共点力平衡的七大题型

专题共点力平衡的七大题型目录TOC\o"1-5"\h\z一、三类常考的“三力静态平衡”问题1热点题型一三个力中，有两个力互相垂直，第三个力角度（方向）已知。1热点题型二三个力互相不垂直，但夹角（方向）已知。3热点题型三三个力互相不垂直，且夹角（方向）未知但存在几何边长的变化关系。4二、三类常考的“动态平衡”模型6热点题型四矢量三角形法类6热点题型五相似三角形法类8热点题型六单位圆或正弦定理发类型10热点题型七衣钩、滑环模型11【题型归纳】一、三类常考的“三力静态平衡”问题热点题型一三个力中，有两个力互相垂直，第三个力角度（方向）已知。解决平衡问题常用的方法有以下五种①力的合成法②力的正交分解法③正弦定理法④相似三角形法⑤矢量三角形图解法【例1】如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心，一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止P点。设滑块所受支持力为F。OF与水平方向的夹角为°。下列关系正确的是（）NA.F=竺tan°B.F=mgtan0C.FN=mgtan0D.F=mgtan0N【答案】A解法一力的合成法滑块受力如图甲，由平衡条件知：mgfn0尸=鵲，FN=sm^解法二力的分解法将滑块受的力水平、竖直分解，如图丙所示，mg=FNsin6,F=FNcos0,联立解得：尸=益,弘=黔解法三力的三角形法（正弦定理）如图丁所示，滑块受的三个力组成封闭三角形，解直角三角形得：尸=益，FN=m6【点睛】通过例题不难发现针对此类题型应采用“力的合成法”解决较为容易。【变式1】（2019•新课标全国II卷）物块在轻绳的拉动下沿倾角为30°的固定斜面向上匀速运动，轻绳与斜面平行。已知物块与斜面之间的动摩擦因数为卫，重力加速度取10m/s2。若轻绳能承受的最大张力为15003N,则物块的质量最大为（）A.150kgB.100*3kgC.200kgD.200叮3kg【变式2】（2019•新课标全国皿卷）用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两光滑斜面之间，如图所示。两斜面I、II固定在车上，倾角分别为30°和60°。重力加速度为g。当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面I、II压力的大小分别为F]、尸2则（）A.F=-l3mg，F=mg1322B・F=mg，F=mg1223C.1刀厲C.f二—mg，f=mg1222D.J3”1D.f=mg，f二—mg1222【答案】D【解析】对圆筒进行受力分析知圆筒处于三力平衡状态，受力分析如图，由几何关系可知，f'二mgcos30。1[31[31F'二mgsin30°。解得F'='-mg，F2=mg由牛顿第三定律知F=—mg,F=一mg，故D212221222正确热点题型二三个力互相不垂直，但夹角（方向）已知。【例2】一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球力和2（中央有孔），A、B间由细绳连接，它们处于如图2-2-24所示位置时恰好都能保持静止状态。此情况下，B球与环中心O处于同一水平面上，AB间的细绳呈伸直状态，与水平线成30°夹角。已知B球的质量为加，求细绳对B球的拉力大小和A球的质量。【答案】2mg2m【解析】对B球，受力分析如图所示。则有FTsin30°=mg得FT=2mg对A球，受力分析如图所示。在水平方向：Ftcos30°=FNAsin30°在竖直方向：FNAcos30°=mAg＋FTsin30°由以上方程解得：mA=2m。【点睛】由于此类问题应用力的合成法无法构造直角三角形故往往采用“力的分解法或正弦定理进行求解”。【变式】如图所示，四分之一光滑圆弧面AB与倾角为60°的光滑斜面AC顶部相接，A处有一光滑的定滑轮，跨过定滑轮用轻质细绳连接质量分别为m「m2的两小球，系统静止时连接的绳子与水平方向的夹角为60°•两小球及滑轮大小可忽略，则两小球质量的比值m1:m2为（）A.1：2B.3：2C.2：3【答案】B【解析】对m1、m2受力分析如图所示，对m1有：Da'3:2m]g=2FTcos30°=Fy,解得Ft=3mg对m2有：FT=m2gsin60°=亨m2g解得m1:m2=3:2.）1A.24:1B.25:1C.24:25D.25:24m2为（不计小球大小）（热点题型三三个力互相不垂直，且夹角（方向）未知但存在几何边长的变化关系。【例3】如图所示，面光滑为R的半球固定在水平地面上，球心O的正上方O'处有一个无摩擦定滑轮,轻质细绳两端各系一个小球挂在定滑轮上，两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为屮2.4R,l二2.5R•则这两个小球的质量之比m:1【答案】C.【解析】先以左侧小球为研究对象，分析受力情况：重力观沿、绳子的拉力T和半球的支持力N,作出受力图.由平衡条件得知，拉力T和支持力N的合力与重力mg大小相等、方向相反.设OO'=h,根据三角Th齐••①1Tmg形相似得：才=1得mg=/h11Th同理，以右侧小球为研究对象,得mg…②2l2【变式】如图所示，质量均为m的小球A、B用劲度系数为仰的轻弹簧相连，B球用长为L的细绳悬于O点，A球固定在O点正下方L处，当小球B平衡时，绳子所受的拉力为FTi，弹簧的弹力为厲；现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k2(k2>k1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为fT2,弹簧的弹力为f2•下列关于ft1与fT2、f1与f2大小之间的关系，正确的是()A.FT1>FT2B.FT1=FT2c.F1F],故BC正确，AD错误。二、三类常考的“动态平衡”模型热点题型四矢量三角形法类特点：1、三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）2、另一个力方向不变，大小可变，3、第三个力大小方向均可变，方法：矢量三角形法分析第三个力的方向变化引起的物体受力的动态变化情况。【例4】半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有竖直挡板肋。在P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体0,整个装置处于静止状态。如图所示是这个装置的纵截面图，若用外力使MN保持竖直并缓慢地向右移动，在0落到地面以前，发现P始终保持静止。在此过程中，下列说法中正确的是（）■VNA.P、Q间的弹力逐渐增大B.地面对P的摩擦力先增大后减小C.MN对Q的弹力逐渐减小D.Q受到P和MN的合力逐渐增大【答案】A【解析】解：取Q为研究对象,Q受到mg、F、F三个力的作用，由于mn缓慢向右移动，小圆柱体Q处TOC\o"1-5"\h\zMNp于动态平衡状态，分析可知F方向不变,F与竖直方向夹角增大，转动过程中Q所受三力的变化情况如图MNp所示，可以判断F、F都变大,A正确、C错误•由于Q受力平衡，合力始终为零,D项错误•取P、Q整体为MNp研究对象,地面对P的摩擦力应与Fmn平衡，所以地面对P的摩擦力逐渐增大,B项错误.【变式1（2019新课标全国I卷）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N。另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N,直至悬挂N的细绳与竖直方向成45。。已知M始终保持静止，则在此过程中（）A.水平拉力的大小可能保持不变B.M所受细绳的拉力大小一定一直增加C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加D.M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加【答案】BD【解析】如图所示，以物块N为研究对象，它在水平向左拉力F作用下，缓慢向左移动直至细绳与竖直方对M受力分析可知，若起初M受到的摩擦力f沿斜面向下，则随着绳子拉力T的增加，则摩擦力f也逐渐增大；若起初M受到的摩擦力f沿斜面向上，则随着绳子拉力T的增加，摩擦力f可能先减小后增加。故本题选BD。【变式2】如图所示，一铁球用一轻绳悬挂于O点，用力F拉住小球，要使轻绳与竖直方向保持60°角不变，且F最小，则F与竖直方向的夹角6应为（）90°B.60°C.30°D.0°【答案】C因为绳子拉力T和外力F的合力等于重力，通过作图法知，当F的方向与绳子方向垂直时，由于垂线段最短，所以F最小，则由几何知识得°=90。—60。=30。，C正确.【变式3】如图所示，将一物体用两根等长细绳OA、OB悬挂在半圆形架子上，B点固定不动，在悬挂点A由位置C向位置D移动的过程中，物体对OA绳的拉力变化是（）A.由小变大B.由大变小C.先减小后增大D.先增大后减小【答案】C【解析】对O点受力分析，抓住两根绳的合力等于物体的重力，大小和方向都不变，OB绳拉力方向不变，特点：1、三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）2、其余两个力方向、大小均在变3、有明显长度变化关系方法：相似三角形法【例5】如图所示，水平地面上竖直地固定着一个光滑的圆环，一个质量为m的小球套在环上，圆环最高点有一小孔，细线一端被人牵着，另一端穿过小孔与小球相连，使球静止于A处，此时细线与竖直成0角，重力加速度为g,将球由A处缓慢地拉至B处的过程中，球对细线的拉力如何变化，以及环对球的支持力如何变化？【答案】T减小Fn不变解析】对小球受力分析，构建封闭的三角形，几何三角形AOP与红色的力三角形相似，对应边成比例mgOPPAOAFN因为PA减小；所以T减小，OA=OB所以Fn不变；【变式】如图所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物。现施加一拉力F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前，下列说法正确的是（）A.BC绳中的拉力Ft越来越大B.BC绳中的拉力Ft越来越小C.AC杆中的支撑力Fn越来越大D.AC杆中的支撑力Fn越来越小【答案】B【解析】以C点为研究对象，分析受力：重物的拉力T（等于重物的重力G）。轻杆的支持力Fn和绳子的拉力Ft做出受力图如右图所示，由平衡条件知：Fn与Ft的合力与G大小相等,FFG方向相反，根据三角形相似可得：ac=bC=ab解得：Fn=ABG，Ft=ABG由于AC不变，所以Fn不变，BC减小，Ft减小，故选项B正确。□热点题型六单位圆或正弦定理类型特点：1、三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）4、其余两个力方向、大小均在变5、有一个角恒定不变【例题6】（2017・全国卷口）如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另n一端N,初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为a（a>2）.现将重物向右上方缓慢拉起，【答案】AD【解析】解法一：以重物为研究对象，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F],由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F「F2的夹角为n-a不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以A、D正解法二：将重物向右上方缓慢拉起，重物处于动态平衡状态，可利用平衡条件或力的分解画出动态图分析．将GFF重物的重力沿两绳方向分解，画出分解的动态图如图所示.在三角形中，根据正弦定理有茹=帶=苗,由题意可知Fmn的反方向与Fom的夹角卩=180。一a不变，因sin邓为仏与G的夹角）先增大后减小，故OM上的张力先增大后减小，当卩=90。时，OM上的张力最大，因sin6（6为FOM与G的夹角）逐渐增大，故MN上的张力逐渐增大，选项A、D正确，B、C错误.【变式】如右图所示，一圆环位于竖直平面内，圆环圆心处的一小球，OP>OQ为两根细绳，一端与球相连另一端固定在圆环上。OP呈水平，OQ与竖直方向成30°角，现保持小球位置不动，将圆环沿顺时针方向转过90°角，则在此过程中()A．OP绳所受拉力增大B．OP绳所受拉力先增大后减小C．OQ绳所受拉力先减小后增大D．OQ绳所受拉力先增大后减小解析】将圆环沿顺时针方向转过90°角的过程中，小球的位置保持不动，受力保持平衡，由平衡条件可知，两绳拉力的合力不变，运用三角定则作出力的合成图，由正弦定理得出两绳的拉力与OP转动角度的关系,即可分析两力的变化情况热点题型七衣钩、滑环模型【例题7】如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的,挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件,当衣架静止时,下列说法正确的是()A.绳的右端上移到b',绳子拉力不变B.将杆N向右移一些,绳子拉力变大C.绳的两端高度差越小，绳子拉力越小D.若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移【答案】AB【解析】选A、氏设两杆间距离为么绳长为l,Oa、Ob段长度分别为I和2,则l=l+1，两部分绳子与竖abab直方向夹角分别为a和卩，受力分析如图所示。绳子各部分张力相等,Fa=Fb=F,则快满足2FCOSa=mgd=Isina+1sina，即sina=-,F=,d和/均不变，则sina为定值,a为定值，cosaabl2cosa为定值，绳子的拉力保持不变，故A正确,C、D错误;将杆N向右移一些,d增大，则sina增大，cosa减小，绳【变式1】如图所示，两个轻环。和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球。在a和b之间的细线上悬挂一小物块。平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦，小物块的质量为（）C．mD．2m4ma・2答案】C解析】由于物块通过挂钩悬挂在线上，细线穿过圆环且所有摩擦都不计，可知线上各处张力都等于小球重力mg。如图所示，由对称性可知a、b位于同一水平线上，物块处于圆心O点正上方，则Z1=Z2,Z3=Z4,Z1=Z5。因圆弧对轻环的弹力沿圆弧半径方向，且轻环重力不计，由平衡条件知环两侧细线关于圆弧半径对称，即Z5=Z6，由几何关系得Z1=Z2=Z5=Z6=30°,Z3=Z4=60°o再由物块与挂钩的受力平衡有mgcos60°+mgcos60°=Mg，故有M=m,C正确。【变式3】（2019・江西省横峰中学、铅山一中等校联考）有甲、乙两根完全相同的轻绳，甲绳A、B两端按图甲的方式固定，然后将一挂有质量为M的重物的光滑轻质动滑轮挂于甲轻绳上，当滑轮静止后，设甲绳子的张力大小为FT1；乙绳D、E两端按图乙的方式固定，然后将同样的定滑轮且挂有质量为M的重物挂于乙轻绳上，当滑轮静止后，设乙绳子的张力大小为FT2•现甲绳的B端缓慢向下移动至C点，乙绳的E端缓慢A．FT1、FT2都变大B.FT1变大、FT2变小C.FTi、FT2都不变D.FT1不变、FT2变大答案】D【解析】设绳子总长为厶两堵竖直墙之间的距离为s,左侧绳长为厶1，右侧绳长为厶2•由于绳子上的拉力处处相等，所以两绳与竖直方向夹角相等，设为9,则由几何知识，得：s=L]Sin0+L2sin0=(L]+L2)sin6,又L]+L2=Ls得到sin6=1，设绳子的拉力大小为Ft，重物的重力为G以滑轮为研究对象，根据平衡条件得2FTcos6=G，G解得：ft=2C0T9，可见，对题图甲，当绳子右端慢慢向下移时，s、L没有变化，则6不变，绳子拉力ft1不变；对题图乙，当绳子的右端从E向F移动的过程中，由于绳子的长度不变，所以两个绳子之间的夹角6增大，cos6减小，则绳子拉力FT2增大，故A、B、C错误，D正确【题型演练】(2019•四川省广安市、眉山市、内江市、遂宁市第三次诊断)如图所示，两个质量均为m的小球通过两根轻弹簧A、B连接，在水平外力F作用下，系统处于静止状态，弹簧实际长度相等.弹簧A、B的劲度系数分别为kA、kB,且原长相等•弹簧A、B与竖直方向的夹角分别为6与45°.设A、B中的拉力分别为FA、FB.小球直径相比弹簧长度可以忽略.则()A.tan6=1B.kA=kBC.FA=-£3mgD.FB=2mg【答案】A【解析】对下面的小球进行受力分析，如图甲所示：Eg甲根据平衡条件得：F=mgtan45°=mg,FB=C0S45°=y^2mg；对两个小球整体受力分析，如图乙所示：根据平衡条件得：tane=2mg，又F=mg，解得tan0=*，FA=p（2mg）2+F2n/5mg，由题可知两弹簧的形变量相等,则有：FF&F5戸kA=kB，解得：kB=FB=厉'故A正确，B、C、D错误.（2019・山东省济宁市高三第二次摸底考试）我国2007年建成的国家大剧院外部呈椭球型.为了简化,将国家大剧院的屋顶近似为半球形，某警卫人员在执行特殊任务时，必须在屋顶上向上缓慢爬行，他在爬【答案】C【解析】因为缓慢爬行，合力为零：mgcos0二F支mgsin0二Ff，向上爬的过程中，夹角■•减小，变大，变小，所以摩擦力变小，支持力变大，ABD错误，C正确。（2019・黑龙江省齐齐哈尔市调研）重力都为G的两个小球A和B用三段轻绳按如图所示连接后悬挂在O点上,。、B间的绳子长度是A、B间的绳子长度的2倍，将一个拉力F作用到小球B上，使三段轻绳都伸直且O、A间和A、B间的两段绳子分别处于竖直和水平方向上，则拉力F的最小值为（）a-2gC．G【答案】A【解析】对A球受力分析可知，因O、A间绳竖直，则A、间绳上的拉力为0•对B球受力分析如图所示,则可知当F与O、B间绳垂直时F最小，Fmin=Gsin0,其中sin〃=2!=2,则尸讪=2°，故A项正确•（2016全国一卷）如图所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO,悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块Q,另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b。外力F向右上方拉b,整个系统处于静止状态。若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则下列说法正确的是（）A.绳OO,的张力也在一定范围内变化B.物块b所受到的支持力也在一定范围内变化C.连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化D.物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化【答案】BD【解析】由于物块a、b均保持静止，各绳角度保持不变，对a受力分析得，绳的拉力FT=mag，所以物块a受到绳的拉力保持不变。由滑轮性质，滑轮两侧绳的拉力相等，所以b受到绳的拉力大小、方向均保持不变，C选项错误；a、b受到绳的拉力大小、方向均不变，所以OO'的张力不变，A选项错误；对b进行受力分析，如图所示。由平衡条件得：Ftcos”+Ff=Fcosa,Fsina+FN+FTsinP=mbg。其中FT和mbg始终不变，当F大小在一定范围内变化时，支持力在一定范围内变化，B选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D选项正确。（2017全国三卷）一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距80cm的两点上，弹性绳的原长也为80cm。将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为100cm；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，则弹性绳的总长度变为（弹性绳的伸长始终处于弹性限度内）A．86cmB．92cmC．98cmD．104cm【答案】B解析】试题分析：设弹性绳的劲度系数为k,左、右两半段绳的伸长量AL=100cm-80cm2=10cm由共点力的平衡条件可知，钩码的重力G二2kAL\.;1002+802100二1.2kAL，将弹性绳的两端缓慢移至天花板上同一点时，钩码的重力G=2kAL'，解得AL'二0.6AL二6cm，则弹性绳的总长度变为80cm+2AL'二92cm故选B。（2019・河南洛阳一中月考）如图所示，倾角为0=30。的光滑斜面上固定有竖直光滑挡板F,横截面为直角【解析】将物体A受的重力按照力的效果进行分解，如图所示，则F]=Gtan0，尸2=急，故夕=sin0=2.即物块A对竖直挡板P的压力与物块A对斜面的压力大小之比为1：2,B正确.（2019・长沙市长郡中学入学考试）如图所示，某钢制工件上开有一个楔形凹槽，凹槽的截面是一个直角三角形ABC，ZCAB=30°，ZABC=90°，在凹槽中放有一个光滑的金属球，当金属球静止时，金属球对凹槽的【答案】B【解析】金属球受到的重力产生两个作用效果，压AB面和压BC面，如图所示.对AB面的压力等于分力F]',对BC面的压力等于分力F2',故”=tan30。=¥，B正确.（2019・烟台模拟）如图所示，斜面上放有两个完全相同的物体a、b,两物体间用一根细线连接，在细线的中点加一与斜面垂直的拉力F使两物体均处于静止状态.则下列说法正确的是（）A.a、b两物体的受力个数一定相同B.a、b两物体对斜面的压力相同C.a、b两物体受到的摩擦力大小一定相等D.当逐渐增大拉力F时，物体b先开始滑动【答案】B【解析】对a、b进行受力分析，如图所示.b物体处于静止状态，当细线沿斜面向上的分量与重力沿斜面向下的分量相等时，摩擦力为零，所以b可能只受3个力作用，而a物体必定受到摩擦力作用，肯定受4个力作用，故A错误；a、b两个物体，垂直于斜面方向受力都平衡，则有：FN+FTsin0=mgcosa,解得:FN=mgcosa—FTsin0,则a、b两物体对斜面的压力相同，故B正确；根据A项的分析可知，b的摩擦力可以为零，而a的摩擦力一定不为零，故C错误；对a沿斜面方向有：FTcos0+mgsina=Ffa，对b沿斜面方向有：FTcos0—mgsina=Fb，正压力相等，所以最大静摩擦力相等，则a先达到最大静摩擦力，故a先滑动，故D错误.（2019-广东百校联盟）质量为M的半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端固定一个竖直挡板力5在P上放两个大小相同的光滑小球C和D,质量均为加，整个装置的纵截面如图所示.开始时P、C球心连线与水平面的夹角为0,点P、D球心连线处于竖直方向，已知重力加速度为g.则下列说法正确的是（）地面对P的摩擦力大小为零使挡板缓慢地向右平行移动，但C仍在P和挡板AB作用下悬于半空中，则地面对P的摩擦力将不断增大使挡板绕B点顺时针缓慢转动，P始终保持静止，则D一定缓慢下滑【答案】C【解析】对D受力分析，受到重力mg和P的支持力休；对C受力分析，受到重力mg、挡板AB的支持力FN1和P对C的支持力心2,如图所示，根据平衡条件，得FN1=Tmg0，FN2=焉，选项A错误；以P、C、D整体为研究对象，进行受力分析，受到三者的重力、挡板AB的支持力Fn1，地面的支持力FN3,地面的静摩擦力f，根据共点力平衡条件，有FN3=（M+2m）g，f=FN1，选项B错误；使挡板缓慢地向右平行移动，由于e不断减小，故/不断增大，选项c正确；由于p、d球心连线处于竖直方向，当使挡板绕e点顺时针缓慢地转动时，小球D可继续保持静止，选项D错误.（2019・商丘模拟）如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔.质量为m的小球套在圆环上.一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住.现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中手对线的拉力F和轨道对小球的弹力Fn的大小变化情况是（）A.F不变，Fn增大B.F不变，Fn减小C.F减小，Fn不变D.F增大，Fn减小【答案】C【解析】小球沿圆环缓慢上移可看作处于平衡状态，对小球进行受力分析，作出受力示意图GFF如图所示，由图可知△/Es^gf%即：R=石=灵，当A点上移时，半径不变，AE长度减小，故F减小，Fn不变，故C正确.