二次微分方程的通解

二次微分方程的通解二次微分方程的通解二次微分方程的通解第六节二阶常系数齐次线性微分方程教学目的:使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点:二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程:一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:方程y+py+qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程,其中p、q均为常数、如果y1、y2就是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解,那么y=C1y1+C2y2就就是它的通解、我们瞧瞧,能否适当选取r,使y=erx满足二阶常系数齐次线性微分方程,为此将y=erx代入方程y+py+qy=0得(r2+pr+q)erx=0、由此可见,只要r满足代数方程r2+pr+q=0,函数y=erx就就是微分方程的解、特征方程:方程r2+pr+q=0叫做微分方程y+py+qy=0的特征方程、特征方程的两个根r1、r2可用公式求出、特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时,函数、就是方程的两个线性无关的解、这就是因为,函数、就是方程的解,又不就是常数、因此方程的通解为、(2)特征方程有两个相等的实根r1=r2时,函数、就是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解、这就是因为,就是方程的解,又,所以也就是方程的解,且不就是常数、因此方程的通解为、(3)特征方程有一对共轭复根r1,2=aib时,函数y=e(a+ib)x、y=e(aib)x就是微分方程的两个线性无关的复数形式的解、函数y=eaxcosbx、y=eaxsinbx就是微分方程的两个线性无关的实数形式的解、函数y1e(a+ib)x与y2e(aib)x都就是方程的解而由欧拉公式得y1e(a+ib)xex(cosxisinx)y2e(aib)xex(cosxisinx)y1y22excosxy1y22iexsinx故eaxcosbx、y2=eaxsinbx也就是方程解、可以验证,y1=eaxcosbx、y2=eaxsinbx就是方程的线性无关解、因此方程的通解为y=eax(C1cosbx+C2sinbx)、求二阶常系数齐次线性微分方程y+py+qy=0的通解的步骤为:第一步写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0第二步求出特征方程的两个根r1、r2、第三步根据特征方程的两个根的不同情况,写出微分方程的通解、例1求微分方程y-2y-3y=0的通解、解所给微分方程的特征方程为r2-2r-3=0,即(r1)(r3)0其根r1=-1,r2=3就是两个不相等的实根,因此所求通解为y=C1e-x+C2e3x、例2求方程y+2y+y=0满足初始条件y|x=0=4、y|x=0=-2的特解、解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0,即(r1)20其根r1=r2=1就是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x、将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而y=(4+C2x)e-x、将上式对x求导,得y=(C2-4-C2x)e-x、再把条件y|x=0=-2代入上式,得C2=2、于就是所求特解为x=(4+2x)e-x、例3求微分方程y-2y+5y=0的通解、解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0特征方程的根为r1=12ir2=12i就是一对共轭复根因此所求通解为y=ex(C1cos2x+C2sin2x)、n阶常系数齐次线性微分方程:方程y(n)+p1y(n-1)+p2y(n-2)++pn-1y+pny=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2,,pn-1,pn都就是常数、二阶常系数齐次线性微分方程所用的以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去、引入微分算子D及微分算子的n次多项式L(D)=Dn+p1Dn-1+p2Dn-2++pn-1D+pn则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(Dn+p1Dn-1+p2Dn-2++pn-1D+pn)y=0或L(D)y0注D叫做微分算子D0yyDyyD2yyD3yyDnyy(n)分析令yerx则L(D)yL(D)erx(rn+p1rn-1+p2rn-2++pn-1r+pn)erx=L(r)erx因此如果r就是多项式L(r)的根则yerx就是微分方程L(D)y0的解n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程L(r)rn+p1rn-1+p2rn-2++pn-1r+pn0称为微分方程L(D)y0的特征方程特征方程的根与通解中项的对应:单实根r对应于一项:Cerx;一对单复根r1,2=aib对应于两项:eax(C1cosbx+C2sinbx);k重实根r对应于k项:erx(C1+C2x++Ckxk-1);一对k重复根r1,2=aib对应于2k项:eax[(C1+C2x++Ckxk-1)cosbx+(D1+D2x++Dkxk-1)sinbx]、例4求方程y(4)-2y+5y=0的通解、解这里的特征方程为r4-2r3+5r2=0,即r2(r2-2r+5)=0,它的根就是r1=r2=0与r3,4=12i、因此所给微分方程的通解为y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x)、例5求方程y(4)+b4y=0的通解,其中b0、解这里的特征方程为r4+b4=0、它的根为,、因此所给微分方程的通解为、二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程:方程y+py+qy=f(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程,其中p、q就是常数、二阶常系数非齐次线性微分方程的通解就是对应的齐次方程的通解y=Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y=y*(x)之与:y=Y(x)+y*(x)、当f(x)为两种特殊形式时,方程的特解的求法:一、f(x)=Pm(x)elx型当f(x)=Pm(x)elx时,可以猜想,方程的特解也应具有这种形式、因此,设特解形式为y*=Q(x)elx,将其代入方程,得等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x)、(1)如果l不就是特征方程r2+pr+q=0的根,则l2+pl+q0、要使上式成立,Q(x)应设为m次多项式:Qm(x)=b0xm+b1xm-1++bm-1x+bm,通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,,bm,并得所求特解y*=Qm(x)elx、(2)如果l就是特征方程r2+pr+q=0的单根,则l2+pl+q=0,但2l+p0,要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x)、成立,Q(x)应设为m+1次多项式:Q(x)=xQm(x),Qm(x)=b0xm+b1xm-1++bm-1x+bm,通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,,bm,并得所求特解y*=xQm(x)elx、(3)如果l就是特征方程r2+pr+q=0的二重根,则l2+pl+q=0,2l+p=0,要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x)、成立,Q(x)应设为m+2次多项式:Q(x)=x2Qm(x),Qm(x)=b0xm+b1xm-1++bm-1x+bm,通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,,bm,并得所求特解y*=x2Qm(x)elx、综上所述,我们有如下结论:如果f(x)=Pm(x)elx,则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy=f(x)有形如y*=xkQm(x)elx的特解,其中Qm(x)就是与Pm(x)同次的多项式,而k按l不就是特征方程的根、就是特征方程的单根或就是特征方程的的重根依次取为0、1或2、例1求微分方程y-2y-3y=3x+1的一个特解、解这就是二阶常系数非齐次线性微分方程,且函数f(x)就是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=3x+1,l=0)、与所给方程对应的齐次方程为y-2y-3y=0,它的特征方程为r2-2r-3=0、由于这里l=0不就是特征方程的根,所以应设特解为y*=b0x+b1、把它代入所给方程,得-3b0x-2b0-3b1=3x+1,比较两端x同次幂的系数,得-3b0=3,-2b0-3b1=1、由此求得b0=-1,、于就是求得所给方程的一个特解为、例2求微分方程y-5y+6y=xe2x的通解、解所给方程就是二阶常系数非齐次线性微分方程,且f(x)就是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=x,l=2)、与所给方程对应的齐次方程为y-5y+6y=0,它的特征方程为r2-5r+6=0、特征方程有两个实根r1=2,r2=3、于就是所给方程对应的齐次方程的通解为Y=C1e2x+C2e3x、由于l=2就是特征方程的单根,所以应设方程的特解为y*=x(b0x+b1)e2x、把它代入所给方程,得-2b0x+2b0-b1=x、比较两端x同次幂的系数,得-2b0=1,2b0-b1=0、由此求得,b1=-1、于就是求得所给方程的一个特解为、从而所给方程的通解为、提示y*=x(b0x+b1)e2x(b0x2+b1x)e2x[(b0x2+b1x)e2x][(2b0x+b1)(b0x2+b1x)×2]e2x[(b0x2+b1x)e2x][2b02(2b0xb1)×2(b0x2+b1x)×22]e2xy*5y*6y*[(b0x2+b1x)e2x]5[(b0x2+b1x)e2x]6[(b0x2+b1x)e2x][2b02(2b0xb1)×2(b0x2+b1x)×22]e2x5[(2b0x+b1)(b0x2+b1x)×2]e2x6(b0x2+b1x)e2x[2b04(2b0xb1)5(2b0x+b1)]e2x[2b0x+2b0b1]e2x方程y+py+qy=elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]的特解形式应用欧拉公式可得elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx],其中,、而m=max{l,n}、设方程y+py+qy=P(x)e(l+iw)x的特解为y1*=xkQm(x)e(l+iw)x,则必就是方程的特解,其中k按liw不就是特征方程的根或就是特征方程的根依次取0或1、于就是方程y+py+qy=elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]的特解为=xkelx[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx]、综上所述,我们有如下结论:如果f(x)=elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx],则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy=f(x)的特解可设为y*=xkelx[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx],其中R(1)m(x)、R(2)m(x)就是m次多项式,m=max{l,n},而k按l+iw(或l-iw)不就是特征方程的根或就是特征方程的单根依次取0或1、例3求微分方程y+y=xcos2x的一个特解、解所给方程就是二阶常系数非齐次线性微分方程,且f(x)属于elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型(其中l=0,w=2,Pl(x)=x,Pn(x)=0)、与所给方程对应的齐次方程为y+y=0,它的特征方程为r2+1=0、由于这里l+iw=2i不就是特征方程的根,所以应设特解为y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x、把它代入所给方程,得(-3ax-3b+4c)cos2x-(3cx+3d+4a)sin2x=xcos2x、比较两端同类项的系数,得,b=0,c=0,、于就是求得一个特解为、提示y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x、y*=acos2x2(ax+b)sin2x+csin2x+2(cx+d)cos2x(2cx+a2d)cos2x+(2ax2bc)sin2xy*=2ccos2x2(2cx+a2d)sin2x2asin2x+2(2ax2bc)cos2x(4ax4b4c)cos2x(4cx4a4d)sin2xy*y*(3ax3b4c)cos2x(3cx4a3d)sin2x由得,b=0,c=0,、