抽象代数期末考试试卷及答案

精品文档抽象代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。A、2阶B、3阶、4C阶D、6阶2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个、5个B、6个C、7个D3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。A、偶数B、奇数、4C的倍数、2D的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,）、（Z,）BC、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、(P(A),)5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)、12)，(13)，B(23)C、(1)，(123)、S3中的所有元素D二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f1fa----------。3、区间[1，2]上的运算ab{mina,b}的单位元是-------。4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。5、环Z的零因子有-----------------------。86、一个子群H的右、左陪集的个数----------。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。9、设群G中元素a的阶为m，如果ane，那么m与n存在整除关系为--------。精品文档精品文档三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S，S是A的子环，则S∩S也是子环。S+S也是子环吗？121212(1345)(1245)(234)(456)S3、设有置换，6。1．求和1；2．确定置换和1的奇偶性。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。精品文档精品文档近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一；2、a；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；mn9、；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2有a-b,∈S1ab∩S2：因为S1，S2是A的子环，故a-b,∈S1ab和a-b,∈S2ab，因而a-b,∈S1ab∩S2，所以S1∩S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：3、解：．1(1243)(56)，1(16524)；2．两个都是偶置换。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a0，由理想的定精品文档精品文档义a1a1，因而R的任意元bb1这就是说=R，证毕。2、证必要性：将b代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2，(aba)=ab2a=e所以b=a-1。——————————————————————————————————————一．判断题(每小题2分,共20分)1.实数集R关于数的乘法成群.（）2.若H是群G的一个非空有限子集，且a,bH都有abH成立，则H是G的一个子群.（）3.循环群一定是交换群.（）4.素数阶循环群是单群.（）5.设G是有限群，aG，n是a的阶，若ake，则n|k.（）6.设f是群G到群G的同态映射，H是G的子群，则fH是G的子群.（）7.交换群的子群是正规子群.（）|G|8.设G是有限群，H是G的子群，则G.（）H|H|9.有限域的特征是合数.（）10.整数环Z的全部理想为形如nZ的理想.（）二．选择题(每小题3分,共15分)11.下面的代数系统G,中，（）不是群.GA.为整数集合，为加法；GB.为偶数集合，为加法；GC.为有理数集合，为加法；D.G为整数集合，为乘法.12.设H是G的子群，且G有左陪集分类H,aH,bH,cH.如果H的阶为6，那么G的阶G（）A.；6B.24；C.10；D.12.精品文档精品文档13.设S1,12,13,23,123,132,，则S中与元123不能交换的元的个数33是A.；1B.；2C.；3D.4.14.从同构的观点看，循环群有且只有两种，分别是（）A.（G=a）与G的子群；B.整数加法群与模n的剩余类的加法群；C.变换群与置换群；D.有理数加法群与模n的剩余类的加法群.15.整数环Z中，可逆元的个数是(。)A.1个B.2个C.4个D.无限个三．填空题(每小题3分,共15分)16.如果G是全体非零有理数的集合，对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是.17.n次对称群S的阶是____________.n18.整数加法群Z关于子群nZ的陪集为.NGG19.设是的正规子群，商群N中的单位元是。20.若R是交换环,aR则主理想a____________.四．(第21小题8分,第22小题12分，共20分)12345612345621.令，，654321231564123456，计算,1.62135422.设H{(1),(123),(132)}是3次对称群S的子群，求H的所有左陪集和右陪集，并说3明H是否是S的正规子群.3五．证明题(每题10分,共30分)精品文档精品文档23.设G是群，H是G的子群，证明：aG，则aHa1也是子群24.设G是群，H是G的正规子群.G关于H的陪集的集合为G{gH|gG}H，证明：G/H对于陪集的乘法成为一个群，称为G对H的商群.25.证明：域F上全体nn矩阵的集合MF在矩阵的加法和乘法下成为环.n一．判断题(每小题2分,共20分)1-10××√√√√√√×√二．选择题(每小题3分,共15分)11.D；12.B；13.C；14.B；15.B.三．填空题(每小题3分,共15分)16.；117.n!；18.nZ,nZ1,,nZn1；19.N；20.aR.四．计算下列各题(第21小题8分,第22小题12分，共20分)12345621.解：，4分546213精品文档精品文档1234561.8分31264522.解：H的所有左陪集为H{(1),(123),(132)}，12H{(12),(13),；(23)}4分H的所有右陪集为H{(1),(123),(132)}，H12{(12),(13),(23)}.对S，有HH，即H是正规子群.12分3五．证明题(每题10分,共30分)23.证明：因为H是G的子群，对任意x,yH，有xy1H.4分由题意，对任意x,yH，有ax1,a1ay1a，a从H而aaxa1ay1a1axy1a1aHa1，即aHa1也是子群.10分G24.证明：首先H对于上述乘法是封闭的，且乘法满足结合律.3分陪集HeH是它的单位元，eHgHegHgH,gH.7分又任意gH，有g1HgHeHgHg1H，即g1H是gH的逆元.10分25.证明：MF关于加法是封闭的，且满足结合律，3分n零元是0，对任意AMF，有AA0，即A的负元是A.nnnnnnnnnnnnnnnMF关于乘法是封闭的，且满足结合律，单位元是E.8分nnn乘法关于加法的分配律成立.10分精品文档精品文档精品文档