2.8 群的同态

兰州大学·李宪博《应用近世代数》简化讲义对应胡冠章教材P79-862.8群的同态1.群的同态定义1：若存在一个定义在两个群上的映射满足运算性质保持，则该映射是同态映射。若该映射是单射，则该映射是单同态。若该映射是满射，则该映射是满同态，可以说这两个群同态。若该映射是单射，则这两个群同构。回顾：正规子群定义：一个群里的元素和这个群的子群所构成的左陪集和右陪集相等，则这个子群是这个群的正规子群。回顾：商群定义：上述定义中的陪集集合就是商群。例子：一个群有其子群的陪集集合（商群），该群和其商群构成自然同态。2.同态基本定理定义2：在一个集合中包含了这样的元素：一个群中的元素经过满同态映射到了另一个群的单位元，则称这个集合为核（Kernel）。定理1：给两个群的满同态映射和核，则核是群的正规子群。同态像a’的原像a都是K的左陪集aK，如果映射还是单同态，则核里只有一个元素即单位元。定理2：（同态基本定理）给两个群的满同态映射和核，一个群的商群G/K和另一个群同构。如果一个群到商群有自然同态映射，则满同态映射等于自然同态映射合成同构映射。3.有关同态的定理定理3：（子群对应定理）给两个群的满同态映射和核，核一一映射到单位元，子群一一映射到子群，群一一映射到群。定理4：（第一同构定理）给两个群的满同态映射和核，两个群的商集对应同构，给G/H的分子分母同时除以核也和他们同构。定理5：（第二同构定理）给定正规子群和子群，正规子群在二者运算上构成商群，二者交集在子群上构成商群，这两个商群同构。极大正规子群：没有比这个正规子群再大的非平凡正规子群时，该正规子群为极大正规子群。如果商群是单群，陪集是该群的极大正规子群。4.自同态与自同构自同态半群（EndG）：自同态集合对函数合成构成的含幺半群。自同构群（AutG）：自同构集合对函数合成构成的群。内自同构：σa(x)=axa-1.内自同构群（InnG）：全体内自同构构成的群。回顾：中心定义：取G中满足交换律的一部分，对整个集合G满足交换律。定理6：内自同构群是自同构群的正规子群，中心在群上构成的商群和内自同构群同构。 2.8群的同态