中南大学 期末考试概率论

一、选择：小题，每小题分，共分。下列每题给出的四个选项中，只有年中南大学本科生期末统一考试1~53152016一个选项是符合题目要求的。请将答案填写在对应的括号内。1、对于任意两事件A、B，同时出现的概率为PAB0，则概率论与数理统计（A）A、B互不相容（B）AB是不可能事件（满分：100分考试时间：100分钟）（C）AB未必是不可能事件（D）PA0或PB0考生注意事项、设、是随机变量、的分布函数，为使是2F1xF2xX1X2FxaF1xbF2x某一个随机变量的分布函数，则下列值中可以取、分别为1．考试日期与时间：2016年1月6日10：00—11：40ab32221313．答题前，考生须在的指定位置上填写考生姓名、考生学院、专业班级、座位（A），（B），（C），（D），2553322221号、学号、任课老师等信息。3、设随机变量X、Y相互独立同分布，且PX1PY1，2、答题时，直接将答案书写在卷的相应位置上，在草稿纸上答题无效。31PX1PY1，下列各式成立的是4、填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰。21、考试结束后，将试题卷与草稿纸按交回。（A）PXY（B）PXY15211（以下信息考生必须认真填写）（C）PXY0（D）PXY144考生学号4、设随机变量Xtn，YF1,n，给定00.5，常数c满足考生姓名座位号，则2考生学院PXcPYc（）（）（）（）专业班级AB1C2D125、设随机变量X、Y不相关，EX2，EY1，DX3，则EXXY2（以下信息由阅卷老师填写）（A）-3（B）3（C）-5（D）5题号一二111213141516总分二、：6~10小题，共15分。请将答案填写在对应的横线上。得分6、设A、B两个事件，且PA0.4，PB0.5，PAB0.2，则PAB评卷人7、设随机变量X、Y的数学期望均为2，方差分别为1和4，相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式PXY6_______________。8、设一批零件的长度服从正态分布N,2，其中、均未知。现从中抽取9个13、（本小题满分14分）天猫商城对某种商品的销售量做了统计，得知该商品的需求量X服从正态分布92零件，测得xx1cm2，则2置信度为0.9的置信区间为__________。i2，且日平均销售量为件，销售量在到之间的概率为。商店每i1N,4030500.5、设是总体的一个样本，、2是样本均值和样本方售出一件商品获利70元，若进货量过大，则因资金积压，未卖出的商品每件损失9X1,X2,,XnXBn,pXS100元。（注：0.6750.75,0.220.588）差，若XkS2为np2的无偏估计量，则k=_________________。（1）（6分）求、的值；10、设总体XUa,b，a,b是未知参数，X1,X2,,Xn是总体X的一个样本，则a（2）（8分）为使平均利润最大，应该进货多少件？的极大似然估计量是__________________。三、计算题：11~15小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。。14、（本小题满分15分）11、（本小题满分13分）k设0.5、1.25、0.8、2.00是来自总体X的一个样本的样本值，且YlnX服从正某实验室在器皿中繁殖出个细菌的概率为22，且所繁殖的每个细菌为kPke2k!xx12甲类菌或乙类菌的概率相等。态分布N,1。（注：正态分布N,2的分布函数为Fxe2）2（1）（8分）求器皿中所繁殖的都是甲类菌的概率；（1）（4分）求随机变量X的概率密度函数；（2）（5分）已知所繁殖的细菌全部为甲类菌，求恰有两个甲类菌的概率；（2）（7分）求X的数学期望与的矩估计值；（3）（4分）求的置信度为0.95的置信区间；12、（本小题满分16分）cexy,x0,y0设X,Y的概率密度为fx,y。15、（本小题满分12分）0,其他设X1,X2,,Xn是总体XN,9的一个样本，其中是未知参数，有假设检（1）（3分）求常数c；验问题H:，H:。（注：z1.65,z1.96）（2）（7分）判断随机变量X、Y是否相互独立；00100.050.025（）（分）设，求的概率密度；（）（分）求对于显著性水平的的拒绝域；36UminX,YUfUu150.05H0（）（分）若，求上述检验犯第二类错误的概率。271012、（本小题满分16分）2016年中南大学本科生期末统一考试（1）依题意fx,ydxdy1cdxe(xy)dy1c1……………3分00参考答案与评分细则（2）先求X、Y的边缘分布概率密度概率论与数理统计exydy,x0ex,x00………………………………………分fXx60,x0一、选择题（每小题3分，共15分）0x01～5：CAACDexydx,y0ey,y00……………………………………分二、填空题（每小题3分，共15分）fYy90y00,y016、0.37、12故有，即随机变量、是否相互独立。………分fXxfYyfx,yXY10118、,9、-122（）…………………分0.0250.9753FUuPUu1PUu1PminX,Yu11、xy10minX1,X2,Xn1dxedy,u01PXu,Yuuu………………………14分三、计算题（共5小题，共70分）0,u011、（本小题满分14分）1e2u,u0……………………………………………………………15分（）设器皿中繁殖出个细菌为事件，器皿中繁殖的都是甲类菌为事1kAkk1,2,0,u02ke2件B，则PAe2、PAPBA…………………………2分2e2u,u0kkk故…………………………………………………分k!k!fUu160,u0由全概率公式：21……………………分PBPAkPBAke4k1k1k!13、（本小题满分15分）11由ee1，故PBe2e1…………………………8分（1）依题意40，且P30X500.5………………………………2分k0k!k1k!即器皿中所繁殖的都是甲类菌的概率为e2e1X40101010P0.50.5………………………4分（2）依题意即为求PA2B………………………………………………………10分101010210.50.750.675…………………………5分e2PBA2PA21得…………………………………………………………………分由贝叶斯公式：PAB2!………13分14.862PBe2e12e1（2）设进货量为a（件），所得利润为随机变量Q2t2t11111tlnxe2etdxe2e2dxe2………………………8分70a,ax22则Qx…………………………………………………8分170x100a,ax11令EXX，即e2X，故lnX……………………………………9分2∴EQQxfxdx0.51.250.82.00带入数据有X1.1375…………………………………10分a4170x100afxdx70afxdxa1故lnX0.37……………………………………………………………11分aa270a170xfxdxafxdx……………………………10分YdEQa（3）设周枢量z…………………………………………………………12分故70170afa170afa170fxdx/ndaa70170fxdx70170Fa……………………………12分故的置信度为的置信区间为…………分0.95Yz0.025,Yz0.02513nndEQ7a4040a令0，得Fa1………………13分da17带入数据得0.98,0.98……………………………………………………15分40a1015、（本小题满分12分）即，得a31.332……………………………………14分17XX为使平均利润最大，应该进货32件（1）令z00/n3/n14、（本小题满分15分）（1）FxPXxPeyxPylnx……………………………1分XX则拒绝域为0zz0.0251.963/n2xlnx1e2dx,x0………………………………………………2分2（）接受为真5.882PH0H1PX010,x0n2lnx1X1012P1.96故e,x0……………………………分fXxFXx'2x43/n3/n0,x0011.963/n2lnx1（2）EXxfxdxe2dx………………………5分X02