2017北大博雅自主招生数学真题

光 ⼦ 辅 导 2 与⾼考的对比 2017 年北京⼤学⾃主招⽣数学 总体评价 1. 保持了近年北⼤⾃招试题的风格． (a) 20 道单选题，选对得 5 分，选错扣 1 分，不选得 0 分． (b) 时间紧张．三个⼩时内要完成语数外三科试题的解答，很少有学⽣能做完． (c) D 选项⼀律是“前三个答案都不对”，很有迷惑性，有时候甚⾄⽐较棘⼿．例如第 5 题，答案数字不怎 么整，考场上时间紧张的情况下，是否相信⾃⼰的判断选 D，对考⽣来说是个考验；再⽐如第 9 题， 答案明显是个负整数，但由于 D 选项的存在，在只有 A 选项为负整数的情况下仍然需要进⾏估算． (d) 风格灵巧，强调多想少算．⽐如第 1 题，看出来配⽅的技巧就可以秒掉，如果硬算的话，考场上可能 就悲剧了． (e) 不追求的全⾯覆盖．数论、函数、平⾯⼏何、三⾓等⼀向是北⼤各种⾃招相关的考试中的⾼频 考点，在 2017 年的⾃主招⽣考试中也依然是考察重点．⽽概率、统计、导数、⽴体⼏何等考点⼀向 被北⼤冷落，这场考试也不例外． (f) 经典试题有⼀定的重现率．⽐如第 6 题就是平⾯⼏何中的经典问题，第 9 题中⽤到的对数运算公式 在⾃招考试中也是屡见不鲜． 2. 相对于近年北⼤的各场⾃招相关的考试来说，这份试卷的难度不⾼，在平均线以下． 3. 有较好的区分度，可以达到北⼤⾃主选拔的⽬的． 与⾼考题的对⽐ 1. 有些试题即使放到⾼考中也不是难题，⽐如第 19 题、第 20 题．这类题基本每份⾃招试卷中都有，但⼀般 来讲数量较少． 2. 有些试题的考点同时也是⾼考的重要考点，但是综合性较强，考⽣要想短时间内顺利解决的话，得有很好 的基本功．⽐如第 18 题，如果做成四次函数求最值就⿇烦了，代数变形之后换元，处理成⼆次函数才是 正道．再⽐如第 14 题，每⼀步可能都不难，⽤到的知识也都是⾼考要求的，但是步骤⼀多，考⽣可能就 会卡壳． 3. 还有⼀多半的试题，或者考点不是⾼考重点要求的，⽐如数论，恐怕是⾃主招⽣中考察最多的知识点，但 ⾼考却很少涉及；或者考点也许在⾼考范围内，但考法较为灵活，⽐如第 12 题，需要将多个变量之间的 本质关系想清楚才能顺利解决． 1 光 ⼦ 辅 导 4 试题及答案 对考⽣的建议 1. ⼀定要有针对性的训练．⽐如⾼考很少考到数论相关的问题，即使考到，最多也就⽤到奇偶性、简单的整 除之类常识性的知识，但是⾃主招⽣对于数论的要求却较⾼．事实上，数论相关的问题很容易体现出“多想 少算”的特点，⾮常符合⾃招的选拔需求．再⽐如说平⾯⼏何，⾼中⽣很可能还⽐不上初中⽣，毕竟⾼考中 的平⾯⼏何问题都⾮常简单．如果平时没有针对性的训练，考场上遇到不熟悉的考点很容易抓瞎；遇到那 种考点在⾼考范围内，但风格不太⼀样的试题，也很难顺利解决． 2. 往年的⾃招真题，还有全国联赛的⼀试题、预赛题，都是很好的准备材料．平时多练习多思考多，考 场上遇到原题或者改编题的可能性相当⼤，那就赚到了． 3. 试题难度总体上会保持稳定．今年北⼤⾃主招⽣数学试题相对容易，只是正常波动，明年很可能⽐今年稍 难．对此⼤家要有⼼理准备． 4. 选择题的“考场技巧”平时要多练，毕竟北⼤这两年的⾃招、博雅全是选择题．必要的时候可以猜．事实上， ⼀道题即使完全不会，也不能空着．有同学可能会问，选错不是倒扣 1 分吗？可是我们算算期望，⼀道 题随机选择的得分期望是 0:5 分呀！如果能排除两个错误选项呢？期望只会更⾼． 试题及答案 1. 已知实数 a; b 满⾜ �a2 + 4� �b2 + 1� = 5(2ab� 1)，则 ba+ 1 a ‹ 的值为（ ） A. 1:5 B. 2:5 C. 3:5 D. 前三个答案都不对 解析 C． 2. 函数 f(x) = ��x2 � 2��� 1 2 jxj+ jx� 1j， x 2 [�1; 2] 上的最⼤值与最⼩值的差所在的区间是（ ） A. (2; 3) B. (3; 4) C. (4; 5) D. 前三个答案都不对 解析 B． 3. 不等式组 8><>:y > 2jxj � 1;y 6 �3jxj+ 5 所⽰的平⾯区域的⾯积为（ ） A. 6 B. 33 5 C. 36 5 D. 前三个答案都不对 解析 C． 4. � 1 + cos � 5 � 1 + cos 3� 5 ‹ 的值为（ ） A. 1 + 1p 5 B. 1 + 1 4 C. 1 + 1p 3 D. 前三个答案都不对 解析 B． 2 光 ⼦ 辅 导 4 试题及答案 5. 在圆周上逆时针摆放了 4 个点 A;B;C;D，已知 BA = 1，BC = 2，BD = 3，\ABD = \DBC ，则 该圆的直径为（ ） A. 2 p 5 B. 2 p 6 C. 2 p 7 D. 前三个答案都不对 解析 D． 6. 已知三⾓形三条中线长度分别为 9; 12; 15，则该三⾓形⾯积为（ ） A. 64 B. 72 C. 90 D. 前三个答案都不对 解析 B． 7. 已知 x 为实数，使得 2; x; x2 互不相同，且其中有⼀个数恰为另⼀个数的 2 倍，则这样的实数 x 的个 数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 前三个答案都不对 解析 B． 8. 设整数 a;m; n 满⾜ p a2 � 4p5 = pm�pn，则这样的整数组 (a;m; n) 的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 前三个答案都不对 解析 C． 9. 设 S = 1 log 1 2 � + 1 log 1 3 � + 1 log 1 5 � + 1 log 1 7 � ; 则不超过 S 且与 S 最接近的整数为（ ） A. �5 B. 4 C. 5 D. 前三个答案都不对 解析 A． 10. 已知复数 z 满⾜ z + 2 z 是实数，则 jz + ij 的最⼩值等于（ ） A. p 3 3 B. p 2 2 C. 1 D. 前三个答案都不对 解析 D． 11. 已知正⽅形 ABCD 的边长为 1， P1; P2; P3; P4 是正⽅形内部的 4 个点使得 4ABP1 ，4BCP2 ， 4CDP3 和 4DAP4 都是正三⾓形，则四边形 P1P2P3P4 的⾯积等于（ ） A. 2�p3 B. p 6�p2 4 C. 1 + p 3 8 D. 前三个答案都不对 解析 A． 3 光 ⼦ 辅 导 4 试题及答案 12. 已知某个三⾓形的两条⾼的长度分别为 10 和 20，则它的第三条⾼的长度的取值区间为（ ） A.  10 3 ; 5 ‹ B.  5; 20 3 ‹ C.  20 3 ; 20 ‹ D. 前三个答案都不对 解析 C． 13. 正⽅形 ABCD 与点 P 在同⼀平⾯内，已知该正⽅形的边长为 1，且 jPAj2+ jPBj2 = jPCj2 ，则 jPDj 的最⼤值为（ ） A. 2 + p 2 B. 2 p 2 C. 1 + p 2 D. 前三个答案都不对 解析 A． 14. ⽅程 log4(2x + 3x) = log3(4x � 2x) 的实根个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 前三个答案都不对 解析 B． 15. 使得 x+ 2 x 和 x2 + 2 x2 都是整数的正实数 x 的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. ⽆穷多 D. 前三个答案都不对 解析 A． 16. 满⾜ f(f(x)) = f4(x) 的实系数多项式 f(x) 的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. ⽆穷多 D. 前三个答案都不对 解析 D． 17. 使得 p3 + 7p2 为平⽅数的不⼤于 100 的素数 p 的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 前三个答案都不对 解析 C． 18. 函数 f(x) = x(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3) 的最⼩值为（ ） A. �1 B. �1:5 C. �2 D. 前三个答案都不对 解析 A． 19. 动圆与两圆 x2 + y2 = 1 和 x2 + y2 � 6x+ 7 = 0 都外切，则动圆的圆⼼轨迹是（ ） A. 双曲线 B. 双曲线的⼀⽀ C. 抛物线 D. 前三个答案都不对 解析 B． 4 光 ⼦ 辅 导 4 试题及答案 20. 在 4ABC 中， sinA = 4 5 ， cosB = 4 13 ，则该三⾓形是（ ） A. 锐⾓三⾓形 B. 钝⾓三⾓形 C. ⽆法确定 D. 前三个答案都不对 解析 A． 5 总体评价 与高考题的对比 对考生的建议 试题及答案