学×思面授班初三数学 暑假 尖子班讲义 第4讲.相似三角形的性质与判定.尖子班.教师版

黄金比例？？ 中考内容 中考要求 A B C 图形的相似 了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系 会用比例的基本性质解决有关问题；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小 相似三角形 了解两个三角形相似的概念 会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题 三角形的相似是平面几何中极为重要的内容，是北京中考数学中的重点考察内容，近几年的中考题虽然以直接证相似为结论的题目在减少，但作为一种解决问题的工具，在解题中必不可少。相似性应用广泛，与三角形、平行四边形联系紧密。估计北京中考的填空题、选择题将注重“相似三角形的判定与性质”等基础知识的考查，将在圆的有关计算等解答题中加大知识的横向与纵向联系的力度。 年份 2010年 2011年 2012年 题号 3 4，20 11，20 分值 4分 9分 9分 考点 相似三角形的简单计算 根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合 根据三角形相似求比例；三角形相似与圆、解直角三角形的综合一、比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：、 或 ※（4）合比性质： EMBEDEquation.DSMT4 （5）分比性质： EMBEDEquation.DSMT4 （6）合分比性质： EMBEDEquation.DSMT4 ※（7）等比性质：（其中为正整数，且） ①②，当时二、成比例线段及相关概念 概念 1．两条线段的比：选用同一长度单位量得的两条线段的长度的比，叫做这两条线段的比．2．成比例线段：如果线段和的比等于线段和的比，那么线段，，，叫做成比例线段，记作或．3．比例中项：若，则称是，的比例中项．4．黄金分割点：如图，点把线段分成两条线段和（），若，则称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，即． 注意：线段的黄金分割点有两个．三、平行线分线段成比例定理及推论定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．如图1，所示，如果，则，，．推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图2，所示，若，则有，，．如图3，若，则有．图⑴图⑵图⑶建议老师使用面积法证明相关结论.（学生版不加这句话）【例1】⑴若，则（）A．B．C．D．⑵已知，则下列等式中不成立的是（）A．B．C．(且)D．⑶已知，则．⑷在比例尺为1︰2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5，则AB两地间的实际距离为m．⑸已知b是a、c的比例中项，且，，则_____.【解析】⑴D．⑵D．⑶∵，∴，∴．⑷100；⑸.【例2】⑴在中，交于，交于，下列不能成立的比例式是（）A．B．C．D．⑵如图，已知，则①；②若，则cm，③若的周长为16cm，则的周长为．⑶如图，中有菱形，如果，则的值为．⑷如图，已知，，现得到下列结论：①；②；③；④，其中正确比例式的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解析】⑴D；⑵；4；24；⑶；⑷B. 定义 示例剖析 相似图形：形状相同的图形叫做相似图形． 两个正方形是相似图形 相似多边形：我们把形状相同，大小不同的多边形，叫做相似多边形． 放大后的图形和放大前的图形是相似多边形． 相似三角形：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）相似三角形的性质：⑴相似三角形的对应角相等，对应边成比例.相似三角形对应的高线、中线、角平分线的比等于相似比；（需要证明）⑵相似三角形的周长之比等于相似比.⑶相似三角形的面积比等于相似比的平方． 若，则（为相似比），【例3】⑴手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）ABCD⑵如图，中，点在线段上，且，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．D．⑶如图，在平行四边形ABCD中，，，E是AD的中点，在AB上取一点F，使，则BF的长是（）A.5B.8.2C.6.4D.1.8⑷如图，，点D、E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED．若DE=4，AE=5，BC=8；则AB的长为．(2012湖北随州)【解析】⑴D.⑵C.⑶D.⑷10． 相似三角形的判定定理⑴有两个角对应相等的两个三角形相似；⑵两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；⑶三边对应成比例的两个三角形相似. 由⑴得到①任何两个等边三角形都相似;②任何顶角相等的两个等腰三角形都相似;③三角形的中位线截三角形得到的小三角形与原三角形相似;④一个锐角相等的两个直角三角形相似．【例4】⑴如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABD=∠CB．∠ADB=∠ABCC．D．(2012海南)⑵给出以下条件：①的两个角分别是和，的两个角分别是和.②的两边长分别为和，夹角为，的两边长分别为和，夹角为.③的边长分别是、、，的边长分别是、、.④中，，，，中，，，.其中能判定和相似的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个（北京三帆中学期中试题）【解析】⑴或或（答案不唯一）；⑵D.【例5】⑴如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥，其中②～⑥中，与三角形①相似的是（）A．②③④B．③④⑤C．④⑤⑥D．②③⑥⑵如图，在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中，是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点、、为顶点的三角形与相似（全等除外），则格点的坐标是．⑶，，，，则．(2012新疆)【解析】⑴B；⑵、.⑶．【例6】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．(1)求证：△ABG∽△BFE；(2)设，，当四边形EFCD为平行四边形时，求BC的长度．（2012湖北宜昌）【解析】(1)证明：∵AD∥BC；∴∠AEB=∠EBF；∵由折叠知△EAB≌△EGB，∴∠AEB=∠BEG，∠EBF=∠BEF；∴FE=FB，△FEB为等腰三角形；∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°；∴∠ABG=∠EFB；在等腰△ABG和△FEB中，，；∴∠BAG=∠FBE；∴△ABG∽△BFE；(2)∵四边形EFCD为平行四边形，EF∥DC；∵由折叠知，∠DAB=∠EGB=90°，∠DAB=∠BDC=90°；又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC；∴△ABD∽△DCB；∴；∵AD=4，AB=3，∴BD=5；∴；即BC=.【备选1】如图，E是矩形ABCE的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．(1)求证：△ABE∽△ECF；(2)找出与△ABH相似的三角形，并证明；(3)若E是BC中点，，，求EM的长．（2012山东泰安）【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠ECF=90°．∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°．∴∠AEB+∠BEA=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF．(2)△ABH∽△ECM．证明：∵BG⊥AC，∴∠ABG+∠BAG=90°，∴∠ABH=∠ECM，由(1)知，∠BAH=∠CEM，∴△ABH∽△ECM．(3)解：作MR⊥BC，垂足为R，∵AB=BE=EC=2，∴AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°，∴∠MER=45°，CR=2MR，∴，，∴．【备选2】如图，直角梯形中，，，点在上，点在上，．⑴求证：．⑵当，，点、分别是、的中点时，求直角梯形的面积．【解析】⑴在梯形中，∴∵∴∴⑵∵，，∴又∵是的中点，∴∵∴∴，∴∵是的中点∴∴直角梯形的面积.【例7】类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．(1)如图1，在□ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．若，求的值．(2)拓展迁移：如图2，梯形ABCD中，DC//AB，点E是BC的延长线上一点，AE和BD相交于点F．若，EMBEDEquation.3，则的值是__________(用含a，b的代数式示)．（2012河南）【解析】(1)作EH∥AB交BG于点H，则∽∴∵AB=CD，∴EH∥AB∥CD，∴∽∴，∴CG=2EH∴(2)，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H．【备选3】⑴如图所示，是的中线，点在上，是的延长线与的交点．①如果是的中点，求证：；②由①知，当是的中点时，成立，若是上任意一点（如图所示，与、不重合），上述结论是否成立？若成立，请写出证明；若不成立，请说明理由．⑵如图所示，在中，是的中点，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，求的值．（北京师范大学附属中学期中测试）【解析】⑴过点、、作平行线均可构造出平行线的基本图形，然后利用这些基本图形的性质来解题．①如图所示，过点作的平行线，交于点．由可得，由可得，则；②结论依然成立，解法同上．⑵如图所示，过点作的平行线交于点．因为，，则．而，故．又因为，则.第04讲精讲：作平行线构造相似三角形方法探究引入新的概念：线段的分点与公共分点；线段的分点：已知线段AB，在直线AB上有一点C，若AC与BC之间具有特殊的比例关系，则将点A、B、C称为线段AB的三个不同的分点；公共分点：不在同一条直线上的具有特殊比例关系的两条线段的共同的分点；过公共分点作平行线，构造基本相似模型，来沟通题设所给的两个特殊比例关系是常见的相似解题方法；基本相似模型为“A字型”和“8字型”.【探究1】如图，一条直线与△ABC的边AB、AC及BC的延长线交于D、E、F三点.若EMBEDEquation.3，试说明：D是AB的中点.【分析】结论AD=BD，我们可视A、B、D为线段AB的三个不同的分点；条件，我们可视A、E、C为线段AC的三个不同的分点.两者结合可得：A为公共分点，过A作BF的平行线交FD的延长线于点G.图中就可以出现与条件和结论都有密切联系的两个“8字型”的基本构图，如下图所示；类似地：过点A作DF的平行线交BF的延长线于点H，我们可以得到两个“A字型”的基本构图，如下图所示；【探究2】已知：如图，在△ABC中，，E为CD的中点，AE的延长线交BC于点F.求.【分析】由可知：A、D、B为线段AB的三个分点；由CE=DE可知：C、D、E为线段CD的三个分点；由可知：B、C、F为线段BC的三个分点，故此共有三个公共分点：点D、点B、点C.过这三个公共分点均可作两条平行线构造与条件和结论有联系的基本构图，因此本题至少共有六种不同的求法.辅助线如下图所示；方法一：过点D作AC的平行线交BC与点G；方法二：过点D作BC的平行线交AF与点G；方法三：过点B作AF的平行线交CD的延长线于点G；方法四：过点B作DC的平行线交AF的延长线于点G；方法五：过点C作AB的平行线交AF的延长线于点G；方法六：过点C作AF的平行线交BA的延长线于点G.下列命题中，假命题是（）A．若两个直角三角形中，各有一个角是，则两三角形相似B．若两个等腰三角形中，各有一个角是，则两三角形相似C．若两个等腰三角形中，各有一个角是，则两三角形相似D．若两个等腰三角形中，各有一个角是，则两三角形相似（北京八中期中试题）【解析】C._____________________如图，是的边上一点，那么下面四个命题中错误的命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【解析】D._____________________训练1.若，则．【解析】或.①若，由等比性质得∴，，于是有②若，∴，∴，于是有．综上原式的值为或．点评：对于连比等式，设参数法也是常用方法．比如③设，从而用来表示．再用代入法即可求值．训练2.已知：如图，Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，DE∥AB．⑴当△CDE的面积与四边形DABE的面积相等时，求CD的长；⑵当△CDE的周长与四边形DABE的周长相等时，求CD的长．【解析】⑴⑵训练3.如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排摆放，求．【解析】方法一：如图，连接、，，∵∴，∴∴∴=.方法二：如图，延长到使，连接、，∴∴，易证，∴，，∴∴.训练4.如图，已知在矩形中，为的中点，交于，连接（）.（1）与是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.（2）设是否存在这样的值，使得∽，若存在，证明你的结论并求出值；若不存在，说明理由.【解析】⑴延长、，交于点.易证≌，故.又，故，≌在中，，这个基本图形中，∽，故∽⑵由∽可知，又，，故∽从而可知，故，故.知识模块一成比例线段课后演练【演练1】如图，在中，，延长到，在上取，连结与交于，求证：．【解析】过作交于．在中，有，，∴①．在中，∵，∴②．由①②得．知识模块二相似的相关知识点课后演练【演练2】如图，在长为、宽为的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形面积是（）A．B．C．D．【解析】C．知识模块三相似三角形的判定课后演练【演练3】如图，、是的边、上的点，且EMBEDEquation.DSMT4，求证：.【解析】∵，∴∵∴∽，∴.【演练4】梯形中，，，、分别为AB与BC中点．求证：⑴；⑵，求的长．【解析】⑴∵为的中点，且∴又∵∴四边形是平行四边形∴∴又∵∴;⑵由⑴知由∵∴∵，∴.【演练5】下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）【解析】B．测试1.已知：，则=；⑵=.【解析】∵，∴，，∴⑴⑵.测试2.如图，平行四边形中，E是AB延长线上一点，连接DE，交BC于F，交于，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（）对.A.6B.5C.4D.3【解析】B.测试3.如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．⑴求证：．⑵若，，，求的长．【解析】⑴∵四边形是平行四边形∴，∴，∵，∴∴;⑵∵四边形是平行四边形∴，又∵∴在中，∵∴∴∴.4相似三角形的性质与判定满分晋级暑期班第五讲暑期班第四讲三角形13级相似三角形的简单模型三角形12级相似三角形的性质与判定三角形11级特殊三角形之直角三角形秋季班第十二讲漫画释义中考内容与要求中考考点分析知识互联网模块一成比例线段知识导航夯实基础模块二相似的相关知识点知识导航夯实基础模块三相似三角形的判定知识导航夯实基础能力提升探索创新思维拓展训练(选讲)实战演练ABCD课后测第十七种品格：成就奥伦索•辛浦森与他的橄榄球梦一个生长于旧金山贫民区的小男孩，从小因为营养不良而患有软骨症，在6岁时双腿变成“弓”字型，小腿严重萎缩。然而在他幼小心灵中一直藏着一个除了他自己，没人相信会实现的梦——那就是有一天他要成为美式橄榄球的全能球员。他是传奇人物吉姆•布朗的球迷，每当吉姆所在的克里夫兰布朗斯队和旧金山四九人队在旧金山比赛时，这个男孩便不顾双腿的不便，一跛一跛地到球场去为心中的偶像加油。由于他穷得买不起票，所以只有等到全场比赛快结束时，从工作人员打开的大门溜进去，欣赏最后剩下的几分钟。13岁时，有一次他在布朗斯队和四九人队比赛之后，在一家冰激凌店里终于有机会和喜欢的偶像面对面地接触，那是他多年来所期望的一刻。他大大方方地走到布朗这位大明星的跟前，说道：“布朗先生，我是你最忠实的球迷！”吉姆•布朗和气地向他说了声谢谢。这个小男孩接着又说道：“布朗先生，你知道一件事吗？”吉姆转过头来问：“小朋友，请问是什么事呢？”男孩一副自若的神态说道：“我记得你所创下的每一项、每一次的布阵。”吉姆•布朗十分开心地笑了，然后说道：“真不简单。”这时小男孩挺了挺胸膛，眼睛闪烁着光芒，充满自信地说道：“布朗先生，有一天我要打破你所创下的每项记录!”听完小男孩的话，这位美式橄榄球明星微笑地对他说道：“好大的口气。孩子，你叫什么名字？”小男孩得意地笑了，说：“布朗先生，我的名字叫奥伦索•辛浦森，大家都管我小O.J.。”布朗说：“我们会成为什么样的人，会有什么样的成就，就在于先做什么样的梦。”奥伦索•辛浦森日后的确如他少年时所说的，在美式橄榄球场上打破了吉姆布朗所写下的所有记录，同时更创下一些新的记录。何以目标能激发出令人难以置信的能力，改写一个人的命运？又何以目标能够使一个行走不便的人成为传奇人物？各位朋友，要想把看不见的梦想变成看得见的事实，首要做的事便是制定目标，这是人生中一切成功的基础。目标会导引你的一切想法，而你的想法便决定了你的人生。今天我学到了_1323436245.unknown_13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