高等数学学习指导 第三章

第3章微分中值定理与导数的应用31教学基本(1)理解罗尔(Roll)中值定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒(Taylor)中值定理，会应用拉格朗日中值定理(2)掌握洛必达(L,Hospital)法则(3)掌握用导数判断函数的单调性，会利用函数单调性证明某些不等式及方程解的唯一性，会用导数判断曲线的凹凸性，并会求曲线的拐点，会利用曲线的凹凸性证明某些不等式(4)理解函数的极值概念，掌握求极值的方法，会求函数最大值和最小值，会建立简单实际问题的目标函数，并求出最大值或最小值(5)会利用导数描绘函数的图形，包括水平渐近线和铅直渐近线，了解弧微分、曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径32本章导学本章的主要内容是微分中值定理与导数的应用微分中值定理包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，另外，泰勒中值定理也属微分中值定理的范畴拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理当()()fafb=时的特殊情况，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，泰勒中值定理当0n=时成为拉格朗日中值定理泰勒中值定理体现了用一个多项式去逼近函数的思想导数的一个应用是研究函数及其曲线的性态导数是函数的增量与自变量增量比值的极限，而函数的许多重要性质如单调性、极值性、凹凸性等均可由函数增量与自变量增量间的关系来表述因此可以用导数来判断函数单调性、凹凸性和求极值、拐点等导数的另一个应用是研究未定式的极限由柯西中值定理推导出的洛必达法则是解决未定式极限问题的有效方法，它可以解决00、型未定式的极限问题其他形如0⋅、−、1、00、0型的未定式极限，要通过变换转化为00或这两种基本型后再应用洛必达法则解决高等数学学习指导·50··50·33知识点精要331中值定理1罗尔中值定理如果函数()fx满足：在闭区间[a，b]上连续；②在开区间(a，b)内可导；③()()fafb=，那么在(a，b)内至少存在一点，使()0f′=2拉格朗日中值定理如果函数()fx满足：在闭区间[a，b]上连续；②在开区间(a，b)内可导，那么在(a，b)内至少存在一点，使()()()()fbfafba′−=−成立3柯西中值定理如果函数()fx及()Fx满足：在闭区间[a，b]上连续；②在开区间()ab，内可导；③在开区间(a，b)内()0Fx′≠，则在(a，b)内至少有一点，使()()()()()()fbfafFbFaF′−=′−成立4泰勒中值定理如果函数()fx在含有点0x的某个开区间(a，b)内具有直到(1)n+阶的导数，则对任一()xab，，有()20000000()()()()()()()()()2nnnfxfxfxfxfxxxxxxxRxn′′′=+−+−++−+，其中(1)10()()()(1)nnnfRxxxn++=−+，这里是0x与x之间的某个值332导数的应用1洛必达法则设当xa(或x)时，函数()fx及()Fx都趋于零；②当()xUa(或xN>)时，()fx及()Fx的导数都存在，且()0Fx′≠；③当xa(或x)时，()()fxFx′′的极限存在(或为无穷大)，那么lim()()fxFx=lim()()fxFx′′注意：对于xa或x时的未定式，也有相应的洛必达法则其他还有一些0⋅、−、1、00、0型的未定式，只有将它们转化为00或型未定式后才可以使用洛必达法则计算第3章微分中值定理与导数的应用·51··51·2函数单调性的判定法设函数()yfx=在[]ab，上连续，在()ab，内可导(1)如果在()ab，内()0fx′>，那么函数()yfx=在[]ab，上单调增加(2)如果在()ab，内()0fx′<，那么函数()yfx=在[]ab，上单调减少3函数极值的定义及判定(1)定义设函数()fx在()ab，内有定义，0()xab，，若存在0()UxD，使得0()()fxfx<(或0()()fxfx>)，那么就称0()fx是函数()fx的一个极大值(或极小值)函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点(2)极值的判定(必要条件)设函数()fx在点0x处可导，且在点0x处取得极值，那么0()0fx′=②(第一充分条件)设函数()fx在0x的某邻域内连续，且在0x的某去心邻域0()UxδD，内可导，则(a)当()fx′在0x“左正右负”时，()fx在0x取得极大值；(b)当()fx′在0x“左负右正”时，()fx在0x取得极小值；(c)当()fx′在0x两侧“符号不变”时，()fx在0x处没有得极值③(第二充分条件)设函数()fx在0x处具有二阶导数，且0()0fx′=，0()0fx′′≠，那么(a)当0()0fx′′<，则()fx在0x处取得极大值；(b)当0()0fx′′>，函数()fx在0x处取得极小值4曲线的凹凸性定义及判定(1)定义设函数()fx在区间I上连续，对12,xxI∀有：若恒有()()121222fxfxxxf++⎛⎞<⎜⎟⎝⎠，则称()fx的图形是凹的②若恒有()()121222fxfxxxf++⎛⎞>⎜⎟⎝⎠，则称()fx的图形是凸的(2)判定方法设()fx在[]ab，上连续，在()ab，内具有一阶和二阶导数，那么若在()ab，内()0fx′′>，则()fx在[]ab，上的图形是凹的②若在()ab，内()0fx′′<，则()fx在[]ab，上的图形是凸的5曲线的拐点定义及判定(1)定义连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点(2)第一判别法设()yfx=在0x处的二阶导数为零或不存在，那么若()fx′′在00()xxδ−，与00()xxδ+，内异号，则点00(())xfx，是曲线()yfx=的拐点高等数学学习指导·52··52·②若()fx′′在00()xxδ−，与00()xxδ+，内同号，则点00(())xfx，不是曲线()yfx=的拐点(3)第二判别法若函数()yfx=在0x某邻域内存在三阶连续导数，且0()0fx′′=，0()0fx′′′≠，则点00(())xfx，是曲线()yfx=的拐点6闭区间上连续函数的最大值、最小值求法(1)求出()fx在()ab，内的驻点12xx，，，mx及不可导点12xx′′，，，nx′(2)计算()ifx(i=1，2，，m)，()jfx′(1j=，2，，n)及()()fafb，(3)比较(2)中诸值大小，其中最大的就是()fx在[]ab，上的最大值，最小的就是()fx在[]ab，上的最小值特别地，若()fx在[]ab，上连续、可导，那么此时最大值、最小值必在驻点和端点ab，中取得注意：在农业生产、工业技术及科学实验中，常常会遇到，在一定条件下，怎样使“产品最多”“用料最省”“成本最低”“效率最高”等问题，这类问题在数学上可以归结为求某一函数(目标函数)的最值问题解决这类问题的通常做法是先建立目标函数()fx，再求函数的最大值或最小值在实际问题中如果根据问题的性质就可以判别可导函数()fx确有最大值或最小值，而且一定在定义域内取得，这时如果()fx在定义域内只有一个驻点0x，那么不必讨论就可以断定0()fx是最大值或最小值7曲线渐近线(1)水平渐近线一般来说，如果lim()xfxa=(或lim()xfxa+=，lim()xfxa−=)，则直线ya=是函数()yfx=的图形的水平渐近线(2)铅直渐近线一般来说，如果0lim()xxfx=(或0lim()xxfx+=，0lim()xxfx−=)，则直线0xx=是函数()yfx=的图形的铅直渐近线(3)斜渐近线一般来说，如果()limxfxax=，lim[()]xfxaxb−=，则直线yaxb=+是曲线()yfx=的斜渐近线8弧微分公式、曲率计算公式、曲率半径计算公式(1)弧微分公式设s是曲线L的弧长函数若曲线方程为()yyx=，则弧微分2d1()dsyxx′=+②若曲线方程为()xxy=，则弧微分2d1()dsxyy′=+③若曲线方程为()()xtytϕψ=⎧⎨=⎩，则弧微分22d()()dstttϕψ′′=+④若曲线方程为()rrθ=，则弧微分22d()()dsrrθθθ′=+第3章微分中值定理与导数的应用·53··53·(2)曲率计算公式设曲线的直角坐标方程为()yfx=，且()fx具有二阶导数，则()3221yKy′′=′+②设曲线由参数方程()()xxyxϕψ=⎧⎨=⎩给出，则3222()()()()()()xxxxKxxϕψϕψϕψ′′′′′′−=′′⎡⎤+⎣⎦(3)曲率半径计算公式1Kρ=34疑难问题及常见错误例析例31用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理时构造辅助函数()()()()()()fbfaxfxfaxabaϕ−=−−⋅−−这种函数的构造方法是唯一的吗解不唯一要利用罗尔中值定理证明问题，关键是构造一个函数()xϕ要满足(1)()()()()fbfaxfxbaϕ−′′=−−；(2)()xϕ在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，()()abϕϕ=按照这个基本思想，还可以构造其他辅助函数如()()()()()fbfaxfxxabaϕ−=−⋅−−，()()()()fbfaxfxxbaϕ−=−⋅−另外设()()()[()()]xfxbafbfaxϕ=−−−⋅，通过转化也可以得到相同的结果例32罗尔中值定理有3个条件，缺少其中一个条件罗尔中值定理是否仍成立如果不成立，能否说明这3个条件是罗尔中值定理的必要条件解罗尔中值定理有3个条件，缺少其中一个条件罗尔中值定理就可能不成立例如，下面这3个函数：01()01xxfxx<⎧=⎨=⎩，≤，，()fx在[0，1]上不连续；②()fxx=，(01)x≤≤，()fx有(0)(1)ff≠；③()fxx=，()11x−<<()fx在(0，1)内不可导，所以缺少任何一个条件，罗尔中值定理都不成立尽管如此，也不能说明罗尔中值定理的3个条件是必要条件例如，函数21()021112xxgxxx⎧<⎪=−−⎨⎪⎩，，≤≤，≤≤，在闭区间上不连续，在开区间(−2，2)内不可导，(2)(2)gg−≠，即罗尔中值定理的3个条件都不成立但是，在开区间(−2，2)内存在一点0x=，满足(0)0g′=这个事实说明，罗尔中值定理的条件是充分条件例33函数()fx在区间[]ab，上满足罗尔中值定理的条件，那么在[]ab，内能否有无限多个，使()0f′=高等数学学习指导·54··54·解可能例如，函数421sin0()00xxfxxx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，，在[−1，1]上满足罗尔中值定理的条件3221114sin2sincos0()00xxxfxxxxx⎧−⋅≠⎪′=⎨⎪=⎩，，在(1，1)内存在无限多个1(12nnn==±π，2±，)使得()0nf′=例34利用洛必达法则求未定式极限要注意哪些问题解(1)审查计算的极限是不是未定式，如果不是未定式就不能使用洛必达法则例如，()()200021cos1cossin1limlimlim1221xxxxxxxxx′−−===′++，这样计算是错误的，因为极限201coslim1xxx−+不是00型的未定式，事实上，201cos11lim0110xxx−−==++(2)一般来说，在利用公式()()limlim()()fxfxgxgx′=′计算极限的过程中，只有公式右端计算比左端简洁时才适合使用洛必达法则(3)如果极限()lim()fxgx′′不存在，计算极限()lim()fxgx就不能应用洛必达法则，但是不能说明极限()lim()fxgx不存在例如，极限sinlimxxxx+是型的未定式，应用洛必达法则，sin(sin)1coslimlimlimlim(1cos)1xxxxxxxxxxxx′+++===+′不存在，但是不能说明(sin)limxxxx′+′极限不存在，事实上sinsinlimlim11xxxxxxx+⎛⎞=+=⎜⎟⎝⎠，即这个极限是存在的(4)应用洛必达法则计算未定式的极限，如果()lim()fxgx′′仍是未定式，则可以继续使用洛必达法则(5)在应用洛必达法则计算未定式的极限时，如果出现极限()()()lim()nnfxgx始终是型未定式，则不能用洛必达法则计算例如，limxxxxx−−+−+是型未定式，使用洛必达法则，有()()limlimlimxxxxxxxxxxxxxxx−−−−−+++−′−−+==+−′+，仍是型未定式，如果再一次使用洛必达法则，则到原来形式，故需要用其他方法解决：2211limlim111xxxxxxxx−−++−−==++第3章微分中值定理与导数的应用·55··55·(6)应用洛必达法则计算未定式极限通常比其他方法简单，但是对于少数的未定式极限应用洛必达法则并不简单，甚至很繁琐例如，计算极限sinsin00coslimlimsin1cosxxxxxxxxxx−−=−−sin2sin0cossinlimsinxxxxxxx−+=sin3sinsinsin01cossin2sin2cos2limcosxxxxxxxxxxx−+++=1=如果用等价无穷小替换的方法却很简单，如sinsinsin001limlimsinsinxxxxxxxxxxx−−−==−−sin0sinlim1sinxxxxxx−=−显然，应用洛必达法则计算这个极限并没有达到简化计算的目的因此，大家在使用洛必达法则解题时，为了避免复杂的计算，应能化简尽可能先化简，并综合运用以下方法：函数的连续性与极限四则运算法则；适当的恒等变形(如分子或分母有理化、三角恒等式等)；利用已知极限和等价无穷小代换；利用换元法(即复合函数求极限)等例35不同类型的泰勒公式的余项各有什么作用解泰勒公式的余项有两种：一种是定性的，如佩亚诺型余项；另一种是定量的，如拉格朗日型余项这两种余项虽然本质相同，但是作用有别一般来讲，如果不需要对余项()()()nnRxfxTx=−做定量的计算，那么用佩亚诺型余项即可；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日型余项例如，应用泰勒公式近似计算函数值或研究函数的某些性态等例36对于()bxa∀，，()0fx′≥，函数()fx在()ba，内能否是严格增加的解可能一般地，若()bxa∀，，()0fx′≥，而使()0fx′=的点x都是孤立的点，则函数()fx在()ba，内仍是严格增加的例如，函数()sinfxxx=+其导数()1cos0fxx′=+≥，当(21)kxk=+π(0k=，1±，2±，)时，有()0kfx′=，而kx都是R上的孤立点因此函数()sinfxxx=+在R上仍是严格增加的例37下面证明柯西中值定理的方法正确吗说明原因解由定理假设可知，()()fxFx、在[]ab，上满足拉格朗日中值定理条件于是有()()()()()fbfabafab′−=−，，(31)()()()()()FbFabaFab′−=−，，(32)又()0Fx′≠()axb<<，()()0FbFa−≠，用式(31)除以式(32)可得()()()()()()()fbfafabFbFaF′−=′−，，这种解法是错误的因为式(31)与式(32)中的未必一致正确解法：作辅助函数()()()()()()()fbfaxfxFxFbFaϕ−=−−，显然()xϕ在[]ab，上满足罗尔中值定理条件，由定理结论可知，至少存在一点()ab，，使()0ϕ′=，即()()()()()()fbfafFbFaF′−=′−，()ab，高等数学学习指导·56··56·例38可以用洛必达法则求数列的极限吗解因为对数列来说不存在导数，所以不能直接用洛必达法则求数列的极限，但对于00及型的数列极限limnnnxy，则可以间接地使用洛必达法则来求它们的极限例如，构造00或型的函数极限()lim()xfxgx+，其中()nxfn=，()nygn=()nN+，如果该极限满足洛必达法则的条件，那么先利用洛必达法则求出极限()lim()xfxgx+，然后利用()()limlimlim()()nnnxnxfnfxygngx+==得出所求的极限35典型例题解析351中值定理的相关问题1验证中值定理的正确性例39验证函数3()fxxx=−在[0，1]上罗尔中值定理的正确性证明显然函数3()fxxx=−在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且(0)(1)0ff==，从而，函数()fx在[0，1]上满足罗尔中值定理的条件下面验证结论：由于2()13fxx′=−，令2()130fxx′=−=，得13=，故定理结论成立例310试在抛物线2yx=上的两点A(1，1)和B(3，9)之间的弧段上求一点，使过此点的切线平行于弦AB解函数2()fxx=在[1，3]上连续，在(1，3)内可导，且()2fxx′=，由拉格朗日中值定理的几何意义知，在曲线弧上至少有一点()()f′，，使得曲线在该点处的切线平行于弦AB，即有(3)(1)231ff−=−，解得2=，故所求点为(2，4)例311验证函数()sinfxx=和()cosFxx=在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上满足柯西中值定理的条件，并求证明因为函数()sinfxx=和()cosFxx=满足：在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上连续；②在02π⎛⎞⎜⎟⎝⎠，内可导，且(sin)cosxx′=，(cos)sinxx′=−；③在02π⎛⎞⎜⎟⎝⎠，内()sin0Fxx′=−≠，因此，函数()sinfxx=和()cosFxx=在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上满足柯西中值定理的条件在02π⎛⎞⎜⎟⎝⎠，内至少存在一点使得sinsin0cos2sincoscos02π−=π−−，于是得4π=第3章微分中值定理与导数的应用·57··57·2利用中值定理证明等式例312设()fx、()gx在[]ab，上连续，在()ab，内可导，()0gx′≠证明存在()cab，，使得()()()()()()fcfafcgbgcgc′−=′−证明将要证等式写成()()()()()()()()fcgcfcgcfagcfcgb′′′′+−−[]()()()()()()xcfxgxfagxfxgb=′=−−0=，于是令()()()()()()()Fxfxgxfagxfxgb=−−，由题设条件知：()Fx在[]ab，上连续；②()Fx在(a，b)内可导；③()()()()FafagbFb=−=从而由罗尔中值定理的结论知，存在()cab，，使得()0Fc′=，即()()()()()()fcfafcgbgcgc′−=′−例313函数()fx在区间[]ab，上连续，在()ab，内可导，证明在()ab，内至少存在一点，使得()()()()bfbafaffba−′=+−证明设()()Fxxfx=，因为函数()fx在区间[]ab，上连续，在()ab，内可导，所以函数()()Fxxfx=在区间[]ab，上连续，在()ab，内可导，由拉格朗日中值定理知，在()ab，内至少存在一点，使得()()()()bfbafaffba−′=+−例314设函数()fx在[]ab，上连续，在()ab，内可导()0ab<<，证明存在()ab，，使得()()()lnbfbfafa′−=【分析】将本题中结论略做变动变成()()()1lnlnfbfafba′−=−，正是柯西中值定理的形式证明取()lngxx=，1()gxx′=在()ab，上不为零，故()()fxgx、满足柯西中值定理的条件，故存在()ab，使得()()()1lnlnfbfafba′−=−，即()()()lnbfbfafa′−=例315设函数()fx在[0，1]上连续，在(01)，内二阶可导，过点()0(0)Af，与()1(1)Bf，的直线与曲线()yfx=相交于点()()Ccfc，(01)c<<，证明在(01)，内至少存在一点，使()0f′′=【分析】从题目结果来看是()0f′′=，应考虑能否对()fx′应用罗尔中值定理，那么应在什么区间考虑条件()()fafb′′=能得到满足，这一切都可从题目的条件去推得证明由于()fx在[0，c]上满足拉格朗日中值定理，故存在1(0)c，使得1()f′=()(0)0fcfc−−，同理在[1]c，上()fx满足拉格朗日中值定理，故存在2(1)c，使得2()f′=(1)()1ffcc−−，而()(0)0fcfc−−和(1)()1ffcc−−都是过点AB、的直线的斜率，所以12()()ff′′=，即()fx′在[]12，上满足罗尔中值定理的条件，故存在()12(01)⊂，，，使得()0f′′=高等数学学习指导·58··58·3利用中值定理求极限例316设lim()xfxk′=，求[]lim()()xfxafx+−(0a>)解由于lim()xfxk′=存在，当x充分大时，在区间[]xxa+，上使用拉格朗日中值定理，有()()()fxafxfa′+−=⋅(()xxa+，)令x，有[]lim()()lim()xxfxafxfa′+−=⋅lim()faak′=⋅=例317若30sin6()lim0xxxfxx+=，求206()limxfxx+解由()()331sin6663xxxox=−+，有()()()333300166sin6()3limlimxxxxoxxfxxxfxxx−+++=()()32306lim360xfxoxxx⎡⎤+=−+=⎢⎥⎣⎦，故206()lim36xfxx+=4利用中值定理求函数的麦克劳林展开式例318求函数()xfxx=的带有佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式解利用x的带有佩亚诺型余项的1n−阶麦克劳林公式()21112(1)nxnxxxoxn−−=+++++−，可得()32()2(1)nxnxxfxxxxoxn==+++++−352利用洛必达法则求极限100和型未定式极限例319求20sin1lim11xxxx−−−−00⎛⎞⎜⎟⎝⎠型解20sin1lim11xxxx−−−−02sin1lim12xxxx−−=0coslimxxxx−=()0limsin1xxx=+=例320求limnaxxx+(0an>，是正整数)⎛⎞⎜⎟⎝⎠型解limnaxxx+1limnaxxnxa−+===lim0naxxna+=20⋅和−型未定式极限对于0⋅和−型未定式极限，需要先将0⋅和−未定式极限转化为00或型未定式极限，再使用洛必达法则计算，转换方法如下：第3章微分中值定理与导数的应用·59··59·(1)00010⋅==或010⋅==；(2)111101110−−=−==⋅对于0⋅型未定式要转化成00型还是型，要以转化后的分子分母求导简单为原则例321计算21limln1xxxx⎡⎤⎛⎞−+⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦(−型)解21limln1xxxx⎡⎤⎛⎞−+⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦()12011limln1xttttt=⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦()20ln1limtttt−+=12=例322求1lim1xxxx⎡⎤⎛⎞+−⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦(0⋅型)解1lim1xxxx⎡⎤⎛⎞+−⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦11lim1xxxx⎛⎞+−⎜⎟⎝⎠=110(1)limtxtttt=+−1ln(1)0limtttt+−=1ln(1)101limtttt+−−=01ln(1)1limtttt+−=20ln(1)limtttt+−=0111lim22ttt−+==−31、00、0型未定式极限求幂指函数的极限一般有两种方法第一种方法是利用公式lnxx=，先将1、00、0型未定式极限转化成的指数函数形式：ln101⋅==；00ln000⋅==；00ln0⋅==然后将的指数化为00型或型，这种方法称为指数解法第二种方法是将幂指函数()()xyxψϕ=先取对数，得到ln()ln()yxxψϕ=，通过lny的极限得到y的极限，这种方法称为对数解法如果幂指数是1型的未定式，还可以用重要极限来解决例323计算21limsincosxxxx⎛⎞+⎜⎟⎝⎠(1型)解21limsincosxxxx⎛⎞+⎜⎟⎝⎠21lnsincoslimxxxx⎛⎞+⎜⎟⎝⎠=21lnsincoslim1xxxx⎛⎞+⎜⎟⎝⎠=221212cossinlim121sincosxxxxxxx⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠⎛⎞−+⎜⎟⎝⎠=2=例324计算2limtan4nnnπ⎛⎞+⎜⎟⎝⎠(1型)解记2()tan4xfxxπ⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠，则2()tan4nfnnπ⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠因2limlntan4lim()xxxxfx+π⎛⎞+⎜⎟⎝⎠+=2lntan4lim1xxx+π⎛⎞+⎜⎟⎝⎠=4=由函数极限与数列极限之间的关系得42limtanlim()lim()4nnnxfnfxn+π⎛⎞+===⎜⎟⎝⎠高等数学学习指导·60··60·【评注】在利用洛必达法则时，不能直接对n求导，只能利用函数的极限求数列的极限例325求极限0limxxx+(00型)解ln00limlimxxxxxx++=0limlnxxx+=0lnlim1xxx+=0limxx+−=01==例326求tan01limxxx+⎛⎞⎜⎟⎝⎠(0型)解由tan11tanlntanln21xxxxxx−⎛⎞==⎜⎟⎝⎠，且01limtanln2xxx+⎛⎞−⎜⎟⎝⎠01lnlim2cotxxx+=−0211lim12sinxxx+=−−01sinlimsin02xxxx+==，所以tan001lim1xxx+⎛⎞==⎜⎟⎝⎠4已知未定式的极限值，确定未定式中的常数例327已知20tan(1cos)lim2ln(12)(1)xxaxbxcxd−+−=−+−，其中a，b，c，d是常数，且220ac+≠，则()(A)4bd=(B)4bd=−(C)4ac=(D)4ac=−解(D)是正确答案因为()22200sintan(1cos)coslimlim222ln(12)1212xxxxabxaxbxaxcccxdxdx−−++−===−−−+−+−，即4ac=−353不等式的证明1利用中值定理证明不等式例328当0x>时，证明：1xxxx<−<证明设函数()xfx=，可知()fx在[]0x，上连续可导应用拉格朗日中值定理，至少存在一点，使得()(0)()0fxffx−′=−化简得1xx−=，即1xx−=，因为0x<<，1>，且函数()xfx=单调增加，所以01xxxx<−<，从而1xxxx<−<例329设函数()fx在[0，1]上满足()0fx′′>，则下列不等式成立的是()(A)(1)(1)(0)(0)ffff′′>−>(B)(1)(0)(1)(0)ffff′′>>−(C)(1)(0)(1)(0)ffff′−>>(D)(1)(0)(1)(0)ffff′′>−>解(A)是正确答案根据拉格朗日中值定理，存在(01)，，使得(1)(0)()fff′−=因为在[0，1]上()0fx′′>，所以()fx′单调增加，因此，(1)()(0)fff′′′>>，于是(1)(1)(0)(0)ffff′′>−>第3章微分中值定理与导数的应用·61··61·例330设0()lim1xfxx=，且()0fx′′>，证明()fxx≥【分析】由()0fx′′>可知()fx在0x=处连续，又因为0()lim1xfxx=知(0)0f=且(0)1f′=，能够将函数一阶导数及二阶导数联系在一起的首选是泰勒公式证明由0()lim1xfxx=及0lim0xx=知0lim()0(0)xfxf==，00()()(0)limlim(0)10xxfxfxffxx−′===−，将()fx在点0x=处泰勒展开，有22()()()(0)(0)22fffxffxxxx′′′′′=++=+(介于0与x之间)，由()0fx′′>可知()fxx≥2利用单调性证明不等式例331当4x>时，试证：22xx>【分析】欲证22xx>，可作各种转化证220xx−>；②证221xx>；③证ln22lnxx>等若用设2()2xfxx=−，不易证()2ln220xfxx′=−>，选用③方便证明设()ln22lnfxxx=−，则(4)0f=，而当4x>时，212()ln2024fxx′=−>−=，所以()fx单调增加，()(4)0fxf>=，从而有ln22ln0xx−>，即ln22lnxx>，因此22xx>例332证明：当(01)x，时，22(1)ln(1)xxx++<【分析】当一阶导数不能判定符号时，可以先借助于二阶导数符号判别一阶导数符号证明设函数()222()1ln(1)fxxxx=++−，(01)x，，由2()ln(1)2ln(1)2fxxxx′=+++−，且(0)0f′=，又2()[ln(1)]01fxxxx′′=+−<+，于是()fx′在(01)，内单调减少，即当01x<<时，()(0)0fxf′′<=，又由()0fx′<，可知函数()fx在(01)，内单调减少即当01x<<时，()(0)0fxf<=，即222(1)ln(1)0xxx++−<，从而222(1)ln(1)xxx++<例333设()fx在[0)+，上连续，在(0)+，内二阶可导，且(0)0f=，()0fx′′<，证明对于任意1200xx>>，，1212()()()fxxfxfx+<+恒成立【分析】若遇到要证含有两个参数αβ、的不等式时，例如()()fgαβαβ，≤，，则可将其中某个参数α“变易”为变量，作辅助函数()()()Fxfxgxββ=−，，，证明()Fx在其定义域内是单调函数，其中函数()Fx的定义域就是参数α的变化范围证明设函数11()()()()Fxfxfxfxx=+−+(0)x>，由题设知道()fx′在(0)+，内单调减少，从而1()()()0Fxfxfxx′′′=−+>(任意1(0)x>)，故()Fx在[0)+，上单调增加因此，对于任意的0x>，有()(0)(0)0FxFf>==，即11()()()fxxfxfx+<+，取2xx=即得结论3利用最值证明不等式例334设p、q是大于1的常数，且111pq+=，求证：当0x>时，11pxxpq+≥高等数学学习指导·62··62·【分析】利用最值证明不等式的一般步骤是将不等式变形为()0fx≤(或()0fx≥)，求出()fx的最大值0()fx(或最小值0()fx)，利用00()()fxfx≥≥(或0()()0fxfx≥≥)得到结论证明令11()pfxxxpq=+−，因为101()10101pxfxxxx−<<⎧⎪′=−==⎨⎪>>⎩，，，，所以函数()fx在点1x=处取到其在(0)+，内的最小值(1)0f=，所以当0x>时有()(1)0fxf=≥，即11pxxpq+≥4利用凹凸性证明不等式例335证明()lnln()ln2xyxxyyxy++>+(00xy>>，)证明设()lnfxxx=(0x>)，()ln1fxx′=+，1()0fxx′′=>，()lnfxxx=，当0x>时是凹函数因此有lnln()()ln222xxyyxyxy+++>(00xy>>，)，即()lnln()ln2xyxxyyxy++>+(00xy>>，)354函数的单调性1判断函数的单调性、求单调区间例336判断函数32()231214fxxxx=+−+的单调性，确定函数的单调区间解2()6612fxxx′=+−6(2)(1)xx=+−，令()0fx′=解得驻点2x=−，1x=，在(2)−−，，(1)+，内()0fx′>，所以函数单调增加；在(−2，1)内()0fx′<，所以函数单调减少，(−，2]−和[1，)+是单调增区间，[−2，1]是单调减区间2利用函数的单调性判断方程根的情况例337证明：方程121nnxxxx−++++=在(0，1)内有且仅有一个实根nx证明设12()1nnfxxxxx−=++++−得(0)10f=−<，(1)10fn=−>，故方程()0fx=在(0，1)内必有实根又由于当0x>时，12()(1)210nnfxnxnxx−−′=+−+++>，所以()fx在[0，1]上单调增加，从而方程()0fx=有且仅有一个实根nx(0，1)例338讨论曲线4ln7yx=+与44lnyxx=+的交点个数【分析】问题等价于讨论方程()44ln4ln70xxx+−+=有几个不同的实根，而讨论方程根的个数，经常要用到零点定理、函数的单调性及极值等解设4()4ln(4ln7)xxxxϕ=+−+，则()()34ln1xxxxϕ−+′=，令()0xϕ′=得1x=当01x<<时，()0xϕ′<，即()xϕ单调减少；当1x>时，()0xϕ′>，即()xϕ单调增加；所以(1)3ϕ=−为函数()xϕ的最小值，而0lim()xxϕ+=+，lim()xxϕ+=+，所以()0xϕ=有两个实根，即两条曲线的交点个数是两个第3章微分中值定理与导数的应用·63··63·355函数的极值和最值1求函数的极值例339求函数422yxx=−+的极值解()3244414(1)(1)yxxxxxxx′=−+=−=−+，令01yx′=⇒=−，0，1()22124413yxx′′=−+=−，(1)80y′′−=−<，故函数在1x=−处取得极大值1，(0)40y′′=>，故函数在0x=处取得极小值0，(1)80y′′=−<，故函数在1x=处取得极大值1例340求函数233()2fxxx=−的极值解13()1fxx−′=−，1x=是驻点，0x=是不可导点；当0x<时，()0fx′>，当01x<<时，()0fx′<；当1x>时，()0fx′>因此函数在(0]−，和[1)+，区间上单调增加，在[0，1]上单调减少由此可知，当0x=时，函数取得极大值(0)0f=，当1x=时，函数取得极小值1(1)2f=−例341设函数()fx在0x=的某邻域内连续，且(0)0f=，0()lim21cosxfxx=−，证明函数()fx在0x=处取得极小值证明因为0()lim201cosxfxx=>−，且1cos0x−>，所以由函数极限的局部保号性可知，在0x=的某邻域内恒有()0(0)fxf>=，故(0)f是极小值例342设函数()fx在点0x的某邻域内具有连续4阶导数，若00()()fxfx′′′==0()0fx′′′=，且()40()0fx<，则()(A)()fx在点0x处取得极小值(B)()fx在点0x处取得极大值(C)点()00()xfx，为曲线()yfx=的拐点(D)()fx在点0x的某邻域内单调减少【分析】由题设000()()()0fxfxfx′′′′′′===与函数()fx在点0x的某邻域内具有连续4阶导数，自然可以想到应用三阶泰勒公式(带有拉格朗日余项)解(B)是正确答案由(3)(4)23400000000()()()()()()()()()()234fxfxffxfxfxxxxxxxxx′′′=+−+−+−+−(4)400()()()4ffxxx=+−00()xxxδδ−+，，于是(4)400()()()()04ffxfxxx−=−<，由极大值的定义可知0()fx为极大值例343函数()fx有二阶连续的导数，且(0)0f′=，0()lim1xfxx′′=，证明(0)f是()fx的极小值【分析】由二阶导数的符号可以判断一阶导数的增减和符号的变化，然后判定(0)f是不是()fx的极值，是极大值还是极小值高等数学学习指导·64··64·证明由0()lim1xfxx′′=和极限保号性推出，在点0x=的某个去心邻域内(0)0f′′>，从而在这个邻域内()fx′单调增加，又因为(0)0f′=，所以在点0x=的左右两侧分别有()0fx′<和()0fx′>因此()fx在0x=处取得极小值2求函数的最大(最小)值例344求函数32()1fxxxx=−−+在区间[1，2]上的最大值与最小值解由2()321(31)(1)0fxxxxx′=−−=+−=，得驻点113x=−，21x=，而(1)0f−=，132327f⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠，(1)0f=，(2)3f=即可求得()fx的最大值32max003327M⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，，，，()fx的最小值32min003027m⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，，，例345试求单位球的内接正圆锥体当其体积为最大时的高与体积解设球心到锥底面的垂线长为x，则锥的高为1x+(01)x<<，且锥底半径为21x−，圆锥体积为()22211(1)(1)(1)33Vxxxxπ=π−+=−+(01)x<<，令d0dVx=，得可微函数的唯一驻点13x=，因2(31)03Vxπ′′=−+<，故13x=是()Vx的最大值点，即max132381VV⎛⎞==π⎜⎟⎝⎠，此时圆锥的高为43例346求数列2212nnn⎧⎫−−⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的最大项解令2212()xxxfx−−=()22212xxx−=−−(1)x<+≤，()221()682xfxxx−′=−−−，当()0fx′=，得唯一驻点317x=+因为当1317x<+≤时，()0fx′>；而当317+<x<+时，()0fx′<，所以当317x=+时，()fx取得极大值也是最大值由于73<+178<，723(7)f=，436(8)f=，(7)(8)ff>，故当7n=时数列取得最大项，其值为723(7)f=例347要做一个容积为V的圆柱形罐头筒，问怎样设计才能使所用材料最省解设罐头筒半径为r，高为h，因为2Vrh=π，所以2Vhr=π，于是，罐头筒的表面积为222222VArrhrr=π+π=π+，(0)r+，，由2240VArr′=π−=解得驻点为32Vr=π本题显然存在用料最省的解，又仅有唯一的驻点，可以判定，这唯一的驻点就是最小值点，此时32Vr=π，2hr=，所以，当圆柱形罐头筒的高与直径相等时用料最省第3章微分中值定理与导数的应用·65··65·例348曲线弧sin(0)yxx=<<π上哪一点的曲率半径最小求出该点处的曲率半径【分析】要求曲率半径最小，可以先根据曲率半径公式写出曲率半径的表达式，然后将问题转化为在区间(0)π，内的最值问题解求函数的一阶、二阶导数为cosyx′=、sinyx′′=−，代入曲率半径表达式得()()3322221cos1cos1(0)sinsinxxRxkxx++===<<π，再求R的最小值，()()1222221sincos1cossinxxxRx−++′=，令0R′=，得区间(0)π，内唯一的驻点2xπ=当02xπ⎛⎞⎜⎟⎝⎠，时，0R′<；当2xπ⎛⎞π⎜⎟⎝⎠，时，0R′>，所以当2xπ=时，曲率半径有极小值，()32221cos1sinxxRxπ=+==356函数的凹凸性和拐点下面的例题主要是讨论曲线的凹凸性、求曲线的拐点例349讨论曲线21xyxx=+−的凹凸性与拐点解2211112(1)(1)yxx⎛⎞′=−+⎜⎟+−⎝⎠，()()232231xxyx+′′=−当01x<<时，0y′′<，曲线是凸的，当1x>时，0y′′>，曲线是凹的注意到21xyxx=+−是奇函数，则在(−1，0)内曲线是凹的，在(−，1−)内曲线是凸的，从而点(0，0)是曲线的拐点例350求曲线233xtytt⎧=⎨=+⎩的拐点坐标解22d3331d22yttxtt++==，22dddddddd1ddddddddddyyytyxxxxtxxtxt⎛⎞⎛⎞⎛⎞===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠()22223313211224tttttt−−−=⋅=，令22d0dyx=，得11t=−，21t=，而且知道22ddyx在11t=−，21t=两侧改变符号，因此点(1，4)与点(1，4)为曲线的拐点当30t=时，22ddyx导数不存在，而且在30t=两侧改变符号，故点(0，0)也是拐点高等数学学习指导·66··66·36同步习题及解答361同步习题1填空题(1)()ln(0)xfxxKK=−+>，在(0)+，内零点的个数为(2)()2cosfxxx=+在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为，最小值为(3)若0sinlim(cos)5xxxxba−=−，则a=，b=(4)曲线221xyx=+的斜渐近线方程为(5)设函数()yx由参数方程333131xttytt⎧=++⎨=−+⎩确定，则曲线()yyx=向上凸的部分x的取值范围为2单项选择题(1)设()()fxgx，是恒大于零的可导函数，且()()()()0fxgxfxgx′′−<，则当axb<<时，有()(A)()()()()fxgbfbgx>(B)()()()()fxgafagx>(C)()()()()fxgxfbgb>(D)()()()()fxgxfaga>(2)设函数()fx连续，且(0)0f′>，则存在0δ>，使得()(A)()fx在(0)δ，内单调增加(B)()fx在(0)δ−，内单调减少(C)当(0)xδ，时，有()(0)fxf>(D)当(0)xδ−，时，有()(0)fxf>(3)设()(1)fxxx=−，则()(A)0x=是()fx的极值点，但(0，0)不是曲线()yfx=的拐点(B)0x=不是()fx的极值点，但(0，0)是曲线()yfx=的拐点(C)0x=是()fx的极值点，且(0，0)是曲线()yfx=的拐点(D)0x=不是()fx的极值点，且(0，0)也不是曲线()yfx=的拐点(4)已知函数()fx在区间(11)δδ−+，内具有二阶导数，()fx′严格单调减少，且(1)(1)1ff′==，则()(A)在(1δ−，1)和(1，1)δ+内均有()fxx<(B)在(1δ−，1)和(1，1)δ+内均有()fxx>(C)在(1δ−，1)内()fxx<，在(1，1)δ+内有()fxx>(D)在(1δ−，1)内()fxx>，在(1，1)δ+内有()fxx<第3章微分中值定理与导数的应用·67··67·(5)设函数()fx具有连续的二阶导数，如图31所示3条曲线123LLL，，分别为曲线()(A)()()()yfxyfxyfx′′′===，，(B)()()()yfxyfxyfx′′′===，，(C)()()()yfxyfxyfx′′′===，，(D)()()()yfxyfxyfx′′′===，，图313求极限3012coslim13xxxx⎡⎤+⎛⎞−⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦4求由方程22lnarctanyxyx+=确定的隐函数()yyx=在区间()0π−，上的单调区间与极值点5设2ab<<<，证明()2224lnlnbaba−>−6证明方程221xx−=有且仅有3个实根7求椭圆22221xyab+=的曲率半径362同步习题解答1(1)2(2)min22fππ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，max366fππ⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠(3)1，4提示：原式0sin(cos)limxxxxba−=−0cos(cos)sinsinlimxxxxbxx−−⋅==15b−=，所以4b=−，()0lim10xxaa−=−=，所以1a=(4)1124yx=−提示：()limxfxax=1lim212xxx==+，1lim(())4xbfxax=−=−，1124yaxbx=+=−(5)(1)−，提示：22236(33)(33)6()(33)ttttyxt⋅+−−′′=+2336(33)tt=+，当0t<时，()0yx′′<，曲线是向上凸的，此时x的范围是(1]−，或()1−，2(1)A提示：2()()()()()0()()fxfxgxfxgxgxgx′′′−⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦，()()fxgx单调减少，当xb<时，()()()()fxfbgxgb>(2)C提示：()0()(0)0lim00xfxffx−′=>−，由极限的保号性，存在(0)Uδ，使高等数学学习指导·68··68·()(0)0fxfx−>，即当(0)xδ−，时，()(0)fxf<；当(0)xδ，时，()(0)fxf>(3)C2201()01xxxxfxxxx⎧−<=⎨−<⎩，或≥，≤，2101()1201xxxfxxx−<>⎧′=⎨−<<⎩，或，，201()201xxfxx<>⎧′′=⎨−<<⎩，或，，显然在0x=点的两侧()fx′′异号，所以(0，0)是拐点；当0x<时，()0fx′<，当102x<<时，()0fx′>，所以0x=是极小值(4)A提示：令()()Fxfxx=−，()()1Fxfx′′=−，由于()fx′严格单调减少，所以当11xδ−<<时，()(1)1fxf′′>=，此时()0Fx′>，()(1)FxF<=(1)10f−=；当11xδ<<+时，1(1)()ffx′′=>，此时()0Fx′<，()(1)FxF<0=综上，()0Fx<，即()fxx<(5)C3原式[]ln(2cos)ln3301limxxxx+−−=[]30ln(2cos)ln3limxxxx+−=16=−4单调增区间41,2π−π⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠；单调减区间41,02π−⎛⎞−⎜⎟⎝⎠；极大值点412xπ=−5设224()lnfxxx=−，则224()lnfxxx′=−，22()(1ln)0fxxx′′=−<()x>，()2()0fxf′′>=，当ba>时，()()fbfa>，即得结论6记2()21xfxx=−−，易知(0)(1)0ff==，(4)1616110f=−−=−<，(5)f=32251−−=60>，由连续函数介值定理知∃(4，5)，使得()0f=，即()fx至少有3个零点假设()0fx=有4个根，记为1x，2x，3x，4x，由罗尔中值定理，()fx′有3个零点，()fx′′有2个零点，3()(ln2)2xfx′′′=有1个零点，这显然不可能，故方程221xx−=有且仅有3个实根7方程22221xyab+=两边同时对x求导，得2222220xybxyyabay−′′+=⇒=，()()222242222223byxybbxbyyayayayay−′−⎛⎞−′′=⋅=−+=⎜⎟⎝⎠()()423443332424222222211bayyabkbxayybxay′′===⎡⎤+′+⎛⎞+⎢⎥⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦，曲率半径1Rk=37数学史料微分中值定理是微分学的基本定理之一人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代古希腊数学家在几何研究中得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”，这正是拉格朗日定理的特殊情况希腊著名数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论，求出抛物线弓形的面积第3章微分中值定理与导数的应用·69··69·人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之时就开始了1637年，著名的法国数学家费马(PDFrmat)在《求极大值和极小值的方法》中给出费马定理，在教科书中，人们通常将它称为费马定理1691年，法国数学家罗尔在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家柯西他是数学分析严格化运动的推动者，他的3部巨著《分析教程》《无穷小计算教程概论》(1823年)和《微分计算教程》(1829年)以严格化为其主要目标，对微积分理论进行了重构他首先赋予中值定理以重要作用，使其成为微分学的核心定理在《无穷小计算教程概论》中，柯西首先严格地证明了拉格朗日定理，又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理——柯西中值定理从而发现了最后一个微分中值定理微分中值定理在微积分理论系统中占有重要的地位它是研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分例如，柯西利用微分中值定理给洛必达法则以严格的证明洛必达法则是由法国数学家洛必达在其1696年出版的《用于理解曲线的无穷小分析》一书中首次提出来的，在这部世界上第一部系统的微积分教程中，洛必达给出了求分子分母同趋于零的分式的极限的法则，后人称之为“洛必达法则”中值定理是微积分的组成部分，但是微积分的产生除了前人的努力和众多的历史原因外，当时最直接的原因应归结为16—17世纪4类问题对数学工具的迫切需要：求曲线的切线，求变速运动的瞬时速度，求某种条件下的最大值和最小值，求不规则图形的面积、体积、弧长、重心、转动惯量等因此极值问题是导致微积分产生的几类基本问题之一，它们最初都是从当时的科学技术发展过程中提出的17世纪初，德国天文学家、数学家开普勒(Kplr)开始对于求函数最大值和最小值问题进行研究，他在酒桶体积的测量中提出了一个确定最佳比例的问题，这启发他考虑很多有关极大极小值的问题他的方法是通过列表，从观察中得出结果他发现：当体积接近极大值时，由于尺寸的变化所产生的体积变化越来越小这正是在极值点处导数为零这一命题的原始形式费马在《求极大值与极小值的方法》(1636年以前)中把求切线与求极值的方法统一了起来，这对后来牛顿、莱布尼茨创立统一的基本方法——微分法有很大启发直到1671年，牛顿在《流数法与无穷级数》中正式将极大值和极小值问题作为一个基本问题加以叙述和处理1684年，莱布尼茨发表了《一种求极大、极小值与切线的新方法》，这是数学史上第一篇公开发表的微积分学论文人们对微分中值定理的研究，大约经历了两百多年的时间从费马定理开始，经历了从特殊到一般，从直观到抽象，从强条件到条件的发展阶段人们正是在这一发展过程中，逐渐认识到微分中值定理的普遍性的