《漫画傅里叶解析》笔记共11页

《漫画傅里叶解析》笔记共11页《漫画傅里叶解析》笔记宋以后，京师所设馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。《漫画傅里叶解析》作者涉谷道雄第1章宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。序声音宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。用傅里叶变换对波进行的方法就叫傅里叶分析。傅里叶分析不仅用于声音，在各种波形分析中都能用到，如声纹分析，图像数据的压缩技术。磁共振图像分析。第2章通往傅里叶变换的道路一、声音与频率声音是通过改变对空气的压力，以波的形式传播的。这个压力的变化叫声压。横轴示时间，纵轴表示声压，将声音图形化。1秒内一个相邻的波峰和波谷的波形往返重复的次数就叫做频率，单位为Hz（赫兹）。“拉”音=440Hz。不同的倍数得到不同声调的“拉”。复杂的波形其实由简单的波形合成得到。构成复杂波形的简单波形叫做频率成分。将各个合成频率成分及其强度用图形表示，可以得到频率谱，简称谱。明白了频率谱就能明白声音的基本组成成分了。这就是傅里叶变换，是从波形中得到频率谱的方法。反过来，也可从频率谱得到波形，这叫傅里叶逆变换。用傅里叶变换研究频率谱的特征的方法，叫做傅里叶解析。二、横波与纵波在电磁波中，电场和磁场的强度随时间变化，且它们的方向与波的传播方向垂直，这样的波叫横波。声音是利用空气的振动，使空气的密度变高变低来传播的，波的传播方向与振动方向相同的波叫做纵波。具有纵波性质的波，需要传递密度的变化，因此需要媒介，不能在真空中传播。纵波，在传播方向上使媒介的密度变高变低，因此也叫疏密波，用密度的变化把疏密波图形化，可以得到与横波相同的图形。不论横波还是纵波，都可以用正弦函数sin表示。三、波的时间变化看波纹传播的情况，可以发现波峰和波谷交替前进，而水面的某一点也在上下运动，相互保持独立。简单波形的合成，用来研究其中的频率和强度的数学方法，就叫傅里叶变换。四、频率与振幅振幅是信号的高低差，波形中相邻的一个波峰和波谷的时间长度叫周期。频率在波形中就是1秒钟有多少个周期。振幅对应声音的强弱，振幅小的情况下对应的音量也小。频率增加，音调变高，变成高音。从复杂波形中求出频率谱的方法就叫傅里叶变换。看周期最大的波，它的频率被叫做基本频率。最大的波周期，叫基本周期。傅里叶变换步骤：复杂波形→求频率成分→不同强度组合起来合成一个波形（频率-强度–谱）五、约瑟夫▪傅里叶的发现傅里叶的发现：再复杂的现象也是由简单的现象组合在一起而形成的。六、傅里叶变换的数学准备Sincos三角函数；函数的切线（倾斜）；积分（原函数）；定积分（面积、体积）；不定积分；函数的四则运算；函数的积及其定积分；函数的正交；正交函数为基础的函数合成；傅里叶级数；傅里叶变换。第3章三角函数一、旋转与三角函数摩天轮的高度与时间的关系。二、单位圆半径为1的圆叫单位圆。三、正弦函数Y=sinθ四、余弦函数X=cosθ五、参数表示与圆的表达式X=cosθY=sinθ六、随时间变化的三角函数的物理量的研究物理量ω叫角速度，单位弧度/秒（rad/s）ω乘以t（s）得到的物理量是角度。七、ωt与三角函数函数y=sinωtω定值，以t为横轴，图形为正弦函数。以ω为横轴，变成与纵轴平行的线段。时间函数与频率谱产生联系。第4章积分与微分一、积分积分与过山车，积分求面积。dx是什么意思？d表示微小的意思，dx表示x的微小变化量。积分就是将微小区间的面积一点点加起来，从而求整个区间的方法。二、常数函数的积分三、一次函数的积分四、n次函数的积分五、任意曲线的定积分将大区间分为间隔相同的小区间，依次按顺序求这些区间的面积，加起来得到大区间的面积。在数学表达式（数学函数）无法表示的场合，就用计算机来计算。六、切线微分是积分的逆运算。微分就是求切线的斜率。七、微分八、三角函数的微分九、三角函数的定积分第5章函数的四则运算一、函数的和二、函数之间的加法Y=X2与Y=X的和为Y=X2+X三、函数之间的减法Y=X2与Y=X的差为Y=X2-X四、函数之间的乘法Y=X2-2与Y=X的积为Y=X3-2XY=sinX与Y=cosX的积为Y=sinXcosX=1/2sin2X第6章函数的正交一、函数的正交正交就是成直角的意思。首先画出两个相互正交的函数，sinX cosXsinX函数的波形与cosX函数的波形相差π/2。也就是说，这两个函数的波形的起始点的位置关系，在单位圆上成直角。如果函数成正交关系，那么它们积的定积分为0。反过来说，如果两个函数的积的定积分为0，这两个函数正交。二、两正交函数的图形证明三、两正交函数的数学计算证明四、Y=sin2X的定积分=π第7章傅里叶变换的准备知识一、用三角函数的加法运算制作图形画出Y=sinX+cosX的图形。图形的出发点，也就是函数y=0的x值，发生了改变，出发点不同了。这个出发点到y轴的距离，叫做“相位差”，简称相位。二、acosX与bsinX的合成SinnX与cosnX合成时是n周期，这个n周期对应着角频率ω，有了周期和振幅r，就能得到频谱图。三、周期不同的三角函数的合成可以组合成不同的波形。四、傅里叶级数锯齿波：An=n的倒数，即1,1/2,1/3…..，用excel计算图形。方波：An=奇数。五、时间函数与频率谱讲三角函数时，三个不同的点在半径1，2，3的圆上旋转。将这个用随时间变化的图形表示出来，就能得到sin函数。这种随时间变化的函数叫做时间函数。有确定周期的重复变化的函数叫做周期函数。接下来，以ω为横轴，转换为频率谱图像。这样就完成了从时间函数到频率谱转换的流程。半径为3的圆周上，以ωt旋转的点可以用Y=3sinx表示。同理，其余两个函数是Y=4sin2x，Y=2sin3x；将这些函数加起来，变成下图：傅里叶变换，就是从这样加法合成得到的函数中，能将加起来之前的各个函数的周期和大小计算出来。傅里叶变换中的函数是周期函数，自然界中的很多波不是周期函数，只要取一段时间区间，将该波形不断重复形成周期函数，就能用傅里叶变换进行计算了。六、傅里叶变换的入口合成和变换互为逆运算。将多个函数组合起来叫做“合成”。研究某个东西是怎样组合而成的叫做“变换”。根据傅里叶级数的逆向思考方法，采用傅里叶变换对波形进行分析，叫做傅里叶解析。第8章傅里叶解析一、研究频率成分的步骤傅里叶解析是求解原波形（函数）由哪些频率的波以怎样的大小组合而成的方法。步骤1：首先，为了将复杂波形转为周期函数，从波形中取出一段区间。将这个区间看做最大的周期，对应的频率为1Hz，为最小的频率。取出1秒长度的区间中含有振动1000次的成分是频率为1kHz的频率成分。步骤2：从最低频率开始，到可能出现的最高频率，需要对所有频率一一进行分析。步骤3：从切取的波形中分析出某种特定的频率成分，需要使用滤波器，将成分一个一个的分解出来。步骤4：测量分解出来的频率成分的量，然后依次排开，就得到了频率谱。二、傅里叶系数如果F（x）是随时间变化的函数，用F（t）表示。这里a0，an，bn叫做傅里叶系数，步骤3就是求傅里叶系数。a0决定波形的全体值在y轴上的上下位置的值。从各种频率成分中，抽取某一特定频率成分，必须想到的是“函数的正交”，由于函数正交的关系，它们乘积的定积分的结果为0，而sinnx和cosnx都与自身不成正交关系，都有一定的值。因此，正交关系的性质，是频率成分的分解成为可能。首先看cos的傅里叶系数an，如果想要结果只剩下ancosnx，那么将F(x)全体乘以cosnx，然后做定积分。因为其它正交积分为0，所以只剩下一个cosnx的值。这样an的值就求出来了。第四步：求r第五步，将第四步求的r从小到大排列画在图形中就得到了频率谱。三、音叉的频率谱四、吉他的频率谱哆的频率是261.63Hz五、人的声音频率谱六、柔和的声音音域是发出最低音到最高音的音程。音域广是好嗓子的重要基础。共鸣关系是指低音，即以某个频率为基准，完好的含有这个频率的整数倍的频率的波的状态。第9章附录习求下面函数的傅里叶系数：首先：a0=0其次an=0图形可知。Cosnxb1=4/πn为偶数时，bn=0；n为奇数时，bn=1/n*4/π；