有限元基础课程复习题(内汉非常详细的解答方法)

例1111：已知 pppp、aaaa、bbbb、EAEAEAEA，用有限元计算两端反力。（重解绪论中 的例1111） 解：1111、划分单元，给节点编号：共分两个单元，3333个节点。 2222、单元分析 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ u u X X a EA 2 1 2 1 11 11 ① ① ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 3 2 3 2 11 11 u u b EA X X ①单元： ②单元： )( 211 uu a EA XX A −== ① )()( 321222 uuuuXX b EA a EA p −+−=+= ②① )( 233 uuXX b EA B −== ② （注：位移是连续的，所以无上标，不用标哪个单元。） 3333、整体分析（分析每个节点的平衡问题）（也可用对号入座法） 2222节点： 3333节点： 1111节点： 用节点位移表示的平衡方程的矩阵形式为 ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −+− − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ u u u b EA b EA b EA b EA a EA a EA a EA a EA X p X B A 3 2 1 0 0 K K K Kδ δ δ δF F F F = ——称整体刚度方程 或简写为 F F F F δ δ δ δ K K K K 式中： 、 ————————分别为节点载荷和节点位移的列阵 ————————整体刚度矩阵，它是对称矩阵 节点力和节点载荷不要混淆，节点力是内力，节点载荷是外力 4444、引入边界条件： 0,0 31 == uu u b EA p 2 ) a EA ( += p baEA ab u )(2 + = u2 p ba a p ba b XX BA + −= + −= , ，解得 把 代入整体刚度方程中，解得 （负号为与假设方向相反） 节点载荷符号规定：与坐标轴方向一致为正 练习1111： 已知：pppp、aaaa、ＥＡ，求Ｃ、Ｄ两处的节点位移。 解：解法1111：用力学求解　　　　　 ((((拉)))) EA pa EA pa EA pa u C =−= 2 0 22 = × −= EA ap EA pa u D 解法2222：用有限元法计算 1111）划分单元，给节点编号 （共分两个单元，３个节点） （2222）单元分析 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 2 1 1 2 1 1 11 11 u u a EA X X①单元： 　　②单元： B )2()()(2 3213212 2 2 1 2 uuu a EA uu a EA uu a EA XXp −+−=−+−=+= １节点： 2222节点： （3333）整体分析 )( 21 1 1 uu a EA XX B −== )( 32 2 3 uu a EA Xp +−==− ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − 3 2 1 110 121 011 2 u u u a EA p p X B 3333节点： ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 3 2 2 3 2 2 11 11 u u a EA X X 01 =u ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − 3 2 11 122 u u a EA p p ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ −=+− =− EA pa uu EA pa uu 32 32 2 2 （4444）引入边界条件： ，划去一行一列，得 ，即 EA pa u =2 03 =u EA pa u C = 0= D u 解得　　　 　　即　 ， 练习2222：已知：pppp、aaaa、EA,EA,EA,EA,　求AAAA、BBBB处的反力。 解： 方法1111：按有限元法计算，略。 方法2222：利用例题１的结果并采用迭加 法。 6 2 6 3 6 52 p p a a p a a XXX p A p AA −=×−=+= 6 5 2 6 3 6 2 p p a a p a a XXX p B p BB −=×−=+= 练习1111：推导单元刚度矩阵　 θ θ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ j i j i e j e i e j e i v v Y Y M M θ θ e e e e K K K K 注：v v v v 、 的正方向如图（aaaa）。YYYY、MMMM产生的vvvv 、 与图（aaaa）一致为正，相反 为负。 jj YY −→ jj vv −→ 2 2 2 2 6 6 4 2 6 6 2 4 6 6 12 12 6 6 12 12 e e i i e j j e i i e j j i i i i l l M i i i i M l l i i i i v Y l l l l v Y i i i i l l l l θ θ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ K KK K ��������� l EI i = 解：可用（１）式，左端 ，右端 ，重新组装整理可得 式中　 　　　　　　 例1.1.1.1.　已知：EIEIEIEI，mmmm，aaaa。求CCCC点的转角及单元节点力。 　解：方法1111：（1111）划分单元。给节点编号，共分2222个单元，3333个节点。 （2222）单元分析 　①单元： 　 a EI i =式中　 1 1 2 2 11 2 2 22 2 2 6 6 4 2 6 6 2 4 6 6 12 12 6 6 12 12 i i i i a a M i i i i M a a i i i i v Y a a a a v Y i i i i a a a a θ θ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ① ① ① ① a EI i = 　　 式中　 2 2 3 3 22 2 2 33 2 2 6 6 4 2 6 6 2 4 6 6 12 12 6 6 12 12 i i i i a a M i i i i M a a i i i i v Y a a a a v Y i i i i a a a a θ θ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ② ② ② ② 　②单元： 0,0,0,0,0,0 332211 ==≠=== θθθ vvv（3333）引入边界条件： 　　　 代入2222个单元的单元刚度方程中，得 ④ ③ ② ① ① ① ① ① 22 21 22 21 6 6 4 2 θ θ θ θ a i Y a i Y iM iM = = = = ⑧ ⑦ ⑥ ⑤ ② ② ② ② 23 22 23 22 6 6 2 4 θ θ θ θ a i Y a i Y iM iM = = = = ,44,0 ,,0 2222 2222 θθ iiMMmm YYYYYYY c cc +=+== −==+= ∑ ∑ ②① ①②②① ⑨ EI ma i m 882 ==θ 取节点2222为研究对象，受力如图（bbbb），列平衡方程 解得　　 2θ 0, 4 3 , 4 3 , 4 , 2 4 3 , 4 3 , 2 , 4 3232 2121 ===== ==== c Y a m Y a m Y m M m M a m Y a m Y m M m M ②②②② ①①①① 把 的值代入①～⑨式，得　 例2222．已知：EIEIEIEI，pppp，aaaa。求CCCC点的挠度、转角及BBBB点的转角。 解：方法1111：有限元法。（节点分析平衡） （1111）划分单元，给节点编号。 ,,, 22 2 22 ②①① θθ =−== vvvv 0,0,0 311 === vvθ （2222）单元分析：设2222节点的挠度为v(v(v(v( 向 下),),),),则 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ 2 1 2 1 22 22 2 1 2 1 121266 121266 66 42 66 24 v v l i l i l i l i l i l i l i l i l i l i ii l i l i ii Y Y M M θ θ ① ① ① ① ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ 3 2 3 2 22 22 3 2 3 2 121266 121266 66 42 66 24 v v l i l i l i l i l i l i l i l i l i l i ii l i l i ii Y Y M M θ θ ② ② ② ② 1111单元： 2222单元： （3333）引入边界条件，得 v a i a i Y v a i a i Y v a i iM v a i iM 22 1 2 22 1 1 2 1 2 2 1 1 126 126 6 4 6 2 += += += += θ θ θ θ v a i a i a i Y v a i a i a i Y v a i iiM v a i iiM 232 2 3 232 2 2 32 2 3 32 2 2 1266 1266 6 42 6 24 −+= −+= −+= −+= θθ θθ θθ θθ 　　　　　　 　 （4444）节点分析 1 11 YY = 1 11 MM = １节点： 　　　① 　　　　 ② v a i a i YYp 23 1 2 2 2 246 −=−=− θ 32 2 2 1 2 280 θθ iiMM +=+= 　２节点： 　　③ 　　　　　 　④ 2 33 YY −= ,023 =M 0 6 42 32 =−+ v a i ii θθ , 96 7 , 8 , 32 22 3 2 2 EI pa v EI pa EI pa ==−= θθ 　３节点： 　即　 联立③、④、⑥，解得 　⑥ ⑤ 把 v,, 32 θθ 代入⑤式，得 PY 16 5 3 = 方法２：也可用材料力学方法求。 1111....划分单元，给节点编号。（同方法１。） 2222....单元分析 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ 2 2 1 1 44434241 34333231 24232221 14131211 1 2 1 2 1 1 1 1 θ θ v v aaaa aaaa aaaa aaaa M Y M Y ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ 3 3 2 2 44434241 34333231 24232221 14131211 2 3 2 3 2 2 2 2 θ θ v v bbbb bbbb bbbb bbbb M Y M Y 方法3333：有限元法．（节点分析采用对号入座） 3333节点分析————————对号入座 式)( 00 00 00 00 3 2 1 321 3 3 2 2 1 1 44434241 34333231 2423224421434241 1413124411333231 24232221 14131211 3 3 2 2 1 1 a v v v bbbb bbbb bbbabaaa bbbabaaa aaaa aaaa M Y M Y M Y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++ ++ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ θ θ θ �������� ��������� �� 　Ｋ————整体刚度矩阵 44× 66× 此法较烦。经常采用对号入座法，具体方法：把两个单元的单元刚度矩阵由 阶扩大为 贡献矩阵叠加就得到整体刚度矩阵，如（aaaa）式。 上面是利用平衡方程得到整体刚度方程和整体刚度矩阵。若节点较多， 阶，并使其个各元素按整体刚度矩阵Ｋ的次序排列， 空白处用零填补。经过扩大的矩阵称为单元的贡献矩阵，把每一单元的 0,0,0 311 === vv θ 311 vv 、、θ 322 θθ 、、v ⇒ 4444引入边界条件 ，划去 所在的行和列，求出 5555求出节点反力 内力 ⎩ ⎨ ⎧ ⇒ 应变 应力 练习２：已知　mmmm、EIEIEIEI、aaaa、求支座反力。　　　　　　写出整体刚度方程即可 解：（１）划分单元，给节点编号 　（２）单元分析 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −−− − − = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ 3 3 1 1 22 22 3 3 1 1 4 6 2 6 612612 2 6 4 6 612612 3 1 31 θ θ v v i a i i a i a i a i a i a i i a i i a i a i a i a i a i M Y M Y ① ① ① ① ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − − = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ 2 2 3 3 22 22 2 2 3 3 4 6 2 6 612612 2 6 4 6 612612 2 3 23 θ θ v v i a i i a i a i a i a i a i i a i i a i a i a i a i a i M Y M Y ② ② ② ② (1)(1)(1)(1)节点分析————————对号入座 它不能直接入座 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++−− +−+−− −− − − = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ 3 3 2 2222 22 22 3 3 2 2 1 1 0 0 0 44 66 2 6 2 6 661212612612 2 6 4 6 00 612612 00 2 6 004 6 612 00 612 3 2 1 321 θ θ v ii a i a i i a i i a i a i a i a i a i a i a i a i a i i a i i a i a i a i a i a i i a i i a i a i a i a i a i M Y M Y M Y 0,0,,0,0,0 323211 ====== YMmMvv θ (1)(1)(1)(1)引入边界条件： 332 θθ 、、v 332 θθ 、、v 211 YMY 、、 由后三个方程可求得　 ，然后把 代入前三个方程，求得 。 22 ,vu 0sin,1cos,0 === ααα ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 0000 0101 0000 0101 0000 0101 0000 0101 1 i a EA K K K K 1i a EA = 例１：已知： p p p p ， l l l l ， EA EA EA EA 。求： 解：方法１：１）划分单元，给节点编号 　　　　２）单元分析 ①单元： 　　　　　令 I I I IT T T T = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = αα αα αα αα cossin00 sincos00 00cossin 00sincos ①①① K K K KT T T TK K K KT T T TK K K K == T ②单元： 2 1 sin, 2 3 cos,30 === ααα o ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 0000 0101 0000 0101 l EA② K K K K ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = αα αα αα αα cossin00 sincos00 00cossin 00sincos T T T T 21 2 3 32 2 3 , ii lai l EA = == ， 令 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− −− −− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = = αααααα αααααα αααααα αααααα αα αα αα αα αα αα αα αα αα αα αα αα αα αα αα αα 22 22 22 22 2 2 sinsincossinsincos sincoscossincoscos sinsincossinsincos sincoscossincoscos cossin00 sincos00 00cossin 00sincos 0sin0sin 0cos0cos 0sin0sin 0cos0cos cossin00 sincos00 00cossin 00sincos 0000 0101 0000 0101 cossin00 sincos00 00cossin 00sincos i i l EA T T T T TK K K KT T T TK K K K ②② ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− −− −− = 4 1 4 3 4 1 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 1 4 3 4 1 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 2i ３）对号入座，形成总刚 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− −−++ −−++ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ 0 0 0 0 4 1 4 3 4 1 4 3 00 4 3 4 3 4 3 4 3 00 4 1 4 3 4 1 0 4 3 000 4 3 4 3 4 3 0 4 3 0 000000 0000 3 2 1 321 2 2 2222 2222 2222 222211 11 3 3 2 2 1 1 v u iiii iiii iiii iiiiii ii Y X Y X Y X pYXvuvu −====== 223311 ,0,0,0,0,0４）引入边界条件： 划去１、２、５、６行和列，得 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ −=+ =++ pviui viuii 2222 22221 4 1 4 3 0) 4 3 () 4 3 ( p i v i p u 2 2 2 2 2 )833( , 2 3 + −== 解得　　 由位移按单元刚度方程可求内力，由整体刚度方程可求外力。