九年级数学第13讲梅涅劳斯定理与塞瓦定理目标预备班学生版

13梅涅劳斯定理与塞瓦定理板块一梅涅劳斯定理及其逆定理知识导航梅涅劳斯定理：假如一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么AFBDCE1．这条直线叫△ABC的梅氏线，△ABC叫梅氏三角形．FBDCEAAGAAFFFGH1H2EEEH3BCDBCDBCD证法一：如左图，过C作CG∥DFDBFB，ECFGDCFGAEAF∴AFBDCEAFFBFG1．FBDCEAFBFGAF证法二：如中图，过A作AG∥BD交DF的延长线于G∴AFAG，BDBD，CEDCFBBDDCDCEAAG三式相乘即得：AFBDCEAGBDDC1．FBDCEABDDCAG证法三：如右图，分别过A、B、C作DE的垂线，分别交于H1、H2、H3．则有AH1∥BH2∥CH3，141因此AFBDCEAH1BH2CH31．FBDCEABH2CH3AH1梅涅劳斯定理的逆定理：若F、D、E分别是△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，假如AFBDCE1，则F、D、E三点共线．FBDCEA夯实基础【例1】如图，在△ABC中，AD为中线，过点C任作向来线交AB于点F，交AD于点E，求证：AE:ED2AF:FB．AFEBDC习1.在△ABC中，D是BC的中点，经过点D的直线交AB于点E，交CA的延长线于点F．求证：FAEA．FCEBFAEBDC习题2.如图，在△ABC中，ACB90，ACBC．AM为BC边上的中线，CDAM于点D，CD的延长线交AB于点E．求AE．EB142CMDAE探究提高B【例2】如图，在△ABC中，D为AC中点，BEEFFC，求证：BM:MN:ND5:3:2．AMDNBEFC习题3.如图，在△ABC中，D为BC的中点，AE:EF:FD4:3:1．求AG:GH:AB．AGEHFBDC【例3】过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于点E、F，交CB的延长线于点D．求证：BECF1．EAFA143AFEGDBC【例4】如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，AEEB，AD2，BD与CE交于点F，S△ABC40．求SAEFD．DC3ADEFBC习题4.如图，在△ABC中，三个三角形面积分别为5，8，10．四边形AEFD的面积为x，求x的值．144EFAxD5810BC特别挑战【例5】如图，在△ABC中，A的外角均分线与边BC的延长线交于点P，B的均分线与边CA交于点Q，C的均分线与边AB交于点R，求证：P、Q、R三点共线．ARQBCP习题5.证明：不等边三角形的三个角的外角均分线与对边的交点是共线的三个点．ABCDEF板块二塞瓦定理及其逆定理知识导航145塞瓦定理：假如△ABC的三个极点与一点如图，那么BDCEAF1．平时称点DCEAFBP的连线AP、BP、CP交对边或其延长线于点D、E、F，P为△ABC的塞瓦点．AFEPBDC证明：∵直线FPC、EPB分别是△ABD、△ACD的梅氏线，∴BCDPAF1，DBCEAP1．CDPAFBBCEAPD两式相乘即可得：BDCEAF1．DCEAFB塞瓦定理的逆定理：假如点D、E、F分别在△ABC的边BC、CA、AB上或其延长线上，而且BDCEAF1，那么AD、BE、CF订交于一点（或平行）．DCEAFBEFAAF'EFPBDCBDC证明：⑴若AD与BE订交于一点P时，如图，作直线CP交AB于F'．由塞瓦定理得：BDCEAF'1，DCEAFB又已知BDCEAF1，∴AFAF，DCEAFBFBFB∴ABAB，∴FBFB．FBFBF'与F重合CF'与CF重合AD、BE、CF订交于一点．⑵若AD与BE所在直线不订交，则AD∥BE，如图．∴BDEA，又已知BDCEAF1，DCACDCEAFB∴EACEAF1，即CEFB．ACEAFBACAFBE//FC，∴AD∥BE∥FC．说明：三线平行的状况在实质题目中极少见．146探究提高【例6】（1）设AX，BY，CZ是△ABC的三条中线，求证：AX，BY，CZ三线共点．AZYBXC（2）若AX，BY，CZ为△ABC的三条内角均分线．求证：AX，BY，CZ三线共点．AZYBXC习题6.若AX，BY，CZ分别为锐角△ABC的三条高线，求证：AX，BY，CZ三线共点．AZYBXC【例7】如图，M为△ABC内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM经过BC147的中点D，求证：EF∥BC．AFEMBDC习题7.假如梯形ABCD的两腰AD、BC的延长线交于M，两条对角线交于N．求证：直线MN必均分梯形的两底．MDPCNAQB148