概率论_第二版_杨振明_课后题答案

1 2.1.2.1.2.1.2.1.习题 1．设随机变量ξ 的分布为 )(xF ，证明 ξη e= 也是随 机变量，并求η的分布函数． 证明：由定理 2.1.3 随机变量的 Borel 函数仍为随机变量， 故 ξ η e= 也是随机变量． η的分布函数为 }{}{)( yePyPyF <=<= ξ η η 当 0≤y 时， φξ =< }{ ye ，故 0)( =yF η ； 当 0>y 时 ， )(ln}ln{}{}{)( yFyPyePyPyF ξ ξ η ξη =<=<=<= 因此， η 的分布函数为 ⎩ ⎨ ⎧ ≤ > = 00 0),(ln )( y yyF yF ξ η ． 3．假定一硬币抛出正面的概率为 (0 1)p p< < ，反复抛这 枚硬币直至正面与反面都出现过为止，试求：（1）抛掷次数ξ 的密 度阵；（2）恰好抛偶数次的概率． 解：（1） }{ k=ξ 表示前 1k − 次都出现正(反)面，第 k 次出 现反(正)面，据题意知， ppppkP kk 11 )1()1(}{ −− −+−==ξ ， L,4,3,2=k 所以，抛掷次数 ξ 的密度阵为 2 2 1 1 2 3 2 2 (1 ) (1 )k k k p p p p p p p p − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟− − − + −⎝ ⎠ L L K K (2) 恰好抛掷偶数次的概率为： LL +=++=+=+= }2{}6{}4{}2{ nPPPP ξξξξ LL +++++++++= −− pqqppqqppqqpqppq nn 12125533 )1()1( 4242 LL +++++++= qqqppppq 22 1 1 1 1 q qp p pq − ⋅+ − ⋅= )1( 1 )1( 1 qp qp qp pq + ⋅+ + ⋅= q q p p + + + = 11 4．在半径为 R 的圆内任取一点（二维几何概型），试求此点到 圆心之距离 ξ 的分布函数及 } 3 2 { R P >ξ ． 解：此点到圆心之距离ξ 的分布函数为 }{)( xPxF <= ξ 当 0x ≤ 时， φξ =< }{ x ， ( ) 0F x = ； 当 0 x R< < 时， 2 2 2 2 }{)( R x R x xPxF ==<= π π ξ ； 当 x R≥ 时， ( ) 1F x = 故ξ的分布函数为 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≥ << ≤ = Rx Rx R x x xF ,1 0, 0,0 )( 2 2 ． 9 5 9 4 1 )3/2( 1) 3 2 (1} 3 2 { 2 2 =−=−=−=> R RR F R P ξ ． 5．在半径为1的车轮边缘上有一裂纹，求随机停车后裂纹距 地面高度ξ的分布函数． (0 1)x x< < 1x = 1x = (1 2)x x< < 解：当 0x ≤ 时， φξ =< }{ x ， ( ) 0F x = ； x R 2 当裂纹距离地面高度为1时，分布函数为 ( ) ( ){ } { } 1 arccos(1 ),1 1 2 2 R x F x F P R π π ξ π π − − = −∞ = < = = = ； 当裂纹距离地面高度为 x ( )0 1x< < 时，分布函数为 ( ) ( ){ } { } ( ) 2arccos 1 , 2 x R F x F x P x R ξ π − = −∞ = < = ( )arccos 1x π − = ( )arccos 1 xπ π − − = ； 当裂纹距离地面高度为 (1 2)x x< < 时，分布函数为 ( ) ( ){ } { } ( ) ( )2 2arccos 1 arccos 1 , 2 x R x F x F x P x R π π ξ π π − −⎡ ⎤ − −⎣ ⎦= −∞ = < = = ； 当 2>x 时， ( ) 1F x = ； 则ξ的分布函数为 ( ) ( ) 0 0 arccos 1 0 2 1 2 x x F x x x π π ≤⎧ ⎪ − −⎪ = < ≤⎨ ⎪ >⎪⎩ 6．已知随机变量 ξ 的密度函数为 ( ) , 0 1, 2 , 1 2. x x p x x x < ≤⎧ = ⎨ − < ≤⎩ 试求：(1) ξ 的分布函数，（2） { }0.2 1.2P ξ< < ． 解：（1）当 0≤x 时， 00)()( === ∫∫ ∞−∞− dtdttpxF xx ； 当 0 1x< ≤ 时， 2 0 2 1 )()( xdttdttpxF xx === ∫∫ ∞− ； 当 1 2x< ≤ 时 ， 12 2 1 2)()( 2 1 1 0 −+−=−+== ∫∫∫ ∞− xxdttdttdttpxF xx ； 当 2x > 时， 12)()( 2 1 1 0 =−+== ∫∫∫ ∞− dttdttdttpxF x ； 则ξ 的分布函数为 ( ) 2 2 0 , 0 , 1 , 0 1 , 2 1 2 1 , 1 2 , 2 1 , 2 . x x x F x x x x x ≤⎧ ⎪ ⎪ < ≤ ⎪ = ⎨ ⎪− + − < ≤ ⎪ ⎪ >⎩ （2） { }0 .2 1 .2P ξ< < { } { }1.2 0.2P Pξ ξ= < − < = ( ) ( )1.2 0.2 0.66F F− = 7．设 )()( axeexp −−= ， 0x > （1）求 a 使 ( )p x 为密度函数； （2）若ξ 以此 ( )p x 为密度函数，求 b 使 bbP => }{ξ ． 解：（1）由密度函数的性质，知 eaaxeaxe e e e e dxedxxp 1 0 1 )(1 )( 0 )( = ∞ −=== −− ∞ −−∞ ∞− ∫∫ 解得， 1 a e = ． （2）【法一】根据概率的非负性， 0≥b ， 当 0=b 时， 1}{ => bP ξ ，显然 bbP => }{ξ 不成立； 当 0>b 时 ， ) 1 () 1 () 1 ( 11 )(}{ e be e xe b e xe b e eb e e dxedxxpbP −−−−∞ −−∞ = ∞ −===> ∫∫ξ 而 bbP => }{ξ ，即 be e e be = −− ) 1 (1 ， 解得， 1 b e = ． 【法二】ξ 的分布函数为 ( ) 1 0 , 0 , 1 1 1 , 0 . e x e x F x e e x e e ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ≤⎧ ⎪ = ⎨ + + >⎪ ⎩ { } { } ( )1 1P b P b F b bξ ξ> = − < = − = 3 当 0b ≤ 时， ( ) 0F b = ，上式不成立． 当 0b ≥ 时， ( ) 1 1 1e b e F b e e e e ⎛ ⎞ − −⎜ ⎟ ⎝ ⎠= − + 则 1 1 1 1 e b e e e b e e ⎛ ⎞ − −⎜ ⎟ ⎝ ⎠+ − = ， 解得， 1 b e = ． 8.设 ( )F x 是连续型分布函数，试证对任意 a b< 有 [ ]( ) ( )F x b F x a dx b a +∞ −∞ + − + = −∫ . 证：等式左边= ( ) x b x a p t d tdx +∞ + −∞ +∫ ∫ = ( ( )) x b x a d F t dx +∞ + −∞ +∫ ∫ 因 ( )F x 是连续的分布函数则上式积分可以交换． 则上式交换积分次序得 ( ( )) x b x a d F t dx +∞ + −∞ +∫ ∫ ( ( )) x b x a d F t dx + +∞ + −∞ = ∫ ∫ ( ( ) ( )) x b x a F F dx + + = +∞ − −∞∫ 1 x b x a dx + + = ∫ b a= − ． 2.22.22.22.2习题 1．向目标进行 20 次独立的射击，假定每次命中率均为 0.2． 试求：（1）至少命中 1 次的概率；（2）至多命中 2 次的概率；（3） 最可能命中次数． 解：令 ξ 表示命中次数，这是 n =20 重 Bernoulli 试验，每 次命中率 p =0.2，命中次数ξ 服从 B(20,0.2)分布． (1) 至少命中一次的概率 2000 20 )1(1}0{1}1{1}1{ ppCPPP −−==−=<−=≥ ξξξ 988.0)2.01(2.01 200020 ≈−−= C ． (2) 至多命中两次的概率 }2{}1{}0{}2{ =+=+==≤ ξξξξ PPPP 1822 20 1911 20 2000 20 )1()1()1( ppCppCppC −+−+−= 1822 20 1911 20 2000 20 )2.01(2.0)2.01(2.0)2.01(2.0 −+−+−= CCC 206.0≈ ． (3) 在二项分布中， ])1[( pnk += 时， }{ kP =ξ 最大， 故 ]2.0)120[( ×+=k =4 时最大，即最可能命中的次数为 4 次． 2．同时掷两枚骰子，直到某个骰子出现 6 点为止，求恰好掷 n 次的概率． 解：掷一枚骰子出现 6 点的概率是 1 6 ，同时出现 6 点的情况 有两种：都是 6 点概率为 1 6 × 1 6 ，其中一个是 6点的概率为 2× 1 6 × 5 6 ．因此掷两枚骰子出现 6 点的概率是 11 36 ． 以ξ 表示某骰子首次出现 6 点时的投掷次数，题目要求恰好掷 n 次 则 前 1−n 次 都 没 有 出 现 6 点 ， 于 是 所 求 概 率 为 1) 36 11 1)( 36 11 (}{ −−== nnP ξ ． 3．某公司经理拟将一提案交董事代表会批准，规定如提案获 多数代表赞成则通过．经理估计各代表对此提案投赞成票的概率为 0.6，且各代表投票情况相互独立．为以较大概率通过提案，试问 经理请 3名董事代表好还是请 5名好？ 解：即求请 3 名董事获多数赞成通过的概率大还是请 5 名董事 通过的概率大．令 ξ 表示 3 名董事代表对提案的赞成数，则 )6.0,3(~ Bξ 分布． 多数赞成，即 }3{}2{}2{ =+==≥ ξξξ PPP 4 033 3 122 3 )6.01(6.0)6.01(6.0 −+−= CC 648.0≈ 令 η 表示 5 名董事代表对提案的赞成数，则 )6.0,5(~ Bη 分布． 多数赞成，即 }5{}4{}3{}3{ =+=+==≥ ηηηη PPPP 055 5 144 5 233 5 )6.01(6.0)6.01(6.0)6.01(6.0 −+−+−= CCC 68256.0≈ 因此，请 5 名董事代表好． 4．甲、乙二队比赛篮球．假定每一场甲、乙队获胜的概率分 别为 0.6 与 0.4，且各场胜负独立．如果规定先胜 4 场者为冠军， 求甲队经 i 场( i =4,5,6,7)比赛而成为冠军的概率 i p ．再问与赛满 3 场的“三场两胜”制相比较，采用哪种赛制甲队最终夺得冠军的概 率较小？ 解：令ξ 表示甲成为冠军所经过比赛的场数． 对甲先胜四场为冠军： }{ i=ξ 表示前 1−i 场中胜三场，第 i场 必胜． 则 1296.0)6.01(6.0}4{ 0444 ≈−== CP ξ 20736.0)6.01(6.0}5{ 1434 ≈−== CP ξ 20736.0)6.01(6.0}6{ 2435 ≈−== CP ξ 165888.0)6.01(6.0}7{ 3436 ≈−== CP ξ 因此， 443 1 )6.01(6.0}{ − − −== i i CiP ξ ， i =4,5,6,7 对甲先胜四场成为冠军的概率是 7102.0}7{}6{}5{}4{}4{ ==+=+=+==≥ ξξξξξ PPPPP ． 对赛满 3场的“三场两胜”制：甲前两场中胜一场，第三场必胜 则 288.0)6.01(6.0}3{ 1212 ≈−== CP ξ ． 因此，进行甲先胜 4场成为冠军的概率较大． 5．对 n 重 Bernoulli 试验中成功偶数次的概率 n P ． 解：记 p 为一次 Bernoulli 试验中事件成功的概率， q为失 败的概率． L++= −22200 n n n nn qpCqpCP 由 011100)(1 qpCqpCqpCqp nn n n n n n n +++=+= − LL ① 01100 )()( qpCpqCqpCpq nn n n n n n n −++−=− − LL ② （①-②）/2 得： 2 )(1 n n pq P −− = 7．在可列重 Bernoulli试验中，以 i ξ 表第 i次成功的等待时 间，求证 12 ξξ − 与 1ξ 有相同的概率分布． 解：这是一个几何分布． 12 ξξ − 表示第一次成功到第二次成 功的等待时间． 如果第一次成功到第二次成功进行了 m 次试验，而第一次成 功进行了 n 次 试验．根据几何分布的无记忆性可得： 5 ppmP m 1 12 )1(}{ −−==− ξξ , ppnP n 11 )1(){ −−==ξ 因此， 12 ξξ − 与 1ξ 有相同的概率分布． 8.（广义 Bernoulli 试验）假定一试验有 r 个可能结果 r AA ,,1 L ，并且 0)( >= ii pAP ， 121 =+++ rppp L ．现将此试验独立 地重复 n 次，求 1A恰出现 1k 次，……， rA 恰出现 rk 次( 0>ik ， nkkk r =+++ L21 )的概率． 解：设一次试验的可能结果为 r AA ,,1 L ，它们构成一完备事 件组， ( ) i i P A p= ， 1 i i p =∑ ，则在 n 次重复独立试验中 r AA ,,1 L 分 别 出 现 1 2, , , rk k kL 次 的 概 率 为 r kkk r ppp kkk n L L 21 !!! ! 21 ． （ 1A 恰出现 1k 次，……， rA 恰出现 rk 次，则 iA 组成n元序列， 上述 n次试验结果由分成 r组，共有 r r k k k kn k n CCC L2 1 1 − 种结果，每 种结果出现的概率是 r kkk ppp L21 ，则 n次 Bernoulli 试验中 1A 恰 出 现 1k 次 ，… … ， r A 恰 出 现 r k 次 ( 0> i k ， nkkk r =+++ L21 ) 的 概 率 概 率 是 r r k k k kn k n CCC L2 1 1 − r kkk ppp L21 r kkk r ppp kkk n L L 21 !!! ! 21 = ） 2.32.32.32.3 PoissonPoissonPoissonPoisson分布 1．假定螺丝钉的废品率 015.0=p ，试求一盒应装多少只才 能保证每盒中正品在 100 只以上的概率不小于 80%． 解：设每盒应装 100+ k 只，为使每盒有 100 只以上的好钉， 则 每 盒 次 品 的 个 数 ξ 应 ≤ k -1 ， 故 8.0)1(}1{ 100 1 0 1001 ≥−=−≤= −+ − = +∑ iki k i i k ppCkPp ξ 由于 k值不大，有 )100( k+ 015.0× ≈ 1.5, 5.1 1 0 ! 5.1 − − = ∑ e i k i i ≥0.80, 查表，当 11 =−k 时, 1p =0.557825；当 21 =−k 时, 1p =0.8, 则 k =3 时，满足题设条件，故每盒中应装 103 只． 2．据以往的，某商店每月出售的电视机台数服从参数 7=λ 的 Poisson分布．问月初应库存多少台电视机，才能以 0.999 的概率保证满足顾客对电视机的需求． 解：设月初应当库存电视机台数为 η ，则每月出售的电视机台 数ξ ，要满足顾客的要求，则 999.0)1( 0 =− − = ∑ ini n i i n ppC , 即 999.0 !0 =− = ∑ λ λ e i n i i ． 查表得： 当 n =15 时， 997553.0 !0 =− = ∑ λ λ e i n i i ； 当 n =16 时， 999001.0 !0 =− = ∑ λ λ e i n i i ； 因此，月初应当库存 16 台电视机才能以 0.999 的概率保证满足 顾客对电视机的需求． 3．保险公司的资料表明，持有某种人寿保险单的人在保险期 内死亡的概率为 0.005．现出售这种保险单 1200 份，求保险公司至 多赔付 10 份的概率． 解：保险公司赔付的份数 ξ 服从 n =1200, p =0.005 的二项分 布． 根据 Poisson 定理， ξ 服从参数为 6005.01200 =×=λ 的 Poisson分布． =≤ }10{ξP ∑ = − 10 0 6 ! k k e k λ 6 查表，得 95738.0}10{ =≤ξP ． 4．假定每小时进入某商店的顾客服从 200=λ 的 Poisson分 布，而进来的顾客将购买商品的概率均为 0.05，且各顾客是否购物 相互独立，求在一小时中至少有 6 位顾客在此商店中购物的概率． 解：记每小时进入某商店的顾客数为ξ ，则ξ 服从 200=λ 的 Poisson分布． 记每小时在商店中购物的顾客数为 η ，顾客购物概率为 p ． 以事件 { }n=ξ , L,3,2,1=n 为分割，由全概率公式得， 对于非负整数 k , 有 { }kP =η = { } { }nkPnP n ===∑ +∞ = ξηξ | 0 = knkk n kn k qpCe n −− +∞ = ∑ λ λ ! = k kn kn pe kkn q )( !)!( )( λ λ λ− +∞ = − ∑ − = ( ) pk ep k λ λ − ! 1 { } p k k e k p P λ λ η − +∞ = ∑=≥ 6 ! )( 6 满足 101 == pλλ 的 Poisson 分 布， 查表，得 { } 93214.06 =≥ηP ． 8．假定非负整值离散型分布的密度 { } k p 满足条件 1−k k p p = k λ , k ≥ 1,其中常数 λ >0，试证明分布是以 λ 为参数的 Poisson分布． 解： 1 2 0 1 p p p p ····· 211 λλ = −k k p p ····· k λ = !k k λ 由此得： 0! p k p k k λ = ，并且 0 0 ! p k k k ∑ +∞ = λ =1,可得 0p = λ− e ，故 λ λ −= e k p k k ! ．因此，此分布是以 λ 为参数的 Poisson分布． 2.42.42.42.4 重要的连续性分布 1．设 ξ 服从区间 (0,5) 上的均匀分布，求二次方程 24 4 2 0x xξ ξ+ + + = 有实根的概率． 解：由题意知， ξ 的概率密度函数为 1 0 5 ( ) 5 0 x p x ⎧ < <⎪ = ⎨ ⎪⎩ 其它 若方程有实根，则 2(4 ) 4 4 ( 2) 0ξ ξ∆ = − × × + ≥ ， 即 2 2 0ξ ξ− − ≥ ， 解得， 1 2ξ ξ≤ − ≥或 ． 则 }2{}1{}{ ≥+−≤= ξξ PPP 方程有实根 }2{1}1{ <−+−≤= ξξ PP 2 0 1 3 0 1 5 5 dx= + − =∫ ． 3．假定随机变量 ξ 只取区间 (0,1) 中的值，且对任何 10 <<< yx ，ξ 落在子区间 ( , )x y 内的概率仅与 y x− 有关． 求证ξ 服从区间 (0,1)上的均匀分布． 证法一：定义 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∞∈ ∈<≤ −∞∈ = ),1(,1 ]1,0(},0{ ]0,(,0 )( x xxP x xF ξ 则 )(xF 是ξ 的分布函数．由题设得对任意 )1,0(2 ∈x 有 }2{}0{ xxPxP <≤=<≤ ξξ ，即有 }0{2}20{ xPxP <≤=<≤ ξξ ．由此得 )(2)2( xFxF = ．逐一类推可得，若 )1,0(∈nx ，则 7 )()( xnFnxF = ，或者 )()( 1 n x FxF n = ．从而对有理数 n m ， 若 x n m 与 x 都属于 (0,1)，则有 )(xF n m x n m F =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ．再由 )(xF 的左连续性可得，对任意无理数 a，若 ax与 x都属于 (0,1)，则 )()( xaFaxF = ． 因为区间 (0,1)与 ]1,0[ 的长度相等，由题设得 1}10{}10{)1( =≤≤=<≤= ξξ PPF . 由此及上段证明得，对任意 )1,0(∈x 有 xxFxF == )1()( ，即 )(xF 为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ << ≤ = 1,1 10, 0,0 )( x xx x xF ∴ ξ 服从 (0,1)上均匀分布． 证法二：如同证法一中定义 ξ 的分布函数 )(xF ，由 )(xF 单调知它对 (0,1)上的 L－测试几乎处处可微．设 )1,0(, 21 ∈xx ， 当 )2,1)(1,0( =∈∆+ ixx i 时，由题设得 }{)()( 1111 xxxPxFxxF ∆+<≤=−∆+ ξ )()(}{ 2222 xFxxFxxxP −∆+=∆+<≤= ξ 等式两端都除以 x∆ ，再令 0→∆x 可得，由 )(' 1xF 存在可推得 )(' 2xF 也存在，而且 )(' 2xF )(' 1xF= ．从而对任意 )1,0(∈x 有 cxF ≡)(' ．当 )1,0(∈x 时，显然有 0)(' =xF ．一点的长 度为 0，由题设得 0}1{}0{ ==== ξξ PP ．由上所述可知ξ 是连续型随机变量， )(' xF 是其密度函数，从而定出 1=c ．至 此得证 ξ 服从 (0,1)均匀分布． 4 ． 设 ξ 服 从 (3, 4)N 分 布 ． (1) 求 a 使 { } { }2P a P aξ ξ> = < ;(2);(2);(2);(2)求 b使 { }3 0.95P bξ − < = ． 解：由题意知， 3µ = ， 2σ = （ 1 ） { } { } { } { }1 1 2P a P a P a P aξ ξ ξ ξ> = − ≤ = − < = < 得， { }3 1P aξ < = { } 1 3 P aξ < = 即 3 1 ( ) 2 3 µ − Φ = ， 3 1 1 ( ) 2 3 µ− −Φ = ， 即 3 2 ( ) 2 3 µ− Φ = 查表，得 6664.0)43.0( =Φ ，解得 2.14a = 。 （ 2 ） { } { } 3 3 3 33 3 3 ( ) ( ) 2 2 b b P b P b bξ ξ + − − − − < = − < < + = Φ −Φ ( ) ( ) 2 ( ) 1 0.95 2 2 2 b b b = Φ −Φ − = Φ − = ， ( ) 0.975 2 b ∴Φ = 查表，得 975.0)96.1( =Φ ，解得 3.92b = 。 5．在正常的考试中，学生的成绩应服从 2( , )N a σ 分布．若 规定分数在 a σ+ 以上为“优秀”， a 至a σ+ 之间为“良好”， a σ− 至 a之间为 “一般”， 2a σ− 至 a σ− 之间为“较差”， 2a σ− 以下为“最差”．试求这五个等级的学生各占多大比例． 解：记优秀，良好，一般，较差，最差分别为事件 , , , ,A B C D E 记学生的成绩为 ξ ，则 { } { }( ) 1 1 ( ) 1 (1) 1 0.8413 0.1587a aP A P a P a σξ σ ξ σ σ − − = > + = − < + = −Φ = −Φ = − = { }( ) ( ) ( ) (1) (0) 0.8413 0.5000 0.3413a a a aP B P a a σξ σ σ σ + − − = < < + = Φ −Φ = Φ −Φ = − = { }( ) ( ) ( ) (0) ( 1) (0) (1) 1 0.8413 0.5000 1 0.3413a a a aP C P a a σσ ξ σ σ − − − = − < < =Φ −Φ =Φ −Φ − =Φ +Φ − = + − = 2 ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 1) ( 2) (2) (1) 0.9772 0.8413 0.1359 a a a a P D P a a σ σ σ σ σ σ − − − − = − < − =Φ −Φ =Φ − −Φ − =Φ −Φ = − = { } 2( ) 2 a aP E P a σξ σ σ − − = < − = Φ Φ Φ（ ）= （-2）=1- （2）=1-0.9772=0.2228 8 6．某人要开汽车从城南到城北火车站．如果穿行，则所需时 间（单位：分钟）服从 (50,100)N 分布．如果绕行，则所需时间 服从 (60,16)N 分布．假设现在他有：（1） 65分钟可用；（2） 70 分钟可用，试分别计算是穿行还是绕行好些？ 解：记ξ 为到火车站所需时间 { } 65 5065 ( ) (1.5) 0.9332 10 P ξ − < = Φ = Φ =1(1). { } 65 6065 ( ) (1.25) 0.8944 4 P ξ − < = Φ = Φ =2 因为 8944.09332.0 > ，所以穿行好些。 { } 70 5070 ( ) (2) 0.9772 10 P ξ − < = Φ = Φ =3(2). { } 70 6070 ( ) (2.5) 0.9798 4 P ξ − < = Φ = Φ =4 因为 9798.09772.0 < ，所以绕行好。 7．已知随机变量 ξ 服从正态分布，而 η ξ= 或 ξ− 视 | | 1ξ ≤ 或 | | 1ξ > 而定．试求η的分布． 解：由题意知 1 1 ξ ξ η ξ ξ ⎧ ≤⎪ = ⎨ − >⎪⎩ ，所以， ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 P y F y F y P y P y P y P y F y ξ η ξ ξ η η ξ ξ ξ η ⎧ < = ≤⎪ = < = ⎨ − < = > − = − < − = − − >⎪⎩ 2 2 2 2 ( ) 2 2 1 ( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) 1 1 (1 ( )) ( ) ( ) 1 2 2 y y y F y P y e P y F y F y F y P y e e ξ ξ η η η ξ ξ η π η π π − − − − ⎧ ′ = = ≤⎪ ⎪′= = ⎨ ⎪ ′ ′− − = − = − = = >⎪ ⎩ 综上可知，η服从标准正态分布 8．假设一机器的检修时间（单位：小时）是以 1 2 λ = 为参数 的指数分布．试求：（1）检修时间超过 2小时的概率；（2）若已经 修理 4个小时，求总共要少5个小时才会修理好的概率． 解 ： 由 已 知 得 ， 2 1 0 ( ) 2 0 x e x P x −⎧ >⎪ = ⎨ ⎪⎩ 其它 21 0( ) 0 x e x F x −⎧⎪ − >= ⎨ ⎪⎩ 其它 （1）记检修时间为ξ ， 1( 2) 1 ( 2) 1 ( 2) 1 (2)P P P F eξ ξ ξ −> = − ≤ = − < = − = ； （2）由指数分布的无记忆性得， 2 1 }1{1}1{}4|5{ − =≤−=>=>> ePPP ξξξξ 。 9．设ξ 服从参数 λ 为的指数分布，求 [ ] 1η ξ= + 的分布． 解：由已知得， 0 ( ) 0 x e x P x λ λ −⎧ > = ⎨ ⎩ 其它 1 0 ( ) 0 x e x F x λ−⎧ − > = ⎨ ⎩ 其它 [ ] [ ]( ) ( 1 ) ( 1) ( 1 ) ( ) ( 1) ( 1)kP k P k P k P k k F k F k e eλ λη ξ ξ ξ −= = + = = = − = − ≤ < = − − = − ( ) ( 1) ( 2) , ... , ( 1) 1 ( 1) ( 2) ( 1) P k P k P e e e P e P k P k P λ λ λ λ η η η η η η η − − − −= = − =∴ = = = = = − = − = − = 1 1( ) ( ) ( 1) ( ) (1 )k kP k e P e eλ λ λη η− − − − −∴ = = = = − 则η服从 1p e λ−= − 几何分布． 2.52.52.52.5 多维概率分布 1． 甲从 1，2，3，4中任取一数，乙再从 1，… ξ 中任取一整数 η ．试求（ ηξ , ）的联合分布与边缘分布． 解： ξ 可以取的值为 1，2，3，4.那么 ξ 取每一个值的概率为 4 1 ， 一但ξ 取定值 i，那么η只能从 1，2，… i中取值取每一个值的 概率为 i 1 ．于是有： { } { } { } 1, 4 P i j P j i P i i ξ η η ξ ξ= = = = = = = 9 所以（ ηξ , ）的联合分布与边缘分布如下： η \ξ 1 2 3 4 p j• 1 4 1 8 1 12 1 16 1 28 25 2 0 8 1 12 1 16 1 48 13 3 0 0 12 1 16 1 48 7 4 0 0 0 16 1 16 1 p i• 4 1 4 1 4 1 4 1 1 3 . 设 ),( ηξ 的联合密度函数为 ),sin( 2 1 ),( yxyxp += 2 ,0 π << yx 试求： ( 1 ) ),( ηξ 的联合分布函数; （ 2 ） η 的边缘密度函 数． 解：由 ),( ηξ 的联合密度函数的定义域为 2 ,0 π << yx 于是分下 列区域进行讨论： 当 2 ,0 π << yx 时, dtdstsyxF x y )sin( 2 1 ),( 0 0 += ∫ ∫ = dsts x y ∫ +− 0 0|)cos(2 1 = dssys x ])cos()[cos( 2 1 0∫ −+− = ]sin)[sin( 2 1 || 00 xx sys −+− = )]sin(sin[sin 2 1 yxyx +−+ 当 2 , π >yx 时， 1),( =yxF 当 2 , 2 0 ππ ><< yx 时, dtdstsyxF x )sin( 2 1 ),( 0 2 0 += ∫ ∫ π = dsss x ]cos) 2 [cos( 2 1 0 −+− ∫ π = )] 2 sin(1[sin 2 1 π +−+ xx = )1cos(sin 2 1 +− xx 当 2 , 2 0 ππ ≥<< xy 时, dtdstsyxF y )sin( 2 1 ),( 2 0 0 += ∫ ∫ π = ∫ −+− 20 )]cos()[cos(2 1 π dssys = )] 2 sin(sin1[ 2 1 π +−+ yy = )1cos(sin 2 1 +− yy 其他区域 0),( =yxF ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > ≥<<+− ≥<<+− <<+−+ = 其它， ， ， ， ， 0 2 ,1 2 , 2 0)1cos(sin 2 1 2 , 2 0)1cos(sin 2 1 2 ,0)]sin(sin[sin 2 1 ),( π ππ ππ π yx xyyy yxxx yxyxyx yxF (2) η的边缘密度函数为： ∫ +∞ ∞− = dxyxpyp ),()( η = dxyx )sin( 2 1 2 0 +∫ π = )sin(cos 2 1 xy + ， 2 0 π << y 5. 设分布函数 )(1 xF 与 )(2 xF 对应的密度函数为 )(1 xp 与 )(2 xp ．证明对于任何 )1,1(−∈α 有 ]}1)(2][1)(2{1){()(),( 2121 −−+= yFxFypxpyxp αα 10 是二维密度函数，且以 )(1 xp 与 )(2 yp 为其边缘密度函数． 证明：从定义出发进行证明： Q )(1 xp 与 )(2 yp ,0≥ 且 )(),( 21 xFxF 是分布函数 ∴ ]1,0[)(),( 21 ∈xFxF ∴ ]1,1[1)(2,1)(2 21 −∈−− yFxF ． 又Q )1,1(−∈α 1]1)(2][1)(2[1 21 <−−<−∴ yFxFα 0]1)(2][1)(2[1 21 ≥−−+∴ yFxFα 0]}1)(2][1)(2[1){()( 2121 ≥−−+∴ yFxFypxp α 即 0),( ≥yxp α ，非负性得证． ∫ ∫ +∞ ∞− +∞ ∞− dxdyyxp ),( α Q dxyFxFxpdyyp ]1)(2][1)(2[1[)()( 2112 −−+= ∫ ∫ +∞ ∞− +∞ ∞− α )(]1)(2][1)(2[1)( 1212 xdFyFxFdyyp −−+= ∫∫ +∞ ∞− +∞ ∞− α ∫ +∞ ∞− ∞+ ∞− ∞+ ∞− ∞+ ∞− −−+= dyxFxFyFxFyp )}|)(|)(](1)(2[|)(){( 1 2 1212 α dyyFyp )11](1)(2{1){( 22 −−+= ∫ +∞ ∞− α dyyp )(2∫ +∞ ∞− = 1= 规范性得证． ∴ 对 于 任 何 的 )1,1(−∈α 有 ∫ ∫ +∞ ∞− +∞ ∞− => 1),(,0),( dxdyyxpyxp αα 所以 ),( yxp α 是二 维密度函数. 下面讨论二维密度函数 ),( yxp α 中 ξη 的边缘分布： （1）ξ 的边缘密度函数为： ∫ +∞ ∞− = dyyxpxp ),()( αξ dyyFxFypxp ]}2)(2[]1)(2[1){()( 2121 −−+= ∫ +∞ ∞− α ∫ +∞ ∞− −−+= )(]}1)(2][1)(2[1{)( 2211 ydFyFxFxp α +∞ ∞− +∞ ∞− −−+= |)]()(][1)(2[|)(){( 1 2 2121 yFyFxFyFxp α )}11](1)(2[1){( 11 −−+= xFxp α )(1 xp= 同理有η的边缘密度函数为 )(2 yp 即证得： ),( ηξ 是以 )(1 xp 与 )(2 yp 为其边缘密度函数的． 16、证：我们有 1121)(21,1)(0 =−≤−≤≤≤ iiii xfxF , 1]1)(2][1)(2][1)(2[1 332211 ≤−−−≤− xFxFxF , 代 入 ),,( 321 xxxfα 的 表 达 式 得 ),,( 321 xxxfα 0≥ (1) 又有 [ ]∫ ∞ ∞− − iiiii dxxfxF )(1)(2 [ ]∫ ∞ ∞− −= )(1)(2 iiii xdFxF [ ] 0)()(21 =−= ∞ ∞−iii xFxF 321321 ),,( dxdxdxxxxf∫∫∫∴ α ∫∫∫ ∞ ∞− ∞ ∞− ∞ ∞− == 1)()()( 333222111 dxxfdxxfdxxf (2) 由（1），（2）知 ),,( 321 xxxfα 是密度函数．用与上面类似 的方法计算可得边际密度函数为 )(),,( 1132321 xfdxdxxxxf =∴ ∫∫∫ α , )(),,( 3321321 xfdxdxxxxf =∫∫∫ α )(),,( 2231321 xfdxdxxxxf =∫∫∫ α . 11 6. 设 ),( ηξ 的联合密度函数为 .10,20,),( 2 <<<<= yxcxyyxp 试求： （1）常数 c；（2）： ηξ , 至少有一个小于 2 1 的概率. 解： 由联合密度函数的规范性知： ∫ ∫ = 2 0 1 0 2 1dydxcxy 即 ∫ = 2 0 1 3 dx cx 1 3 2 =∴ c 解得 2 3 =c ． ∴ ),( ηξ∴ 的联合密度函数为 2 2 3 ),( xyyxp = （2） ηξ , 至少有一个小于 2 1 的概率 p 为： } 2 1 , 2 1 {} 2 1 {} 2 1 { <<−<+<= ηξηξ PPPp dxxyxydydxxydydxxy 22 1 0 2 1 0 2 1 0 2 0 222 1 0 1 0 2 3 2 3 2 3 ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ −+= dyxydyxydxy x 2 1 0 222 1 0 2 0 222 1 0 1 0 32 1 0 | 4 3 | 4 3 | 2 ∫∫∫ −+= 128 23 = 7. 在可列重伯努利试验中，以 i ξ 表示第 i成功的等待时间，试求 ),( 21 ξξ 的： 1） 联合分布; (2) 边缘分布. （注： 1ξ 表示第一次成功的等待时间， 2ξ 表示第二次成功的等待 时间， 1 2η ξ ξ= − 表示第一次成功到第二次成功的等待时间．根 据无记忆性， η 服从几何分布，即忘记了第一次成功的信息．）根 据题目要求，本题解答如下 解：(1)设一次试验中成功的概率为 p 失败的概率为 q； 因为 21 ,ξξ 服从几何分布具有无记忆性所以： 当 nm ≤≤1 时 }{}{},{},{ 21 mnPmPmnmPnmP −===−===== ηξηξξξ 2211 pqppqq nmnm −−−− == (2)边缘分布 .a 1ξ 的边缘分布： 根据边缘分布的定义当 1ξ 取值为m时的边缘分布．即让 2ξ 遍历所有可能的值 nmm L,2,1 ++ 于是有： 22221 1 }{ pqpqpqmP nmm −− +++== Lξ 1 2 1 2 − − −= == ∑ m n mi i pqpq 即 1ξ 的边缘分布为 )1( 1 . mpqp m m ≤= − .b 2ξ 的边缘分布： 当第二次成功出现在第 n 次时 ，即让 1ξ 遍历可能的值 1,3,2,1 −nL ．而 1ξ 取每一个值的概率均为 22 pq n− ，于是有 22 2 )1(}{ pqnnP n−−==ξ 即 2ξ 的边缘分布为： 2,)1( 22 . ≥−= − npqnp n n 8．设 ),( ηξ 服从区域 }10:),{( 2 <<<<= xyxyxD 上的 均匀分布．试求： (1) ξ 的边缘分布； （2） } 2 1 { >ηP 解 ： （ 1 ） 因 为 ),( ηξ 服 从 区 域 { }10:),{( 2 <<<<= xyxyxD 上的均匀分布，所以有 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ = 其它,0 ),(, )( 1 ),( Dyx Dm yxp 并且有 6 1 3 1 2 1 )()( 1 0 2 10 2 =−=−== ∫∫∫ <<<< dxxxdxdyDm xyx ∴当 Dyx ∈),( 时 6),( =yxp ．于是有ξ 的边缘分布为 ： 12 )(66),()( 2 2 xxdydyyxpxp x x −=== ∫∫ +∞ ∞−ξ )1,0(∈x （ 2 ） 法 （ 1 ） ： 2 4 7 )(66)(} 2 1 { 1 2 1 1 2 1 1 2 1 −=−===> ∫∫ ∫∫ dyyydxdydyypP y y η η 法（2）： ) 2 1 (1} 2 1 {1} 2 1 { FPP −=<−=> ηη 而 4 3 2) 2 1 (6)(6) 2 1 ( 22 2 2 1 2 1 0 2 −=−+−= ∫∫ dxxdxxxF 所以 2 4 7 4 3 21) 2 1 ( −=+−=>ηP 9. （选学） 设（ ηξ , ）为二维正态随机向量，求落入区域 D= { ),( yx : σ 2 2 )( ax− - ⋅ −− σσ 21 21 ))((2 aa yxr + σ 2 2 2 2 )( a y− ≤ λ 2 }内的概率． 解：作变换，令 θρθρ sin,cos =−=− byax ，则 ρ=|| J 椭圆区域为 2 2 2 2 21 2 1 2 2 sincossin2cos λ σ θ σσ θθ σ θ ρ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ +− r 记 2 2 2 2 21 2 1 2 sincossin2cos s r =+− σ θ σσ θθ σ θ 则 s/λρ = ，且 ∫ ∫ − − × − =∈ x s S r ded r DP 2 0 0 )1(2 1 2 21 22 2 12 1 )}(),{( ρρθ σπσ ληξ λ ρ θ σπσ λ ρ de S r r S x r S 0 2 0 )1(2 2 2 2 21 2 2 2 )1( 12 1 ∫ − −− −× − = ∫⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −× − = − − π λ θ σπσ 2 0 2 )1(2 21 2 1 1 2 1 2 2 d S e r r 当 ∞→λ 时 ， 1)}(),{( →∈ ληξ DP ， 由 此 得 ∫ − = π σπσ θ 2 0 2 21 2 1 21 r d S ． 10. 设随机向量有联合密度函数 ,),,( )( zxyxxzezyxp ++−= 0,, >zyx (1). ξ 的一维边缘密度；（2）η的一维边缘密度（3） ),( ηξ 的二 维边缘密度 解：（1） ξ 的一维边缘密度即把 yz看作常量得到： ∫ ∫ +∞ +∞ ++−= 0 0 )()( dydzxzexp zxyx ξ ∫∫ +∞ −+∞ −−= 00 dyezexe xyzx ∫ +∞ −−= 0 dzzee zx +∞−−− += 0|)( zzx ezee x e −= 即得ξ 的一维边缘密 x exp −=)( ξ ． （2）η的一维边缘密度，把 zx, 看作常量．即 ∫ ∫ +∞ +∞ ++−= 0 0 )()( dxdzxzeyp zxyx η ∫ ∫ +∞ +∞ −+−= 0 0 )( dzdxzexe zxyx = ∞++− + 0 )( 2 | )1( 1 xyx e y 2)1( 1 y+ = 0>y 即η的一维边缘密度: 2)1( 1 )( y yp + = η （3） ),( ηξ 的二维边缘密度此时 z 为常量． 13 有： dyxzep zxyx∫ +∞ ++−= 0 )( dxye x xze xy zx ∫ ∞+ − +− = 0 )( )( )( zx ze +−= )0,0( >> zx 即 ),( ηξ 的二维边缘密度 )(),( zxzeyxp +−= ξη 2.62.62.62.6 随机变量的独立性 4．设随机变量 ),( ηξ 的联合密度函数为 )1(24),( yxyyxp −−= ， 0, >yx 且 1<+ yx ， 试求（1） 2 1 =ξ 条件下η的条件密度；（2） 2 1 =η 条件下ξ 的 条件密度。 解：据题意知， ηξ , 的边缘概率密度函数分别为 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ <<−−== ∫∫ − ∞ ∞− 其它,0 10,)1(24),()( 1 0 xdyyxy dyyxpxp x ξ ⎩ ⎨ ⎧ <<− = 其它,0 10,)1(4 3 xx ， ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ <<−−== ∫∫ − ∞ ∞− 其它,0 10,)1(24),()( 1 0 ydxyxy dxyxpyp y η ⎩ ⎨ ⎧