第三章时间序列基本概念

性2、对称性3、非负定性4、非惟一性：一个平稳时间序列一定惟一决定了它的自相关函数，但一个自相关函数未必惟一对应着一个平稳序列。三、白噪声序列和独立同分布序列1.白噪声（Whitenoise）序列(纯随机序列)定义：若时间序列{Xt}满足下列性质：白噪声是平稳的随机过程，因其均值为零，方差不变，随机变量之间不相关。显然上述白噪声是宽平稳随机过程。如果{xt}同时还服从正态分布，则它就是一个严平稳的随机过程。白噪声序列是一种最简单的平稳序列，它在时间序列分析中占有非常重要的地位。则称此序列为白噪声序列。标准正态白噪声序列时序图2.独立同分布（iid）序列定义：如果时间序列{Xt}中的随机变量Xt（t=0,±1,±2……）是相互独立的随机变量，且Xt具有相同的分布（当Xt有一阶矩时，往往还假定EXt=0）,则称{Xt}为独立同分布序列。可见独立同分布序列{Xt}是严平稳序列。白噪声序列与独立同分布序列：一般来说，白噪声序列与独立同分布序列是不同的两种序列但是当白噪声序列为正态序列时，它也是独立同分布序列，此时我们称其为正态白噪声序列四、线性平稳序列1.时间序列的线性运算设{Xt}与{Yt}为两个时间序列，a，b为两个实数，那么，zt=axt+bytt=0,±1,±2……为序列{Xt}与{Yt}的一种线性运算。2.时间序列的延迟运算设{Xt}为一时间序列，d为一正整数，那么，yt=xt-d，t=0,±1,±2……为Xt的d步延迟运算。3.时间序列的线性与延迟联合运算yt=a0xt+a1xt-1+…+apXt-pt=0,1,2…为时间序列线性与延迟联合运算。当ai=1/p，i=0,1,2,…时，{Yt}即为对序列{Xt}的移动平均序列。4.时间序列的非线性运算非线性运算的形式是多种多样的：如yt=xt2+axt，yt=xt-1/(1+xt-2)2等。5.平稳线性序列设{at}为正态白噪声序列，则称序列：为线性平稳序列。五、偏自相关函数偏自相关函数：指扣除Xt和Xt+k之间的随机变量Xt+1,Xt+2,…Xt+k-1等影响之后的Xt和Xt+k之间的相关性。偏自相关函数一般用表示。偏自相关其实就是如下的条件相关：cov(Xt,Xt+k|Xt+1,Xt+2…Xt+k-1)第三节平稳时间序列的特征描述引：平稳时间序列可以由它的均值、方差、自相关、偏自相关等特征描述，由于大多数情况下，可行的时间序列仅包含一次实现，这就使得整体上计算均值成为不可能，对一个平稳过程我们自然的要用时间均值代替总体均值，下面我们将介绍样本均值、样本自协方差、样本自相关函数、偏自相关函数等。一、样本均值对时间序列的一次样本实现，需要用样本均值代替总体均值可以证明，是的无偏、一致估计。二、样本自协方差函数对于时间序列的一次样本现，我们也需要通过样本自协方差函数估计总体自协方差函数。这里有两种形式：通过证明有如下结论：上述样本自协方差函数都是总体自协方差函数的渐近无偏估计，且比的偏要大。但是，比的方差小，且在大样本情况下（n很大），二者差别不大，因此我们通常用作为样本自协方差函数。由于当k相对于n而言较大时，的偏比更大，因此，在时间序列分析时，一般滞后期k最多取至n/4三、样本自相关函数（SACF）1.对给定的序列x1,x2,…xn，样本自相关函数定义为：对于平稳正态过程，若n足够大，且有m，当k>m，，则的长滞后标准差近似为：在Eviews软件中观察时间序列的自相关图和偏自相关图命令方式：（1）在命令行输入命令：Identx(x为序列名称)；（2）然后在出现的对话框中输入滞后时期数。（可取默认数）菜单方式：（1）双击序列图标。(2)View—>Correlogram，(3)在出现的对话框中输入滞后数。（可取默认数）例1：stpoor.wf1例2：nrnd.wfq如果一个时间序列为白噪声序列，那么近似地服从N(0,1/n)。于是根据正态分布的性质，对任一的95%的置信区间为：白噪声序列检验原理(非常重要！！！)假设条件原假设：延迟期数小于或等于期的序列值之间相互独立备择假设：延迟期数小于或等于期的序列值之间有相关性检验统计量Q统计量(Box-PierceQstatistic)LB统计量(Ljung–BoxQstatistic)其中，n为样本容量，m为滞后长度。判别原则拒绝原假设当检验统计量大于分位点，或该统计量的P值小于时，则可以以的置信水平拒绝原假设，认为该序列不是白噪声序列接受原假设当检验统计量小于分位点，或该统计量的P值大于时，则认为在的置信水平下无法拒绝原假设，即不能显著拒绝序列为白噪声序列的假定一般取0.05或者0.10其中：说明：1.m的选取要合适，既不能过大，也不能过小。2.若检验ARMA(p,q)模型的残差是否为白噪声，则Q统计量的自由度为m-p-q例：Eviews操作演示在Eviews显示的自相关图中，同时给出了Q统计量值和它的相伴概率（P值），若,则接受原假设，即可认为序列为白噪声序列；否则拒绝原假设。例1：美国标准普尔指数stpoorSample:1980M011996M02自相关图和偏自相关图白噪声检验结果由于P值显著大于显著性水平（0.05或0.10），所以该序列不能拒绝纯随机的原假设。例2:模拟生成序列wn自相关图和偏自相关图检验结果由于P值显著大于显著性水平，所以该序列不能拒绝纯随机（白噪声）的原假设。第四节线性差分方程引：线性差分方程在我们讨论的时间序列分析中占有重要作用，事实上，我们后面将要建立的时间序列模型就是线性差分方程，这些模型往往取决于差分方程根的性质。一、线性差分方程1.n阶非齐次线性差分方程2.n阶齐次线性差分方程（1），（2）式中，ai(t)、f(t)为t的已知函数，且an(t)、f(t)不同时为零，若ai(t)为常数，则上述两式即为常系数差分方程。二、关于线性差分方程基本定理定理1.若y1(t)，y2(t)，…ym(t)是n阶齐次线性差分方程（2）的m个特解，则如下的线性组合也是该差分方程的特解：y(t)=c1y1(t)+c2y2(t)+…+cmym(t)式中c1、c2…cm为任意常数。定理2.n阶线性齐次差分方程一定存在n个线性无关的特解，若y1(t)，y2(t)，…yn(t)为式（2）的n个线性无关的特解，则（2）式的通解为：yc(t)=c1y1(t)+c2y2(t)+…+cnyn(t)式中c1、c2…cn为n个任意常数。定理3.N阶非齐次线性差分方程（1）的通解等于它的一个特解与它对应的齐次方程（2）的通解之和。三、n阶常系数线性差分方程的解（一）n阶常系数线性差分方程的一般形式其中：a1,a2,…an为常数，且an不为零，f(t)为t的已知函数。（4）式为（3）式所对应的齐次方程。（二）齐次线性差分方程的通解设齐次方程（4）有特解：则：称为方程（4）的特征方程，此特征方程的解称为特征根。（1）若特征方程有一实特征根，其重数为m（m<=n）则：为齐次方程的m个线性无关解。（2）若特征方程有一对共轭复根（3）将所得的n个线性无关特解组合，即得齐次方程的通解：其中：c1,c2,…cn为n个任意常数。(二)非齐次方程的特解和通解非齐次方程的特解可以通过待定系数法求出。非齐次方程的通解等于它的一个特解加上它对应的齐次方程的通解。第五节差分运算及滞后算子一、差分运算二、滞后算子时间序列{xt}在t时刻的一阶差分定义为：{xt}在t时刻的二阶差分定义为：一般地，p阶差分定义分：一、差分运算二、季节差分设xt为含有周期为S的周期性波动序列，那么一阶季节差分（S步差分）被定义为：二阶季节差分被定义为：在Eviews软件中，通过函数D(x,n,s)来实现对时间序列的差分运算，其中：x:为时间序列的名称，n:为差分的阶数，s:为季节长度。如D(x)为一阶差分，D(x,2)为二阶差分，D(x,0,4)对周期长度为4的序列求一阶季节差分等等。在Eviews软件中，通过函数Dlog(x,n,s)来实现对时间序列的对数差分运算。差分运算举例，见Eviews操作。例1:stpoor.wf1例2：美国GNP数据usagnp.wf1时间序列的延迟运算例：时间序列的差分运算例：时间序列的季节差分三、时间序列滞后算子(lagsoperator)对于一般的时间序列模型，有必要使用分析差分方程的高级工具：滞后算子假定由序列生成新序列，其中t期的y值等于t-1期的x值：这被称作对运用滞后算子，该运算用符号B表示：类似的有：一般地，对任何整数k，有：滞后算子的性质：(1)滞后算子的零次方等于1(2)常数与滞后算子相乘等于常数(3)分配率。(4)结合率：(5)滞后算子的负整数次方意味着超前二、用延迟算子表示差分运算1.p阶差分2.k步差分TheEndofCH3!