理论力学答案(谢传峰版)

..静力学1-3试画出图示各结构中构件AB的受力图FAxFAyFB(a)(a)FAFBFBFDFDFBxFByFBxFCFBFCFBy..1-4试画出两结构中构件ABCD的受力图1-5试画出图a和b所示刚体系整体合格构件的受力图1-5a1-5bFAxFAyFDFByFAFBxFBFAFAxFAyFDxFDyWTEFCxFCyWFAxFAyFBxFByFCxFCyFDxFDyFBxFByTEN’FBFDFANFAFBFD..1-8在四连杆机构的ABCD的铰链B和C上分别作用有力F1和F2，机构在图示位置平衡。试求二力F1和F2之间的关系。解：杆AB，BC，CD为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。解法1(解析法)假设各杆受压，分别选取销钉B和C为研究对象，受力如图所示：由共点力系平衡方程，对B点有：0xF045cos02BCFF对C点有：0xF030cos01FFBC解以上二个方程可得：22163.1362FFF解法2(几何法)分别选取销钉B和C为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B和C点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。对B点由几何关系可知：0245cosBCFF对C点由几何关系可知：0130cosFFBC解以上两式可得：2163.1FFFABFBCFCD60oF130oF2FBC45oF2FBCFABB45oyxFCDC60oF130oFBCxy045030..2-3在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB上作用有主动力偶M。试求A和C点处的约束力。解：BC为二力杆(受力如图所示)，故曲杆AB在B点处受到约束力的方向沿BC两点连线的方向。曲杆AB受到主动力偶M的作用，A点和B点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB保持平衡。AB受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）：0M0)45sin(100MaFAaMFA354.0其中：31tan。对BC杆有：aMFFFABC354.0。A，C两点约束力的方向如图所示。2-4四连杆机构在图示位置平衡，已知OA=60cm,BC=40cm,作用在BC上力偶的力偶矩M2＝1N·m。试求作用在OA上力偶的力偶矩大小M1和AB所受的力ABF。各杆重量不计。解：机构中AB杆为二力杆，点A,B出的约束力方向即可确定。由力偶系作用下刚体的平衡条件，点O,C处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。对BC杆有：0M030sin20MCBFB对AB杆有：ABFF对OA杆有：0M01AOFMA求解以上三式可得：mNM31，NFFFCOAB5，方向如图所示。FBFAθθFBFCFAFOOFAFBFBFCC..2-6等边三角形板ABC,边长为a，今沿其边作用大小均为F的力321,,FFF，方向如图a,b所示。试分别求其最简简化结果。解：2-6a坐标如图所示，各力可表示为:jFiFF23211，iFF2，jFiFF23213先将力系向A点简化得（红色的）：jFiFFR3，kFaMA23方向如左图所示。由于ARMF，可进一步简化为一个不过A点的力(绿色的)，主矢不变，其作用线距A点的距离ad43，位置如左图所示。2-6b同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过A点的力（绿色的），主矢为：iFFR2其作用线距A点的距离ad43，位置如右图所示。简化中心的选取不同，是否影响最后的简化结果？2-13图示梁AB一端砌入墙内，在自由端装有滑轮，用以匀速吊起重物D。设重物重为P,AB长为l，斜绳与铅垂方向成角。试求固定端的约束力。法1解：整个结构处于平衡状态。选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐标一般以水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向，力偶以逆时针为正）：0xF0sinBxFP0yF0cosPPFBy选梁AB为研究对象，受力如图，列平衡方程：xyFRMAFRdxFRMAFRdyPBFBxFByP..0xF0BxAxFF0yF0ByAyFF0AM0lFMByA求解以上五个方程，可得五个未知量AByBxAyAxMFFFF,,,,分别为：sinPFFBxAx（与图示方向相反）)cos1(PFFByAy（与图示方向相同）lPMA)cos1(（逆时针方向）法2解：设滑轮半径为R。选择梁和滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程：0xF0sinPFAx0yF0cosPPFAy0AM02tansin)(cos)(RPRlPRlPMA求解以上三个方程，可得AAyAxMFF,,分别为：sinPFAx（与图示方向相反）)cos1(PFAy（与图示方向相同）lPMA)cos1(（逆时针方向）2-18均质杆AB重G，长l，放在宽度为a的光滑槽内，杆的B端作用着铅垂向下的力F，如图所示。试求杆平衡时对水平面的倾角。解：选AB杆为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：0AM0coscos2coslFlGaND0yF0cosFGND求解以上两个方程即可求得两个未知量,DN，其中：31])2()(2arccos[lGFaGF未知量不一定是力。MAFBxFByFAxFAyMAPFAxFAyPANANDD..2-27如图所示，已知杆AB长为l，重为P，A端用一球铰固定于地面上，B端用绳索CB拉住正好靠在光滑的墙上。图中平面AOB与Oyz夹角为，绳与轴Ox的平行线夹角为，已知NPmcmao200,45,43tan,4.0,7.0。试求绳子的拉力及墙的约束力。解：选杆AB为研究对象，受力如下图所示。列平衡方程：0yM0tansincostan21cFcFcPBCBCNFBC6.600'xM0sin21aFcFaPBCBNFB100由0yF和0zF可求出AzAyFF,。平衡方程0xM可用来校核。思考题：对该刚体独立的平衡方程数目是几个？2-29图示正方形平板由六根不计重量的杆支撑，连接处皆为铰链。已知力F作用在平面BDEH内，并与对角线BD成o45角，OA=AD。试求各支撑杆所受的力。解：杆1，2，3，4，5，6均为二力杆，受力方向沿两端点连线方向，假设各杆均受压。选板ABCD为研究对象，受力如图所示，该力系为空间任意力系。采用六矩式平衡方程：0DEM045cos02F02F..0AOM045cos45cos45cos0006aFaFFF226(受拉)0BHM045cos45cos0604aFaFFF224(受压)0ADM045sin45cos0061aFaFaFFF2211(受压)0CDM045sin031aFaFaFFF213(受拉)0BCM045cos0453aFaFaF05F本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程，但求解代数方程组非常麻烦。类似本题的情况采用六矩式方程比较方便，适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量，避免求解联立方程。2-31如图所示，欲转动一置于V形槽中的棒料，需作用一力偶，力偶矩cmNM1500。已知棒料重NP400，直径cmD25。试求棒料与V形槽之间的静摩擦因数sf。解：取棒料为研究对象，受力如图所示。列平衡方程:000OyxMFF02)(045sin045cos21102201MDFFNpFNpF补充方程：2211NfFNfFss五个方程，五个未知量sfNFNF，2211,,,，可得方程：02222MfDpfMSS解得491.4,223.021SSff。当491.42Sf时有：0)1(2)1(2221SSffpN即棒料左侧脱离V型槽，与题意不符，故摩擦系数223.0Sf。..2-33均质杆AB长40cm，其中A端靠在粗糙的铅直墙上，并用绳子CD保持平衡，如图所示。设cmADcmBC25,15，平衡时角的最小值为o45。试求均质杆与墙之间的静摩擦因数sf。解：当045时，取杆AB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：000AyxMFF0sin2cossinsincos0cos0sinABpACTCACTpTFTFSN附加方程：NSSFfF四个方程，四个未知量sSNfTFF，,,，可求得646.0sf。2-35在粗糙的斜面上放着一个均质棱柱体，A，B为支点，如图所示。若ACBCAB，A和B于斜面间的静摩擦因数分别为1sf和2sf，试求物体平衡时斜面与水平面所形成的最大倾角。解：选棱柱体为研究对象，受力如图所示。假设棱柱边长为a，重为P，列平衡方程000xBAFMM0sin032sin2cos032sin2cosPFFaPaPaFaPaPaFBANANB..如果棱柱不滑动，则满足补充方程NBsBNAsAFfFFfF21时处于极限平衡状态。解以上五个方程，可求解五个未知量,,,,NBBNAAFFFF，其中：32)(3tan1221ssssffff(1)当物体不翻倒时0NBF，则：060(2)即斜面倾角必须同时满足(1)式和(2)式，棱柱才能保持平衡。..3-10AB,AC和DE三杆连接如图所示。杆DE上有一插销H套在杆AC的导槽内。试求在水平杆DE的一端有一铅垂力F作用时，杆AB所受的力。设DEBCHEDHDBAD,,，杆重不计。解：假设杆AB，DE长为2a。取整体为研究对象，受力如右图所示，列平衡方程：0CM02aFBy0ByF取杆DE为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：0HM0aFaFDyFFDy0BM02aFaFDxFFDx2取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：0yF0ByDyAyFFFFFAy(与假设方向相反)0AM02aFaFBxDxFFBx(与假设方向相反)0BM02aFaFDxAxFFAx(与假设方向相反)3-12ADACAB,,和BC四杆连接如图所示。在水平杆AB上作用有铅垂向下的力F。接触面和各铰链均为光滑的，杆重不计，试求证不论力F的位置如何，杆AC总是受到大小等于F的压力。解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：0CM0xFbFDFbxFD取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：0AM0xFbFBFbxFB杆AB为二力杆，假设其受压。取杆AB和AD构成的组合体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：0EM02)2(2)(bFxbFbFFACDB解得FFAC，命题得证。FCxFCyFBxFByFDxFDyFHyFBxFByFDyFDxFAxFAyFCxFCyFD..注意：销钉A和C联接三个物体。3-14两块相同的长方板由铰链C彼此相连接，且由铰链A及B固定，如图所示，在每一平板内都作用一力偶矩为M的力偶。如ba，忽略板重，试求铰链支座A及B的约束力。解：取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零，因此有：0AM0)(MMFMBA即BF必过A点，同理可得AF必过B点。也就是AF和BF是大小相等，方向相反且共线的一对力，如图所示。取板AC为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：0CM045cos45sin00MbFaFAA解得：baMFA2(方向如图所示)3-20如图所示结构由横梁BCAB,和三根支承杆组成，载荷及尺寸如图所示。试求A处的约束力及杆1，2，3所受的力。解：支撑杆1，2，3为二力杆，假设各杆均受压。选梁BC为研究对象，受力如图所示。其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为2qa，作用在BC杆中点。列平衡方程：0BM0245sin03MaqaaF)2(23qaaMF(受压)选支撑杆销钉D为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程：0xF045cos031FFFABxFAByFBFExFEyFACFBFAFBFCxFCyFBxFByF3F3F2F1xy..qaaMF21(受压)0yF045sin032FF)2(2qaaMF(受拉)选梁AB和BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：0xF045cos03FFAx)2(qaaMFAx(与假设方向相反)0yF0445sin032qaPFFFAyqaPFAy40AM0345sin242032MaFaqaaPaFMAMPaqaMA242(逆时针)3-21二层三铰拱由DGBCAB,,和EG四部分组成，彼此间用铰链连接，所受载荷如图所示。试求支座BA,的约束力。解：选整体为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程：0AM022aFaFByFFBy0BM022aFaFAyFFAy0xF0FFFBxAx(1)由题可知杆DG为二力杆，选GE为研究对象，作用于其上的力汇交于点G，受力如图所示，画出力的三角形，由几何关系可得：FFE22。取CEB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：0CM045sin0aFaFaFEByBx2FFBx代入公式(1)可得：2FFAxFAxFAyF3F2MAFAxFAyFBxFByFEFGFEFGFFCyFCxFEFByFBx..PFAxFAyN1N2N1T3-24均质杆AB可绕水平轴A转动，并搁在半径为r的光滑圆柱上，圆柱放在光滑的水平面上，用不可伸长的绳子AC拉在销钉A上，杆重16N，rACrAB2,3。试求绳的拉力和杆AB对销钉A的作用力。解：取杆AB为研究对象，设杆重为P，受力如图所示。列平衡方程：0AM060cos23301rPrN)(93.61NN0xF060sin01NFAx)(6NFAx0yF060cos01PNFAy)(5.12NFAy取圆柱C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：0xF030cos30cos001TN)(93.6NT注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的A处的约束力不是杆AB对销钉的作用力。3-27均质杆AB和BC完全相同，A和B为铰链连接，C端靠在粗糙的墙上，如图所示。设静摩擦因数353.0sf。试求平衡时角的范围。解：取整体为研究对象，设杆长为L，重为P，受力如图所示。列平衡方程：0AM0cos22sin2LPLFNtan2PFN(1)取杆BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：0BM0coscos2sinLFLPLFsNPFS(2)补充方程：NssFfF，将(1)式和(2)式代入有：2tansf，即010。FAxFAyFNFsPPFBxFByFNFsP..3-30如图所示机构中，已知两轮半径量cmR10，各重NP9，杆AC和BC重量不计。轮与地面间的静摩擦因数2.0sf，滚动摩擦系数cm1.0。今在BC杆中点加一垂直力F。试求：平衡时F的最大值maxF；当maxFF时，两轮在D和E点所受到的滑动摩擦力和滚动摩擦力偶矩。解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：00yxFF020PFFFFFNENDSESD由题可知，杆AC为二力杆。作用在杆BC上的力有主动力F，以及B和C处的约束力BF和ACF，由三力平衡汇交，可确定约束力BF和ACF的方向如图所示，其中：31tan，杆AC受压。取轮A为研究对象，受力如图所示，设ACF的作用线与水平面交于F点，列平衡方程：0AM0DSDMRF0FM0)(DNDMRPF取轮B为研究对象，受力如图所示，设BF的作用线与水平面交于G点，列平衡方程：0BM0RFMSEE0GM0tan)(RFPMNEE解以上六个方程，可得：FPFND41，FPFNE43，FFFSESD41，FRMMED41若结构保持平衡，则必须同时满足：NDDFM，NEEFM，NDsSDFfF，NEsSEFfF即：PRfPffPfPRPRFssss4}314,14,34,4min{，因此平衡时F的最大值36.0maxF，此时：)(091.0NFFSESD，)(91.0cmNMMEDFNDFNEFSDFSEMEMDFBFACθFACFNDFSDMDFFNEFSEMEFBG..3-35试用简捷的计算图中所示桁架1，2，3杆的内力。解：由图可见杆桁架结构中杆CF，FG，EH为零力杆。用剖面SS将该结构分为两部分，取上面部分为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：0CM0346cos1GHFFF)(58.141kNF(受拉)0xF0sin31HFFF3.313F(受拉)0yF0cos12GFFF67.412F(受压)3-38如图所示桁架中，ABCDEG为正八角形的一半，GBGCAEAD,,,各杆相交但不连接。试求杆BC的内力。解：假设各杆均受压。取三角形BCG为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：0xF0CDFFFFCD(受压)取节点C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：00yxFF0sin45sin0cos45cos00CGBCCGCDBCFFFFF其中：2221tan，解以上两个方程可得：FFBC586.0(受压)3-40试求图中所示桁架中杆1和2的内力。解：取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：F2F3F1SFGFHθSFGFEGFCDFABθCFBCFCDFCG..0AM0322aFaFaFBFFB5.2用截面S-S将桁架结构分为两部分，假设各杆件受拉，取右边部分为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：0CM032aFaFaFBFF672(受拉)0XF0221FFFFF651(受拉)BC345FAyFAxFBSSF1F3F4F5F2..4-1力铅垂地作用于杆AO上,115,6DOCOBOAO。在图示位置上杠杆水平，杆DC与DE垂直。试求物体M所受的挤压力MF的大小。解：1.选定由杆OA，O1C，DE组成的系统为研究对象，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为MFF,。2.该系统的位置可通过杆OA与水平方向的夹角完全确定，有一个自由度。选参数为广义坐标。3.在图示位置，不破坏约束的前提下，假定杆OA有一个微小的转角，相应的各点的虚位移如下：AOrA，BOrB，COrC1DOrD1，CBrr，EDrr代入可得：EArr304.由虚位移原理0)(iFW有：0)30(EMEMArFFrFrF对任意0Er有：FFM30，物体所受的挤压力的方向竖直向下。4-4如图所示长为l的均质杆AB，其A端连有套筒，又可沿铅垂杆滑动。忽略摩擦及套筒重量，试求图示两种情况平衡时的角度。解：4a1.选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。2.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角完全确定，有一个自由度。选参数为广义坐标。由几何关系可知：tanah杆的质心坐标可表示为：cos2tanlazC3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB逆时针旋转一个微小的角度，则质心C的虚位移：sin2sin2lazC4.由虚位移原理0)(iFW有：δθδrAδrCδrBδrDδrE..0)sin2sin(2laPzPC对任意0有：0sin2sin2la即杆AB平衡时：31)2arcsin(la。解：4b1.选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。2.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角完全确定，有一个自由度。选参数为广义坐标。由几何关系可知：sinRzA杆的质心坐标可表示为：cos2sinlRzC3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB顺时针旋转一个微小的角度，则质心C的虚位移：sin2cossin2lRzC4.由虚位移原理0)(iFW有：0)sin2cossin(2lRPzPC对任意0有：0sin2cossin2lR即平衡时角满足：0sincos23lR。..4-5被抬起的简化台式打字机如图所示。打字机和搁板重P，弹簧原长为2a，试求系统在角保持平衡时的弹簧刚度系数值。解：1.选整个系统为研究对象，此系统包含弹簧。设弹簧力21,FF，且21FF，将弹簧力视为主动力。此时作用在系统上的主动力有21,FF，以及重力P。2.该系统只有一个自由度，选定为广义坐标。由几何关系可知：sinazzBA3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定有一个微小的虚位移，则质心的虚位移为：cosazzzBAC弹簧的长度2sin2al，在微小虚位移下：2cosal4.由虚位移原理0)(iFW有：0)2coscos(22aFPalFzPC其中)22sin2(2aakF，代入上式整理可得：02)]2cossin2(cos2[akaP由于0a，对任意0可得平衡时弹簧刚度系数为：)2cossin2(cos2aPk4-6复合梁AD的一端砌入墙内，B点为活动铰链支座，C点为铰链，作用于梁上的力kNFkNFkNF3,4,5321，以及力偶矩为mkNM2的力偶，如图所示。试求固定端A处的约束力。..解：解除A端的约束，代之以AAyAxMFF,,，并将其视为主动力，此外系统还受到主动力MFFF,,,321的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移AAyx,和梁AC的转角为广义坐标。1．在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0,0AAyx，如图所示。由虚位移原理0)(iFW有：0AAxxF对任意0Ax可得：0AxF2．在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0,0AAyx，如下图所示。由虚位移原理0)(iFW有：0332211MyFyFyFyFAAy(1)由几何关系可得各点的虚位移如下：ACyyyy31ACyyy31312ACyy3131代入(1)式：0)3131(321AAyyMFFFF对任意0Ax可得：)(4kNFAy，方向如图所示。3．在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0,0AAyx，如上图所示。..由虚位移原理0)(iFW有：0332211MyFyFyFMA(2)有几何关系可得各点的虚位移如下：21y33Cyy2y代入(2)式：0)32(321MFFFMA对任意0可得：)(7mkNMA，逆时针方向。4-7图示结构上的载荷如下：mkNq2；力kNF41；力kNF122，其方向与水平成o60角；以及力偶，其力偶矩为mkNM18。试求支座处的约束力。解：将均布载荷简化为作用在CD中点的集中载荷3F，大小为q6。1.求支座B处的约束力解除B点处的约束，代之以力BF，并将其视为主动力，系统还受到主动力MFFF,,,321的作用，如图所示。在不破坏约束的前提下，杆AC不动，梁CDB只能绕C点转动。系统有一个自由度，选转角为广义坐标。给定虚位移，由虚位移原理0)(iFW有：0150cos45cos330220yFyFMrFBB(1)各点的虚位移如下：26Br92y33y代入(1)式整理可得：0)32396(32FFMFB对任意0可得：)(6.18kNFB，方向如图所示。2.求固定端A处的约束力解除A端的约束，代之以AAyAxMFF,,，并将其视为主动力，系统还受到主动力MFFF,,,321的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移AAyx,和梁AC的转角为广..义坐标。2a.求AxF在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0,0AAyx，此时整个结构平移，如上图所示。由虚位移原理0)(iFW有：0120cos02211xFxFxFAAx(2)各点的虚位移如下：Axxx21代入(2)式整理可得：0)5.0(21AAxxFFF对任意0Ax可得：)(2kNFAx，方向如图所示。2b.求AyF在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0,0AAyx，此时梁AC向上平移，梁CDB绕D点转动，如上图所示。由虚位移原理0)(iFW有：030cos02233MyFyFyFAAy(3)各点的虚位移如下：ACyyyy212132Ayy61312代入(3)式整理可得：..0)614321(23AAyyMFFF对任意0Ay可得：)(8.3kNFAy，方向如图所示。2c.求AM在不破坏约束的前提下给定一组虚位移0,0,0AAyx，此时梁AC绕A点转动，梁CDB平移，如上图所示。由虚位移原理0)(iFW有：0120cos02211xFxFMA(4)各点的虚位移如下：31x62Cxx代入(4)式整理可得：0)33(21FFMA对任意0可得：)(24mkNMA，顺时针方向。4-8设桁架有水平力1F及铅垂力2F作用其上，且KEDKBECEDCAD，o30。试求杆1，2和3所受的力。解：假设各杆受拉，杆长均为a。1．求杆1受力去掉杆1，代之以力1P，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，此时三角形ADK形状不变，绕A点转动，因此有KArDArKD,，且：ararKD3,滑动支座B处只允许水平方向的位移，而杆BK上K点虚位移沿铅垂方向，故B点不动。..三角形BEK绕B点旋转EBrE，且：arrDE对刚性杆CD和杆CE，由于ECrDCrED,，因此0Cr。由虚位移原理0)(iFW有：060cos60cos)(01011EDrPrPF代入各点的虚位移整理可得：0)2(11aPF对任意0可得：211FP（受压）。2．求杆2受力去掉杆2，代之以力2P，系统有一个自由度，选BK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，杆AK绕A点转动，因此有KArK，且：arK3同理可知B点不动，三角形BEK绕B点旋转EBrE，且：arEarrDE杆AD绕A点转动DArD，由刚性杆DE上点E的虚位移可确定D点位移方向如图所示，且：arrED同理可知0Cr。由虚位移原理0)(iFW有：0120cos150cos120cos020201KDDrPrPrF代入各点的虚位移整理可得：0)32(21aPF对任意0可得：6312FP（受压）。3．求杆3受力去掉杆3，代之以力3P，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，三角形ADK绕A点转动，KArDArKD,，且：ararKD3,..同理可知B点不动，EBrE，且：arrDE0Cr由虚位移原理0)(iFW有：0120cos150cos60cos030301KEDrPrPrF代入各点的虚位移整理可得：0)32(31aPF对任意0可得：6313FP（受拉）。4-12杆长2b，重量不计，其一端作用铅垂常力F，另一端在水平滑道上运动，中点连接弹簧，如图所示。弹簧刚度系数为k，当0y时为原长。不计滑块的重量和摩擦，试求平衡位置y，讨论此平衡位置的稳定性。解：F大小和方向不变，常力也是有势力。取杆和弹簧构成的系统为研究对象。该系统为保守系统，有一个自由度，选为广义坐标，如图所示。取0为零势能位置，则系统在任意位置的势能为：FVVV弹)cos1(2)cos1(21)cos22()cos(21222FbkbbbFbbk由平衡条件0ddV可得：0sin]2)cos1([Fkbb有：0sin和02)cos1(Fkb即：0和kbF21cos也就是：0y和)(2FkbFky两个平衡位置。为判断平衡的稳定性，取势能V的二阶导数：2coscos)2(222kbbFkbdVd当0时，θ..0222FbdVd，即0y时是不稳定平衡。当kbF21cos时，)(422FkbFkdVd由上式可知：1．当kbF21cos且Fkb时，022dVd即)(2FkbFky是稳定平衡位置；2．当kbF21cos且Fkb时，022dVd即)(2FkbFky是不稳定平衡位置。4-15半径为r的半圆住在另一半径为R的半圆柱上保持平衡，如图所示。试讨论对无滑动的滚动扰动的稳定性。解：取半径为r的半圆柱为研究对象，圆心为C。半圆柱作纯滚动，有一个自由度，取两个半圆心连线与y轴夹角为广义坐标。作用在半圆柱上的主动力为重力，系统为保守系统，如图所示，其中34rh。由于半圆柱作纯滚动，有：Rr（1）取坐标原点为零势能位置，则半圆柱在任意位置的势能为：)]cos(34cos)[(rrRmgmgzVC代入（1）式有：)]cos(34cos)[(rrRrrRmgV]sin)sin(34)[(rrRrRmgddV由平衡条件0ddV可得0为平衡位置。势能V的二阶导数：]cos)cos(3)(4)[(22rrRrrRrRmgdVd由上式可得当rR)143(，0是稳定的。努力学习吧！..动力学1－3解：运动方程：tanly，其中kt。将运动方程对时间求导并将030代入得34coscos22lklklyv938cossin2232lklkya1－6证明：质点做曲线运动，所以质点的加速度为：ntaaa,设质点的速度为v，由图可知:aavvyncos，所以:yvvaan将cvy，2nva代入上式可得cva3证毕1－7证明：因为n2av，vaavasinn所以：va3v证毕1－10xyoanavyvtayzoanax..解：设初始时,绳索AB的长度为L,时刻t时的长度为s,则有关系式：tvLs0，并且222xls将上面两式对时间求导得：0vs，xxss22由此解得：xsvx0（a）(a)式可写成：svxx0，将该式对时间求导得：2002vvsxxx(b)将(a)式代入(b)式可得：3220220xlvxxvxax（负号说明滑块A的加速度向上）取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：gFFammN将该式在yx,轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：NFFymFmgxmsincos其中：2222sin,coslxllxx0,3220yxlvx将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得：23220)(1)(xlxlvgmF1－11ovovFNFgmyAxOAvAxOBvBR..解：设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以RvB，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A、B两点的速度在A、B两点连线上的投影相等，即：cosABvv（a）因为xRx22cos（b）将上式代入（a）式得到A点速度的大小为：22RxxRvA（c）由于xvA，（c）式可写成：RxRxx22，将该式两边平方可得：222222)(xRRxx将上式两边对时间求导可得：xxRxxRxxx2232222)(2将上式消去x2后，可求得：22242)(RxxRx(d)由上式可知滑块A的加速度方向向左，其大小为22242)(RxxRaA取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：gFFammN将该式在yx,轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：mgFFymFxmNsincos其中：xRxxR22cos,sin,0,)(22242yRxxRxxAvAONFBRgmFy..将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得2525)(,)(225222242RxxRmmgFRxxRmFN1－13解：动点：套筒A；动系：OC杆；定系：机座；运动：绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理reavvv有：eacosvv，因为AB杆平动，所以vva，由此可得：ecosvv，OC杆的角速度为OAve，coslOA，所以lv2cos当045时，OC杆上C点速度的大小为：lavlavavC245cos021－15解：动点：销子M动系1：圆盘动系2：OA杆定系：机座；运动分析：绝对运动：曲线运动相对运动：直线运动avevrve1ve2vr2vr1vx..牵连运动：定轴转动根据速度合成定理有r1e1a1vvv，r2e2a2vvv由于动点M的绝对速度与动系的选取无关，即a1a2vv，由上两式可得：r1e1vvr2e2vv(a)将（a）式在向在x轴投影,可得：0r20e20e130cos30sin30sinvvv由此解得：smbOMvvv/4.0)93(30cos30sin)(30tan)(30tan020120e1e20r232.02e2OMvsmvvvvM/529.022r2e2a21－17解：动点：圆盘上的C点；动系：O1A杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：圆周运动；相对运动：直线运动（平行于O1A杆）；牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理有reavvv（a）将（a）式在垂直于O1A杆的轴上投影以及在O1C轴上投影得：0e0a30cos30cosvv，0r0a30sin30sinvvRvvae，Rvvra，5.02O1e1RRCvavevrv..根据加速度合成定理有Caaaaarnetea（b）将（b）式在垂直于O1A杆的轴上投影得Caaaa0ne0te0a30sin30cos30sin其中：2aRa，21ne2Ra，r12vaC由上式解得：2te11232Ra1－19解：由于ABM弯杆平移，所以有MAMA,aavv取：动点：滑块M；动系：OC摇杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：圆周运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理reavvv可求得：m/s2222eabvvvvAM，m/s2erbvv，rad/s3245.12211AOvA根据加速度合成定理Caaaaaarnetenata将上式沿Ca方向投影可得：aateanearaCaavevrvnaarataaCaneatea..Caaaate0na0ta45sin45cos由于221nam/s316la，2tem/s1ba，2rm/s82vaC，根据上式可得：2ta231527316s/m.a，2ta1rad/s1610.la1-20解：取小环M为动点，OAB杆为动系运动分析绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示，其中：rrOMv260cos0e根据速度合成定理：reavvv可以得到：rrvv3260tan2tan0ea，rvv460cos0er加速度如图所示，其中：2022e260cosrrOMa，2r82rvaC根据加速度合成定理：Caaaarea将上式在'x轴上投影，可得：Caaacoscosea,由此求得：2a14ra1－21avMOABrvev'xCaaaMOABraea..解：求汽车B相对汽车A的速度是指以汽车A为参考系观察汽车B的速度。取：动点：汽车B；动系：汽车A（Ox’y’）；定系：路面。运动分析绝对运动：圆周运动；相对运动：圆周运动；牵连运动：定轴转动（汽车A绕O做定轴转动）求相对速度，根据速度合成定理reavvv将上式沿绝对速度方向投影可得：reavvv因此aervvv其中：AABBRvRvvv,,ea，由此可得：m/s9380rBAABvvRRv求相对加速度，由于相对运动为圆周运动，相对速度的大小为常值，因此有：22rnrrm/s78.1BRvaa1-23质量为m销钉M由水平槽带动，使其在半径为r的固定圆槽内运动。设水平槽以匀速v向上运动，不计摩擦。求图示瞬时，圆槽作用在销钉M上的约束力。解：销钉M上作用有水平槽的约束力F和圆槽的约束力OF（如图所示）。由于销钉M的运动是给定的，所以先求销钉的加速度，在利用质点运动微分方程求约束力。取销钉为动点，水平槽为动系。由运动分析可知销钉的速度图如图所示。Ox’y’evavrvy’x’nraOMrOvgmOFMrOvgmF..根据速度合成定理有reavvv由此可求出：coscoseavvv。再根据加速度合成定理有：reaaaa由于绝对运动是圆周运动，牵连运动是匀速直线平移，所以0ea，并且上式可写成：rnataaaa因为222anacosrvrva，所以根据上式可求出:32natacossintanrvaa。根据矢量形式的质点运动微分方程有：gFFaammO)(nata将该式分别在水平轴上投影：cos)cossin(nataOFaam由此求出：42cosrmvFO1-24图示所示吊车下挂一重物M，绳索长为l，初始时吊车与重物静止。若吊车从静止以均加速度a沿水平滑道平移。试求重物M相对吊车的速度与摆角的关系式。解：由于重物相对吊车的速度，所以取吊车为动系，重物M为动点。根据质点相对运动微分方程有erFgFamm将上式在切向量方向投影有cosFsinmgmlmatre因为,eemamaFddddddddtt，所以上式可写成raevavrvMrOnaaMrOtaaaMteagmeFF..cossinddmamgml整理上式可得dcosdsindagl将上式积分：caglsincos22其中c为积分常数（由初始条件确定），因为相对速度lvr，上式可写成caglvsincos22r初始时0，系统静止，0eavv，根据速度合成定理可知0rv，由此确定gc。重物相对速度与摆角的关系式为：]sin)1(cos[22raglv1-26水平板以匀角速度绕铅垂轴O转动，小球M可在板内一光滑槽中运动（如图7-8），初始时小球相对静止且到转轴O的距离为OR，求小球到转轴的距离为ORR时的相对速度。解：取小球为动点，板为动系，小球在水平面的受力如图所示（铅垂方向的力未画出）。根据质点相对运动微分方程有：CmFFFaer将上式在rv上投影有cosddertrFtvmma因为2emRF，tRRvtvddddddrr，cosddrvtR，所以上式可写成RRoOCFeFRRoFrvθO..cosddcos2rrmRRvmv整理该式可得：2rrddRRvv将该式积分有：cRv222r2121初始时ORR,0rv,由此确定积分常数2221ORc，因此得到相对速度为22rORRv1-27重为P的小环M套在弯成2cxy形状的金属丝上，该金属丝绕铅垂轴x以匀角速度转动，如图所示。试求小环M的相对平衡位置以及金属丝作用在小环上的约束力。解：取小环为动点，金属丝为动系，根据题意，相对平衡位置为0ra，因为金属丝为曲线，所以0rv，因此在本题中相对平衡位置就是相对静止位置。小环受力如图所示。其中PFF,,e分别为约束力、牵连惯性力和小环的重力。根据质点相对运动微分方程有：0ePFF其中：2eygPF，将上式分别在yx,轴上投影有0cos0sineFFFP（a）以为xyddtan，xcy2,22ddxcxy,因此22tanxc（b）由（a）式可得etanFP（c）xyMxyMFeFP..将2eygPF和式（b）代入式（c），并利用2cxy，可得：31223124,gcygcx再由方程（a）中的第一式可得3424421111gcPcxPtanPsinPF..2-1解：当摩擦系数f足够大时，平台AB相对地面无滑动，此时摩擦力NfFF取整体为研究对象，受力如图，系统的动量：r2vpm将其在x轴上投影可得：btmvmpx2r2根据动量定理有：gmmffFFbmtpNx)(dd212即：当摩擦系数gmmbmf)(212时，平台AB的加速度为零。当摩擦系数gmmbmf)(212时，平台AB将向左滑动，此时系统的动量为：vvvp1r2)(mm将上式在x轴投影有：vmmbtmvmvvmpx)()()(2121r2根据动量定理有：gmmffFFammbmtpNx)()(dd21212由此解得平台的加速度为：fgmmbma212（方向向左）2-2取弹簧未变形时滑块A的位置为x坐标原点，取整体为研究对象，受力如图所示,其中F为作用在滑块A上的弹簧拉力。系统的动量为：)(r111vvvvvpmmmm将上式在x轴投影：)cos(1lxmxmpx根据动量定理有：vrvNFFg1mg2mxNFgmg1mFxvrvkxFlmxmmtpxsin)(dd211..系统的运动微分方程为：tlmkxxmmsin)(2112－4取提起部分为研究对象，受力如图(a)所示，提起部分的质量为vtm，提起部分的速度为v，根据点的复合运动可知质点并入的相对速度为rv，方向向下，大小为v（如图a所示）。(a)(b)根据变质量质点动力学方程有：vvtttmmttmrr)()(dd)(ddvgFvgFv将上式在y轴上投影有：)()()()(dd2rvvgttFvvgvttFtvm由于0ddtv，所以由上式可求得：)()(2vvgttF。再取地面上的部分为研究对象，由于地面上的物体没有运动，并起与提起部分没有相互作用力，因此地面的支撑力就是未提起部分自身的重力，即：gvtlFN)(2－5将船视为变质量质点，取其为研究对象，受力如图。根据变质量质点动力学方程有：tmmtmNddddrvFgFv船的质量为：qtmm0，水的阻力为vFf将其代入上式可得：r0ddvFgvvqmft)qtm(N将上式在x轴投影：)(ddv)(r0vqfvtqtm。应用分离变量法可求得cqtmqffvqv)ln()ln(0rNFvrvgm)(tFygmNFvx..由初始条件确定积分常数：0ln)ln(mqfqvcr，并代入上式可得：qfmqtmfqvv)(100r2-8图a所示水平方板可绕铅垂轴z转动，板对转轴的转动惯量为J，质量为m的质点沿半径为R的圆周运动，其相对方板的速度大小为u（常量）。圆盘中心到转轴的距离为l。质点在方板上的位置由确定。初始时，0，方板的角速度为零，求方板的角速度与角的关系。图a图b解：取方板和质点为研究对象，作用在研究对象上的外力对转轴z的力矩为零，因此系统对z轴的动量矩守恒。下面分别计算方板和质点对转轴的动量矩。设方板对转轴的动量矩为1L，其角速度为，于是有JL1设质点M对转轴的动量矩为2L，取方板为动系，质点M为动点，其牵连速度和相对速度分别为re,vv。相对速度沿相对轨迹的切线方向，牵连速度垂直于OM连线。质点M相对惯性参考系的绝对速度reavvv。它对转轴的动量矩为)()()(r2e2a22vvvmLmLmLL其中：zulRogolrvevrM..])sin()cos[()(222e2RRlmmrmLvr2rr2sincos)cos()(vmRvRlmmLv系统对z轴的动量矩为21LLL。初始时，uvr,0,0，此时系统对z轴的动量矩为uRlmL)(0当系统运动到图8-12位置时，系统对z轴的动量矩为muRlmlRRlJumRuRlmRRlmJL)cos(])cos2([sincos)cos(])sin()cos[(22222由于系统对转轴的动量矩守恒。所以有0LL，因此可得：muRlmlRRlJuRlm)cos(])cos2([)(22由上式可计算出方板的角速度为)cos2()cos1(22lRRlmJuml2－11取链条和圆盘为研究对象，受力如图（链条重力未画），设圆盘的角速度为，则系统对O轴的动量矩为：2)2(rraJLlOO根据动量矩定理有：grxagrxarraJtLlllOO)()(])2([dd2整理上式可得：由运动学关系可知：xr，因此有：xr。上式可表示成：xgrxrraJllO222])2([令222)2(2rraJgrlOl，上述微分方程可表示成：02xx，该方程的通解为：ttececx21yOFOxFPgrxrraJllO)2(])2([2..根据初始条件：0,,00xxxt可以确定积分常数2021xcc，于是方程的解为：txxch0系统的动量在x轴上的投影为：xrrrrplllx22dsin02系统的动量在y轴上的投影为：xxrxrxarxaplllly22)()(根据动量定理：graPFpFplyyxx)2(00由上式解得：trxFlOxch220，t)ch(222202xg)ra(PFlloy2－14取整体为研究对象，系统的动能为：222121CCAvmmvT其中：CAvv,分别是AB杆的速度和楔块C的速度。若rv是AB杆上的A点相对楔块C的速度，则根据复合运动速度合成定理可知：cotvvAc，因此系统的动能可表示为：22222)cot(21cot2121ACACAvmmvmmvT，系统在运动过程中，AB杆的重力作功。根据动能定理的微分形式有：WTd，系统的动力学方程可表示成：tmgvvvmmvmmAAACACdd)cot()cot(21d222gmCvAvrv..由上式解得：2cotddCAAmmmgtva，cotACaa2－17质量为0m的均质物块上有一半径为R的半圆槽，放在光滑的水平面上如图A所示。质量为)3(0mmm光滑小球可在槽内运动，初始时，系统静止，小球在A处。求小球运动到B处030时相对物块的速度、物块的速度、槽对小球的约束力和地面对物块的约束力。图A图B解：取小球和物块为研究对象，受力如图B所示，由于作用在系统上的主动力均为有势力，水平方向无外力，因此系统的机械能守恒，水平动量守恒。设小球为动点，物块为动系，设小球相对物块的速度为rv，物块的速度为ev，则系统的动能为])cos()sin[(212121212r2re2e02a2e0vvvmvmmvvmT设0为势能零点，则系统的势能为sinmgRV根据机械能守恒定理和初始条件有0VT，即sin])cos()sin[(21232r2re2emgRvvvmmv(1)系统水平方向的动量为：)sin(ree0vvmvmpx(2)根据系统水平动量守恒和初始条件由(2)式有0)sin(3reevvmmv由此求出sin41revv，将这个结果代入上面的机械能守恒式(1)中,且030最后求RABRABrvevgmg0mNF..得：1521,154ergRvgRv下面求作用在小球上的约束力和地面对物块的约束力。分别以小球和物块为研究对象，受力如图C，D所示。设小球的相对物块的加速度为ra，物块的加速度为ea，对于小球有动力学方程gFaaaammm)(trnrea（a）图C图D对于物块，由于它是平移，根据质心运动动力学方程有NFgFa0e0mm（b）将方程（a）在小球相对运动轨迹的法线方向投影，可得sin)cos(enrmgFaam其中相对加速度为已知量，Rva2rnr。将方程（b）在水平方向和铅垂方向投影，可得sin0cos0e0FgmFFamN令030，联立求解三个投影方程可求出mgFmgFgaN6267.3,7594,153472e2－18取小球为研究对象，两个小球对称下滑，设圆环的半径为R。每个小球应用动能定理有：)cos1()(212mgRRm（a）ARBgmFtraeaRABFeag0mNFtmagm..将上式对时间t求导并简化可得：sinRg(b)每个小球的加速度为jiaaa)cossin()sincos(22ntRRRRmm取圆环与两个小球为研究对象，应用质心运动定理iiFaCim将上式在y轴上投影可得：gmmgFRRmmN0202)cossin(20将(a),(b)两式代入上式化简后得)coscos(mggmFN232200NF时对应的值就是圆环跳起的临界值，此时上式可表示成02cos2cos302mm上述方程的解为：)2313131(cos0mm圆环脱离地面时的值为mm2313131arccos01而mm2313131arccos02也是方程的解，但是1时圆环已脱离地面，因此2不是圆环脱离地面时的值。2－19取圆柱、细管和小球为研究对象。作用于系统上的外力或平行于铅垂轴或其作用线通过铅垂轴。根据受力分析可知：系统对铅垂轴的动量矩守恒。设小球相对圆柱的速度为rv，牵连速度为ev，由系统对z轴的动量矩守恒，有：0cosre20rmvrmvrmLz其中：rve，则上式可表示成：rmvrmmcos)(r20由此解得：rvrmmmvcos)(cosr0rg0mnmaNFgmzevrv..其中：mmm0，rh2tan根据动能定理积分式，有：2112WTTmgnhWmvrmTT212a220212121,0其中：2r2re2a)sin()cos(vvvv，将其代入动能定理的积分式，可得：mghnvvrmrm2])sin()cos[(2r2r220将rvcosr代入上式，可求得：2rcos12ghnv则：2cos12cosghnr由2r2re2a)sin()cos(vvvv可求得：212ra]cos)2(1[vv2－20取链条为研究对象，设链条单位长度的质量为应用动量矩定理，链条对O轴的动量矩为：3rLO外力对O轴的矩为：sindcosdcos220202grgrrgrgrsgrgrMrrOsin223grgrrMLOO因为：ddddddddddvrvvtvtvr，所以上式可表示成：sinddsinggvrvggrd)sin(drgvv积分上式可得：crgv)cos21(2122由初始条件确定积分常数grc，最后得：212]/)cos22([grvsdggr..3－3取套筒B为动点，OA杆为动系根据点的复合运动速度合成定理reavvv可得：lvve0a30cos，lvvvBCB332a研究AD杆，应用速度投影定理有：030cosDAvv，lvD334再取套筒D为动点，BC杆为动系，根据点的复合运动速度合成定理rDBCDvvv将上式在x轴上投影有：rDBCDvvv，lvvvB