第4章被控对象数学模型

目录4.1被控对象的数学模型 4.2被控对象数学模型的建立 4.3机理法建立被控对象的数学模型 4.4实验法建立被控对象的数学模型 定值控制系统、程序控制系统、随动系统（伺服控制系统） 线性系统和非线性系统 连续系统与离散系统 单输入单输出系统与多输入多输出系统4.1被控对象的数学模型要实现过程控制，首先要了解和掌握被控对象的过程特性，而用数学语言对被控对象的数学模型特性进行描述。数学模型的分类:数学模型（对象特性）：对象输入量与输出量之间的关系(数学表达式)输入量：控制变量＋各种各样的干扰变量通道：对象的输入变量至输出变量的信号联系控制通道：控制变量至被控变量的信号联系通道干扰通道：干扰至被控变量的信号联系通道对象输出为控制通道输出与各干扰通道输出之和被控对象：需要控制的设备、机械或生产过程。输出量：被控变量对象的数学模型：稳态数学模型和动态数学模型。稳态数学模型——描述对象的输入量与输出量之间的稳态关系动态数学模型——描述对象在输入量改变以后输出量的变化情况。稳态数学模型是动态数学模型在对象达到平衡时的特例。数学模型的表示方法：参量模型：通过数学方程式表示常用的描述形式：微分方程、传递函数、差分方程等参量模型的微分方程的一般表达式：y(t)表示输出量，x(t)表示输入量，通常输出量的阶次不低于输入量的阶次(n≥m)通常n=1，称该对象为一阶对象模型；n=2，称二阶对象模型。非参量模型：采用曲线、等形式表示。例如“阶跃响应曲线、脉冲响应曲线等。优点：形象、清晰、定性。缺点：直接利用来分析系统较困难（必要时须进行数学处理获得参量模型）。 过程控制（被控变量及检测点选择，控制变量的确定，控制结构形式都与对象特性有关） 整定控制器参数（控制规律的选择） 指导设计生产工艺设备 进行仿真试验研究 系统运行操作人员建模目的：建模的方法：机理建模、实验建模、混合建模机理建模：内部机理→平衡方程（物料平衡、能量平衡、化学反应等基本方程）→数学模型优点：明确的物理意义缺点：只能用于简单、线性过程，需试验验证。实验建模——在所要研究的对象上，人为的施加一个输入作用(输入量)，然后用仪表记录表征对象特性的物理量(输出量)随时间变化的规律，得到一系列实验数据或曲线。这些数据或曲线就可以用来表示对象特性。这种应用对象输入输出的实测数据来决定其模型的方法，通常称为系统辨识。系统辨识分为：过程辨识和参数辨识。有时，为进一步分析对象特性，可对这些数据或曲线进行处理，使其转化为描述对象特性的解析表达式。混合建模——将机理建模与实验建模结合起来机理分析（数学模型的结构）→实验的方法（某些未知的或不确定的参数，即参数估计）。4.2被控对象数学模型的建立4.3机理法建立被控对象的数学模型问：处于平衡状态的对象加入干扰以后，不经控制系统能否自行达到新的平衡状态？图：假设初始为平衡状态qi=qo，水箱水位保持不变。当发生变化时(qi＞qo)，此时水箱的水位开始升高根据流体力学原理，水箱出口流量与H是存在一定的对应关系的：因此，qiHqo，直至qi=qo可见该系统受到干扰以后，即使不加控制，最终自身是会回到新的平衡状态，这种特性称为“自衡特性”。右图：如果水箱出口由泵打出，其不同之处在于：qi当发生变化时，qo不发生变化。如果qi＞qo，水位H将不断上升，直至溢出，可见该系统是“无自衡能力”。绝大多数对象都有自衡能力，一般而言有自衡能力的系统比无自衡能力的系统容易控制。R：出口阀门的阻力系数、液阻（与阀门开度有关）1、自平衡单容过程（一阶线性对象）问题：求右图所示的对象模型（输入输出模型）解：该对象的输入量为qi输出量（被控变量）为液位h根据物料平衡方程：单位时间流入水槽的物料—单位时间流出水槽的物料＝水槽物料储藏量的变化率由于出口流量可以近似地表示为：R：出口阀门的阻力系数、液阻（与阀门开度有关）消去qo：已知：R对上式作拉氏变换：一阶对象的传递函数：该对象的阶跃响应：如果qi为幅值为a的阶跃响应，则一阶线性对象（总结）典型的微分方程典型的传递函数典型的阶跃响应函数典型的阶跃响应曲线微分方程的解K――放大系数，在阶跃输入作用下，对象输出达到新的稳定值时，输出变化量与输入变化量之比，表征对象的稳态特性。K越大，表示输入量对输出量的影响越大。T――时间常数，在阶跃输入作用下，对象输出达到最终稳态变化量的63.2％所需要的时间，时间常数T是反映响应变化快慢或响应滞后的重要参数，表征对象的动态特性。用T表示的响应滞后称阻容滞后（容量滞后）。T大，响应速度慢，控制不及时；T小，响应速度快，控制及时，T太小易引起振荡。2．无自平衡单容过程受扰过程的平衡状态被破坏后，在没有操作人员或仪表等干预下，依靠被控过程自身能力不能重新回到平衡状态。因为ΔQ2=0，则可得：令：T=C（积分时间常数）无自平衡单容过程阶跃响应曲线如图所示。当过程具有纯滞后时：τ：过程的纯滞后时间自平衡过程：无自平衡过程：带纯滞后的自平衡过程的阶跃响应：3、多容过程（二阶线性对象）问题：求右图所示的对象模型（输入输出模型）该对象的输入量为qi输出量为液位h2（同样利用物料平衡方程）槽1：槽2：联立方程求解：传递函数：已知：传递函数：阶跃响应函数：·二阶线性对象（总结）典型的微分方程：典型的传递函数：典型的阶跃响应函数：典型的阶跃响应曲线:例题：试分析下图所示串联液体贮槽对象的动态特性，写出以q1的变化量为输入、液位h2的变化量为输出的微分方程式及传递函数表达式。图中，C1、C2分别为贮槽1及贮槽2的截面积，阀门的阻力系数分别为R1、R2。（提示：）解：①④③②③④得：代入①：②④代入③得： 在工业生产过程中，对象特性往往比较复杂，很难得到对象特性的数学描述；即使得到也是高阶微分方程或偏微分方程，难以求解，因此常用实验方法来分析对象特性。4.4实验法建立被控对象的数学模型实验方法主有以下几种：1、加专门信号①时域方法例如：阶跃反应曲线法、矩形脉冲法②频域方法例如：正弦波、梯形波③统计相关法（施加随机信号）例如：白噪声2、不加专门信号：正常操作时记录信号 所谓实验测取对象特性，就是在所研究的对象上施加人为输入作用(输入量)，用仪表测取并记录表征对象特性的物理量(输出量)随时间变化的规律，得到一系列实验数据或曲线(非参量模型)，有时再加以必要的数据处理（得到参量模型）。通常称为系统辨识。1、阶跃反应曲线法 测量对象在阶跃输入信号作用下，输出量随时间的变化规律。 优点：方法简单。不需要特殊的信号发生器；一般也不需要增加特殊的记录仪表。测量工作量不大，数据处理也较方便。 缺点：精度较差。对象在阶跃信号作用下，从不稳定到稳定一般所需时间较长，受其它扰动因素影响，精度受到限制；若加大阶跃信号幅值，又会影响正常的生产。阶跃信号一般取额定值的5%~15%。1、加测试信号前，要求系统尽可能保持稳定状态，否则会影响测试结果4、在相同条件下重复测试多次，以抽取其共性；减少随机干扰因素的影响测试过程注意：3、记录输入量开始作阶跃信号变化时至反应曲线的起始点的时间（滞后时间）5、分别做阶跃输入信号为正、反方向两种变化情况的试验对比，以反映非线性对被控过程的影响。2、合理选择阶跃信号值（一般阶跃变化在正常输入信号最大幅值的5％～15％之间，大多取10％）2、矩形脉冲法 对象在t0时刻突然加一阶跃干扰，到t1时刻突然除去阶跃干扰，输出量随时间的变化规律。 由于加在对象上的干扰经过一段时间后被除去，干扰幅值可以取的比较大，以提高实验精度，而对象输出又不致于长期偏离给定值，对正常生产影响较小。测试结果具有较高的精度，但数据处理较为复杂，需要进行相应的转换。方法：根据阶跃响应曲线的形状→选定模型传递函数的形式→确定具体参数。或或或3、由阶跃响应曲线确定过程传递函数自平衡能力过程传递函数近似形式：无自平衡特性的被控对象传递函数近似形式：或或或两方面考虑： 根据被控过程的先验知识选用合适的传递函数形式； 根据建立数学模型的目的及对模型的准确性要求，选用合适的传递函数形式。在满足精度要求的情况下，尽量选用低阶传递函数的形式。大量的实际工业过程一般都采用一、二阶传递函数的形式来描述。确定了传递函数形式之后，由阶跃响应曲线来求取被控对象动态特性的特征参数（即放大系数K、时间常数T、滞后时间τ等），被控过程的数学模型（传递函数）就可确定。4、传递函数的选用①由阶跃响应曲线确定一阶惯性环节的特性参数阶跃响应曲线如下图时可用一阶惯性环节来近似。要确定的参数只有T和K。∴K=y(∞)/x05、确定传递函数的方法在阶跃响应曲线的起点处做切线，该切线与y(∞)的交点所对应的时间即为T。典型的阶跃响应函数（若阶跃变化量为X0）：根据测试数据直接计算T：令则在阶跃响应曲线上找到上述几个数据所对应的时间t1、t2、t3，则可计算出T。如果由t1、t2和t3分别取的数值T有差异，可以用求平均值的方法对T加以修正。典型的阶跃响应函数（若阶跃变化量为X0）：若误差较大，则选用其它形式近似。2.由阶跃响应曲线确定一阶惯性加滞后环节的特性参数阶跃响应曲线是S形单调曲线时，选用有纯滞后的一阶惯性环节作为该过程的传递函数。放大系数：K=y(∞)/x0确定被控过程时间常数T与滞后时间τ方法：作图法和两点计算法。 作图法曲线斜率最大（A点）处作一条切线，该切线与时间轴交于B点，与y(t)的稳态值y(∞)交于C点，C点在时间轴上的投影为D点，则T:BDτ:OB 计算法首先将y(t)转换成无量纲形式y0(t)。其阶跃响应无量纲的形式如下：在图中选取二个不同时刻t1和t2，以及对应的y0(t1)和y0(t2)，其中t2>t1>τ，通过计算可确定T和τ。→为了方便计算，可选y0(t1)=0.39、y0(t2)=0.632，代入上两式可得计算出T和τ后，还应该把计算的结果与实测曲线进行比较，以检验所得模型的准确性。若计算结果与实测值的差距可以接受，表明所求得的一阶惯性加滞后环节传递函数满足要求。否则，表明用一阶惯性加滞后环节近似被控过程的传递函数不合适，应选用高阶传递函数。例：3.由阶跃响应曲线确定二阶环节的特性参数对无滞后的二阶环节，只需确定参数K、T1和T2。其相应的阶跃响应曲线如图所示。化为无量纲形式的阶跃响应y0(t)后，传递函数如下表示：其相应的单位阶跃响应为：根据上式，可以利用阶跃响应曲线上两个点的数据求出T1和T2。若选取y0(t1)=0.4、y0(t2)=0.8两点，再从曲线上确定对应的t1和t2，即可得到方程组上式的近似解为注意：采用上式确定T1和T2时，应满足0.32<t1/t2<0.46的条件。t1/t2＝0.32：被控对象的数学模型可近似为一阶惯性环节；T0=(t1+t2)/2.12t1/t2=0.46：被控过程数学模型可近似为G(s)=K/(Ts+1)2；T=T1=T2=(t1+t2)/4.36。t1/t2>0.46：被控过程数学模型应用高于二阶的环节近似，即G(s)=K/(Ts+1)n；T≈(t1+t2)/2.16n。式中的n可根据t1/t2由下表查出。 n 1 2 3 4 5 6 8 10 12 14 t1/t2 0.32 0.46 0.53 0.58 0.62 0.65 0.685 0.71 0.735 0.75思考题与习题4－8实验测得某液位控制对象的阶跃响应数据如下：（1）画出液位的阶跃响应曲线；(近似画一下，确定大致形状)（2）用一阶惯性环节加纯滞后近似描述该过程的动态特性，确定K，，T。已知阶跃扰动为△u=20%。（只要思路和求解方法，不要具体过程）K=y(∞)/△u首先将输出数据转换为无量纲形式，在图中选取二个不同时刻t1和t2，以及对应的y0(t1)和y0(t2)，通过计算可确定T和τ。一般可选y0(t1)=0.39、y0(t2)=0.632，代入上式则得：解：曲线形状如何？ t/(s) 0 10 20 40 60 80 100 140 180 250 300 400 500 600 h/(cm) 0 0 0.2 0.8 2.0 3.6 5.4 8.8 11.8 14.4 16.6 18.4 19.2 19.63.由阶跃响应曲线确定无自平衡被控过程数学模型的特性参数对于无自平衡过程，其阶跃响应如图所示：无自平衡被控过程的阶跃响应随时间t→∞将无限增大，但其变化速度会逐渐趋于稳定。4、由阶跃响应曲线确定无自衡被控过程数学模型的特性参数若传递函数近似为：缺点：在t1到A这一段误差较大。考虑到误差，取传递函数为：在t1~A时间段，惯性环节起主要作用，可取T2=t2-t1在阶跃响应达到稳态后，主要是以积分作用为主，则有如果对时间段t1~A有更高的精度要求，则可选高阶环节作为被控过程的传递函数。阶跃响应法是辨识过程特性最常用的方法。如果实际生产不允许有较长时间和较大幅值的输入变化，可以考虑采用矩形脉冲实验法来进行。由于阶跃响应法比较简单，因此，可在实验获取矩形脉冲响应曲线后，先将其转换为阶跃响应曲线，然后再按照阶跃响应曲线法确定各个参数。如图所示，矩形脉冲信号可以看成两个极性相反、幅值相同、时间相差Δ的阶跃信号叠加而成。因此，其输出响应也是由两个时间相差Δ、极性相反、形状完全相同的阶跃响应叠加而成。t=0~Δ:h1(t)=y(t)h2(t)=－h1(t-Δ)其中：T>Δ:h1(t)=y(t)+h1(t-Δ)可把脉冲响应曲线转换为阶跃响应曲线。精品课件！精品课件！4.4.2频域法建立被控对象的数学模型用频率特性测试法可得到被控过程的频率特性曲线。其测试原理如图所示，在所测过程的输入端加入特定频率的正弦信号，同时记录输入和输出的稳定波形（幅度与相位），在所选定范围的各个频率重复上述测试，便可测得该被控过程的频率特性。用频率特性可以表示被控过程的动态特性：