曲面及其方程 多元函数微分法及其应用

祝同学们在新学期取得更好的成绩磨璞见玉砺剑生辉时间：2-9，11-14，17-18周每周一和周三（7-8节）1.答疑的时间和地点：地点：教一楼C300答疑室2.从第二周开始每周周一交作业（分两组轮换交）15周周三（7-8节），16周周一（7-8节）答疑内容与学时第八章空间解析几何6学时第十章重积分12学时第十一章曲线积分与曲面积分14学时第十二章无穷级数18学时第七章微分方程14学时总复习4学时第九章多元函数微分法及其应用20学时总计88学时第一节、向量及其线性运算第三节、曲面及其方程第8章本章内容：第二节、数量积向量积混合积*第八章空间解析几何与向量代数第四节、空间曲线及其方程第五节、平面及其方程第六节、空间直线及其方程一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面五、小结及作业四、二次曲面一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明:动点轨迹为线段AB的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程.定义1.如果曲面S与方程F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形.两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).故所求方程为例1.求动点到定点方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解:设轨迹上动点为即依题意距离为R的轨迹表示上(下)球面.解根据题意有所求方程为例2求与原点及的距离之比为的点的全体所组成的曲面方程._998118452.unknown_1073153685.unknown_1073153697.unknown_1073153710.unknown_998118495.unknown_998118425.unknown设是曲面上任一点，_1073153754.unknown例3.研究方程解:配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为一个球面,或点,或虚轨迹.例4方程的图形是怎样的？根据题意有图形上不封顶，下封底．解用平面去截图形得圆：_998120358.unknown_1073153973.unknown当平面上下移动时，得到一系列圆_998120316.unknown_1073154006.unknown圆心在，半径为_998125058.unknown_1073154027.unknown_1073154044.unknown_998125057.unknown半径随的增大而增大._998125168.unknown_1073154122.unknown定义2.一条平面曲线二、旋转曲面绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该平面曲线和定直线分别称为母线和旋转轴.问题：如何求旋转曲面方程？下面我们主要讨论坐标面上的曲线绕坐标轴旋转所得旋转曲面的方程。下面我们重点讨论坐标面上的母线绕坐标轴旋转得的旋转曲面.故旋转曲面方程为当绕z轴旋转时,若点设yoz面上曲线C:则有则有该点转到建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:所以绕轴旋转曲面方程._1073155376.unknown_1234503594.unknown同理：绕轴旋转曲面方程_1073155751.unknown_1234503683.unknown类似曲线C:绕轴旋转曲面方程._1073189851.unknown_1234503728.unknown曲线C:绕轴旋转曲面方程._1073189976.unknown_1234503849.unknown类似曲线C:绕z轴旋转曲面方程._1234503896.unknown曲线C:绕轴旋转曲面方程._1073189851.unknown_1234503937.unknown例5.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解:在yoz面上,直线L的方程为绕z轴旋转时,圆锥面的方程为例6.求坐标面xoz上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕x轴旋转绕z轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面（双叶及单叶）.所成曲面方程为所成曲面方程为yoz面上的椭圆:绕z轴旋转得旋转椭球面方程:绕y轴旋转得旋转椭球面方程:例7.旋转曲面特点：至少有两个变量的平方项系数相等.例8.将yoz平面上的抛物线C:绕z轴旋转一周所产生的旋转抛物面为:又如:将yoz平面上的抛物线C:绕y轴旋转一周所产生的旋转抛物面为:例9问方程:表示什么图形?解绕y轴旋转成的右半圆锥面部分。表示xoy平面上的直线例10表示顶点在z轴上(0,0,1)处,开口向下的旋转抛物面.(0,0,1)表示什么图形?解三、柱面引例.方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在xoy面上，表示圆C,沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为故在空间过此点作圆柱面.对任意z,平行z轴的直线l,表示圆柱面在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,定义3.平行定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面.表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xoy面上的抛物线.z轴的椭圆柱面.z轴的平面.表示母线平行于(且z轴在平面上)表示母线平行于C叫做准线,L叫做母线.一般地,在空间中柱面,柱面,平行于x轴;平行于y轴;平行于z轴;母线柱面,母线母线注:柱面方程与坐标面上的曲线方程容易混淆,在不同的坐标系中应该注意。一般地，在空间直角坐标系中xoy面上的曲线可表示为而相应表示柱面；同理可用此方法表示其它坐标面上的曲线：从柱面方程看柱面的特征：只含而缺的方程，在空间直角坐标系中表示母线平行于轴的柱面，其准线为面上曲线._998209673.unknown_998209825.unknown_1073191230.unknown_1073191253.unknown_998209824.unknown_998209627.unknown四、二次曲面(自学为主）此三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程（9种）,下面仅就几种常见的标准方程讨论其形状.研究二次曲面图形的基本方法:截痕法、伸缩法（P316)二次曲面基本类型有:锥面、椭球面、双曲面、抛物面、柱面二次曲面.(二次项系数不全为0)表示的曲面称为把平面称为一次曲面．1.椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆与的交线为椭圆：(4)当a＝b时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c时为球面.(3)截痕:为正数)2.抛物面(1)椭圆抛物面(p,q同号)特别,当p=q时为绕z轴的旋转抛物面.原点也叫椭圆抛物面的顶点.用坐标面与曲面相截截得一点，即坐标原点(p,q同号)(2)双曲抛物面（鞍形曲面）3.双曲面(1)单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x轴；虚轴平行于z轴）平面上的截痕情况:双曲线:虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z轴;相交直线:双曲线:(2)双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面双叶双曲面4.椭圆锥面椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的两直线.可以证明,椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.①(椭圆锥面也可由圆锥面经x或y方向的伸缩变换得到,见书P29)内容小结1.空间曲面三元方程 球面 旋转曲面如,曲线绕z轴的旋转曲面: 柱面如,曲面表示母线平行z轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.2.二次曲面三元二次方程 椭球面 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面 双曲面:单叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面:斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程平行于y轴的直线平行于yoz面的平面半径为3的圆以z轴为中心轴的圆柱面平行于z轴的平面思考与练习1.指出下列方程的图形:圆心在(0,0)2.P31题3，10题10答案:在xoy面上