上海理工大学《光学》考研重点笔记

专业课复习资料（最新版）封面1第一章光的干涉一、光波从波动观点看，光波是一种电磁波，可见光波的范围为3900~7600（即，频率为3.9×1014Hz~7.8×1014Hz）。引起大多数光效应的主要是电磁波中的电矢量，因此，称电矢量为光矢量。1、沿X方向传播的单色平面简谐波的波函数（也称波动方程）为：])(2cos[])(2cos[,00nxTtAXTtAtPE方程中各特征量的物理意义及关系如下：（1）波速v，波长，周期T，频率，关系Tv。真空中波长为，则介质中波长n'。（2）位相：0)(2XTt位相差：)()(2020112nxnx，当0201时得位相差与光程差的关系：2。（3）光强I=A2。二、光的迭加和干涉迭加原理：当两列或多列光波同时在同一介质中传播时，在它们交迭区域内每一点的振动是各列波在该点产生振动的迭加。1、相干迭加：当两列波在相遇点有相同的振动方向和频率，且常数时，则会出现稳定的干涉条纹。A：当,2,1,0,2jj时，Imax=(A1+A2)2——相长B：当,2,1,0,)12(jj时，Imin=(A1+A2)2——相消C：当A1=A2=A时，2cos422AI。D：对于多束光的相干迭加，若A1=A2=…=A，则迭加后光强在(nA)2与0之间。2、非相干迭加：如果两列光波在相遇点，常数，为时间的迅变函数，则不出现稳定的干涉。A：合振动光强：I=I1+I2B：对多光束光，如果A1=A2=…=In=I0，则合振动光强I=nI0。3、相干条件：A：相干光必须满足的条件：（1）在场点振动方向相同或有方向相同的振动分量；（2）振动频率相同；（3）有恒定的位相差。B：相干光波辅助条件：（1）振幅相互接近，不能太悬殊；（2）两束光到达观察点的光程差不能太大，要求是同一批原子发出的光相遇。4、干涉条纹的可风度——描述干涉花样清晰程度的物理量。V=，它与光源的单色性、光源的大小及两束相干光波的相对强度有关。如果其它都是理想的条件下，两相干波振幅分别为A1，A2，则可2见度V=22121)(12AAAA。三、双光束分波前干涉1、干涉光强分布公式：I（P）=A21+A22+2A1A2cos=I1+I2+cos221II2、位相差：)(20201,一般地0201，因此022rdy。3、明纹位置：,2,1,0,0jdrjy．4、暗纹位置：,2,1,0,)21(0jdrjy．5、涉条纹间隔：dryy0'．6、注意：对于具体装置应先求出d，r0代入上述公式。四、薄膜干涉[分振幅干涉]1、菲涅尔公式：见教材P42，式１－３０~式１－３３；正方向规定见，图1—16。要求：会用菲涅尔公式解释“半波损失”现象的产生。2、薄膜干涉光程差：薄膜干涉属于分振幅干涉，这是一种多光束干涉，在薄膜面反射率较低的情况下，可作为双光束干涉处理，平行平面薄膜上、下表面反射光的光程差为2sin22cos212212222innhihn。其中，2是由“半波损失”差别决定的光程差：若上表面有“半波损失”，下表面无“半波损失”取2。（)321nnn；若上表面无“半波损失”，下表面有“半波损失”取2。（)321nnn；若上、下表面都有（或都无）“半波损失”则无2项（)321nnn或（)321nnn。若薄膜上、下表面不完全平行，则对于薄膜附近的点上式近似成立。3、相长、相消条件：相长（明）条件：,2,1,,2sin2122122ojjinnh。相消（暗）条件：,2,1,,)21(2sin2122122ojjinnh。薄膜干涉分为等倾干涉和等厚干涉。4、等倾干涉：，n1，n2一定，不同的i1或i2引起的条纹称等倾干涉条纹。等倾圆条纹的特点：（1）从中心到边缘干涉级逐渐减小；（2）从中心往外走，干涉环间距逐渐减小。5、等厚干涉：，n1，n2，i1或i2一定，不同的h形成不同的条纹称等厚干涉条纹。等厚干涉条纹决定于等厚点的轨迹。6、等厚干涉的应用：A：尖劈形薄膜干涉：条纹为一组平行于棱的平行线。对于光垂直照射：相邻两明（或暗）条纹的3高度差22nh；相邻两明（或暗）条纹的间距22nl。B：牛顿环：条纹是以接触点为中心的同心圆环，在反射光中：明环的半径,2,1,0,)21(jRjrj……；暗环的半径,2,1,0,'jjRrj……。测量Ｒ或的公式：mrrRjmj22；mRrrjmj22。C：镀膜光学元件——增透膜。五、迈克尔逊干涉仪条纹移动数目与平面镜移动距离的关系：2Nh。二、举例一、思考1、光的独立传播定律和光的迭加原理是否致？迭加和干涉有何区别与联系？答：光的独立传播定律是迭加原理的基础，正因为各列波相遇时互不干扰彼此独立，迭加原理才成立，波的迭加可分为相干迭加和非相干迭加两种情况，所以，波的干涉是波的迭加的一种特殊情况。2、有两列频率相同的光波在空间相遇后，若产生干涉，则该两列光波在相遇点应具备什么条件？答：应满足（1）两波在相遇点有固定的位相差；（2）两光波在相遇点振动方向沿同一直线；（3）两光波在相遇点光程差不能太大；（4）两光波在相遇点所产生的振动的振幅不能太悬殊。3、为什么厚的膜观察不到干涉条纹？如果薄膜厚度很薄，比入射光波波长小得多，又能否观察到干涉条纹？答：薄膜干涉中，两相邻相干光的光程差为：2cos222ihn，其中，n2为薄膜折射率，为h膜厚，i2为膜内光线的折射角，对于相邻干涉级j和j+1级明纹满足下列条件：hjin2)21(cos22,hjin2)211(cos'22。两式相减得：hiin2)cos(cos2'22，当入射角较小时，21cosii，代入得hnii2222'2。由此可见，薄膜厚度h越大，则的值222'2ii越小，亦即产生的条纹越密，从而使干涉条纹分辩不清。另一方面，当薄膜厚度使光程差大于光波的相干长度时，两相应的波列就不能重叠，因而，观察不到干涉条纹。当h减小时，条纹间距逐渐增大，当h时，就观察不到干涉现象了。4、在教材P27图1—4所示的杨氏实验装置中，如作如下变化，试简述屏上干涉茶的变化情况。（1）双缝间距加倍；（2）观察屏移离双缝；（3）将光源S向上（或向下）作微小移动；（4）将整个装置放在水中进行；（5）双缝间距逐渐减小，当间距d与波长相比拟时情况如何？（6）双缝宽度加倍；（7）双缝中S1（或S2）稍微加宽；（8）光源缝S慢慢地张开；（9）换用白光照射光源S；（10）换用两个独立的光源分别照射S1和S1；（11）在S1（或S2）出口处加一折射率为n，厚度为t的透明薄片；（12）把S1（或S2）中的一个缝关闭，在其垂直平分线上加一平面镜M。答：（1）双缝间距加们时，条纹间距减小为原来的一半。（2）观察屏移离双缝时，条纹间距变宽。4（3）S上移，条纹下移；S下移，条纹上移。且条纹移动的距离与S移动的距离成正比。（4）将整个装置放在水中进行时，条纹间距减小为原来的3/4。（5）当d逐渐减小时，条纹间距增大，当d~时，几乎观察不到干涉条纹。（6）双缝宽度加倍时，只是明纹更亮而已，其它均不变。（7）这时I1=I2，这样条纹可见度V下降。（8）光源缝S慢慢地张开时，条纹可见度V逐渐下降，亮条纹宽度逐渐增加。（9）换用白光照射光源S时，除中央明纹外，蓁条纹均带彩色，由于不同光波的重迭，使观察到的条纹数目减少。（10）除激光外，两独立光源是非相干的，故不产生干涉条纹。（11）这时S1（或S2）的光路中增加了光程tn)1(，因此，条纹要移动。若盖上缝，条纹上移；若盖下缝，条纹下移。移动条纹数目tnj)1(。移动距离tndryjy)1(0，利用它可以用来测量n（或t）。（12）这时就相当于一个洛埃镜，因此，只在上半个屏的部分区域出现干涉条纹，并且，由于“半波损失”的作用，使得原来的明条纹变成暗条纹，原来的暗条纹变成明条纹。二、：解题方法小结：第一步：求相干光到达观察屏上任一点P的光程差，则条纹形状由=常数的曲成与屏的交线形状决定。第二步：利用光程差与位相差的关系：2，求出。第三步：利用迭加光强分布公式：cos2cos2)(2121212221IIIIAAAAPI第四步：讨论屏上亮纹、暗纹的位置及其间距。例1、设有两相干点源S1和S2相距为t，将接收屏垂直于S1S2连线的延长线放置，接收屏到S1S2中心的距离为D，问在接收屏上产生的干涉图样是什么形状？并证明第j级明纹距屏中心的距离为：)1(2tjDX（设D>>t，X）解：若S1，S2到干涉场中P点的光程差为常数，则P点的轨迹是以S1，S2为焦点的，S1，S2连线为轴线的旋转双曲面[见教材P22图1—3（a）所示]，垂直于S1，S2连线的接收屏和这些双曲面的交线为干涉花样，因此，干涉花样是以O为中心的一组同心圆环。设在P点产生j级主极大，由右图知：jtPSPScos21，因为D》x，t，角很小，所以2cos2i。则：jit)2(2，)1(2tj，在S1PO中可得：5=x/D于是第j级明纹的半径为)1(2tjDX。例2、如图，杨氏实验中，已知mmOPrmmSSd200,2.0021，若第十级明纹'10P离P0为mmPPy60'1010。试求（1）入射光波波长=？（2）干涉条纹间距y=？（3）当在S1的出口出加一块厚度为t=0.06mm，折射率为n=1.5的玻璃片时，'10P的移动方向和数值。（4）问在离P点0.075mm处的P点的光强与P0点光强之比为多少？解：（1）12rr，因2102022)2(dyrr，2102021)2(dyrr，因而1031222dyrr，所以，drrdyrrdyrr因,222010211012，因此，mmyrd3100106。（2）利用明条件：j，Ammj043600010610106。（3）mmdry6.00。或者mmyy6,01010。（4）这时光程差为tnrdtn)1()1(0'，对于中央明纹有'=0，所以0)1(0tnrd，mmtndry30)1(0。负号表示向下移动，因此，条纹下移30mm。（5）对于P点：422,00rdyrdy。利用光强公式：854.08cos2cos)()(,4)(,2cos4)(2202022PIPIAPIAPI。例3、用绿的单色光（λ=5000埃）照射肥皂膜，若沿与肥皂膜平面与30°角方向观察，看到膜最亮，设此时干涉级为0，已知肥皂水的折射率为1.33，求（1）此膜的厚度，（2）当垂直注视时，应改用怎样波长的光照射，才能看到膜最亮？解：（1）已知n2=1.33，i2=90°-30°=60°，λ=50000A=5×10-5cm，j=0利用薄膜干涉明条纹条件：6cminjinjh51222221024.1sin2).21(cos2)21(。（2）垂直注视时，i2=0，j=0所以，22)21(njh，（红光）例4、（1）如图，尖劈形薄膜，右闻风而动厚度h=0.005cm，折射率n=1.5，波长为70700A的光以30°的入射角入射到劈的上表面，求在这个面上产生的干涉条纹数目。若以两玻璃片形成的空气膜代替，则产生多少条纹？（2）对于两块玻璃片形成的空气尖劈当视线与玻璃片平面正交时看到单角光的干涉条纹宽度为0.03cm，若两片玻璃间是水，则条纹宽度为多少？（水的折射率为4/3）解：（1）根据明暗条件，相邻两条纹间的厚度差为：12212212sin2innhhh因此，厚度h内可观察到的条纹总数目为：122122sin2innhhhN，这里n2=1.5，n1=1.0，i1=30°，λ=70700A代入得N=200条；对于空气尖劈n1=n2=1.0，则N=122条。（2）由明暗条件，当i0=0时，22nh，但尖劈的顶角委小，如以X表示条纹宽度，则由图可知，Xh.，所以，Xn22，在题中，为常数，因此，对于折射率n2不同的尖劈形物质，条纹宽度与折射率成反比，即n1X1=n2X2，故X2=X1=0.023cm。例5、（1）用1=60000A和2=45000A的两种波长的光观察牛顿环，用1的j级暗纹与2的第j+1级暗纹重合，求用2时第3级暗环的直径。设透镜的曲率半径为90cm。（2）在观察牛顿环实验中，用1=50000A的第六亮环与用2的第七亮环重合，求波长2？解：（1）利用牛顿环半径公式（暗环）为：21')1(RjjRrj，由此可得，21)1(jj，3450060004500212jcmjRrj127.01'3。因此，第j级暗环直径D=2r=0.254cm。（2）利用亮环半径公式：Rjr)21(1，j=0,1,2…按题意有：2221)21()21(RjRj，7所以,02212423150005.065.052121Ajj。第二章光的衍射一、光的衍射现象1、光波在传播过程中遇到透明或不透明的障碍物时，由于波前受阻区域上光振动的振幅、位相或两者之一分布发生生改变，致使光产生偏离直线传播的现象称光的衍射现象。2、菲涅尔衍射与夫朗和费衍射A：菲涅尔衍射：光源和接收屏或两者之一距障碍物为有限远时，所观察到的衍射现象称菲涅尔衍射。B：夫朗和费衍射：光源和接收屏距障碍物为无限远时，所观察到的衍射现象称夫朗和费衍射。3、观察夫朗和费衍射的实验方法：A：平行光入射，远场区域接收。B：光源置于透镜焦平面上，在透镜象方焦平面上接收。如图教材P118图2—19。C：在光源共扼的象面上接收（见思考题1）4、衍射现象的特点A：波前在什么地方受阻，衍射图样就在该方向扩展。B：波前受阻越严重，衍射扩展越厉害。C：若障碍物为只改变入射波前上振幅分布的小孔，夫朗和费衍射图样中心就是点光源的几何光学象点。二、更斯——菲涅尔原理，“半波带”法和“矢量图”法1、惠更斯——菲涅尔原理：波前上任一点都可作新的振动源发出位相相同的次波，观察点的振动可视为这些次波在该点产生振动的相干迭加的结果。其数学表达式为：SdStkrrQAKCPE)cos()()()(。其复数表达式为：StkridSerQAKCPE)()()()(。衍射所研究的中心问题是计算衍射场的光强分布，惠更斯——菲涅尔原理中忆波相干迭加的思想，将洗射屏上的光强分布和接收屏上的光强分布联系起来了，这样就把波的传播问题变成了易于处理的波的迭加问题。2、“半波带”法和“矢量图”法：用菲涅尔积分公式计算衍射场，一般情况下很复杂的，对于衍射孔具有对称性的一些简单情况（如圆孔、圆屏等）可用“半波带”法或矢量图法作定性或半定量的近似处理。A、“半波带”法：将波面露出部分分为许多环形（或条形）带，使每一带两边缘上对应的点至考察点P的光程差为/2，这些带称“半波带”。将各带在P点的振动迭加起来，就是P点的合振动，若对P点露出的半波带数目K很大，则P点合振动振幅为：22)(1kkaaPA，其中，正、负号分别由K为奇数和偶数决定。8A、矢量图法：为了得到比半波带法更精确的结果，可将每个带分成更小的子带，然后用一振幅矢量表示一个子带对P点的振动贡献，用图解法求出这个矢量的合矢量，即得到P点的合振动，这种方法称振幅矢量图法。三、菲涅尔衍射1、圆孔衍射：小孔对P点露出的半波带数目为：002)(RrrRK。A、K=1时，Ip=4I∞，I∞为K=∞时（即无遮挡时）的光强。B、R、r0、、变化时，P点的光强出现明、暗交替变化。2、圆屏衍射：小圆屏轴线上任一点的光强Ip=21)2(ma。其中，m为阻挡的半波带数目，Ip始终不为零，这一亮点称泊松亮点。3、菲涅尔波带片：A、菲涅尔波带片的主焦距公式：Krfk20'，且在,5,3''ff……处还有一系列次焦点，此外，这些焦点在相对于波带片对称的位置上还有一系列虚焦点。B、波带片与普通透镜相似，可以成像，但两者成像原理不同，其主要区别如下：普通透镜波带片1、利用光的折射成像原理利用光的衍射原理2、从物点到像点各光线光程相等从物点发出的光波通过开带后在像点同位相迭加3、物点和像点一一对应同时生成多级像4、焦距与波长的关系：221',)11)(1(1Anrrnf主焦距与波长成反比：Kfk2'四、夫朗和费衍射及应用1、单缝衍射：A、光强分布公式：ucIIP20sin，其中，sinbu为缝中心与边缘发出次波在方向上到达P点的位相差。B、中央极大、极小、次极大条件：中央极大：0max,0sinII极小：,2,1,kkuk即：0,,2,1,sinminIkkb。次极大：tguu，近似为,2,1,)21(sinkbk。次极大位置：,0472.0,46.1sin0110IIb9,0165.0,46.2sin0120IIb01300083.0,47.3sinIIb。C、中央条纹的半角宽度和半宽度：中央条纹的半角宽度b，中央条纹的半宽度bfl'。两侧亮纹的角宽度和宽度与中央亮纹的半角宽度和半宽度相等。2、圆孔衍射：A、光强分布公式：2210)2(mmJIIP，其中，sinRm为圆孔中心与边缘发出的次波到达P点的位相差。B、爱里斑的角半径：R61.0，线半径：'61.0fRl。C、瑞利判据：一个物点的衍射图样中央极大与另一物点的衍射花样中央极大旁第一极小重合时，两物点是恰能分辩的。D、光学仪器的分辩本领：望远镜的分辩极限：D22.10；显微镜的分辩极限：ununysin,sin61.0称N.A；人眼的分辩极限：'0122.1d。五、衍射光栅光栅衍射的光强分布是多光束干涉光强分布受单缝衍射光强分布调制的结果。光强分布公式：vNvucIIP2220sin)(sinsin，其中，sinbu，sindv。1、主极大条件——光栅方程A、光垂直照射时，,2,1,,sinojjdB、斜入射时，,2,1,,)sin(sinojjd其中，正、负号选取为：当与在光栅同侧取正，异侧取负。2、极小条件：,2,1,sinjjb，1,2,1,,2,1,0,)(sin11NjjNjjd。3、缺级条件：,3,2,1,,kkbdj。4、谱线的半角宽度：jjNdsin。5、光谱的重迭条件、光栅的色散本领和分辩本领：若用复色光照射光栅时，由光栅方程知，不同波长的光所产生的同级谱线位置不同，因而形成一系列谱线，不同谱线会发生重迭，光栅作为分光元件，其色散本领和分辩本领是两个重要的性能参量。A、光谱重迭条件：2211sinjjd。10B、光栅的角色散本领：cosdjD。C、光栅的线色散本领：''cosfdjfDl。D、光栅的色分辩本领：NjR。六、干涉和衍射的区别和联系（见思考题5）三、举例分析一、思考题例1、在薄透镜前放一小孔光阑，点光源置于透镜光轴上，试证：像面上接收到的是夫朗和费衍射图样。证：如图中，L为空气中的薄透镜，它的两表面曲率半径为r1和r2，透镜材料折射率为n，D为紧贴于L之前的圆孔光阑，S为点光源，S’为S经L成的像，物距为s，像距为s’，接收屏置于过S’垂直于光轴的平面内，设想L分割成两个透镜L1和L2，分割成如图中虚线所示，其曲率半径为满足下式：)11)(1(111rrnfs，式中，f1为L1的物方焦距，根据薄透镜的成像公式，对透镜L有：)11)(1(1121'rrnss，由上述两式得：'22')11)(1(1frrns，式中f2’为透镜L2的像方焦距，由此可见，若分割的曲率半径r满足上述条件，即令点光源S位于透镜L1的物方焦平面上，因此，图(a)等效于图(b)表示，这就是说与光源共扼的像平面上产生的衍射图样等效于图(b)所示后焦平面上接收到的夫朗和费衍射图样，当透镜前D的孔径很小时，有时尚需借助显微镜加以放大才能观察到。例2、为什么实际上不可能获得理想的平行光束？要使光束发散得少一些，应采取什么办法？答：通常将点光源置于透镜的物方焦平面（或焦点）上产生平行光束，但是，即使透镜的像差已经过校正，由于透镜边框对光束的限制，衍射效应总存在，使光束发散而不可能获得理想的平行光。光束发散的程度可用爱里斑的大小来衡量。因爱里斑的大小与衍射孔径成反比，所以，要使光束发散得少些，应增大光束的初始直径。3、在观察夫朗和费单缝衍射实验装置（见教材P120图2—19所示）中，如作如下变化，衍射花样如何变化？（1）将点光源向下平移；（2）将单缝左右移动或上下移动少许；（3）增大透镜L2的口径或焦距；（4）增大缝宽；（5）将点光源换成平行于狭缝的线光源；（6）减小缝的宽度，若b＜＜情况又如何？答：（1）衍射花样上移。（2）衍射花样无变化。（3）增大透镜L2的口径，可观察到的衍射斑点数增加，增大焦距，相邻两极小之间的间距增大，衍射斑线度增大。（4）衍射斑的角宽度变小，衍射图样向中央紧缩，当b＞＞时，缩为一个点——几何光学像点。（5）衍射图样成为一组平行于光源缝的一组线状条纹。（6）缝宽b减小时，衍射斑的角半径（或角宽度）增大，条纹（或斑点）向外扩展，当b＜＜时，仅有中央明斑（或明条）出现在屏上，故观察不到衍射花样，整个观察屏为一片明区。4、在观察夫朗和费单缝衍射实验中，若平行光倾斜入射到单缝上，试讨论：（1）衍射花样是否发生变化？（2）零级衍射明纹中心位置在何处？答：设平行光以倾角0斜入射到单缝上，缝内各次波源的初位相不再为零，若设缝宽为b，则边11缘两点的次波初位相差为00sin2b。因此，图样将沿如图所示的X方向产生平移。（2）缝内各点发出次波到达零级衍射斑中心的位相应相同，所以它应在入射光方向上，即在斜入射平行光经过透镜在其焦平面上的会聚点P0处。5、光的干涉和衍射有何区别和联系？试用杨氏双缝实验加以说明。答：光的干涉研究的中心问题是有限多个相干光场的迭加而引起的光场重新分布，衍射是研究一个光场的传播行为。例如，光遇到障碍物而引起的光场重新分布，根据惠更斯——菲涅耳原理，衍射也可视为无限多次波的相干迭加，因此，计算它们的合振幅时应用积分方法，为了产生相干光波，对光束必须加以限制，所以，实际上没有不产生衍射的纯干涉现象。在杨氏实验中，每缝有一定的宽度，就一缝内无穷多次波源发出次波的迭加是衍射问题，若将缝宽视为无限窄，只考虑两缝发出次波迭加就是干涉问题。在杨氏实验中，既有单缝衍射，又有两缝之间的干涉。因此，它是干涉和衍射的综合问题。二、计算题例1、菲涅尔圆孔衍射中=2mm，R=2.0m，=50000A，当接收屏在很远处沿轴线向洗射屏靠近时，求：（1）出现前三次中央亮斑的位置；（2）出现前三次中央暗斑的位置。解：（1）由公式：)11(02Rrk，知，当0r时：410210523422Rk所以，屏幕由较远处向圆孔靠近时K＞4，当k=5、7、9时出现前三次亮斑，k=6、8、10时出现前三次暗斑（除无穷远以前），为了计算，r0可将上式变为r5=8.0m，r7=2.7m，r9=1.6m。（2）k=5、7、9得出前三次亮斑的位置分别为：（3）k=6、8、10得出前三次暗斑的位置分别为：r6=4.0m，r8=2.0m，r10=1.3m。这样的讨论对于R，一定，变化同样也有类似的结论；这样的讨论对于，一定，R变化同样也有类似的结论。例2、一菲涅尔波带片，它各环的半径为,2,1,1.0kcmkk。当=5×10-5cm时，试计算主焦点的位置，若使主焦距f＇=50cm，问应将波带片缩小多少？解：（1）由焦距公式：mkrfk220'。（2）2120050,''1'22'''1ffffkkkk。故应缩小为原来的二分之一。例3、光通过0.2mm的狭缝后，投射到与缝相距300cm的照相底板上，所得第一级小值与第二极小植之间的距离为0.885cm，试求：（1）光的波长；（2）若改用波长为4nm的软光X光作实验，则上述两极小值之间的距离为多少？解：（1）若近似地用夫朗和费衍射处理，则单缝衍射的最小值位置由下式决定：,2,1,sinkkb，由于衍射角较小，故'sinfytg，所以，第一极小与第二极小的距离近似为bfyyy'12，因而，0'5890300885.002.0Afyb。（2）若用=4nm=4×10-7cm时，则第二极小与第一极小的距离为：12cmbfy37'10602.0104300。例4、长为=546nm的单色光准直后垂直投射在缝宽为b=0.1mm的单缝上，在缝后置一焦距为50cm折射率为1.5的凸透镜，试求：（1）中央亮条纹的宽度；（2）将该装置浸入水中，中央亮条纹宽度变为多少？解：（1）置于空气中时，单缝衍射中央亮纹宽度为：mmbfy46.51.05001046.5224'。（2）浸于水中透镜焦距为：cmfnnnnf1715033.15.1)15.1(33.1)1('''，所以，为了观察夫朗和费衍射，光屏应置于透镜焦平面处，即光屏由原来的透镜后50cm移至171cm处，这时在水中的夫朗和费衍射中央亮条纹的宽度相应发生了改变，其宽度：mmbnfy141.033.117101046.5224'。在计算中应注意两点：其一，由于透镜焦距的变化，观察屏应相应作移动，其二，光波的波长在介质中将相应地缩短，它取决于n＇。例5、双缝夫朗和费衍射实验中，所用的波长为=632.9nm，透镜焦距为f＇=50cm，观察到两相邻亮条纹的距离为y=1.5mm，且第四级亮纹为缺级，试求：双缝的缝距和缝宽。解：夫朗和费衍的最大值条件为：,2,1,0,sinjjd，对此式两边微分得：jdcos，令1j即为相邻两条纹的角距离，由于很小，故1cos，则，条纹间距为d，因此mmyfd21.05.110238.65004'。根据缺级条件可知：mmdb05.0421.04。可见，我们可以用双缝衍射实验来作微小长度的测量。例6、光正入射在一光栅上，在衍射角为30°的方向上观察到60000A的第二级主极大，若能在该处分辩=0.050A的两光谱线，可是在30°的衍射方向上难以观察到40000A的主极大，试求：（1）光栅常数d；（2）光栅总宽度L；（3）光栅上狭缝宽度b；（4）若以此光栅观察钠（=59000A）光谱，求正入射和以30°角入射时屏上呈现的全部干涉条纹级数。解：（1）由光栅方程jdsin得：mmjd0024.05.01062sin4。（2）由分辩本领公式NjR得410605.026000jN，故光栅的总长度13L=Nd=6×104×0.024=144mm=14.4cm（3）由题意知：即2×6000=j×4000，故j=3、6、9、……缺级，则mmdb0008.03。（4）正入射时，光栅方程为jdsin，则4)2sin(sinmaxddj，再考虑缺级，故屏上呈现干涉条纹为：j=0，±1，±2，±4共七个条纹。斜入射时，光栅方程为jd)sin(sin；当030时。61.6203.2))2sin(30(sin0dj再考虑缺级，故屏上呈现的干涉条纹为：j=0，±1，±2，-4，-5共七个条纹。当=30°时，再考虑缺级，故屏上呈现的干涉条纹为：j=0，±1，±2，4，5共七个条纹。例7、（1）试证：衍射光栅的角色散为：22)(jdjddD，式中，d为光栅常数，j为级次，为入射光波波长。（2）为了使钠黄光双线(=5890A，=5896A)分开3×10-4rad，问此光栅的角色散为多少？（3）若在第一级钠黄光分开成上述角度，光栅常数为多少？解：（1）由光栅方程jdsin，两边微分得jdddcos。22)(1sin1cos,cosdjdjdd而，所以，222)()(1cosjdjdjdjdjddD。（2）光栅的角色散为：054/10558905896103AradddD。（3）由d>>，故djdd，当1j时，0410211ADddd。例8、一对双星的角间距为0.05秒，问：（1）需要多大口径的望远镜才能分辩它们？（2）此望远镜的视角放大率应为多大才比较合适？解：（1）根据望远镜的最小分辩公式：D22.1取光波波长=55000A，rad7"104.205.0，则：mD8.222.1。（2）仪器分辩的角间距（双星）还需要由仪器以适应的放大率将它放大大为人眼分辩的最小角度rad4'0109.21，因此，与本参望远镜的分辩本领相匹配的视角放大率为：1412100M。第三、四章几何光学一、几何光学基本定律、费马原理几何光学的四个基本定律，指出了在不考虑衍射情况下，光传播所遵循的规律，它是光学系统成像的理论基础。费马理现在常表述为：A、B两点间光线传播的实际路径，与任何其它可能传播路径相比，其光程为极值，又可表述为：在两点之间，光沿所需时间为极值的路径传播。由费马原理可得出光的地平线传播定律、反射定律、折射定律以及光路可逆原理，根据费马原理还可以确定光在非均匀媒拮中的传播路径。二、光在平面上的反射、折射和棱镜1、平面反射成像：平面反射成像是唯一的一个理想成像系统。成像规律：（1）两个相等，物与像与镜面等距、物像大小相等；（2）两相相反，物像虚实相反，物像旋性相反。2、平面折射成像：（1）一般情况，——像散（不成完美的像）；（2）近轴成像。当i1(或i2)→0时，ynny''——平面镜物像公式，其中n＇为像方空间折射率。n为物方空间折射率，y和y＇分别为物、像与界面的垂直距离。3、全反射：光由光密媒质射向光疏媒质时，若在界面上的入射角大于临界角，则将发生全反射，临界角是指产生全反射的最小入射角，它由下式计算：nnic'arcsin。4、棱镜：（1）色散：][~~~'111'1ninAiii相同。（2）最小偏向角min：当22'2Aii时，最小min，且2sin2sin,2minmin'11AAnAii。（3）讨论：（a）A较小的棱镜称光契，则偏向角有下列关系：An)1(。(b)A=0平行平板：=0，但有一侧向移动，其公式为：)sincos1(sin12212211inniihd（c）全反射棱镜：当入射角较小时，光线在第二折射面将发生全反射，这种棱镜称全反射棱镜，全反射棱镜常用于改变光束的传播方向。15三、球面及球面系统的成像1、新笛卡尔符号法则：（A）线段的正负：见教材P172（1）；（B）角度的正负：见教材P172（2）；（C）全正图：见教材P172（3）。基本物、像公式：（A）高斯公式1''sfsf。（B）牛顿公式：''ffxx。高斯公式和牛顿公式所取物、像距是有区别的。2、简单光学系统的焦距公式：A、单球面反射：2'rff，高斯公式为：rss211'',光焦度为r2。B、单球面折射：nnrnfnnnrf'''',。高斯公式为：rnnsnsn'''。光焦度为：rnn'。C、空气中的薄透镜：)11)(1(1121'rrnff。D、介质中的薄透镜：2211122112',rnnrnnnfrnnrnnnf。高斯公式为22111'2rnnrnnsnsn。光焦度为2211rnnrnn。3、象的大小——三个放大率：A、横向放大率：xffxsnnsyy'''''。B、角放大率：''ssuu。C、纵向放大率：2''2'''xffffxxxdxdx。D、三个放大率的关系：。4、光学系统的基点和基面：A、主平面：光学系统中横向放大率为正1的两个共扼垂直于主轴的平面。B、主点：主平面与主轴的交点。C、焦点：主轴上无限远点的共扼点：主点到相应的焦点之间的距离称焦距。D、节点：主轴上角放大率等于正1的共扼点，通过第一节点的光线必通过第二节点，且方向不变，置于同一介质中的光学系统具有下列特征，第一节点与第一主点重合；第二节点与第二主点重合。四、光学仪器原理161、人眼的结构和非正常眼的矫正：A、正常眼的明视距离为25cm，近点为10cm，远点位于无穷远处。B、近视眼的远点在有限远处，明视距离小于25cm，近点又小于10cm，以戴凹透镜来矫正，远视眼的明视距离大于25cm，近点大于10cm，以戴凸透镜来矫正。2、放大本领：助视仪器的放大本领是指视角放大，它与角放大率和横向放大率不同，助视仪器放大定义为：用仪器观察时的视角U＇与不用仪器观察时的视角U之比，即：M=UU'。3、几种助视仪器的放大本领。A、放大镜、目镜：M目镜='25f。（f＇以cm为单位）B、显微镜：M=Mfflff'2'1'2'12525（物镜的横向放大率）×（目镜的放大本领）。C、望远镜：M='2'1ff。式中，'1f为物镜的焦距，'2f为目镜的焦距，对开普普勒望远镜0,0,'2'1Mff；对伽俐略望远镜0,0,0'2'1Mff。三、举例分析一、思考题1、回答下列问题：（1）附图（a）所示是光从空气进入玻璃的传播路线，玻璃是在图中右侧还是左侧？（2）附图（b）中，光从介质A进入介质B时折射率大于1还是小于1；（3）附图（c）中，光从空气进入X的折射率为多少？答：（1）过入射点作法线可看出：左侧入射角（或折射角）小于右侧的折射角（或入射角），根据折射定律：右右左左sinsinnn，可知，左侧折射率大，所以玻璃在左侧。（2）设入射角A折射角B，由折射定律可知，相对折射率为：ABBABAnnnsinsin,，由于入射角A大于折射角B，所以相对折射率1,BAn。(3)由图知，入射角为60°，折射角为45°，由折射定律，0045sin60sin1n，所以，2345sin60sin00n。2、在附图中，单色平行光从左方射入17每个方框，试画出每个方框内放上什么元件才会产生图中的效果。出射光束中单箭头和双箭头分别对应入射光束的两个边缘，不带箭头表示出射光束的其它边缘。答：图中入射光束都是平行光束，而且出射光束也保持平行，于是曲面镜和透镜似乎被排除了，其次光束是单色的可以不涉及色散，第三光束并不左右调换。因此可得出：（a）中的元件为平板玻璃，（b）中的元件为两个直角全反射棱镜，（c）中的元件为顶对顶的两个三棱镜，在图中已画出。3、球面折射系统在什么条件下f＇＞0，在什么条件下f＇＜0，有无可能'',0fff？答：由和知，当r＞0，n＇＞n，或r＜0，n＇＜n，时f＇＞0，即对于物空间折射率小于像方空间折射率的凸球面，或者物方空间折射率大于像方空间折射率的凹球面，其像方焦距为正；反之，当r＜0，n＇＞n或r＞0，n＇＜n时f＇＜0，即物方空间折射率小于像方空间折射率的凹球面或物方空间折射率大于像方空间折射率的凸球面，其焦距为负。总之，当球面凹向一侧的折射率较大时，其f＇＞0，反之则f＇＜0。对于单球面折射，nn'故f与'f不可能相等。3、在一个酒杯空着时杯底并不显现什么图案，当倒入酒后，我们将看到杯底显现出美丽的图案，这是什么缘故？试解释之。答：这种酒杯的构造如图所示，在杯的下部的玻璃球的一部分（n=1.5），杯的底部绘制有一幅图案，当酒杯空着时，球面之光焦度0'rnn，是会聚系统，假如图案处于球面下方焦点的下方，则画面以球面折射后在酒杯上方（观察者眼前）生成倒立放大的实像，对人眼而言，此像为虚物，它不在正常人的调节范围内，故不能在视网膜上成清晰的实像，所以人眼发现不了画面。杯中到入酒后，球面像方折射率n＇约为1.34，物方焦距nnnrf'的绝对值比像方空间为空气时较大，画面处于物方焦平面上方，经球面折射后，在酒液中生成一个正立放大的虚像，这个像在观察者眼的前方，因而可以看到。4、一个结构给定的薄透镜，其会聚能力随周围介质的折射率如何变化？答：为简单起见，设n1=n2=n＇，则：2'1'''rnnrnnnf，可见，当周围介质折射率增大时，焦距变长，会聚能力下降；当周围介质折射率增大到与透镜材料折射率相等时，透镜失去会聚能力。若周围介质折射率再增大以致大于透镜材料折射率n，那么透镜就成了发散透镜了。对于凹透镜不一定使光线发散。当透镜放在空气中时，由于n1=n2=1＜n，所以，薄凸透镜一定使光线会聚，薄凹透镜一定使光线发散。二、作图题A：薄透镜成像作图的特征光线：（1）平行于光轴的光线，出射后通过像方焦点F＇。（2）过物方焦点F的光线，出射后平行于主光轴。（3）过光心的光线不改变方向（付轴）。（4）平行光入射，其出射光线一定交于像方焦平面上同一点（付焦点）。（5）过物方焦平面上任一点的光线，出射后相互平行。B：理想光具组作图的特征光线：（1）平行于主光轴过物方焦点的光线，射到H面，在H＇面等高度出射，出射光平行于主光轴。（2）过物方焦点F的光线，射到H面，在H＇面等高度出射，出射光平行于主光轴。18（3）过物方节点K的光线，射到H面，在H＇面等高度出射，出射光过K且与入射光平行。（4）过物方焦平面上任一点的光线，射到H面，在H＇面等高度出射，出射光相互平行。（5）平行光入射到H面，在H＇面等高度出射，出射光交于像方焦平面F上同一点。例1、如图透镜L及焦点F，F＇已知，S为一点光源，A为空间一点，画出由S发出经透镜折射过A的光线。解：由物点S发出的光经透镜折射后交于一点S＇（像点），因此，S＇A就是象方空间中过A的光线，S＇A与透镜交点为B，则SB为所求的入射光线，故SBA为所求光线。例2、如图求光线1的共扼光线1‘，并作出节点K、K＇的位置。解：如图所示，过F作辅助光线a∥1，则出射光线a＇与光轴平行，交象方焦平面于P，则1＇一定过P点，故可作出，过P作光线b＇∥a，与之相应的入射光线b必平行a于，因而b、b＇为相互平行的入射、出射光线，故bb＇与主光轴交点必为K，K＇。三、计算题例1、在容器内装有两种液体，深度分别为h1和h2，折射率为n1和n2，液体外面空气的折射率为n0，试容器底到液面的象似深度。解：共二次折射成象，如图示，第一次成象：121'121,hnnyhy。第二次成象：12211'12hhnnhyy，所以：220110210'2'hnnhnnynnyy。例2、教材P222习题3题解：（1）利用侧向移动公式：)sincos1(sin12212211inniihd。这里,5.1,1,3021nncmdh，而cmnhdidd10)11(,sin2212。（2）用二次折射成象求解：设第一次成象Y为物距（PQ到第一界面的距离）则1112'15.1yynny，19第二次成象：dyy'12，所以221'2'ynnyy，所以cmdyyd10)('2。例3、见教材P222习题4题解：（1）由公式：2sin2sinminAAn知，8.02sin2sinminAnA0min15.532A，'00min18463.46。（2）'0min'1108532Aii。（3）利用公式：'0213635]cos1arcsin[sin2AnAi。例4、求下列薄透镜焦点f＇=？透镜材料折射率为n=1.5，透镜处在空气中。解：利用公式：22112'rnnrnnnf。（1）r1=15cm，r2=-30cm，f＇=20cm。（2）r1=-15cm，r2=30cm，f＇=-20cm。（3）r1=15cm，r2=30cm，f＇=60cm。（4）r1=30cm，r2=15cm，f＇=-60cm。例5、透镜用n=1.5的玻璃制成，它在空气中焦点为10.0cm，它在水中的焦距为多少？（水的折射率为4/3）解：设薄透镜材料折射率为n，物象方空间（同一介质）折射率为n0。则薄透镜焦距公式为：)11)(1(1210'rrnnf设透镜在空气和水中焦距为f1＇和f2＇则，110'2/1nnnff。所以cmfnnnf4010133.15.115.111/10'2。例6、一薄透镜折射率为n=1.5，光焦度为500D，将它浸入某液体时，光焦度变为-1D，求此液体的折射率。解：焦度与焦距的关系为：'1f，所以利用上题公式，在介质中透镜光焦度为：)11)(1(210rrnn，如果将透镜放在两种介质（折射率分别为n1和n2）中，则其光焦度之比为20112112nnnn。按题意：500112，n=1.500，n1=1.000由此算出液体的折射率为：n2=1.502。例7、（1）一凸透镜焦距为f＇=12cm，填充下表空白，其中物距S为已知，并作出相应的光路图。表格1凸透镜成象规律物距S(cm)-24-12-606122436象距S'(cm)8640-12∞2418横向放大率1/31/22/312∞-1-1/2象的虚实实实实虚实实实象的正倒正正正正正倒倒倒（2）凹透镜焦距为f＇=-12cm，填充下表空白，其中物距S为已在，并作出相应的光路图。表格2凹透镜成象规律物距S(cm)-24-12-606122436象距S'(cm)-24∞120-4-6-8-9横向放大率-1∞212/31/21/31/4象的虚实虚实实虚虚虚虚象的正倒倒正正正正正正正解：（a）、（b）根据薄透镜成象的高斯公式和横向放大率公式分别计算出各量的值填入表中。光路图略。例8、教材P226习题28题解：（1）设第一次成象物距为-S，象距为S＇，设第二次成象物距为-（S+d），象距为S＇+d，利用成象公式：''''111,111fdSdSfSS；即dSdSSS1111''所以S+S＇=-d，由于S＇-S=l因此：2,2'dlSdlS，第一次成象，,'1dldlSS第二次成象,'2dldldSdS故两次成象大小之比为221)(dldl。（2）试把上述算出的S、S＇代入成象公式，得'1)2(2fdldl，所以ldlf422'。（3）把lSS'代入成象公式,111''fSS得，0'2lfSlS要求S有两个解（因成二次象），故''24,04fllfl。例9、一架显微镜的物镜和目镜相距20.0cm，物镜焦点为7.0mm，目镜焦点为5.0mm，把物镜和目镜都看成单薄透镜，求：（1）被观察物到物镜的距离；（2）物镜的横向放大率；（3）显微镜的放21大本领。解：（1）显微镜的工作距离应使小物成放大的实象（中间象）于目镜的第一焦点附近（靠里一些），故按题意此显微镜中间象对物镜的距离为S/1=200-5.0=195mm。由高斯公式,111''fSS求出小物到物镜的距离S1=7.3mm。（2）27731951'1SS物倍（3）M=目物M，而5025M'2f目倍，所以1335507.26M倍。例10、拟制一3的望远镜，已知有一个焦点为50cm的物镜，问在（1）开普勒型；（2）伽俐略型中目镜的光焦度及物镜和目镜之间的距离各为多少？解：（1）按题意在开普勒望远镜中应取M=-3，由物镜焦距f1＇=50cm，可以算出目镜焦距：cmMff17'1'2，目镜光焦度Df61'22，望远镜筒长cmffl671750'2'1。（2）