中考数学回归教材重难点07几何最值问题(解析版)

回归教材重难点07几何最值问题几何最值问题是初中几何章节的重点内容，考查的范围比较广，把几何图形性质与平移、翻折等图形变换结合起来。在中考数学中，主要是以压轴题形式出现。通过熟练的几何模型的应用，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度较大，甚至有些地方将其作为选填题的压轴题。1.将军饮马模型；2.瓜豆模型；3.隐圆模型1．（2021·辽宁盘锦·中考）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝23，AD＝22，点P为边AB上一点．以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A'．连结AA'，AA'交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是________【】42【分析】如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．想办法求出RM，RT，求出MT的最小值，再根据QA＋QM＝QM＋QT≥MT，可得结论．【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．△四边形ABCD是矩形，△△RAT＝90°，△AR＝DR＝2，AT＝2AB＝43，△RT＝AR2AT2(2)2(43)252，△A，A′关于DP对称，△AA′△DP，△△AMD＝90°，△AR＝RD，△RM＝1AD＝2，2△MT≥RT−RM，△MT≥42，△MT的最小值为42，△QA＋QM＝QT＋QM≥MT，△QA＋QM≥42，△QA＋QM的最小值为42．故答案为：42．【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出MT的最小值，属于中考常考题型．2．（2021·四川成都·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB4,AD8，点E，F分别在边AD,BC上，且AE3，按以下步骤操作：第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A'恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B'，则线段BF的长为_______；第二步，分别在EF,AB'上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为_______．【答案】15【分析】第一步：设EF与AA’交于点O，连接AF，易证明△AOE△ADC，利用对应边成比例可得到OA=2OE，35由勾股定理可求出OE=，从而求得OA及OC；由AD△BC，易得△AOE△△COF，由对应边成比例可得AE、5FC的关系式，设BF=x，则FC=8-x，由关系式可求得x的值；第二步：连接NE，NF，根据折叠的性质，得到NF=NE，设B’N=m，分别在Rt△NBF和Rt△EAN中，利用勾股定理及NF=NE建立方程，可求得m，最后得出结果．【详解】如图所示，连接AF，设EF与AA’交于点O，由折叠的性质得到AA’△EF，AEAE3△四边形ABCD是矩形△△ADC=90°，CD=AB=4，AD△BCOECD1△△AOE=△ADC，△OAE=△DAC△△AOE△ADC，△==，△OA=2OE，OAAD23565在直角△AOE中，由勾股定理得：OE24OE29，△OE=，△OA=，5565145在Rt△ADC中，由勾股定理得到：AC=428245，△OC=45-=，55令BF=x，则FC=8-x，OAAE3△AD△BC，△△AOE△△COF，△，即7AE=3FC△3(8-x)=7×3解得：x1,△BF的长为1．OCFC7连接NE，NF，如图，根据折叠性质得：BF=B’F=1，MN△EF，NF=NE，设B’N=m，则NF2=12+m2=NE2=32+(4-m)2，解得：m=3，则NF=10，△EF=224225，△MF=5，△MN=5，故答案为：1，5．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练运用这些知识是解决本题的关键，本题还涉及到方程的运用．3．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，已知正方形ABCD的边长为6，点F是正方形内一点，连接CF,DF，且ADF=DCF，点E是AD边上一动点，连接EB,EF，则EBEF长度的最小值为___________．【答案】313-3【分析】根据正方形的性质得到△ADC＝90°，推出△DFC＝90°，点F在以DC为直径的半圆上移动，，如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：△四边形ABCD是正方形，△△ADC＝90°，△△ADF＋△CDF＝90°，△ADF=DCF，△△DCF＋△CDF＝90°，△△DFC＝90°，△点F在以DC为直径的半圆上移动，如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，OF＝3，△△G＝90°，PG＝DG＝AB＝6，△OG＝9，△OP＝PG2＋OG26292313，△FP＝313-3，△BE＋FE的长度最小值为313-3，故答案为：313-3．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．4．（2021·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为__________．【答案】0.4,0【分析】先得出D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4），再通过转化，将求四边形BDEF的周长的最小值转化为求FG+BF的最小值，再利用两点之间线段最短得到当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，用待定系数法求出直线BG的解析式后，令y=0，即可求出点F的坐标，最后得到点E的坐标．【详解】解：如图所示，△D（0，4），△D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4），△ED=EH，将点H向左平移3个单位，得到点G（-3，-4），△EF=HG，EF△HG，△四边形EFGH是平行四边形，△EH=FG，△FG=ED，△B（-4，6），△BD=402642=25，又△EF＝3，△四边形BDEF的周长=BD+DE+EF+BF=25+FG+3+BF,要使四边形BDEF的周长最小，则应使FG+BF的值最小，而当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，设直线BG的解析式为：ykxbk04kb6k10△B（-4，6），G（-3，-4），△，△，△y10x34，3kb4b34当y=0时，x3.4，△F3.4,0，△E0.4,0，故答案为：0.4,0．【点睛】本题综合考查了轴对称的性质、最短路径问题、平移的性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是“转化”，即将不同的线段之间通过转化建立相等关系，将求四边形的周长的最小值问题转化为三点共线和最短的问题等，本题蕴含了数形结合与转化的思想方法等．5．（2021·广东·中考真题）在ABC中，ABC90,AB2,BC3．点D为平面上一个动点，ADB45，则线段CD长度的最小值为_____．【答案】52【分析】由已知ADB45，AB2，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点D在以O为圆心OB为半径的圆上，线段CD长度的最小值为COOD．1【详解】如图：以AB为半径作圆，过圆心O作ONAB,OMBC，2以O为圆心OB为半径作圆，则点D在圆O上，ADB45∴AOB90AB2，ANBN1，AO121221ONOMAB1,BC3，OC12(31)252COOD52，线段CD长度的最小值为:52．故答案为：52．【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．6．（2021·河南周口·三模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E，F分别在BC，AB上移动，AF＝BE，AE和DF交于点P，点M为边AB上一动点，点N为平面上一动点，CN＝1，则NM+MP的最小值是___．【答案】213-3【分析】首先证明△APD=90°，推出点P在以AD为直径的圆上运动，设圆心为T，作点T关于AB的对称点R，以R为圆心，AR为半径作△R，则点P关于AB的对称点L，在△R上，连接CR，RL，ML．根据RL+ML+MN+NC≥CR，MP=ML，求出CR，可得结论．【详解】解：如图，△四边形ABCD是正方形，△△B=△DAF=90°，AD=AB，ABDA在△ABE和△DAF中，BDAF，BEAF△△ABE△△DAF（SAS），△△BAE=△ADF，△△BAE+△DAP=90°，△△ADP+△DAE=90°，△△APD=90°，△点P在以AD为直径的圆上运动，设圆心为T，作点T关于AB的对称点R，以R为圆心，AR为半径作△R，则点P关于AB的对称点L，在△R上，连接CR，RL，ML．△CN=1，△点N在以C为圆心，半径为1的△C上运动，在Rt△CDR中，CR=DR2CD2=6242=213，△RL+ML+MN+NC≥CR，MP=ML，△PM+MN≥213-2-1，△PM+MN≥213-3，△PM+MN的最小值为213-3．【点睛】本题考查轴对称最短问题，正方形的性质，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会把问题转化为两点之间线段最短，属于中考填空题中的压轴题．7．（2021·河南郑州·一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是AB边上一动点（不与点A，B重合），连接PD，过点B作BM△PD交DP的延长线于点M，连接AM，过点A作AN△AM交PD于点N，连接BN，CN，则△BNC面积的最小值为________．【答案】12421【分析】点N在正方形内部，所以SAND+SBNC＝1S正方形ABCD＝448，由BM△PD可得点M△△22在以BD中点为圆心，1BD长为半径的圆上，先证明△AMB与△ADN全等，然后求△ABM最大面积即可求出2△BNC的最小面积．【详解】解：△四边形ABCD为正方形，△AD＝AB，△BAD＝△BAN+△NAD＝90°，△△MAB+△BAN＝△MAN＝90°，△△MAB＝△NAD，△△BMP+△BPM+△MBP＝△PAD+△PDA+△APD＝180°，△MPB＝△APD，△BMP＝△DAP＝90°，△△MBP＝△ADP，MAB＝NADMBA＝NDA在△AMB和△AND中，，△△AMB△△AND（ASA）．△S△AMB＝S△AND，ABAD1△SAND+SBNC＝1S正方形ABCD＝448，△当SAMB面积最大时，SBNC面积最小，△△22△△△△BMD＝90°，△点M在以BD中点为圆心，1BD长为半径的圆上，2当△ABM面积最大时，OM△AB，如图，△点O为BD中点，OM△AD，△OK＝1AD＝2，2△BD＝2BC＝42，△OM＝1BD＝22，△MK＝OM﹣OK＝22﹣2，△SAMB＝1AB•MK＝424，2△2△S△BNC＝8﹣S△AMB＝8﹣（424）＝1242．故答案为：1242．【点睛】本题考查正方形的性质、三角形面积计算、全等三角形的判定、圆周角定理等知识点，将求△BNC的最小面积转化为求△ABM最大面积并找出M点运动轨迹是解题关键．8．（2021·河南·三模）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点E，F分别为边AB，AD上的动点，且EF＝6，点G，M分别为边BC，CD的中点，连接BM，DG交于点O．将△EFA沿EF折叠得到△EFA'，点H是边EF上一动点，连接A'H，HO，OA'．当A'H+HO的值最小时，OA'的长为__________________．162【答案】163【分析】连接AH、AO，由折叠的性质，点A与点A'关于直线EF对称，则可得当A、H、O三点共线时，A'H+HO的值最小，连接OC、AH，过点O作NO△BC于点N，可知四边形AFA'E是正方形，△ACB＝45°，882设CN＝x，则ON＝CN＝x，BN＝8﹣x，可证明△BON△△BMC，可求出CN＝，CO＝，在Rt△ABC中，33162由勾股定理得AC＝82，所以A'O＝AC﹣AA'﹣OC＝．3【详解】解：连接AH、AO，如图，由折叠的性质，点A与点A关于直线EF对称，AHAHAHHOAHHOAOA、H、O三点共线时，AHHO的值最小，连接OC、AH，过点O作NO△BC于点N，如图2，四边形AFAE是正方形，AAEF6，A、O、C三点共线，ACB45M是DC中点，MC4设CN＝x，则ON＝CN＝x，BN＝8﹣x，ONMCx488BNOBCM，BONBMC，即，x，CNBNBC8x83382CO2CN3在RtABC中，由勾股定理得，ACAB2BC28282162AOACAAOC8261633162故答案为：16．3【点睛】本题考查相似的判定与性质、折叠的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．9．（2021·四川绵阳·一模）等边△ABC的边长为6，P是AB上一点，AP＝2，把AP绕点A旋转一周，P点的对应点为P′，连接BP′，BP′的中点为Q，连接CQ．则CQ长度的最小值是_____．【答案】331【分析】取AB中点D，连接DQ，CD，AP'，利用等边三角形求出CD＝33,根据三角形中位线定理得到DQ＝1，利用三角形三边关系得出结果．【详解】解：如图，取AB中点D，连接DQ，CD，AP'，△AP＝2，把AP绕点A旋转一周，△AP'＝2，△等边△ABC的边长为6，点D是AB中点，△BD＝AD＝3，CD△AB，△CD＝BC2BD2623233，△点Q是BP'是中点，△BQ＝QP'，又△AD＝BD，△DQ＝1AP'＝1，2在△CDQ中，CQ≥DC﹣DQ，△CQ的最小值为33﹣1，故答案为331．【点睛】本题考查最短路径、中位线、等边三角形等知识，解决问题的关键是已知中点的常见思路：等腰三角形中构造三线合一，一般三角形中构造中位线．k10．（2021·福建·厦门五缘实验学校二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y（k＞0）的图象与x半径为5的△O交于M、N两点，△MON的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是______．【答案】52kc2a2kb2d2【详解】设点M（a，b），N（c，d），先求出a2+b2＝c2+d2＝25，再求出ac，同理：bd，77即可得出ac﹣bc＝0，最后用两点间的距离公式即可得出结论．【解答】解：如图，设点M（a，b），N（c，d），△ab＝k，cd＝k，△点M，N在△O上，△a2+b2＝c2+d2＝25，作出点N关于x轴的对称点N'（c，﹣d），△MN'即为PM+PN的最小值111kckakc2a2△S△OMNk（b+d）（a﹣c）k＝3.5，△ad﹣bc＝7，△7，△ac，222ac7kb2d2kc2a2kb2d2k同理：bd，△ac﹣bc[（c2+d2）﹣（a2+b2）]＝0，7777△M（a，b），N'（c，﹣d），△MN'2＝（a﹣c）2+（b+d）2＝a2+b2+c2+d2﹣2ac+2bd＝a2+b2+c2+d2﹣2（ac﹣bd）＝50，△MN'＝52，故答案为：52．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质、圆的性质、两点间的距离公式，判断出ac-bd=0是解本题的关键．11．（2021·广东·雷州市第八中学一模）如图，把矩形ABCD沿EF对折，使B与D重合，折痕EF交BD于7G，连AG，若tan△AGE＝，BF＝8，P为DG上一个动点，则PF+PC的最小值为_____．3【答案】10【分析】如图，连接BE，CE，PE，取BE的中点O，连接OA，OG．首先证明△EGD△△FGB（ASA），推出BF=DE=8，EG=FG，再证明PF=PE，推出PF+PC=PE+PC≥EC，想办法求出EC即可解决问题．【详解】解：如图，连接BE，CE，PE，取BE的中点O，连接OA，OG．由题意，EF垂直平分线段BD，△EB=ED，BG=GD，△四边形ABCD是矩形，△AD△BC，△△EDG=△FBG，△△EGD=△FGB，△△EGD△△FGB（ASA），△BF=DE=8，EG=FG，△DB△EF，△PE=PF，△PF+PC=PE+PC≥EC，△△BAE=△BGE=90°，OB=OE，△OA=OB=OE=OG，7AE△A，B，G，E四点共圆，△△ABE=△AGE，△tan△ABE=tan△AGE==，3AB设AE=7k，AB=3k，△AB2+AE2=BE2，BE=DE=8，△（7k）2+（3k）2=82，△k=2，△AB=CD=6，△△EDC=90°，△EC=CD2DE26282=10，△PF+PC≥10，△PF+PC的最小值为10．故答案为：10．【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，解直角三角形，四点共圆等知识，本题综合性比较强．12．（2022·上海·一模）如图，在ABC中，ACB90，AC2，BC22，将ABC绕点C按逆时针方向旋转得到DEC，连接AD，BE，直线AD，BE相交于点F，连接CF，在旋转过程中，线段CF的最大值为__________．【答案】10【分析】取AB的中点H，连接CH、FH，设EC，DF交于点G，在△ABC中，由勾股定理得到AB=10，由旋转可知：△DCE△△ACB，从而△DCA=△BCE，△ADC=△BEC，由△DGC=△EGF，可得△AFB=90º，由直角三10角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FH=CH=1AB=，在△FCH中，当F、C、H在一条直线上时，22CF有最大值为10.【详解】取AB的中点H，连接CH、FH，设EC，DF交于点G，在△ABC中，△ACB=90º，△AC=2，BC=22，△AB=AC2BC210，由旋转可知：△DCE△△ACB，△△DCE=△ACB，DC=AC，CE=CB，△△DCA=△BCE，△△ADC=1(180º-△ACD)，△BEC=1(180º-△BCE)，△△ADC=△BEC，22△△DGC=△EGF，△△DCG=△EFG=90º，△△AFB=90º，△H是AB的中点，△FH=1AB，2△△ACB=90º，△CH=1AB，210△FH=CH=1AB=，22在△FCH中，FH+CH>CF，1010当F、C、H在一条直线上时，CF有最大值10，22△线段CF的最大值为10.故答案为：10【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握全等的性质.13．（2022·重庆·一模）如图，已知ABC，外心为O，BC18，BAC60，分别以AB，AC为腰向形外作等腰直角三角形△ABD与ACE，连接BE，CD交于点P，则OP的最小值是______．【答案】933【分析】由△ABD与ACE是等腰直角三角形，得到BADCAE90，DACBAE，根据全等三角形的性质得到ADCABE，求得在以BC为直径的圆上，由ABC的外心为O，BAC60，得到BOC120，如图，当POBC时，OP的值最小，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：ABD与ACE是等腰直角三角形，BADCAE90，DACBAE，ADAB在△DAC与BAE中，DACBAE，DAC△BAESAS，ADCABE，PDBPBD90，ACAEDPB90，P在以BC为直径的圆上，ABC的外心为O，BAC60，BOC120，如图，当POBC时，OP的值最小，1BC18，BHCH9，OHOB，BHOB2OH23OH2OH33，PH9，OP933．则OP的最小值是933，故答案为：933．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．