那年暑假（五）

第四章 微分法: 积分法: 互逆运算 不定积分 第一节 二、 基本积分表 三、不定积分的性质 一、 原函数与不定积分的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的概念与性质 第四章 一、 原函数与不定积分的概念 引例: 一个质量为 m 的质点, 下沿直线运动 , 因此问题转化为: 已知 求 在变力 试求质点的运动速度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据牛顿第二定律, 加速度 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 在区间 I 上的一个原函数 . 则称 F (x) 为f (x) 如引例中, 的原函数有 问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 存在原函数 . (下章证明) 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 2. 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内 . 证: 1) 又知 故 即 属于函数族 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即 定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为 上的不定积分, 其中 — 积分号; — 被积函数; — 被积表达式. — 积分变量; (P183) 若 则 ( C 为任意常数 ) C 称为积分常数 不可丢 ! 例如, 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的几何意义: 的原函数的图形称为 的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的积分曲线 . 例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解: 所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有 因此所求曲线为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 质点在距地面 处以初速 力, 求它的运动规律. 解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 , 质点抛出时刻为 此时质点位置为 初速为 设时刻 t 质点所在位置为 则 (运动速度) (加速度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 垂直上抛 , 不计阻 先求 由 知 再求 于是所求运动规律为 由 知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 二、 基本积分表 (P186) 从不定积分定义可知: 或 或 利用逆向思维 ( k 为常数) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求 解: 原式 = 例4. 求 解: 原式= 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、不定积分的性质 推论: 若 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 求 解: 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 求 解: 原式 = 例7. 求 解: 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8. 求 解: 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质 • 基本积分表 (见P 186) 2. 直接积分法: 利用恒等变形, 及 基本积分公式进行积分 . 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 , 积分性质 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1. 证明 2. 若 (P191题4) 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示: 3. 若 是 的原函数 , 则 提示: 已知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 若 的导函数为 则 的一个原函数 是 ( ) . 提示: 已知 求 即 B ? ? 或由题意 其原函数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. 求下列积分: 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 6. 求不定积分 解： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 7. 已知 求 A , B . 解: 等式两边对 x 求导, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P190 1 (5) , (12) , (14) , (20) , (23) , (25) , (26) ; 2 ; 3 第二节 目录 上页 下页 返回 结束