浙江专升本高等数学真题

浙江专升本高等数学真浙江专升本高等数学真题浙江专升本高等数学真题2018年浙江专升本高数考试真题答案一、选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。1、设f(x)sinx,x01,1)内（Cx,x，则f(x)在(）x0A、有可去间断点B、连续点C、有跳跃间断点D、有第二间断点解析：limf(x)limx0,limf(x)limsinx1xx0x0x0x0limf(x)limf(x)，但是又存在，x0是跳跃间断点x0x02、当x0时，sinxxcosx是x2的（D）无穷小A、低阶B、等阶C、同阶D、高阶sinxxcosxlimcosxcosxxsinxlimsinx0解析：limx22x2高阶无穷小x0x0x03、设f(x)二阶可导，在xx0处f(x0)f(x)0，则f(x)在xx0处（B0，limx0）xx0xA、取得极小值B、取得极大值C、不是极值D、x0,f(x0)是拐点解析：f(x)0,f(x0)limf(x)f(x0)，则其f(x0)0,f(x0)0，limxx0xx0xx0xx0x0为驻点，又f(x0)0xx0是极大值点。4、已知f(x)在a,b上连续，则下列说法不正确的是（B）b2(x)dx0，则在a,b上，f(x)0A、已知faB、d2xf(2x)f(x)，其中x,2xa,bf(t)dtdxxC、f(a)f(b)0，则a,b内有使得f()0D、yf(x)在a,b上有最大值M和最小值m，则m(ba)bf(x)dxM(ba)a解析：A.由定积分几何意义可知，f2(x)0，bf2(x)dx为f2(x)在a,b上与x轴围成的面积，该a面积为0f2(x)0，事实上若f(x)满足b连续非负f(x)0(axb)f(x)dx0a有零点定理知结论正确C.由积分估值定理可知，xa,b，mf(x)M，bmdxbf(x)dxbm(ba)bf(x)dxM(ba)则aMdxaaa5、下列级数绝对收敛的是（C）A、(1)n1B、(1)n1C、cosnD、1n1n1ln(n1)n39n1nn1n11解析：A.limn11，由1发散1发散1n1nnn1n1ln(1n)111B.limnlim0，由发散发散1limn1nn1nn1ln(1n)nnnln(1n)1C.cosnn19，而limn29=1，由n113收敛n19收敛cosn收敛n92n122n292n3n2D.1发散n1n二、填空题16、lim(1asinx)xeax011limln(1asinx)1acosx解析：lim(1ln(1asinx)lim1asinxeaasinx)xlimexex0xex01x0x07、limf(3)f(32x)3，则f(3)3x0sinx2解析：limf(3)f(32x)2limf(32x)f(3)2f(3)3x0sinxx02x8、若常数a,b使得sinx(cos)5，则b9limxbx0e2xasinxx(cosxb)解析：lim(cosxb)lim52xa2xax0ex0e所以根据洛必达法则可知：1a0,a19、设xln(1t)，则dy1ytt1arctantdxdy11t2(1解析：dydt1t2t)dy1dxdxdt11t2，dxt11t10、yf(x)是x2y210所确定的隐函数，则d2yy2x2dx2y3解析：方程两边同时求导，得：2x2yy0，yx，y方程2x2yy0同时求导，得：1(y)2yy0，将yx带入，y则得，11、求1(x)2yy0，d2yy1x2y2x2ydx2yy3y3xy1x2的单增区间是(1,1)解析：1x22x21x2yx2)2(1x2)2(1令y0，则x21，1x112、求已知f(x)dxex2C，则limn11f(k)e1nk0nn解析：limn11f(k)1f(x)dxf(x)dx(exC)10e112nk0nn00解析：12dx12dlnx11x(lnx)(lnx)eeelnx13、由解析：yx2：y1,x2围成的图形面积为43A2(x21)dx(1x3x)12413314、常系数齐次线性微分方程y2yy0的通解为y(C1C2x)ex（C1C2为任意常数）解析：特征方程：r22r10，特征根：r1r21通解为y(C1C2x)ex（C1C2为任意常数）三、计算题（本大题共8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分）16、求limexexln(1sinx)x0解析：limexexlimexe2x1lim2xlim2x2x0ln(1sinx)x0ln(1sinx)x0sinxx0x17、设解析：y(x)(1sinx)x，求y(x)在x处的微分y(x)(1sinx)x将x代入上式，得微分dydx5cos2xdx18、求105cos2xdx5π解析：1|sinx|dx0019、求arctanxdx解析：令xt，则xt2，dx2tdtxcosx解析：1x4为奇函数，20、已知f(x)2xb,x0在x0处可导，求a,bln(1ax),x0解析：xt121、求过点A(1,2,1)且平行于2x3yz70又与直线yt3相交的直线方程。z2t直线过点A(1,2,1)，因为直线平行于平面，所以Sn，n(2,3,1)，设两条直线的交点P(t1,t3,2t)，所以SPA(t,t1,2t1)，所以2t3t32t10，t4，P(3,7,8)，所以PA(4,5,7)，所以直线方程为x1y52z1。4723、讨论132231极值和拐点f(x)xxx13解析：f(x)x32x23x13（1）f(x)的极值令f'(x)0，则x11,x23列表如下：所以极大值为13+0-0+极大值极小值f(1)12317，极小值f(3)133（2）f(x)的拐点f(x)2x4令f(x)0则x2列表如下：拐2点为2,5。-0+3四、综合题（本大题共3大题，每小题凸拐点凹10分，共30分）24、利用11(1)nxn，xn0（1）将函数ln(1x)展开成x的幂级数（2）将函数ln(3x)展开成x2的幂级数解析：（1）令f(x)ln(1x)，f(x)11，当x(1,1)时，1(1)nxnx1xn0当x1时，级数发散；当x1时，级数收敛，故收敛域为1,1。（2）ln(3x)ln[5(x2)]ln[5(1x2)]ln5ln(1x2)x255其中，113x7。525、f(x)在1，上导函数连续，f(x)0，已知曲线f(x)与直线x1,xt(t1)及x=1（t1）及x轴所围成的去边梯形绕x轴所围成的旋转体体积是该曲边梯形的t倍，求f(x)解析：Sttf(x)dx，Vf2(x)dx11tttf2(t)ttf(t)由题意知，f2(x)dxf(x)dx，求导得，得f(x)dx111再求导，得2f(t)f(t)f(t)f(t)tf(t)即2f(t)tf(t)2f(t)f(t)，则2yty2yy，2y(2yt)y，2ytdt，2ydy11113dt1t1，P(y)1dydy1(2y2，Q(y)1，te2y(e2ydyC)C),dy2y2yy3由f(1)f2(1)f(1)1，带入得C1，故曲线方程为3x2y1。3y26、f(x)在a,b连续且（a,f(a)）和（b,f(b)）的直线与曲线交于（c,f(c))(axb)，证明：（1）存在f(1)f(2)2）在(a,b)存在f()0解析：解法一：1）过(a,f(a)),(b,f(b))的直线方程可设为：所以可构造函数：F(x)f(x)x所以F(a)F(b)F(c)又因为f(x)在a,cc,b连续可导的，则F(x)在a,cc,b连续可导，所以根据罗尔定理可得存在1(a,c),2(c,b),F(1)F(2)0,使f(1)f(2)。（2）由（1）知f(1)f(2)，又f(x)二阶可导，存在且连续，故由罗尔定理可知，(1,2)(a,b)，使得f()0。解法二：（1）考虑f(x)在a,c及c,b上的格拉朗日中值定理有：1a,c，2(c,b)，有f(c)f(a)f(1)，f(b)f(c)f(2)，cabc由于A(a,f(a)),B(b,f(b)),C(c,f(c))共线，则有AC的斜率kACf(a)f(c)与BC的斜率kBCf(b)f(c)相等，acbc于是有f(1)f(2)（2）与解法一（2）做法一致。