2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题(甲乙卷含详解)[1]

中国教育学会中学数学教学专业委员会 学校 姓名 准考证号 2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题 （考试时间：2012年3月18日上午9：30——11：30） 题 号 一 二 三 总 分 1～5 6～10 11 12 13 14 得 分               评卷人               复查人                               答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式 可以化简为（      ）． （A）     （B）     （C）       （D）a 1（乙）．如果 ，那么 的值为（    ）． （A）       （B）         （C）2        （D） 2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y = （b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（    ）． （A）（2，3）  （B）（3，－2） （C）（－2，3） （D）（3，2） 2（乙）． 在平面直角坐标系 中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（    ）． （A）10        （B）9            （C）7        （D）5 3（甲）．如果 为给定的实数，且 ，那么 这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（    ）． （A）1      （B）       （C）         （D） 3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线， △ABC是等边三角形． ，AD = 3，BD = 5， 则CD的长为（    ）． （A）     （B）4      （C）       （D）4.5 4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（    ）． （A）1        （B）2        （C）3        （D）4 4（乙）．如果关于x的方程 是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（    ）． （A） 5        （B） 6      （C） 7      （D） 8 5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为 ，则 中最大的是（    ）． （A）       （B）       （C）         （D） 5（乙）．黑板上写有 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数 ，然后删去 ，并在黑板上写上数 ，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（    ）． （A）2012        （B）101      （C）100      （D）99 二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分） 6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是          . 6（乙）.如果a，b，c是正数，且满足 ， ，那么 的值为        ． 7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为2 ， E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB 分别交于点M，N，则△DMN的面积是          . 7（乙）.如图所示，点A在半径为20的圆O上，以OA 为一条对角线作矩形OBAC，设直线BC交圆O于D、E两点， 若 ，则线段CE、BD的长度差是                。 8（甲）. 如果关于x的方程x2+kx+ k2－3k+ = 0的两个实数根分别为 ， ，那么 的值为          ． 8（乙）．设 为整数，且1≤n≤2012. 若 能被5整除，则所有 的个数为            . 9（甲）. 2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为        . 9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称 是三角形数．若 和 均为三角形数，且a≤b≤c，则 的取值范围是        . 10（甲）如图，四边形ABCD内接于⊙O， AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD， 交点为E.  作BF⊥EC，并与EC的延长线 交于点F.  若AE = AO，BC = 6，则CF的 长为        . 10（乙）．已知 是偶数，且1≤ ≤100．若有唯一的正整数对 使得 成立，则这样的 的个数为          ． 三、解答题（共4题，每题15分，共60分） 11（甲）．已知二次函数 ，当 时，恒有 ；关于x的方程 的两个实数根的倒数和小于 ．求 的取值范围． 11（乙）. 如图所示，在直角坐标系xOy中，点A在y轴负半轴上，点B、C分别在x轴正、负半轴上， 。点D在线段AB上，连结CD交y轴于点E，且 。试求图像经过B、C、E三点的二次函数的解析式。 12（甲）. 如图，⊙O的直径为 ， 过点 ，且与⊙O内切于点 ． 为⊙O上的点， 与 交于点 ，且 ．点 在 上，且 ，BE的延长线与 交于点 ，求证：△BOC∽△ ． 12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心. 求证： （1）OI是△IBD的外接圆的切线； （2）AB+AD = 2BD. 13（甲）. 已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当 2012时，求a的最小值. 13（乙）．给定一个正整数 ，凸 边形中最多有多少个内角等于 ？并说明理由． 14（甲）. 求所有正整数n，使得存在正整数 ，满足 ，且 . 14（乙）．将 ， ，…， （n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数 （可以相同），使得 ，求 的最小值． 2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题参考解答 一、选择题 1(甲) .C 解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知 ，且 ， 所以  ．  1（乙）．B 解： ． 2（甲）．D 解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）. 2（乙）．B 解：由题设x2＋y2≤2x＋2y， 得0≤ ≤2. 因为 均为整数，所以有 解得 以上共计9对 . 3（甲）．D 解：由题设知， ，所以这四个数据的平均数为 ， 中位数为            ， 于是                  . 3（乙）．B 解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE. 由于AC = BC，CD = CE， ∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE， 所以△BCD≌△ACE， BD = AE. 又因为 ，所以 . 在Rt△ 中， 于是DE= ，所以CD = DE = 4. 4（甲）．D 解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元， 均为非负整数. 由题设可得 消去x得                (2y－7)n = y+4， 2n = . 因为 为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7． 4（乙）．C 解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为 ，故方程的根为一正一负．由二次函数 的图象知，当 时， ，所以 ，即 . 由于 都是正整数，所以 ，1≤q≤5；或 ，1≤q≤2，此时都有 . 于是共有7组 符合题意． 5（甲）．D 解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以 ，因此 最大． 5（乙）．C 解：因为 ，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变． 设经过99次操作后黑板上剩下的数为 ，则 ， 解得                    ， ． 二、填空题 6（甲）．7＜x≤19 解：前四次操作的结果分别为 3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80. 由已知得      27x－26≤487， 81x－80＞487. 解得  7＜x≤19. 容易验证，当7＜x≤19时， ≤487 ≤487，故x的取值范围是 7＜x≤19． 6（乙）.7 解：在 两边乘以 得 即 7（甲）．8 解：连接DF，记正方形 的边长为2 . 由题设易知△ ∽△ ，所以 ， 由此得 ，所以 . 在Rt△ABF中，因为 ，所以 ， 于是            . 由题设可知△ADE≌△BAF，所以 ， . 于是        ， ， .  又 ，所以 . 因为 ，所以 . 7（乙）.   解：如图，设 的中点为 ，连接 ，则 ． 因为 ，所以 ， ． ． 8（甲）． 解：根据题意，关于x的方程有 =k2－4 ≥0， 由此得          (k－3)2≤0．  又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+ =0，解得x1=x2= . 故 = = ． 8（乙）.1610 解： 因此 ，所以 ，因此 所以共有2012-402=1610个数 9（甲）．8 解：设平局数为 ，胜（负）局数为 ，由题设知 ，由此得0≤b≤43. 又 ，所以 . 于是 0≤ ≤43， 87≤ ≤130， 由此得 ，或 . 当 时， ；当 时， ， ，不合题设. 故 ． 9（乙）. 解：依题意得： ，所以 ，代入（2）得 ，两边乘以a得 ，即 ，化简得 ，两边除以 得 所以 另一方面：a≤b≤c，所以           综合得 另解：可令 ，由（1）得 ，代入（2）化简得 ，解得 ，另一方面：a≤b≤c，所以 ，  综合得 ． 10（甲）． 解：如图，连接AC，BD，OD. 由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，所以 ∠BCF =∠BAD, 所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此 . 因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC， 于是 . 因此 . 由△ ∽△ ，知 ．因为 ， 所以 ，BA= AD ，故 . 10（乙）.12 解：依题意得 由于 是偶数，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍数，即 ， 当1≤ ≤100时，4的倍数共有25个，但要满足题中条件的唯一正整数对 ，则： ，其中p是素数，因此，k只能取下列12个数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25，从而这样的n有12个。 三、解答题 11（甲）．解： 因为当 时，恒有 ，所以 ， 即 ，所以 ．                          …………（3分） 当 时， ≤ ；当 时， ≤ ，即 ≤ ， 且                    ≤ ， 解得 ≤ ．                                          …………（8分） 设方程 的两个实数根分别为 ，由一元二次方程根与系数的关系得 ． 因为 ，所以 ， 解得 ，或 ． 因此 ．                  …………（15分） 11（乙）.解：因为sin∠ABC = ， ， 所以AB = 10．由勾股定理，得 ． 易知 ， 因此 CO = BO = 6． 于是 ， ， ． 设点D的坐标为 ． 由 ，得 ． 所以 ， ． 解得 ．  因此D为AB的中点，点 D的坐标为 ．          因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△ABC的重心， 所以点E的坐标为 ．（也可由直线CD交y轴于点E来求得.）                      设经过B，C，E三点的二次函数的解析式为 ． 将点E的坐标代入，解得a = ． 故经过B，C，E三点的二次函数的解析式为 ． 12（甲）． 证明：连接BD，因为 为 的直径，所以 ．又因为 ，所以△CBE是等腰三角形． …………（5分） 设 与 交于点 ，连接OM，则 ．又因为 ，所以 ．              …………（10分） 又因为 分别是等腰△ ，等腰△ 的顶角，所以 △BOC∽△ ．            …………（15分） 12（乙）.证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角相等 的性质知 ： ， ． 所以 ， CI = CD． 同理，CI = CB ． 故点C是△IBD的外心． 连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC， 所以OI⊥AC，即OI⊥CI ． 故OI是△IBD外接圆的切线．                                （2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F． 由 ，知OC⊥BD． 因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以 ．所以BF = AE．                                又因为I是△ABD的内心，所以 ． 故 ． 也可由托勒密定理得： ，再将 代入即得结论 。 13（甲）．解：设a－b = m（m是素数），ab = n2（n是自然数）. 因为                  (a+b)2－4ab = (a－b)2， 所以                  (2a－m)2－4n2 = m2， (2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2.    …………（5分） （1）当 时，因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m为素数)，所以 2a－m+2n m 2，2a－m－2n 1. 解得              a ， . 于是              = a－m .          …………（10分） 又a≥2012，即 ≥2012. 又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥ =2025. 当 时， ， ， . 此时，a的最小值为2025.                        （2）当 时，因为 2012，所以 ，从而得a的最小值为2017（素数）。 综上所述，所求的a的最小值为2017。……（15分） 13（乙）.解：设凸n边形最多有k个内角等于150°，则每个150°内角的外角 都等于30°， 而凸n边形的n个外角和为360°，所以 ，只有当 时， k才有最大值12. …………（5分）下面我们讨论 时的情况： （1）当 时，显然，k的值是11； （2）当 时，k的值分别为1，2，3，4，5； （3）当 时，k的值分别为7，8，9，10. …………（10分） 综上所述，当 时，凸n边形最多有 个内角等于150°；当 时，凸n边形最多有 个内角等于150°；当 时，凸n边形最多有12个内角等于150°；当 时，凸n边形最多有11个内角等于150°。. ……（15分） 14（甲）．解：由于 都是正整数，且 ，所以 ≥1， ≥2，…， ≥2012． 于是  ≤ ． …………（5分） 当 时，令 ，则 . …………（10分） 当 时，其中 ≤ ≤ ，令 ，则  ． 综上，满足条件的所有正整数n为 ．  …………（15分） 14（乙）.解：当 时，把 分成如下两个数组： 和 ． 在数组 中，由于 ， 所以其中不存在数 ，使得 ． 在数组 中，由于 ， 所以其中不存在数 ，使得 ． 所以， ．                              下面证明当 时，满足题设条件． 不妨设2在第一组，若 也在第一组，则结论已经成立．故不妨设 在第二组． 同理可设 在第一组， 在第二组．          此时考虑数8．如果8在第一组，我们取 ，此时 ；如果8在第二组，我们取 ，此时 ． 综上， 满足题设条件． 所以， 的最小值为 ． （注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n最小值为65536．） 全 品中考网