线性代数卢刚章答案

习题一（A）1.，，.2.由得.3.（1），.（2），为1997年和1998年各种油品的产量之和.，为1998年和1997年各种油品的产量之差.（3），为1997年和1998年各种油品的平均产量.4.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）14；（6）；（7）15.5.（1），，，，，，，.由构成的图形如下：（2）当时，.仿（1）得由构成的图形如下：（由正方形逆时针旋转弧度得到）当时，.仿（1）得由构成的图形如下：（由正方形顺时针旋转弧度得到）6.，. （1） 北美欧洲非洲 价值 重量 体积（2）. 总价值 总重量 总体积7.（1）正确..（2）正确..（3）未必正确..8.（1）设与可交换的矩阵为，则由得.即.于是，.解之得.故与可交换的所有矩阵为，其中为任意常数.（2）设与可交换的矩阵为，则由得.即.于是故与可交换的所有矩阵为，其中为任意常数.注：待定系数法是解决此类问题的有效方法之一.9.证（1），与可交换.（2），与可交换.（3）.10.（1）.（2）令，则，.猜测有如下结论：.下面用数学归纳法证明：当时，结论显然成立；假设当时结论成立，则当时，，结论成立.综上知，.注：先根据的前若干项猜测其形式，再用数学归纳法加以证明是求矩阵的幂的常用方法之一.（3）注：务必牢记这个重要的结果！（4）（直接计算即可）令，则，，.（5）（直接计算即可）（6）令，则由直接计算知，，，.猜测有如下结论：下面可利用数学归纳法加以证明，此处从略.11.的第行第列的元素为.的第行第列的元素为.的第行第列的元素为.12.（1）.（2）.注：在矩阵论上称为矩阵多项式.矩阵与其矩阵多项式之间关系密切，将在后续章节陆续介绍.13.（1），.（2），.注：邻接矩阵（adjacentmatrix）的概念在运筹学（OperationsResearch）的一个重要分支－代数图论（AlgebraicGraphTheory）上有着重要的应用.15.（1）.（2）.（3）.（4）.注：矩阵的“迹”（trace）的概念，特别是矩阵的行列式，迹和特征值的关系：，（见第四章）是历年考研的热门考点.16.（1）（直接计算）1.（2）（按任一行或列展开）12.（3）.（4）.（5）利用P22例6的结论.原.（7）利用P24例8Vandermonde行列式的结论.原.注：务必牢记Vandermonde行列式的重要结论！（8）原.问：如此行列式扩展到阶，结果又如何呢？17.（1）左.解得或.（2）直接按第一行展开.左.解得或.注：解行列式方程的问题可先计算相应的行列式，再解方程...注：牢记结论：！(4)原.问：如此行列式扩展到阶，结果又如何呢？.问：如此行列式扩展到阶，结果又如何呢？注：牢记结论：.（2）仿（1）的做法.（2）当时，原；当时，原；当时，原.（4）利用P22例6的结论.原.注：教材提供的参考答案与此稍有“不同”，这是因为.解得原方程的解为.解得原方程的解为.注：原行列式是阶的!23.（1）利用教材P22例5的结论.注：原行列式是阶的!注：教材P22例5的做法是常用且有效的计算行列式的方法.，，.（2），，.25.（1）.26.，.27.（1）令，则，故可逆..（2）令，则，故不可逆.（3）令，则，故可逆..（4）令，则，故可逆..注：伴随矩阵法仅在笔算求低阶矩阵的逆矩阵时较为方便.28.（1），.（2），.（3），.（4），.注：也可以利用矩阵的初等列变换求矩阵的逆矩阵：.29.（1）..（3）.注：30和31两题的做法表明：设法得到等式是证明矩阵可逆或求的有效途径.32.（1）在两边同时取行列式得.可逆，，，故可逆，且.（2）.注：矩阵的伴随矩阵的有关性质是往年考研的热门考点.读者应格外注意如下重要的恒等式：，从它可导出的许多性质.34.，是对称矩阵.35.方法一：.方法二：（数学归纳法）当时，显然成立.设命题对时成立，则.36.（1），，.（2），，，.（3），，.注：务必牢记这三种分块矩阵的逆矩阵的形式，特别是（1）和（3）两个结果.37.（1）方法一：，且存在一阶非零子式，秩为1.方法二：，秩为1.（2），秩为3.（3），秩为1.（4），秩为2.（5），秩为3.（6），秩为3.注：求矩阵的秩的方法很多，随着以后各章的学习，读者应注意总结.习题二1.(1)解：(2)解：（3）解：2、(1)解:齐次线性方程组仅有0解，当且仅当系数行列式为0。即:(2)解:3(1)解:(2)解:∴无解(3)解:得:∴解为:4解:齐次线性方程组有非0解的充要条件是系数行列式为0.即:此时∴解为5解:当时,无解.当时,得:∴解为:6解:当时,无解当且时,有唯一解.∴解为:当时,有无穷解:∴解为7解:设则判断是否由线性表示转为方程组是否有解.∴能由线性表示(2)∴不能由线性表示.(3)8解:设当时,不能由线性表示当时,可由线性表示且表示法唯一.且时,可由线性表示且表示法唯一.91.因为不成比例,所以线性无关.1.解:∴线性相关.1.解:∴线性无关.10解:∴当或时,向量组线性相关.11解:(1)设即:∵线性无关系数矩阵∴有非零解.即存在不全为0的使成立.∴线性无关.几何解释:设想为三棱锥的共点的三条棱,则是三棱锥底面上的三条棱.(2)解:设,即即∵线性无关系数矩阵∴仅有0解.∴∴线性无关.几何解释:见(3)解:设,即即∵线性无关系数矩阵∴有非0解.即存在不全为0的数使∴线性相关.几何解释:设想为平行六面体共点的三条棱,则为相应共点三个面的对角线,且三对角线共面.121.证:第列第列第列第列第列第列 初等变换不改变矩阵的秩.∴线性无关.1.证:而可逆.而一矩阵乘可逆矩阵,其秩不变.线性无关.131.等价.1.不等价,14证:已知可由线性表示,只要证明也可由线性表示即可:即只要证可逆可逆.15证:只需证可由线性表示即可.线性无关.又是维向量,而个维向量线性相关.可由线性表示.16证:即:即:线性无关.线性无关.17证:线性无关由不能由线性表示,线性无关.由不能由线性表示线性无关.由不能由线性表示线性无关.18证:要证两向量组能相互线性表示,只需证可由线性表示(已知),且可由线性表示可由线性表示故使其中必有,否则,即可由线性表示矛盾.于是即可由线性表示.19证:必要性:若线性无关.维向量有线性相关.可由线性表示.充分性:维向量可由线性表示.可由线性表示.又必可由线性表示线性无关.20证:设是中任取的个线性无关的向量.要证其为极大无关组,只需证中任一向量可由其线性表示.若是中的一个,则显然可由线性表示.若不是中的一个,则是个向量,而线性相关又线性无关可由线性表示.故是极大无关组.21证:(1)设秩为,极大无关组为.的秩为,极大无关组为.于是可由线性表示.又线性无关,即.(2)故22证:记于是设的秩为,极大无关组为的秩为,极大无关组为则可由线性表示. 即23证:记于是=即可由线性表示.-即记则=即可由线性表示.24证:向量组Ⅰ可由向量组Ⅲ线性表示,向量组Ⅱ可由向量组Ⅲ线性表示,设向量组Ⅲ可由线性表示.于是25证:记的极大无关组为的极大无关组为则可由线性表示记于是存在阶方阵,使即:可逆.,即可由线性表示,可由线性表示26.证明：将矩阵则由分块矩阵的乘法：（其中）矩阵的每一个列向量都是齐次线性方程组的解.27.证明：向量秩为28.证明：充分性：若则齐次线性方程组有非零解，不妨设是其中一个非零解，令必要性：若存在则可知的每一个列向量均为齐次线性方程组的解，因从而有非零列向量，使得，即齐次线性方程组.29.证明：（1）（2）30.解：（1）对作初等行变换：由上可得，是其一个极大无关组，且（2）对作初等行变换：，由上可得，为其一个极大无关组，且.（3）对作初等行变换：，从而为其一个极大无关组.31.解：对作初等行变换：32.解：（1）令分别取，得到原方程组的一个基础解系：，则方程组的全部解可以表为（为任意常数）（2），得到一般解，其中为自由未知量.令分别取，得到原方程组的一个基础解系：则方程组的全部解可以表为（为任意常数）（3）得到一般解，其中为自由未知量，令分别取，得到原方程组的一个基础解系：则方程组的全部解可以表为（为任意常数）33.证明：方程组有解有解时得到一般解，其中为自由未知量令为任意常数），得方程组的全部解，为任意常数）34.解：（1），得到故该方程组无解.（2），方程组有无穷多解.原方程组与同解，其中为自由未知量，令，得特解，又导出组的一般解为，令，得导出组的一个基础解系，从而原方程组的全部解为，为任意常数）（3）方程组有无穷多解.原方程组与同解，其中其中为自由未知量令，得方程组的一个特解又导出组的一般解为，令分别取，得导出组的一个基础解系则方程组的全部解可以表为（为任意常数）（4）方程组有唯一解，35.证明：的每一个列向量均为齐次线性方程组的解.又中有阶子式不等于0，即存在元素，其代数余子式又齐次线性方程组的基础解系含有一个解向量是的一个基础解系，从而方程组的全部解为为任意常数）36.解：设，即，解之得，，故在基下的坐标为37.解：（1），故不正交（2），正交38.解：（1），故（2），故39.证明：对任意实数，令因，则，得证.40.证明：设，因与中的任意向量都正交，则令表示第分量为1，其余分量为0的维向量，则，从而可得，是零向量.41.提示：只需证明两两正交，且均为单位向量即可.42.解：（1）令，再将单位化得，（2），再将单位化得，（3）令，再将单位化得，43.证明：因，故，从而或.44.证明：因是正交矩阵，故，又，因，故，又或，故，从而由上可得，都是正交矩阵.45.证明：因，故，从而为实对称矩阵.46.证明：因，故从而是正交矩阵.47.证明：设是阶上三角形的正交矩阵，当时结论显然成立.假设当阶为时，结论成立.则当阶为时，因是正交矩阵，故的行（列）向量组是单位向量组，考虑第行可得，考虑第列，可得，从而可知，，将分块为，其中为阶方阵，则从而可知为阶上三角形的正交矩阵，由归纳假设可得，为对角矩阵，且主对角线上的元素为1或－1，由上可知，当阶为时，结论成立.得证.48.证明：因是正交矩阵，故，得证.49.证明：由48题知，，又任意，故＝0从而是一组正交基.第三章线性方程组（P76）习题3．1引例与线性方程组（P79）1．写出下列方程组的矩阵形式：（1）（2）（3）解：(1)(2)(3)习题3．2齐次线性方程组（P90）1．求下列齐次线性方程组的一个基础解系和通解：（1）解：等价方程组:，分别取，得基础解系：通解：（C1，C2为任意常数）（C1，C2为任意常数）（2）解：基础解系：，通解：（C为任意常数）（3）解：等价方程组为：，分别取，得基础解系：，通解：（C1，C2为任意常数）（4）解：等价方程组：，分别取，得基础解系：通解：（C1，C2为任意常数）2．取何值时，方程组（1）只有零解；（2）有非零解，并求出其通解。解：（1）当时，即且时，方程组只有零解。（2）当时，即或时，方程组有非零解。当时，等价方程组：，取自由未知量得通解：当时，等价方程组，取自由未知量得通解：习题3.3非其次线性方程组（P97）1．求下列非齐次线性方程组的解：（1）解：对增广矩阵施行初等行变换取，得通解：（2）解：对增广矩阵施行初等行变换等价方程组：，取，得通解：2．取何值时，非齐次线性方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解。解：系数行列式（1）当且时，，方程组有唯一解。（2）当时，增广矩阵。故无解。（3）当且时，，故有无穷多解。3．设证明该方程组有解的充分必要条件是在有解的情况下求其通解。解：方程组的增广矩阵是：由此可见，方程组有解的充要条件是，而的充要条件是。当方程组有解时，由得等价方程组，取，得通解：4．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，已知为其四个解向量，且求其通解。解：设四元非齐次线性方程组为，对应的齐次线性方程组为。已知是的四个解向量，故有。而满足即是的解。且不成比例，故线性无关。又。即的基础解系由两个线性无关的向量组成，故可作为其基础解系，因此的通解为：5．设是的个解，证明：仍是的解，其中。证明：由于是的解，故有又，则所以，仍是的解复习题三（P99）1．设有线性方程组若，问（1）系数矩阵的秩是多少？（2）增广矩阵的秩是多少？（3）该方程组是否有解？有多少解？（4）该方程组对应的齐次线性方程组是否有基础解系？解：（1）（2）（3），该方程组有解。有无穷多解（4），所以该方程组对应的齐次线性方程组有基础解系。2．确定的值，使方程组1.有唯一的解；（2）无解；（3）有无穷多解。解：1.当时，，方程组有唯一解。1.没有无解的情况。1.当时，，有无穷多解。3．已知方阵为三阶非零矩阵，且满足，试求的值。解：设三阶非零矩阵B按列分块为，不妨设是其非零列，则由得：根据A为方阵时，方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式=0，所以。4．解下列方程组：（1）解：（1）得等价方程组，取，得通解：或取，代入等价方程组的对应齐次方程组，得到一个基础解系：，并在等价方程组中令得一个特解：，故方程组的通解为，即（2）解（2），方程组无解。（3）解（3）得等价方程组：，取得：5．设齐次线性方程组的系数矩阵的秩为。证明：必有为该齐次线性方程组的一个非零解，其中为的代数余子式。解：因为系数矩阵A的秩为，所以至少有一个元素的代数余子式不为零，不妨设为的代数余子式，取代入方程组，由行列式的性质得，即为该齐次线性方程组的一个非零解。6．试证：含有个未知量个方程的线性方程组有解的必要条件是行列式，但这个条件不是充分的，试举一例。证明：必要性：即证“方程组有解”因为方程组有解，所以（未知量个数），所以阶行列式行列式为0不是该方程组有解的充分条件，反例：，但方程组无解。7．设三维列向量问取何值时（1）有的唯一线性表示式，并写出该表示式；（2）可由线性表出，但表示式不唯一；（3）不能表示成的线性组合。解：设，对应的非齐次线性方程组的增广矩阵为（1）能由唯一线性表示的充要条件，故当且时，得，故得唯一表示式：1.当时，，可由线性表出，但表示式不唯一1.当时，，即不能表示成的线性组合。8．设有线性方程组问：（1）为何值时，方程组无解？（2）为何值时，方程组有解？（3）有解时，求其解。解：对线性方程组的增广矩阵进行初等变换。1.当或或时，方程组无解。1.当,及时，方程组有解.1.当,及时，方程组的增广矩阵得等价方程组，令，得方程组的通解：9．设都是阶方阵，且，证明：。解：设B按列分块为,则即，设方程组的解空间的秩为因此,故有：10．设是非齐次线性方程组的一个特解，是其导出组的一个基础解系，令试证该方程组的任一解可表示成如下形式：其中解：设是非齐次线性方程组的任一个解，则是对应齐次线性方程组的解，而是方程组的基础解系，故有所以令．则得，其中11．设含个未知量的非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为是其个线性无关的解，试证它的任一解可表示为其中解：首先，对于满足的任意实数，有，因此是方程组的解．其次，作向量，则是对应齐次方程组的解，且向量组线性无关，因为，若等式成立，即由题设线性无关，因此，故线性无关，因此是方程组的基础解系，故方程组的任一解向量可表示为其中，即