上海市初中数学考试大纲

 12016年上海市初中数学课程终结性评价指南一、评价的性质、目的和对象 上海市初中毕业数学统一学业考试是义务教育阶段的终结性评价。它的指导思想是有利于落实“教考一致”的要求，切实减轻中学生过重的学业负担；有利于引导初中学校深入实施素质教育，推进课程教学改革；有利于培养学生的创新精神和实践能力，促进学生健康成长和全面和谐、富有个性的发展。评价结果是初中毕业生综合评价的重要组成部分，是衡量初中学生是否达到毕业标准的重要依据，也是高中阶段各类学校招生的重要依据。 评价对象为2016年完成上海市全日制九年义务教育的学生。 二、评价标准 （一）能力要求 依据《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》（2004年10月版）规定的初中阶段（六至九年级）课程目标，确定如下具体能力要求。 1．基础知识和基本技能1.1知道、理解或掌握初中数学基础知识。1.2领会初中的基本数学思想，掌握初中的基本数学方法。1.3能按照一定的规则和步骤进行计算、画（作）图、推理。2．逻辑推理能力2.1掌握演绎推理的基本规则和方法。2.2能简明和有条理地表述演绎推理过程，合理解释推理演绎的正确性。3．运算能力3.1知道有关算理，能根据问题条件，寻找和设计合理、有效的运算途径。3.2能通过运算进行推理和探求。4．空间观念4.1能进行几何图形的基本运动和变化。4.2能够从复杂的图形中区分基本图形，并能分析其中的基本元素及其关系。4.3能由基本图形的性质导出复杂图形的性质。5．解决简单问题的能力5.1能对文字语言、符号语言和图形语言进行相互转译。5.2知道一些基本的数学模型，并通过运用，解决一些简单的实际问题。5.3初步掌握观察、操作、比较、类比、归纳的方法；懂得“从特殊到一般”、“从一般到特殊”及“转化”等思维策略。 25.4会用已有的知识经验，解决新情境中的数学问题。5.5能初步对问题进行多方面的分析，会用已有的知识经验对问题解决的过程和结果进行反思、质疑、解释。（二）知识内容 依据上海市教育委员会《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》（2004年10月版）规定的初中阶段（六至九年级）的内容与要求，就相关知识与技能，明确相应评价内容及要求。  1.评价内容中各层级的认知水平、基本特征及其表述中所涉及的行为动词如下表所示： 水平层级基本特征记忆水平 （记为Ⅰ） 能识别和记住有关的数学事实材料，使之再认或再现；能在标准的情境中作简单的套用，或按照示例进行模仿 用于表述的行为动词如：知道，了解，认识，感知，识别，初步体会，初步学会等 解释性理解水平 （记为Ⅱ） 明了知识的来龙去脉，领会知识的本质，能用自己的语言或转换方式正确表达知识内容；在一定的变式情境中能区分知识的本质属性与非本质属性，会把简单变式转换为标准式，并解决有关的问题 用于表述的行为动词如：，表达，解释，理解，懂得，领会，归纳，比较，推测，判断，转换，初步掌握，初步会用等 探究性理解水平 （记为Ⅲ） 能把握知识的本质及其内容、形式的变化；能从实际问题中抽象出数学模型或作归纳假设进行探索，能把具体现象上升为本质联系，从而解决问题；会对数学内容进行扩展或对数学问题进行延伸，会对解决问题过程的合理性、完整性、简捷性的评价和追求作有效的思考 用于表述的行为动词如：掌握，推导，证明，研究，讨论，选择，决策，解决问题，会用，，设计，评价等 2.具体评价知识内容及相应水平层级要求如下： （1）数与运算内容水平层级1.1数的整除性及有关概念Ⅰ1.2分数的有关概念、基本性质和运算Ⅱ1.3比、比例和百分比的有关概念及比例的基本性质Ⅱ1.4有关比、比例、百分比的简单问题Ⅲ1.5有理数以及相反数、倒数、绝对值等有关概念，有理数在数轴上的表示Ⅱ1.6平方根、立方根、n次方根的概念Ⅱ1.7实数概念Ⅱ1.8数轴上的点与实数一一对应关系Ⅰ 31.9实数的运算Ⅲ1.10科学记数法Ⅱ （2）方程与代数内容水平层级2.1代数式的有关概念Ⅱ2.2列代数式和求代数式的值Ⅱ2.3整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则Ⅲ2.4乘法公式[平方差、两数和（差）的平方公式]及其简单运用Ⅲ2.5因式分解的意义Ⅱ2.6因式分解的基本方法（提取公因式法、分组分解法、公式法、二次项系数为1的二次三项式的十字相乘法）Ⅲ2.7分式的有关概念及其基本性质Ⅱ2.8分式的加、减、乘、除运算法则Ⅲ2.9整数指数幂的概念和运算Ⅱ2.10分数指数幂的概念和运算Ⅱ2.11二次根式的有关概念Ⅱ2.12二次根式的性质及运算Ⅲ2.13一元一次方程的解法Ⅲ2.14二元一次方程和它的解以及一次方程组和它的解的概念Ⅱ2.15二元一次方程组的解法，三元一次方程组的解法Ⅲ2.16不等式及其基本性质，一元一次不等式（组）及其解的概念Ⅱ2.17一元一次不等式（组）的解法，数轴表示不等式（组）的解集Ⅲ2.18一元二次方程的概念Ⅱ2.19一元二次方程的解法Ⅲ2.20一元二次方程的求根公式Ⅲ2.21一元二次方程根的判别式Ⅱ2.22整式方程的概念Ⅰ2.23含有一个字母系数的一元一次方程与一元二次方程的解法Ⅱ2.24分式方程、无理方程的概念Ⅱ2.25分式方程、无理方程的解法Ⅲ2.26二元二次方程组的解法Ⅲ2.27列一次方程（组）、一元二次方程、分式方程等解Ⅲ   4（3）函数与分析内容水平层级3.1函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数Ⅰ3.2正比例函数、反比例函数的概念，画正比例函数、反比例函数的图像Ⅱ3.3正比例函数、反比例函数的基本性质Ⅲ3.4一次函数的概念，画一次函数的图像Ⅱ3.5一次函数的基本性质Ⅲ3.6二次函数的概念，画二次函数的图像Ⅱ3.7二次函数的基本性质Ⅲ3.8用待定系数法求正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的解析式Ⅲ3.9一次函数的应用Ⅲ （4）数据整理和概率统计内容水平层级4.1确定事件和随机事件Ⅱ4.2事件发生的可能性大小，事件的概率Ⅱ4.3等可能试验中事件的概率计算Ⅲ4.4数据整理与统计图表Ⅲ4.5统计的意义Ⅰ4.6平均数、加权平均数的概念和计算Ⅲ4.7中位数、众数、方差、标准差的概念和计算Ⅲ4.8频数、频率的意义和计算，画频数分布直方图和频率分布直方图Ⅱ4.9中位数、众数、方差、标准差、频数、频率的简单应用Ⅲ （5）图形与几何内容水平层级5.1圆周、圆弧、扇形等概念，圆的周长和弧长的计算，圆的面积和扇形面积的计算Ⅱ5.2线段相等、角相等、线段的中点、角的平分线、余角、补角的概念，求已知角的余角和补角Ⅱ5.3尺规作一条线段等于已知线段、一个角等于已知角、角的平分线，画线段的和、差、倍及线段的中点，画角的和、差、倍Ⅱ5.4长方体的元素及棱、面之间的位置关系，画长方体的直观图Ⅰ5.5图形平移、旋转、翻折的有关概念以及有关性质ⅡgoogleHighlightgoogleStickyNote 55.6轴对称、中心对称的有关概念和有关性质Ⅱ5.7画已知图形关于某一直线对称的图形、已知图形关于某一点对称的图形Ⅱ5.8平面直角坐标系的有关概念，直角坐标平面上的点与坐标之间的一一对应关系Ⅱ5.9直角坐标平面上点的平移、对称以及简单图形的对称问题Ⅲ5.10相交直线Ⅱ5.11画已知直线的垂线，尺规作线段的垂直平分线Ⅱ5.12同位角、内错角、同旁内角的概念Ⅲ5.13平行线的判定和性质Ⅲ5.14三角形的有关概念，画三角形的高、中线、角平分线，三角形外角的性质Ⅱ5.15三角形的任意两边之和大于第三边的性质，三角形的内角和Ⅲ5.16全等形、全等三角形的概念Ⅱ5.17全等三角形的性质和判定Ⅲ5.18等腰三角形的性质与判定（其中涉及等边三角形）Ⅲ5.19命题、定理、证明、逆命题、逆定理的有关概念Ⅱ5.20直角三角形全等的判定Ⅲ5.21直角三角形的性质、勾股定理及其逆定理Ⅲ5.22直角坐标平面内两点的距离公式Ⅲ5.23角的平分线和线段的垂直平分线的有关性质Ⅲ5.24轨迹的意义及三条基本轨迹（圆、角平分线、线段的中垂线）Ⅰ5.25多边形及其有关概念，多边形外角和定理Ⅱ5.26多边形内角和定理Ⅲ5.27平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的概念Ⅱ5.28平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的性质、判定Ⅲ5.29梯形的有关概念Ⅱ5.30等腰梯形的性质和判定Ⅲ5.31三角形中位线定理和梯形中位线定理Ⅲ5.32相似形的概念，相似比的意义，图形的放大和缩小的画图操作Ⅱ5.33平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理Ⅲ5.34相似三角形的概念Ⅱ5.35相似三角形的判定和性质及其应用Ⅲ5.36三角形的重心Ⅰ5.37向量的有关概念ⅡgoogleHighlightgoogleHighlightgoogleHighlightgoogleHighlight 65.38向量的表示Ⅰ5.39向量的加法和减法、实数与向量相乘、向量的线性运算Ⅱ5.40锐角三角比（锐角的正弦、余弦、正切、余切）的概念，30度、45度、60度角的三角比值Ⅱ5.41解直角三角形及其应用Ⅲ5.42圆心角、弦、弦心距的概念Ⅱ5.43圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系Ⅲ5.44垂径定理及其推论Ⅲ5.45点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及相应的数量关系Ⅱ5.46正多边形的有关概念和基本性质Ⅱ5.47画正三、四、六边形Ⅱ三、试卷结构及相关说明 （一）试卷结构 1.整卷各能力的分值比例大致如下：基础知识和基本技能部分占50%，逻辑推理能力部分占12%，运算能力部分占13%，空间观念部分占10%，解决简单问题的能力部分占15%。2.整卷各知识内容的分值比例大致如下：“图形与几何”部分占40%，“数与运算”部分占5%，“方程与代数”部分占28%，“函数与分析”部分占19%，“数据整理和概率统计”部分占8%。3.整卷含有选择题、填空题和解答题三种基本题型。选择题6题，共24分；填空题12题，共48分；解答题7题，共78分。（二）相关说明 1.容易、中等、较难试题的分值比例控制在8：1：1左右。2.试卷总分：150分。3.考试时间：100分钟。4.考试形式：闭卷书面考试，分为试卷与答题纸两部分，考生必须将答案全部做在答题纸上。四、题型示例 （一）选择题 【例1】如图1，已知直线a、b被直线c所截，那么1Ð的同位角是(A)2Ð；(B)3Ð；(C)4Ð；(D)5Ð．12345图1a b c googleHighlightgoogleHighlight 7【正确选项】D【能力要求】基础知识和基本技能/掌握初中数学有关基础知识【知识内容】图形与几何/同位角的概念【难度系数】0.96【例2】下列关于x的一元二次方程有实数根的是(A)210x+=；(B)210xx++=；(C)210xx-+=；(D)210xx--=．【正确选项】D【能力要求】基础知识和基本技能/理解初中数学有关基础知识【知识内容】方程与代数/一元二次方程根的判别式【难度系数】0.96【例3】在下列代数式中，次数为3的单项式是(A)2xy；(B)33xy+；(C)3xy；(D)3xy．【正确选项】A【能力要求】基础知识和基本技能/理解初中数学有关基础知识【知识内容】方程与代数/代数式的有关概念【难度系数】0.83【例4】如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两圆的位置关系是(A)外离；(B)相切；(C)相交；(D)内含．【正确选项】D【能力要求】基础知识和基本技能/理解初中数学有关基础知识【知识内容】图形与几何/圆与圆的位置关系及相应的数量关系【难度系数】0.84（二）填空题【例1】不等式组12,28xxì->ïí<ïî的解集是．【参考答案】34x<<【能力要求】基础知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算【知识内容】方程与代数/一元一次不等式（组）的解法【难度系数】0.93【例2】如果正比例函数ykx=(k是常数，0k¹)的图像经过点(23)，-，那么y的值随x的值增大而（填“增大”或“减小”）．【参考答案】减小【能力要求】基础知识和基本技能/掌握初中数学有关基础知识 8【知识内容】函数与分析/用待定系数法求正比例函数的解析式函数与分析/正比例函数的基本性质【难度系数】0.96【例3】某校500名学生参加生命安全知识测试，测试分数均大于或等于60且小于100，分数段的频率分布情况如表1所示（其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值），结合表1中的信息，可得测试分数在80-90分数段的学生有名．【参考答案】150【能力要求】解决简单问题的能力/知道一些基本的数学模型，并通过运用，解决一些简单的实际问题【知识内容】数据整理和概率统计/频率、频数的意义和计算【难度系数】0.93【例4】如果将抛物线221yxx=+−向上平移，使它经过点(0,3)A，那么所得新抛物线的表达式是．【参考答案】223yxx=++【能力要求】基础知识和基本技能/领会数形结合的数学思想【知识内容】函数与分析/二次函数的基本性质【难度系数】0.85【例5】如图2，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且3ABEB=．设ABa=JJJGG，BCb=JJJGG，那么DE=JJJG（结果用aJG、bJG表示）．【参考答案】23ab-GG【能力要求】基础知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、推理【知识内容】图形与几何/向量的表示、向量的线性运算【难度系数】0.89【例6】如图3，在ABC△和DEF△中，点BFCE、、、在同一直线上，BFCE=，//ACDF，请添加一个条件，使ABCDEF△≌△，这个添加的条件可以是．（只需写一个，不添加辅助线）【参考答案】ADÐ=Ð或ACDF=或//ABDE等【能力要求】基础知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行推理表1分数段 60-7070-8080-9090-100频率 0.20.250.25ABC D F 图3 EA B C DE 图2  9【知识内容】图形与几何/全等三角形的判定【难度系数】0.92【例7】我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距．在同一平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时重心距为2，那么当它们的一内角成对顶角时重心距为．【参考答案】4【能力要求】解决简单问题的能力/会用已有的知识经验，解决新情境中的数学问题【知识内容】图形与几何/三角形的重心【难度系数】0.79【例8】如图4，在RtABC△中，90C∠=°，30A∠=°，1BC=．点D在边AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处．如果ADED^，那么线段DE的长为．【参考答案】31-【能力要求】空间观念/能进行几何图形的基本运动和变化【知识内容】图形与几何/图形翻折的有关概念以及有关性质图形与几何/直角三角形的性质、勾股定理及其逆定理【难度系数】0.49（三）解答题【例1】计算：131128233--+-．【参考答案】解：原式3232233=--+-233=．【能力要求】基础知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算【知识内容】数与运算/实数的运算方程与代数/分数指数幂的概念和运算方程与代数/二次根式的性质及运算【难度系数】0.96【例2】解方程：2121111xxxx+-=--+．【参考答案】解：去分母，得2(1)21xx+-=-．去括号，得22121xxx++-=-．ABC图4  10移项、整理得20xx+=．解方程，得121,0xx=-=．经检验：11x=-是增根，舍去；20x=是原方程的根．所以原方程的根是0x=．【能力要求】基础知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算【知识内容】方程与代数/分式方程的解法【难度系数】0.97【例3】如图5，在RtABC△中，90ACBÐ=°，D是边AB的中点，BECD^，垂足为点E．已知15AC=，3cos5A=．（1）求线段CD的长；（2）求sinDBEÐ的值．【参考答案】解：（1）在RtABC△中，90ACBÐ=°，15AC=，3cos5ACAAB==，∴25AB=．∵D是AB的中点，∴2522ABCD==．（2）在RtABC△中，2220BCABAC=-=．∵2522ABBDCD===，∴DCBDBCÐ=Ð．∴4cos5BCABCABÐ==．在RtCEB△中，90EÐ=°，coscos16CEBCBCEBCABC=×Ð=×Ð=．∴72DECECD=-=．在RtDEB△中，90DEBÐ=°，∴7sin25DEDBEBDÐ==．【能力要求】（1）运算能力/知道有关算理，能根据问题条件，寻找和设计合理、有效的运算途径（2）空间观念/能够从复杂的图形中区分基本图形，并能分析其中的基本元素及其关系【知识内容】（1）图形与几何/直角三角形的性质、勾股定理及其逆定理图形与几何/解直角三角形及其应用（2）图形与几何/直角三角形的性质、勾股定理及其逆定理图形与几何/锐角三角比的概念【难度系数】（1）0.95（2）0.86EDCBA图5  11【例4】已知水银体温计的读数y（℃）与水银柱的长度x（cm）之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图6），表2记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．表2水银柱的长度x（cm）4.2…8.29.8体温计的读数y（℃）35.0…40.042.0（1）求y关于x的函数解析式（不需要写出函数定义域）；（2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数．【参考答案】解：（1）设y关于x的函数解析式为(0)ykxbk=+¹．由题意，得4.235,8.240.kbkbì+=ïí+=ïî解得5,4119.4kbì=ïïíï=ïî所以y关于x的函数解析式为511944yx=+．（2）当6.2x=时，y37.5=．答：此时该体温计的读数为37.5℃．【能力要求】（1）解决简单问题的能力/知道一些基本的数学模型，并通过运用，解决一些简单的实际问题（2）基础知识与基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算【知识内容】（1）函数与分析/用待定系数法求一次函数的解析式函数与分析/一次函数的应用（2）函数与分析/函数以及函数值等有关概念【难度系数】（1）0.94（2）0.90【例5】已知：如图7，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OEOB=，联结DE．（1）求证：DEBE⊥；（2）如果OECD^，求证：BDCECDDE×=×．【参考答案】证明：（1）∵OEOB=，∴OBEOEBÐ=Ð．3536404142℃ 图6 ABCD OE图7  12∵平行四边形ABCD的对角线相交于点O，∴OBOD=．∴OEOD=．∴ODEOEDÐ=Ð．在BDE△中，∵180OBEOEBOEDODEÐ+Ð+Ð+Ð=°，∴2()180OEBOEDÐ+Ð=°．∴90BEDÐ=°，即DEBE^．（2）∵OECD^，∴90CDEDEOÐ+Ð=°．又∵90CEODEOÐ+Ð=°，∴CDECEOÐ=Ð．∵OBEOEBÐ=Ð，∴OBECDEÐ=Ð．∵BEDDECÐ=Ð，∴DBE△∽CDE△．∴BDDECDCE=．∴BDCECDDE×=×．【能力要求】（1）逻辑推理能力/能简明和有条理地表述演绎推理过程，合理解释推理演绎的正确性（2）空间观念/能够从复杂的图形中区分基本图形，并能分析其中的基本元素及其关系【知识内容】（1）图形与几何/三角形的内角和图形与几何/平行四边形的性质图形与几何/等腰三角形的性质（2）图形与几何/相似三角形的判定和性质及其应用图形与几何/余角图形与几何/等腰三角形的性质【难度系数】（1）0.86（2）0.79【例6】已知在平面直角坐标系xOy中（如图8），抛物线24yax=-与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，25AB=．点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴相交于点C，线段BP与x轴相交于点D．设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线的表达式；（2）用含m的代数式表示线段CO的长；（3）当3tan2ODCÐ=时，求PADÐ的正弦值．【参考答案】解：（1）由抛物线24yax=-与y轴相交于点B，得点B的坐标为(0,4)-．图8 11Oxy 13∵点A在x轴的负半轴上，25AB=，∴点A的坐标为(2,0)−．∵抛物线24yax=-与x轴相交于点A，∴1a=．∴这条抛物线的表达式为24yx=-．（2）∵点P在抛物线上，它的横坐标为m，∴点P的坐标为2(4)mm，-．由题意，得点P在第一象限内，因此0m>，240m->．过点P作PHx^轴，垂足为点H．∵//COPH，∴COAOPHAH=．∴2242COmm=-+．解得24COm=-．（3）过点P作PGy^轴，垂足为点G．∵//ODPG，∴ODBOPGBG=．∵PGm=，4BO=，2BGm=，∴24ODmm=，即4ODm=．在RtODC△中，∵3tan2COODCODÐ==，∴23COOD=，即42(24)3mm-=×．解得3m=或1m=-（舍去）．∴2CO=．在RtAOC△中，22AC=，∴22sin222COOACACÐ===，即PADÐ的正弦值为22．【能力要求】（1）基础知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画（作）图（2）基础知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画（作）图运算能力/知道有关算理，能根据问题条件，寻找和设计合理、有效的运算途径（3）逻辑推理能力/能简明和有条理地表述演绎推理过程，合理解释推理演绎的正确性基础知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画（作）图【知识内容】（1）函数与分析/待定系数法求二次函数解析式函数与分析/函数值等有关概念图形与几何/勾股定理（2）图形与几何/三角形一边的平行线的有关定理 14方程与代数/一元一次方程的解法函数与分析/函数等有关概念（3）图形与几何/三角形一边的平行线的有关定理图形与几何/锐角三角比的概念方程与代数/分式方程的解法【难度系数】（1）0.85（2）0.70（3）0.40五、附录 答题纸 15 16