专题01 三角形中角度的计算(解析版)

PAGE\*MERGEFORMAT#专题01三角形中角度的计算直击考点】典例分析】考点18字形】【结论】ZA+ZB=ZD+ZE・【例1】(2021春•鼓楼区校级月考)图1,线段AB、CD相交于点O连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”如图2,在图1的条件下,ZDAB和ZBCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：在图1中，请直接写出ZA、ZB、ZC、ZD之间的数量关系：；图2中，当ZD=50度，ZB=40度时，求ZP的度数.图2中ZD和ZB为任意角时，其他条件不变，试问ZP与ZD、ZB之间存在着怎样的数量关系.【】(1)ZA+ZD=ZC+ZB；(2)ZP=45°(3)2ZP=ZB+ZD【解答】解：（1）由题知，ZA+ZD=ZDOB=ZC+ZB,:.ZA+ZD=ZC+ZB,故答案为：ZA+ZD=ZC+ZB；由(1)可得,ZDAO+ZD=ZOCB+ZB,①同理可得,ZDAM+ZD=ZOCP+ZP,TZDAB和ZBCD的平分线是AP和CP,・•・ZDAO+ZD=ZOCB+ZP,②22由②X2-①得，ZD=2ZP-ZB,即2ZP=ZD+ZB,A2ZP=50°+40°,故"=45°；由(2)可知2ZP=ZB+ZD.【变式1】(2021春•靖江市月考)如图，线段AD和BC相交于点O,若ZA=70°,ZC=85°，则ZB-ZD=.【答案】15°【解答】解：•.•ZC+ZD+ZCOD=180°,ZA+ZB+ZAOB=180°,・ZD=180°-ZC-ZCOD，ZB=180°-ZA-ZAOB.•ZAOB=ZCOD，・ZB-ZD=(180°-ZA-ZAOB)-(180°-ZC-ZCOD)=ZC-ZA=85-70°=15°.故答案为：15°.考点2燕尾形】【结论】NBPC=NA+NB+NC・【例题2】(2021春•汤阴县期末)已知直线AB^CD.BHDCGffllE2S3如图1,写出/ABE,/CDE和ABED之间的数量关系，并说明理由；如图2,直线MN分别交AB，CD于点F，G，ZAFG与ZCGF的平分线交于点H,则ZFHG的度数为多少？如图3,在(2)的条件下，ZAFH与ZCGH的平分线交于点I,则ZFIG的度数为.【答案】(1)ZBED=ZABE+ZCDE(2)ZFHG=90(3)ZFIG=45°【解答】解：(1)ZBED=ZABE+ZCDE,理由：过点E作EF〃AB,如图所示：•.•AB〃CD,EF〃AB,:.AB^CD^EF,AZABE=ZBEF,ZCDE=ZDEF,•?ZBED=ZBEF+ZDEF,：.ZBED=ZABE+ZCDE；(2)解法①：TZAFG与ZCGF的平分线交于点H,:.ZHFG=ZAFG,ZHGF=ZCGF,22•：ZFHG=180°-(ZHFG+ZHGF),:.ZFHG=180°-(ZAFG+ZCGF),2•.•AB〃CD,:.ZAFG+ZCGF=180°,.•・ZFHG=180°-壬X180°=90°；解法②：TZAFG与ZCGF的平分线交于点H,:.ZAFH=12ZAFG,ZCGH=12ZCGF,由(1)知ZFHG=ZAFH+ZCGH=*(ZAFG+ZCGF)=^X180°=90°；(3)解法①：TZAFH与ZCGH的平分线交于点I,：・ZIFH=ZAFH,ZIGH=ZCGH,22•・•由(2)得:ZHFG=ZAFH=ZAFG,ZHGF=ZCGH=ZCGF,22ZIFG=ZIFH+HFG，ZIGF=ZIGH+ZHGF，：・ZIFG=ZAFG,ZIGF=ZCGF,44VZFIG=180°-ZIFG-ZIGF,2・：ZFIG=180°-(ZAFG+ZCGF),4•.•AB〃CD,：ZAFG+ZCGF=180°，3：・ZFIG=180°-X180°=45°.4解法②：TZAFH与ZCGH的平分线交于点I,：・ZAFI=ZAFH,ZCGI=ZCGH,22：・ZFIG=^(ZAFI+ZCGI)=寺CZAFG+ZCGF)=^-X180°=45°.故答案为：45°．【变式1】（2021春•工业园区校级月考）如图，点C是ZBAD内一点，连CB、CD,ZA=80°,ZB=10°,ZD=40°，则ZBCD的度数是（）A.110°B.120°C.130°D.150°【答案】C【解答】解：延长BC交AD于E,•ZZBED是AABE的一个外角，ZA=80°,ZB=10°,:.ZBED=ZA+ZB=90°,•ZZBCD是ACDE的一个外角:.ZBCD=ZBED+ZD=130°，故选：C.【变式2】（2021•碑林区校级二模）如图，BE是ZABD的平分线，CF是ZACD的平分线,BE与CF交于G,如果ZBDC=140°，ZBGC=110°，则ZA=.答案】80°解答】解：连接BC，•.•ZBDC=140°,.•・ZDBC+ZDCB=180°-140°=40°,VZBGC=110°,.•・ZGBC+ZGCB=180°-110°=70°,.•・ZGBD+ZGCD=70°-40°=30°,TBE是ZABD的平分线，CF是ZACD的平分线，AZABG+ZACG=ZGBD+ZGCD=30°,在△ABC中，ZA=180°-40°-30°-30°=80°.故答案为：80°．考点3折叠形】【结论】NPBD+ZPCD=ZA+ZP【例3】（2021春•海陵区校级期末）如图，将AABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处,且AB平分ZABC,AC平分ZACB，若ZBA'C=120°，则Z1+Z2的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120°【答案】D解答】解：如图，连接AA'TAB平分ZABC,AC平分ZACB,.\ZA'BC=ZABC,ZA'CB=/ACB,22•.•ZBA'C=120°,.•・ZABC+ZA'CB=180°-120°=60°,AZABC+ZACB=120°,.•・ZBAC=180°-120°=60°,•・•沿DE折叠，.•・ZDAA'=ZDA'A,ZEAA'=ZEA'A,VZ1=ZDAA'+ZDA'A=2ZDAA'，—EAA'+ZEA'A=2ZEAA',AZ1+Z2=2ZDAA'+2ZE^A'=2ZBAC=2X60°=120°,故选：D.【例4】（2021春•高州市期末）如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N,将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A'处后，再将纸片沿着BA'对折一次，使得点C落在BN上的C'处，已知ZCMB=68°,ZA=18°，则原三角形的ZC的度数为（）A.87°B.84°C.75°D.72°答案】A解答】解：如图由题意得：△ABN^^A'BN,“CBN竺“CBM..\Z1=Z2,Z2=Z3,ZCMB=ZCZMB=68°./.Z1=Z2=Z3.••・ZABC=3Z3.又VZ3+ZC+ZCMB=180°,••・Z3+ZC=180°-ZCMB=180°-68°=112°.又VZA+ZABC+ZC=180°,A18°+2Z3+(Z3+ZC)=180°.A18°+2Z3+112°=180°.••・Z3=25°.AZC=112°-Z3=112°-25°=87°.故选：A.【变式1】(2021春•济南期中)如图，A4BC中，ZB=40°,ZC=30。，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE〃AB,贝ZADE的度数为A.100°B.110°C.120°D.130°【答案】B【解答】解：•.•ZB=40°,ZC=30°,AZBAC=110°，由折叠的性质得,ZE=ZC=30°,ZEAD=ZCAD,ZADE=ZADC,•.•DE〃AB,:.ZBAE=ZE=30°,:.ZCAD=40°,AZADE=ZADC=180°-ZCAD-ZC=110°,故选：B.【变式2】（2021春•滦州市期末）已知：如图所示，将△ABC的ZC沿DE折叠，点C落在点C'处，若设ZC=a,ZAECz=p,ZBDC'=Y,则下列关系成立的是（）A.2a=B+YB.a=B+YC.a+B+Y=180°D.a+B=2y【答案】A【解答】解：由折叠的性质知：ZC=ZC'=a.•?ZAECZ+ZCECz=180°,ZBDCz+ZCDCz=180°,Z.p=180°-ZCECz,y=180°-ZCDCz.••・B+Y=360°-ZCEC'-ZCDC‘.•:ZC+ZCEC+CDC+ZCz=360°,••・2a=360°-ZCEC'-CDC‘.•.B+Y=2a.【变式3】（2021春•丹阳市期末）如图，△ABC中，ZC=90°,将AABC沿DE折叠，使得点B落在AC边上的点F处，若ZCFD=60。且AAEF中有两个内角相等，则ZA的度数为()A.30°或40°B.40°或50°C.50°或60°D.30°或60【答案】B【解答】解：①当AE=AF时，则ZAFE=ZAEF=(180°-ZA),2VZB=ZEFD=90°-ZA,ZCFD=60°,.•・ZAFD=120°,・•・(180°-ZA)+90°-ZA=120°,2AZA=40°.当AF=EF时，ZAFE=180°-2ZA,同法可得180°-2ZA+90°-ZA=120°,.*.ZA=50°.当AE=EF时，点F与C重合，不符合题意.综上所述，ZA=40°或50°,故选：B.【变式4】(2020秋•芜湖期末)如图，△ABC中，ZA=20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA'再一次对折，点C落在BE上的C处，此时ZCZDB=74。，则原三角形的ZC的度数为()A.27°B.59°C.69°D.79°【答案】D【解答】解如图,••'△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA'再一次对折，点C落在BE上的C处，AZ1=Z2,Z2=Z3,ZCDB=ZCZDB=74°,/.Z1=Z2=Z3,.•・ZABC=3Z3,在ABCD中，Z3+ZC+ZCDB=180°,.•・Z3+ZC=180°-74°=106°,在△ABC中，VZA+ZABC+ZC=180°,.•・20°+2Z3+(Z3+ZC)=180°,即20°+2Z3+106°=180°,AZ3=27°,AZABC=3Z3=81°,ZC=106°-27°=79°,故选：D.【变式5］(2021春•通许县期末)如图所示，将△ABC沿着DE折叠，使点A与点N重合,若ZA=65°，则Z1+Z2=()A.25°B.65°C.115°D.130°答案］D【解答］解：•/△nde是aade翻折变换而成，AZAED=ZNED,ZADE=ZNDE,ZA=ZN=65°,AZAED+ZADE=ZNED+ZNDE=180°-65°=115°,••・Zl+Z2=360°-2X115°=130°.故选：D.【跟踪训练】1.(2021春•海阳市期末)如图，在△ABC中，ZA=30。，若沿图中虚线截去ZA,则Z1+Z2=()A.150°B.200°C.210°D.240°【答案】C【解答】解：如图：Z1+Z3=180°,Z2+Z4=180°,AZ1+Z2+Z3+Z4=360°,VZA+Z3+Z4=180°,ZA=30°,AZ3+Z4=150°,AZ1+Z2=210°.故选：C.2.(2021春•乐亭县期末)如图，将一张三角形纸片ABC的三角折叠，使点A落在AABC的A处折痕为DE,若ZA=a,ZCEAz=p,ZBDAz=Y，那么下列式子中正确的是()A.y=180-a-pB.Y=a+2pC.Y=2a+BD.Y=a+B【答案】C【解答】解：如图，设AC交DA'于F.由折叠得：ZA=ZA',VZBDA'=ZA+ZAFD,ZAFD=ZA'+ZC^',,.,ZA=a,ZCEA/=p,ZBDA'=Y，.°.ZBDA'=Y=a+a+B=2a+B，故选：C.3.（2021•南岗区校级模拟）如图，在△ABC中，ZACB=90°,ZA=25°，点D在AB边上，将A4BC沿CD折叠，使得B点落在AC边上的B'处，则ZADB'的度数为（）A.25°B.30°C.35°D.40°【答案】D【解答】解：•.•在△ABC中，ZACB=90°,ZA=25°,AZB=180°-90°-25°=65°,•△CDB'是由ACDB翻折而来，AZDB'C=ZB=65°,*/ZDB'C是AABZD的外角，.\ZADBz=ZDBzC-ZA=65°-25°=40°.故选：D.4.（2021春•淮阳区校级期末）如图，ZB=36°,ZE=48°,ZBAE的平分线与/BDEPAGE\*MERGEFORMAT#=42°,PAGE\*MERGEFORMAT#的平分线交于点F,则ZF=答案】42解答】解：如图•：/BAE的平分线与ZBDE的平分线父于点F,:.ZBAM=ZFAC=ZBAC,ZEDF=ZCDF=/EDC,22•:/BMF=/F+/CDF,/BMF=/B+/BAF,:./F+/CDF=/B+/BAF,:.ABAC-ZEDC=ZE-/B,：・ZF=ZB+*(/E-/B)=/E+/B22=*(/E+/B)(48°+36°)故答案为：42．5.（2021春•江都区校级期末）如图△ABC中，将边BC沿虚线翻折，若Z1+Z2=110°,则ZA的度数是度.【答案】55【解答】解：如图，延长B'E，CF交于点D,由折叠可得，ZB=ZB',ZC=ZC',.*.ZA=ZD,又VZ1+Z2=110°，AZAED+ZAFD=360°-110°=250°，・•・四边形AEDF中，ZA=(360°-250°)=55°,2故答案为：55.6.（2019秋•阜阳月考）在数学学习中整体思想与转化思想是我们常用到的数学思想.如图（1）中，求ZA+ZB+ZC+ZD+ZE的度数等于多少时，我们可以连接CD,利用三角形的内角和则有ZB+ZE=ZECD+ZBDC,这样ZA、ZB、ZC、ZD、ZE的和就转化到同一个AACD中，即ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°.CE8DBC图DA尝试练习：图（2）中ZA+ZB+ZC+ZD+ZE的度数等于.图（3）中ZA+ZB+ZC+ZD+ZE的度数等于.图（4）中ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF的度数等于【答案】180°；180°；360°【解答】解：如图（2）,连接CE,则有ZA+ZB=ZAEC+ZBCE,AZA+ZB+ZDCB+ZD+ZDEA=180°；同理，图（3）中ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°；图（4）中ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=360°.故答案为：180°；180°；360°.17