ).* tfat −δ 解 卷积定义: ( ) ( ) ( ) ( )∫ −= t dtfftftf 0 2121 * τττ （1） ∫ =⋅= t td0 111*1 τ （2） t ( )∫ ∫ ∫−=−= t t t ddtdtt 0 0 0 2* τττττττ 333 613121 ttt =−= （3） ( )∫ ∫ ∑ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=−= = −ι ττττττ 0 0 0 )1(* t n k kknk n kmnmnm dtCdttt ( ) ( )∑ ∫ ∑ = = +++− ++−=−= n k t n k nmk n kkmknk n k t km CdtC 0 0 0 1 1 111 ττ ( ) ( )( ) ( )∑= ++++ ++++=++ −= n k nmk n k nm t nmmm nC km t 0 11 1...21 ! 1 1 ( ) 1 ! ! 1 ! m nm n t m n + += + + （4） = ∫ ∫ −− == t tttt deedeet 0 0* ττττ ττ 100| −−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ +− ∫ −− tedeee tttt ττ ττ （5） ( ) ( )∫ ∫ ∫ −+=−=∗ t t t dttddttt 0 0 0 2sin21sin21cossincossin ττττττ ( ) ttttt t sin 2 12cos 4 1sin 2 1 | 0 =−−= =ττ （6） ( )∫ −⋅= t dtkkktkt 0 sinsinsin*sin τττ ( )∫ ∫−−= t t ktddktk0 0cos212cos21 τττ kttkt k cos 2 1sin 2 1 −= （7） ( ) ( ) 0 0 *sinh sinh 2 ttt t e et t t d d ττ τ τ τ τ τ − −− −= − =∫ ∫ ∫ ∫−− −= t ttt deedee 0 022 ττττ ττ ( ) ( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −−⎥⎦⎤⎢⎣⎡ +−= − || 00 1212 tttt eeee ττ ττ sinh t t= − （8） ( ) 0 sinh sinh sinh sinh t at at a a t dτ τ τ∗ = −∫ ( ) ( )∫ −−−− −⋅−= t tataaa deeee0 22 τ ττττ - 17 - ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−−= ∫∫∫∫ −−− tatt aatt aattat dedeedeede 00 20 2041 ττττ ττ 1 1cosh sinh 2 2 t at a = − at （9） ( ) ( ) ( ) ( )∫ −−=− t dtfautfatu 0* τττ 当 at < 时， ( ) 0=− au τ 此时， ( ) ( ) 0* =− tfatu 当 时 ta ≤≤0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ −−+−−=− a ta dtfaudafautfatu 0* ττττττ ( )∫ −= ta dtf ττ 因此， ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤≤− <=− ∫ tadtf at tfatu t a 0, ,0 * ττ （10） ( ) ( ) ( ) ( )∫ −−=− t dtfatfat 0* τττδδ 当 at < 时， ( ) 0=− aτδ .此时 ( ) ( ) 0=∗− tfatδ 当 时， ta ≤≤0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫+− + −−+−−+−−=− a aa ta dtfadtfadtfatfat 0* τττδτττδτττδδ ( ) ( )∫ +− +−−+= aa dtfa 00 τττδ ( ) ( )a f t dδ τ τ+∞−∞= − −∫ τ ) ( ) ( atftf a −=−= =ττ 因此， ( ) ( ) ( ) ta at atf tfat ≤≤ < ⎩⎨ ⎧ −=− 0, ,0 *δ 2．利用卷积定理，证明& 0 ( )( ) t F sf t dt s ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ 。 证 ( ) 1( )F s F s s s = ⋅ =&[ ( 0 0 )* ( )] ( ) ( ) ( ) t t f t u t f u t d f t dtτ τ τ= − =∫ ∫ 3．利用卷积定理证明& ( ) atatas s sin22221 =⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ + − 。 证 设 ( ) ( ) 222221 1, as a a sF as ssF +=+= 于是 & ，( ) =tf1 ( )[ ] atsF cos11 =− ( ) =tf2 & ( )[ ] a atsF sin2 1 =− - 18 - 左边 &= ( ) =⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ + − 222 1 as s & ( ) ( )[ ]sFsF 211 ⋅− ( ) ( ) ( )[ ] τττ dtaaatftf t∫ −== 021 sincos1* ( )[ ] ττ aataat a t∫ −−= 0 2sinsin21 ( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ −−= =| 02cos21sin21 t ata a att a τ τ == att a sin 2 1 右边 4．利用卷积定理证明 & ( ) ∫ −− =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − tt dee ss 0 1 22 1 1 τπ τ 并求& . 1 11 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − ss 证 设 ( ) ( ) , 1 1,1 21 −== ssFssF 于是 ( ) =tf1 & ( )[ ]=− sF11 & tts 111 2 1 11 2 1 1 ⋅=⋅ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛Γ =⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − π ( ) =tf2 & ( )[ ]=− sF21 & tes =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − 1 11 左边 &= ( ) =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − 1 11 ss & ( ) ( )[ ]sFsF 211 ⋅− ( ) ( ) ( ) ( ) τττ dtfftftf t −== ∫ 20 121 * ∫ ∫ −− =⋅= t ttt deede0 0 1111 ττπττπ ττ ∫ == − = t xtx dxee 0 2 2 2 π τ 右边 设 ( ) ( ) ,1 1 −= sssF 前面已证& ( )[ ] ∫ −− = tt deesF 0 1 22 τπ τ 但 & =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − 1 11 ss & ( )[ ] tesF −− =+11 & ( )[ ] τπ τ desF t∫ −− = 01 22 5．证明卷积满足对加法的分配律： 1 2 3 1 2 1 3( )*[ ( ) ( )] ( )* ( ) ( )* ( )f t f t f t f t f t f t f t+ = + 证 1 2 3 1 2 30( )*[ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( )] t f t f t f t f f t f t dτ τ τ+ = − + −∫ τ 1 2 1 3 1 2 1 30 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( ) ( )* ( ) t t f f t d f f t d f t f t f t f tτ τ τ τ τ τ= − + − = +∫ ∫ 6．证明卷积满足结合律： 1 2 3 1 2 3( )*[ ( )* ( )] [ ( )* ( )]* ( )f t f t f t f t f t f t= 证 1 2 3 1 2 30 0( )*[ ( )* ( )] ( ) ( ) ( ) t t s f t f t f t f s f t s f d dsτ τ τ−= − −∫ ∫ 3 1 2 1 20 0 ( ) ( ) ( ) [ ( )* ( )]* ( ) t t 3f d f s f t s ds f t f t f ττ τ τ−= − − =∫ ∫ t 习题五 1．求下列微分方程式及方程组的解. （1） ( ) ( )'' 4 ' 3 , 0 ' 0 1ty y y e y y−+ + = = = . - 19 - （2） . ''' 3 '' 3 ' 1, (0) '(0) ''(0) 0y y y y y y y+ + + = = = = （3） ( ) ( )'' 3 ' 2 ( 1), 0 0, ' 0 1y y y u t y y+ + = − = = . （4） ( ) ( )'' 4sin 5cos 2 , 0 1, ' 0 2y y t t y y− = + = − = − . （5） ( ) ( )'' 2 ' 2 2 cos , 0 ' 0 0ty y y e t y y− + = = = （6） ( ) ( )1 2 1 2'' 4 ' 5 ( ), 0 , ' 0 , ( , )y y y F t y c y c c c+ + = = = 为常数 （7） ( ) ( )2''' ' , 0 ' 0 ''(0) 0ty y e y y y+ = = = = （8） ( ) ( ) ( )''' 3 '' 3 ' 6 , 0 ' 0 '' 0 0.ty y y y e y y y−+ + + = = = = （9） ( )(4) 2 '' 0, 0 '(0) '''(0) 0, ''(0) 1.y y y y y y y+ + = = = = = （10） ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 ''' cos , 0 ' 0 ''' 0 0, '' 0y y t y y y y+ = = = = = c 1. （常数） （11） ( ) ( )' , 0 0 3 ' 2 2 , t t x x y e x y x y y e ⎧ + − = = =⎨ + − =⎩ （12） ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 2 ' , 0 ' 0 0 ' 0 '' '' 0, y z F t y y z z y z z ⎧ − = 0.= = = =⎨ − + =⎩ （13） ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 '' ' 9 '' ' 3 0, 0 ' 0 1, 2 '' ' 7 '' ' 5 0, 0 ' 0 0. x x x y y y x x x x x y y y y y − + − + + = = =⎧⎪⎨ + + − − + = = =⎪⎩ （14） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '' 0, '' 0, 0 1, 0 0 ' 0 ' 0 ' 0 0. '' 0, x x y z x y y z x y z x y z x y z z − + + =⎧⎪ + − + = = = = = = =⎨⎪ + + − =⎩ 解（1）对方程两边取拉氏变换，并考虑到初始条件，得 ( ) ( ) ( )2 11 4 4 3 1 s Y s s sY s Y s s − − + − + = + 整理后解出 ( )Y s 得 ( ) ( )( ) ( )( )2 1 5 1 33 1 sY s s ss s += + + ++ + ( ) 1 1 4 7 3 1 4 3 1 1 2 1 2 +⋅++⋅−+⋅= sss 再取拉氏逆变换得其解为 ( )y t =& ( )1 Y s− ⎡ ⎤⎣ ⎦ 21= & ( ) 4311 21 −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − s & 4 7 3 11 +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − s & ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − 1 11 s 31 3 7 2 4 4 t t tte e e− − −= − + ( ) 31 2 7 3 4 t tt e e− −⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ （2）对方程两边取拉氏变换，并考虑到初始条件，得 - 20 - ( ) ( ) ( )3 2 13 3 ( )s Y s s Y s sY s Y s s + + + = 整理后解出 ( )Y s 得 ( ) 3 21 1( 3 3 1) ( 1)Y s s s s s s s= =+ + + + 3 2 3 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1)s s s s = − − −+ + + 再取拉氏逆变换得其解为 ( )y t =& &( )1 Y s− ⎡ ⎤⎣ ⎦ = 1 1 s − ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦－& 1 1 1s − ⎡ ⎤⎢ ⎥+⎣ ⎦－& ( ) 1 2 1 1s − ⎡ ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦ －& 1 3 1 ( 1)s − ⎡ ⎤⎢ ⎥+⎣ ⎦ 2 2 1 1 ( 2 2 t t tt te te e t e− − −= − − − = − + +1) t− （3）对方程两边取拉氏变换，并代入初始条件，得 ( )2 11 3 ( ) 2 ( ) ss Y s Y s Y s e s −− + + = 解出 得 ( ) ,Y s ( ) 1 ( 1)( 2) ( 1)( 2 seY s s s s s s − = + )+ + + + 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2( 2) se s s s s s −⎡ ⎤= − + − +⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦ 取拉氏逆变换，得 ， ( )y t ( )y t =& ( )1 Y s− ⎡ ⎤⎣ ⎦ 2 ( 1) 2( 1)1 1 ( 1)2 2t t t te e e e u t− − − − − − ⎡ ⎤= − + − + + −⎢ ⎥⎣ ⎦ （4）方程两边取拉氏变换，并代入初始条件，得 ( ) ( )2 2 24 52 1 4 ss Y s s Y s s s + + − = ++ + 整理后，得 ( ) ( )( ) ( )( ) 22 2 2 2 4 5 2 11 1 1 4 s sY s ss s s s += + − 41 2 22 +−+−= s s s −− + − + 取拉氏逆变换得 ( )y t =& &( )1 2Y s− = −⎡ ⎤⎣ ⎦ −⎥⎦⎤⎢⎣⎡ +− 1121 s & ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ +− 421 s s tt 2cossin2 −−= （5）对方程两边取拉氏变换，且代入初始条件得 ( ) ( ) ( )2 212 2 2 ( 1) ss Y s sY s Y s s 1 −− + = − + - 21 - 解出 ( ) :Y s ( ) 2 22( 1)(( 1) 1) sY s s −= − + 取拉氏逆变换得到原方程解 ( )y t =& ( )1 Y s− ⎡ ⎤⎣ ⎦ =& 1 21 ' si( 1) 1 tte ts− ⎡ ⎤⎛ ⎞− =⎢ ⎥⎜ ⎟− +⎝ ⎠⎣ ⎦ n （6）对方程两边取拉氏变换得（ ） ( ) ( )F s f t为 的拉氏变换 ( ) ( ) ( )2 1 2 14 4 5s Y s c s c sY s c Y s F s− − + − + = ( ) 整理得 ( ) ( ) 1 22 2 44 5 4 5 F s c s c cY s s s s s + += + 1+ + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 12 2 12 2 12 2 12 212 ++ ++++ ++++= s cc s sc s sF 取拉氏逆变换并利用卷积定理得 ( )y t =& ( ) ( ) ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ++⋅ − 12 1 2 1 s sF 1c+ & ( ) ( )1221 212 2 cc s s ++⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ++ +− & ( ) ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ++ − 12 1 2 1 s ( ) ( )2 2 21 2 1* sin cos 2 sint t tF t e t c e t c c e t− − −= + + + ( ) ( )2 2 1 2 1* sin cos 2 sint tF t e t e c t c c t− −= + + +⎡ ⎤⎣ ⎦ （7）对方程两边取拉氏变换得 ( ) ( )3 1 2 s Y s sY s s + = − ( ) ( ) ( )2 1 2 1 Y s s s s = − + 部分分式 ( ) ( ) 22 1 2 12 1 A B Cs D s s ss s s += + +− +− + 用待定系数法得 1 1 2, , , 10 2 5 5 A B C D= = − = = − 1 因此 ( )y t =& ＝&( )1 Y s− ⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) ( )1 2 1 2 1s s s − ⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 10 = & 1 1 1 2 2s − ⎡ ⎤ −⎢ ⎥−⎣ ⎦ & 1 1 2 5s − ⎡ ⎤ +⎢ ⎥⎣ ⎦ & 5 1 12 1 −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − s s & ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + − 1 1 2 1 s - 22 - 21 1 2 1cos sin 10 2 5 5 te t= − + − t （8）对方程两边取拉氏变换，且代入初始条件得 ( ) ( ) ( )3 2 13 ( ) 3 6 1 s Y s s Y s sY s Y s s + + + = + 解出 ( ) :Y s ( ) 46( 1)Y s s= − 取拉氏逆变换得到原方程解 ( )y t =& ( )1 Y s− ⎡ ⎤⎣ ⎦ =& 1 31 '''1 tt es− − ⎡ ⎤⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦ （9）对方程两边取拉氏变换，且代入初始条件得 ( ) ( )4 22 ( )s Y s s s Y s Y s 0− + + = 解出 ( ) :Y s ( ) 2 2( 1) sY s s = + 取拉氏逆变换得到原方程解 ( )y t =& ( )1 Y s− ⎡ ⎤⎣ ⎦ =& 1 21 1 1' si2 1 2 t ts− ⎡ ⎤⎛ ⎞− ⋅ =⎜ ⎟⎢ ⎥+⎝ ⎠⎣ ⎦ n （10）方程两边取拉氏变换,得 ( ) ( )4 3 2 1 ss Y s cs s Y s c s − + − = + 解出 ( ) :Y s ( ) ( )( )3 2 2 1 1 1 cY s s s s s = + + + & ( )( ) ( )( ) ( )( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+++⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ − 1, 11 Res0, 11 Res 11 1 222222 1 sss e sss e sss stst + ( )( ) ( )( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+++⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ i,11Resi,11Res 2222 sss e sss e stst ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )i1limi1lim1lim11lim 2i2i22120 −+++++++′⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++= −→→−→→ sss e sss e ss e ss e st s st s st s st s ( )ttet t sincos 2 1 2 11 −++−= − 因此原方程的解为 ( )y t =& ( )1 Y s− ⎡ ⎤⎦ c⎣ = & 1 31s− ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ + & ( )( )⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++ − 11 1 22 1 sss - 23 - ( )2 1 11 cos 2 2 2 tc t t e t t−= + − + + − sin (11)对方程组两边取拉氏变换并代入初始条件,得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −=−−+ −=−+− 1 12213 1 11 s sYssYsX s sYsXssX 整理后,得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ − +=−+ −=−+ 1 123 1 1 s ssYssX s ssYsXs 解之得 ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= −= 1 1 1 1 s sY s sX 取拉氏逆变换得到原方程组的解为 ( ) ( ) t t x t e y t e ⎧ =⎪⎨ =⎪⎩ (12)对方程组两边取拉氏变换并代入初始条件,设 ( )Y s = & ( ) ( ),y t Z s =⎡ ⎤⎣ ⎦ & ( ) ( ),z t F s⎡ ⎤⎣ ⎦ =& ( ) ,F t⎡ ⎤⎣ ⎦ 得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎩⎨ ⎧ =+− =− 0 2 22 sZsZssYs sFssZssY 整理后,解之得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +−= +−= 1 1 2 2 2 s ssFsZ s ssF s sFsY 取拉氏逆变换得到原方程组的解为 ( ) =ty & − ( )[ ] & ( ) 211 −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⋅− sF s & ( )⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⋅+ − sF s s 12 1 sY1 = ( ) ( ) ( ) (1* 2cos * 1 2cos *F t t F t t F t= − = − ) ( ) =tz & &( )[ ] −=− sZ1 ( )⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⋅+ − sF s s 12 1 ( )cos *t F t= − 即解为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2cos * cos * y t t F t z t t F t = −⎧⎪⎨ = −⎪⎩ (13)方程组中每个方程两边取拉氏变换,得 - 24 - ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎩⎨ ⎧ +=+−−++ +=++−+− ssYsssXss ssYsssXss 23572 21392 22 22 整理得 ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −=+ + +=− 1 1 4 222 2 s sYsX s ssYsX 解之得 ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +⋅++⋅−−⋅= +⋅++⋅+−⋅= 4 2 3 1 43 2 1 1 3 2 4 2 3 1 43 2 1 1 3 1 22 22 ss s s sY ss s s sX 再取拉氏逆变换得到其解为 ( ) ( ) 1 2 1cos 2 sin 2 3 3 3 2 2 1cos 2 sin 2 3 3 3 t t x t e t y t e t t ⎧ = + +⎪⎪⎨⎪ = − −⎪⎩ t (14)对方程组中各方程两边取拉氏变换,得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−++ =+−+ =++− 01 01 )(1 2 2 2 sZssYsX sZsYssX ssZsYsXs 由后两个方程得 ( ) ( ) ( ) ( )sYssXsZsY 2−== , 代入第一个方程解得 ( ) ( )( ) ( ) ( )⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ++−−== ++−=−+= 13 1 23 1 13 1 23 2 21 22 2222 3 s s s ssZsY s s s s ss ssX 取拉氏逆变换得其解为 ( ) ( ) ( ) 2 1cosh 2 cos 3 3 1 1cosh 2 cos 3 3 x t t t y t z t t t ⎧ = +⎪⎪⎨⎪ = = − +⎪⎩ 2．求解积分方程： ( ) ( ) ( ) 0 sin . t f t at f t dτ τ τ= + −∫ 解 将积分方程取拉氏变换并利用卷积定理，设 ( ) =sY & ( )[ ]ty ( )F s =& [ ]+at & ( ) ( ) 0 sin t f t dτ τ τ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ( )2 21 1a F ss s= + ⋅ + 整理后得 ( ) 2 41 1F s a s s ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ 再取拉氏逆变换得到原方程的解 - 25 - ( ) 31 6 f t a t t⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ 3.设在原处质量为 m的一质点在 时，在0t = x方向上受到冲击力 ( )tkδ 的作用，其中 k为常数， 假定质点的初速度为零，求其运动规律. 解 设 t 时刻质点为 x 轴正方向上点 ( )tx 处，由题意质点运动的（瞬间）速度为 ,加速度为 ，且 所以质点的运动规律满足微分方程： ( )tx' ( )tx ′′ ( ) ( ) 00'0 == xx ( ) ( ) ( ) ( ) 00'0,'' === xxtktmx δ 为解上面的微分，将方程两边取拉氏变换并代入初始条件，得 ( ) ,2 ksXms = 即 ( ) 21sm ksX ⋅= 再取拉氏逆变换得质点的运动规律为 ( ) =tx & ( )[ ] m ksX =−1 & .121 tm k s =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡− 4．设有如图所示的 RL 串联电路，在 0t t= 时，将电路接上直流电源 E，求电路中的电流 . ( )i t 5．如图所示的电路，在 时接入直流电源 E，求回路中电流 . 0t = ( )i t 6.某系统的传递函数 ( ) , 1 KG s Ts = + 求当激励 ( ) tAtx ωsin= 时的系统响应 y(t). 解 由系统的传递函数 ( ) 1 KG s Ts = + ，易知系统的脉冲响应函数 ( )g t =& ( )1 G s− =⎡ ⎤⎣ ⎦ & 1 1 1 t TK K e Ts T −− ⎡ ⎤ =⎢ ⎥+⎣ ⎦ 于是当激励 ( ) tAtx ωsin= 时的系统响应为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* *y t g t x t x t g t= = 0 0 sin sin t tt t T TK AKA e d e e T T τ τ T dωτ τ ωτ −− −= = ⋅∫ ∫ τ = 2 2 0 1 1 sin cos1 t t T TAK e e T T T τ τ τ ωτ ω ωτ ω = − − = ⎡ ⎤⎢ ⎥⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥+⎣ ⎦ ( )2 2 sin cos1 t TAK t T t T e T ω ω ω ωω −⎡ ⎤= − +⎢ ⎥+ ⎣ ⎦ ( ) 2 22 2 sin arctan 11 t TAK AKTt T TT ωω ω ωω e −= − + ++ - 26 - 一、 复变和复变函数 二、 解析函数 三、 积分变换 四 、级数 五、 留数 六、傅里叶变换 七、 拉普拉斯变换