二元函数的极值及其应用

郑州航空工业管理学院毕业论文（设计）2015届数学与应用数学专业1111061班级题目二元函数的极值及其应用姓名XXX学号XXXXXXX指导教师XXX职称XXX二О一五年四月三十日内容摘要二元函数理论是其他学科的基础，其中极值是函数中的重要内容，对极值也有很多研究方法，并且函数极值的理论有很多在生活中都有实际意义。无论是在科学研究，还是在物流，实际规划工程，通常要解决如何使投资量输出最大，产出最多，最高效率优化。这些实际问题都可以转化为一个数学问题来研究，进而转化为函数的极大值、极小值问题的解决。在本文中，首先给出的是二元函数的研究背景及现实意义，之后给出二元函数的非条件极值理论，二元函数条件极值理论，二元函数极值的判定，以及二元函数极值的理论应用举例。通过实例中的极值问题，说明所利用知识在求解二元函数极值问题中的重要应用。关键词二元函数；无条件极值；条件极值；判定；应用theExtremeValueofBinaryFunctionandItsApplicationXXXXXXBy:XXXXTutor:XXXXXAbstractDualfunctiontheoryisthefoundationofotherdisciplines,includingextremevalueisanimportantcontentinfunction,theextremevaluealsohasalotofresearchmethods,andthefunctionextremevaluetheoryhasalotinlifehaspracticalsignificance.Bothinscientificresearch,andinthelogistics,theactualplanningengineering,oftenneedtosolvehowtomaketheinvestmenttomaximumoutput,outputthemost,thehighestefficiencyoptimization.Theactualproblemcanbetransformedintoamathproblemresearchcapabilities,Andthenintothefunctionofthemaximumandminimumvalueproblemtosolve.Isfirstofall,thepaperproposestheresearchbackgroundandpracticalsignificanceofbinaryfunction,thengivetheunconditionalextremevalueofbinaryfunctiontheory,theconditionsofbinaryfunctionextremevaluetheory,extremevalueofbinaryfunctiondetermination,aswellastheextremevalueofbinaryfunctiontheoryapplication,forexample.Illustratedbyanexampleofextremevalueproblem,usingtheknowledgeinsolvingtheimportantapplicationofbinaryfunctionextremumproblems.KeywordsDualfunction；unconditionalextremum；conditionalextremevalue,；judgement；application目录第一章引言...............................................1第二章二元函数无条件极值理论.............................22.1二元函数无条件极值的定义............................22.2二元函数无条件极值存在的必要条件.....................22.3二元函数无条件极值存在的充分条件.....................32.4二元函数极值的求解方法...............................4第三章二元函数条件极值理论................................63.1二元函数条件极值的定义...............................63.2二元函数条件极值的求解方法...........................6第四章二元函数极值的判定.................................134.1一阶偏导数判定极值..................................134.2二元函数条件极值的简单判别法........................144.3极值判定的改进......................................17第五章二元函数极值的理论应用举例........................195.1二元函数极值的理论应用..............................195.2极值的实际应用......................................21..................................................24致谢..................................................25参考文献..................................................26第一章引言极值是函数的一个重要特征，而且在解决实际问题中是非常有现实意义的。为了获得生活或经济中的最佳，也常常通过用函数极值来解决我们需要解决的问题。函数极值在数学研究中占重要地位，而且应用性非常广泛。无论是在科学研究，还是实际工程，经济管理中，都存在最优化问题，将这些经济和生活问题转化为函数问题具有现实意义。为了使我们所学到的函数极值理论更好的应用在实际生活中，就需要我们更加系统的总结有关函数极值理论知识。通过这些问题的解决，函数极值会为我们的生活提供最合理的解决方案，所以极值理论在我们的现实生活中是不可或缺的，也是很具有现实意义的。函数是很多学科的基础，也有很多人对函数极值进行了更深层次的探究，并且学术性论文中都发了不少独到见解关于函数极值问题，并不断地对其存在的缺陷进行改进，同时在后来的时间里对此问题进行了更透彻的分析和补充。通过本文，我们将更透彻的全面的了解二元函数极值的理论与实际意义。第二章二元函数的无条件极值理论2.1二元函数无条件极值的定义定义一，设函数在的某个邻域内有定义，若该邻域内的任一点，成立不等式（或），则称函数在点处取得极小值（或极大值），称点为函数的极小值点（或极大值点）。极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。例2.1.1求的极值点与极值。解：在上连续，且当时，有。当时知，是稳定点，是不可导点。判定是否为极值点，由下表分析：不存在单调增单调减单调增点为的极大值点，极大值为；为的极小值点，极小值为。2.2二元函数无条件极值存在的必要条件定理1如果函数在点存在偏导数，且在处取得极值，则在该点处的偏导数必为零，即且。定理1说明，如果二元函数的两个偏导数存在，则可导函数的极值点必定是它的驻点，然而其逆命题不成立，即：函数的驻点不一定是极值点。例如函数，是它的驻点，但在点的某邻域内，直线上的点有然而上的点有所以点并不是以上函数的极值点。2.3二元函数无条件极值存在的充分条件定理2设函数的所有的二阶偏导数都在点附近连续，且有，，记,,那么（1）当时，在处取得极值，同时当时取极小值，时取得极大值。（2）当时，在没有极值。（3）当时，可能有极值，也可能不存在极值，因此需要重新讨论。例2.3.1求函数的极值。解：解方程组求得驻点为、、、。并且二阶偏导数，，。在点处，，又，所以函数在处有极小值；在点处，，所以不是极值；在点处，，所以不是极值；在点处，，又，所以函数在处有极大值。2.4二元函数极值的求解方法（1）首先求偏导数，，，，；（2）其次求解方程组，求出驻点；（3）求出不可导点；（4）分别求出在驻点和不可导点处的值，然后判断的符号，以及的符号，据此判断极值点的存在；（5）根据定理2的结论可以知道是否能取极值，是取极小值还是取极大值。例2.4.1求二元函数的极值。解：①解方程组解得驻点。②判定驻点是否为极值点：，，。在点处，，且，无法判断是否为极值点。但是由于在直线上，在取极小值；而在直线上，在取极大值，所以点不是函数的极值点。在点处，由于，故得出是的极小值。在点处，由于，故得出是的极小值。第三章二元函数条件极值理论3.1二元函数条件极值的定义以上我们所定义的无条件极值，除了其极值点的搜索范围目标函数的定义域外，没有其他条件的限制。但是，在实际生活问题中，我们还会碰到另一类极值问题，它会受到一些约束条件的限制，因此条件极值就是求解带有约束条件的极值问题。例如，要设计一个容量的矩形孔水箱，那么当水箱的长、宽、高各等于多少时，其表面积最小？设水箱的长度为、宽度为、高度分别为，因此表面积为.根据题意知，上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求，而且还需要满足条件.所需要解决的这种带有约束条件的极值，就是条件极值。3.2二元函数条件极值的求解方法1.代入消元法“代入消元法”是二元函数的一种常用方法。实际是通过消元法将条件极值转化为无条件极值。方法如下：由约束方程解得或，之后代入二元函数，转化为一元函数或例3.2.1求函数在圆周上上的最大值和最小值。解：将代入函数可得：。在上，比较函数在驻点以及区间端点的函数值，可知函数在处取得最大值，在处取得最小值。2.拉格朗日乘法求在约束条件下下的极值的拉格朗日乘数法：（1） 构造拉格朗日函数：，其中为待定系数，称为拉格朗日乘数，把条件极值问题转化为三元函数的无条件极值问题。（2） 由极值存在的必要条件，令解此联立方程组，得出可能的极值点。（3） 由实际问题来确定这样的点是否是极值点，然后计算出要求的极值。由于拉格朗日乘数法，引入了新的函数，增加了变量，从而使问题简化，解题变得更加简单。同样例1也可以用此方法来解答。解法如下：首先写出拉格朗日函数。令。有：解得可能的极值点，即或，并且，通过比较知，在圆周上的最大值是最小值是。3.拉格朗日乘法与一元函数判定的综合应用法此方法综合了两种求条件极值的方法，使得求二元函数条件极值的应用更加广泛。具体步骤如下：（1） 构造拉格朗日函数：（2） 由极值存在的必要条件，令解此联立方程组，得到几组解，并且都是在约束条件下下的驻点。由得出由得（3） 于是而。因此都是在约束条件下下的驻点，即：，。（4） 判别是否是极值点，设有连续的一阶，二阶偏导数，对的一阶，二阶导数存在。由一元函数极值的第二判别法知：①当时，在约束条件下下有极大值，且极大值为。②当时，在约束条件下下有极小值，且极小值为。例3.2.2已知当，求的极值。解：①构造拉格朗日函数：②解方程组，消去得到几组驻点有，，，。③，且根据，。将此代入可得。因此，在或处取得极小值，并且极小值为；在或处取得极大值，为。4.换元法换元法也是二元函数求条件极值的一种常用方法。对于约束条件是圆，椭圆等圆锥曲线的约束条件，可用此方法来求解条件极值问题。即引入第三变量，将转化为此变量，代入原二元函数，使其转化为一元函数，然后进行求解。例3.2.3已知实数满足，求函数的最大值。解：设，通过换元法将代入函数得到关于的函数，由于所以=因此二元函数的最大值为。5.判别式法判别式法也是用来求解二元函数条件极值的一种方法，即利用一元二次方程的判别式，讨论二元函数的变化范围，从而求出最大值与最小值。例3.2.4设，且满足，求的最大值与最小值。解：令，则，代入约束方程可得：又由于，则有，解得。由此解出，则的最大值为，最小值为。6.利用不等式求条件极值不等式包括重要的不等式，柯西不等式，三角函数的有界性，这些不等式在函数的极值问题中起着重要作用。例3.2.5设四边形的四边长一定，分别为，问何时面积最大。解：设四边形的一组对角为，面积为，则四边形的面积为，且，从而，解方程组解得所以当四边形接近圆时面积最大。当时，有基本不等式或成立。利用它可以证明：（1） 若两正数的和一定，则当时，则积取最大值；（2） 若两正数的积一定，则当时，则取最小值。例3.2.6当时，求满足的最小值。解：因为所以根据不等式，因此得最小值为4。例3.2.7当时，满足，求得最大值，并求达到最大值的。解：由于，且为整数，利用基本不等式，求满足约束条件的条件极值。，因此满足约束条件的最大值为。由于取最大值时有，则可得出方程组解得。综上：当时，取得最大值为。第四章二元函数极值的新判别方法我们在判定二元函数极值时，通常所用的方法是求二阶偏导数。但是利用此方法，计算较复杂，在某些条件的运用失效等。那么此方法中所存在的不足，就需要我们去探讨新的方法去改进，弥补不足之处，从而使二元函数极值的判定更方便，简捷，有效。4.1一阶偏导数判定极值利用一阶偏导数可以弥补我们通用方法的两方面的不足，一是不用计算二阶偏导数；二是当不能判定极值是否存在时，此方法依然适用，解决极值的判定。具体方法如下：设二元函数在点处的邻域内有连续偏导数，且是邻域内一点，此邻域为，则有引入函数，有，且在闭区间上连续，在开区间内可导，应用拉格朗日中值定理可得，存在一点且，使等式成立，即为等式：，其中，。又由于有，因此有如下：，即属于邻域。又由于，，则代入下式可得到：，若对任意属于邻域有，则有，即可得，由的任意性可得在处取得严格极大值；同理可得当时，有，即可得，由的任意性可得在处取得严格极小值。例4.1.1设，求此函数的极值。解：解方程组，得到驻点，则通过以上方法可得到：对于任意有，由以上解法结论可以知道，因此在处取得严格极小值。通过此例题我们可以看出，用此方法判定极值避免了计算三个二阶偏导数，而且在无效时，我们也很轻松地判定了在驻点处的极值问题。4.2二元函数条件极值的简单判别法对于二元函数求条件极值，如果我们能根据约束函数求解出隐函数，在将隐函数代入二元函数，便可将二元函数转化为一元函数求极值。但是在解决隐函数时不一定用解析式能表达出来，这样求解起极值就变得麻烦起来，因此我们给出以下更简便的方法来判定条件极值。设二元函数具备以下条件：（1）函数的一个稳定点的坐标为；（2）所有二阶偏导数在点的某邻域连续；（3）。设，，，令是在点某邻域确定的隐函数，则设，其中有、。当时，二元函数在条件下在点取极小值。当时，二元函数在条件下在点取极大值。证明：由（2）知所有二阶偏导数在点的某邻域连续，已知稳定点，那么在稳定点处有，又知道，根据隐函数存在定理，方程在点的邻域内唯一确定一个具有连续导数的隐函数，使得并且，。因在点的邻域内有连续二阶偏导数，因此有、，令，则有在有二阶连续偏导数，则，又因，可知是的稳定点的坐标，据此也容易知道，所以，即是的稳定点。因，由于，，在点处分别求出，，，的值，则有，因此根据上有结论知，当时，，由于一元函数在充分条件下可判定在处取极小值，则二元函数在条件下在点取极小值；同理当时，，由于一元函数在充分条件下可判定在处取极小大值，则二元函数在条件下在点取极大值。例4.2.2设函数在约束条件下的极值。解：设，。由方程组解得，由于，因此在的邻域内存在隐函数，即为，则在点处有：，，且，，则根据以上方法有，因此，二元函数在条件下在点取极小值，且极小值为。4.3极值判定的改进通常我们在用判定极值时，其中两个混合偏导数是相等的，而我们对此方法的改进就是不再要求两个混合偏导数相等，能在更弱的条件下进行使用。设函数在点的邻域内一阶偏导可微，，，，则（1）时没有极值点；（2）时，有极值点，若或，在极值点处取极大值；若或时，在极值点处取极小值；（3），还要进一步讨论是否存在极值。证明在某圆形领域内，对于自变量给予改变量，且不全为零。函数，有如下结论，在点处是极大值或极小值点的充要条件为对于任意一组不全为零的改变量，一元函数在处取得极大或极小值。并且：，从而有：，再求二阶偏导得：因此，。根据二次型理论知：（1） 当时，二次型正定或者负定。当时正定，，则此时在处取得极小值。同理，当时取得极大值。（2） 当时，二次型不定号，因此在的邻域内，既有使得，也有的，因此在此点处不是极值点。（3） 当时，发生的可能性很多，没有定论。第五章二元函数极值的应用二元函数极值无论在科学研究，还是实际工作生活中都有重要的应用；并且数学研究中的重要内容之一就是函数极值问题，且其应用广泛，研究方法也很多。因此，在学科研究中，几何极值的应用，极值在最小二乘法中的典型应用，都说明了极值的重要性；在实际工程，运筹规划，经济管理中，解决投入量，效益等最优化问题，都是运用极值来解决的。在本章中我们将通过一系列例题来更加清楚地了解它的应用。5.1二元函数极值的理论应用（1） 几何应用例5.1.1有曲线段，在此曲线段上求出一个使法线与原点距离最大的点。解：曲线上点的法向量为，切向量为；原点到法线的距离。于是解决极值问题，使。将问题转化为，使。令，则由，解出。由此得所求点为，现将此点带入中求出最大距离为。（2） 极值在最小二乘法中的应用在大学教材中，最小二乘法通常适用于二元函数极值为例，在求解最小二乘法时，有总偏差最小，并且取得最小值，由二元函数取极值的必要条件可以得出：，整理关于得到方程组得由此可知运用二元函数求极值的必要条件，便可进行求解。下面我们运用例题来分析：例5.1.2某企业的业务收入与广告费支出具有相关关系，该企业1998-2008年的业务收入和广告费支出的资料如下表所示：（万元）年份9899200001020304050607广告支出47912141720222527业务收入7121720232629323540利用表中数据，建立业务收入依赖于广告费的经验公式。解：通过建立坐标系，将数据在坐标系中标出，观察可知成散点图，图形成直线趋势，以此可建立线性方程的经验公式。设业务收入依赖于广告费用的经验公式为，待定。为此计算标准方程组，即，其中的有关系数如下表，123456789104791214172022252715771217202326293235402411649911441962894004846257293013288415324032244258070487510804508将表中数据代入方程组得，解此方程组得，得到线性关系为。5.2极值的实际应用（1）在我们的生活中，常常会碰到要买两种商品，但是由于钱数固定，又要想买到令人满意的组合，这就涉及到了要如何分配定量的钱的问题，也就是为使分案达到最佳，从而求最值的问题。例5.2.1设小孙有200元钱，他决定来购买两种商品：电脑磁盘还有磁带，他要买电脑磁盘张，买磁带盒，现在我们设效用函数为。现定价每张电脑磁盘8元，每盒磁带10元，为了达到最满意的效果，问他应该如何支配这200元钱？解：这是一个求附有约束条件的极值问题，求最佳方案，即求在附有约束条件下的极值点问题。现在我们根据拉格朗日乘数法，定义拉格朗日函数为：，所以解得由于原问题显然存在最大值，且驻点惟一，故为最大值点。根据的实际意义，取如果买12张电脑磁盘和10盒磁带的话，会使小孙达到最满意的效果。（2）在投资生产中，目的就是为了获得最大投资利润，在此给出例题分析极值在获得最大利润及最大产量中的应用。并且对于二元经济函数的优化问题，要分清是无条件极值问题还是条件极值问题。若是条件极值问题，要分清目标函数和约束条件，用拉格朗日乘数法分析处理。例5.2.2设某工厂要生产甲，乙两种产品，产量为千只，现有利润函数为假如现在有原料15000（不必须用完），生产每千只两种产品要消耗原材料2000.求：（1）使利润最大时的产量和最大利润；（2）如果现有总的原料为12000，求最大利润时产品的产量。分析（1）中原料15000并不要求用完，因此可以先看作无条件极值来进行求解，如果达到最优的产量对应原材料耗费超过15000，则可改为在约束条件下的条件极值问题。（2）类似的由（1）结果判断最优解对应的原料不足12000，则仍为无条件极值，否则为条件极值问题。解（1）由题意，令，得又，所以,因此既是极大值点，也是最大值点。而此时所用原料为，所以即为所求，即甲产品为4千只，乙产品为3千只时获得利润最大，且最大利润为。（2）当原材料为12000时，最优解产量所用原材料已超出现在所有得总量。故此时应求在约束条件下的最大值。设令，得。由实际意义我们可以知道，为最值点，所以甲乙两种产品各生产3200只和2800只时利润最大，最大利润为单位。总结通过对二元函数的极值及其应用的研究，我们了解到极值在函数中具有很重要的作用，以及其在理论与实际中的广泛应用。通过学习我们也了解到，二元函数的理论也是其他学科的基础，与其他学科有一定的联系。例如，二元函数的极值在几何学中应用，在经济领域的应用等；这使我们深刻的意识到二元函数极值及其应用的重要性。无论是在学科研究还是在实际生活中，其应用都是十分广泛的，并且都具有现实意义。通过我们对求解极值的方法探究，并进一步深入到最大最小值的问题，从而广泛应用推广。这使得我们对二元函数极值的应用会更加得当，并在生活中更加充分的应用。通过本文我们会更深刻的了解到数学在人类的工作生活中是必不可少的应用工具，并且给予了我们很大的帮助。※※※※※致谢在这几个月的时间里，在老师耐心的指导和同学的热情帮助下，我完成了这篇论文。论文准备结束，我首先要感谢我的论文指导老师—XXX老师，正是由于史老师的耐心帮助和不厌其烦地指导，我才能在这段时间内顺利完成论文的初稿与定稿。同时也要感谢我系的所有老师以及同组的同学，在我写论文期间给予了我很大的帮助，尤其在某些问题的难点研究以及论文构思和排版。由于对数学更深层次研究的水平有限，所以自己所写的论文仍有很多不足与缺陷。但是在准备此论文的过程中，让我对这部分知识得到了更深的理解。在这里我恳请各位老师和同学批评与指正，并再次真诚的感谢我的指导老师以及我系全体老师。参考文献[1].华东师范大学数学系，《数学分析》下册，第三版[2].吴礼斌，《经济数学基础》高等教育出版社，2005[3].王孝成，《经济管理数学》东南大学出版社，2002[4].王晓琴，二元函数条件极值的几种简单解法，廊坊师范学院学报，2009，第六期,25-27[5].韩国栋，武瑛，最小二乘法的研究型教学[J]，科技信息，2010，第二十七期[6].谢洪禄，二元函数极值判定的改进[J]，绥化学院学报，2011，第三期,189-190[7].王晓路，用拉格朗日乘数法巧解二元函数最值[J]，数学教学通讯，2011，第四期,51-60[8].汤茂林，二元函数极值在生产和投资决策中的运用[J]，职大学报，2012，第三期,77-79[9].冯守平，关于二元函数极值判别法的改进[J]，韶关学院学报，2014，第六期，11-15