线性系统理论-郑大钟（第二版）(黄振中)

null线性系统理论线性系统理论郑大钟 清华大学出版社null第一章 绪 论第二章 线性系统的状态空间描述第三章 线性系统的运动分析第四章 线性系统的能控性和能观测性第五章 系统运动的稳定性第六章 线性反馈系统的时间域综合第一部分 线性系统的时间域理论第二部分 线性系统的复频率域理论第一章 绪论 第一章 绪论 　　线性系统理论是系统控制理论的一个最为基础和最为成熟的分支。它以线性代数和微分方程为主要数学工具，以状态空间法为基础分析和设计控制系统。控制理论发展概况： 第一阶段 20世纪40—60年代 经典控制理论 第二阶段 20世纪60—70年代 现代控制理论 第三阶段 20世纪70— 大系统理论 （广度） 智能控制理论 （深度）第一章 绪论 第一章 绪论 1.1系统控制理论的研究对象系统是系统控制理论的研究对象 系统：是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体”。 系统具有如下3个基本特征: (1)整体性 (2)抽象性 作为系统控制理论的研究对象，系统常常抽去了具体系统的物理，自然和社会含义，而把它抽象为一个一般意义下的系统而加以研究。(3)相对性 在系统的定义中, 所谓“系统”和“部分”这种称谓具有相对属性。null动态系统： 所谓动态系统，就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化的一类系统——动力学系统。 系统变量可区分为三类形式 系统动态过程的数学描述 动态系统的分类 从机制的角度 从特性的角度 从作用时间 类型的角度 uxy连续系统按其参数的空间分布类型 本中仅限于研究线性系统和集中参数系统动态系统是系统控制理论所研究的主体，其行为有各类变量间的关系来表征。null线性系统理论的研究对象为线性系统，其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。若表征系统的数学描述为L 系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述 ①系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器 ②模型类型的多样性：用数学模型描述、用文字、图表、数据或计算机程序表示 ③数学模型的基本性：着重研究可用数学模型描述的一类系统 ④建立数学模型的途径：解析、辨识 ⑤系统建模的准则：折衷 线性系统理论研究对象是 (线性的)模型系统，不是物理系统。线性系统系统模型null1.2 线性系统理论的基本概貌 线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和为基本任务的学科。 主要内容: 数学模型 → 分析理论 → 综合理论 发展过程: 经典线性系统理论→现代线性系统理论 主要学派: 状态空间法几何理论 把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题,并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合 代数理论 把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的映射关系,从而可以实现对线性系统描述和分析的完全的形式化和抽象化,使之转化为纯粹的一些抽象代数问题 多变量频域方法 线性系统理论着重研究线性系统状态的运动规律和改变这种规律的可能性和方法，以建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间确定的和定量的关系。 第一部分: 线性系统时间域理论 第一部分: 线性系统时间域理论 第二章 线性系统的状态空间描述 2.1 状态和状态空间 线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直接在时间域内分析和综合线性系统的运动和特性的一种理论和方法 系统动态过程的两类数学描述 null(1) 系统的外部描述 外部描述常被称作为输出—输入描述例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:复频率域描述即传递函数描述 (2)系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式，需要由两个数学方程表征—— 状态方程和输出方程。(3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述，不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分。 内部描述则是系统的一种完全的描述，能够完全反映系统的所有动力学特性。null状态和状态空间的定义 状态变量组:状态： 一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 所组成的一个列向量 一个动力学系统的状态变量组定义为能完全表征其时间域行为的一个最小内部变量组 状态空间： 状态空间定义为状态向量的一个集合，状态空间的维数等同于状态的维数 几点解释 （1）状态变量组对系统行为的完全表征性 只要给定初始时刻 t0 的任意初始状态变量组和t≥t0 各时刻的任意输入变量组 那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定 null(2).状态变量组最小性的物理特征(3). 状态变量组最小性的数学特征 (4). 状态变量组的不唯一性 (5).系统任意两个状态变量组之间的关系 (6)有穷维系统和无穷维系统 (7)状态空间的属性 状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间R nnull2.2 线性系统的状态空间描述 电路系统状态空间描述的列写示例 描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间描述（动态方程或运动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。 选择状态变量null2.2 线性系统的状态空间描述 以上方程可表为形如 null机电系统状态空间描述的列写示例 上式可表为形如 null连续时间线性系统的状态空间描述 动态系统的结构连续时间线性系统的状态空间描述 线性时不变系统 线性时变系统 null连续时间线性系统的方块图 null离散时间线性系统的状态空间描述状态空间描述形式离散时间线性时不变系统 离散时间线性时变系统null状态空间描述的特点一是:状态方程形式上的差分型属性 二是:描述方程的线性属性 三是:变量取值时间的离散属性 离散时间线性系统的方块图null2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类 线性系统和非线性系统 设系统的状态空间描述为 向量函数 若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个组成元为x、u的非线性函数,该系统称为非线性系统 若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为x、u的线性函数,该系统称为线性系统 对于线性系统 非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统 null时变系统和时不变系统 若向量f,g不显含时间变量t,即 该系统称为时不变系统 若向量f,g显含时间变量t,即 该系统称为时变系统 连续时间系统和离散时间系统 当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统 当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为离散时间系统.确定性系统和不确定性系统 称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的. 称一个动态系统为不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性,或者作用于系统的输入和扰动是随机变量 null2.4 由系统输入输出描述导出状态空间描述 由输入输出描述导出状态空间描述 对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述 其传递函数描述 可以导出其状态空间描述为 基本步骤：选取适当的状态变量组，确定对应的参数矩阵组。null结论1 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出 (1)m=n,即系统为真情形null(2)mt0,以及一个无约束的容许控制u(t),t∈[t0,t1],使系统状态由x(t0)=0转移到x(t1)=xf≠0,则称非零状态xf在t0时刻为能达。 注意： 对连续时间线性时不变系统，能控性和能达性等价；对离散时间线性系统和线性时变系统，若系统矩阵G为非奇异，则能控性和能达性等价；对连续时间线性时变系统，能控性和能达性一般为不等价。 null定义：对连续时间线性时变系统 和指定初始时刻t0∈J，如果状态空间中所有非零状态在时刻t0∈J都为能控/能达，称系统在时刻t0为完全能控/能达。 定义：对连续时间线性时变系统 和指定初始时刻t0∈J，如果状态空间中存在一个非零状态或一个非空状态集合在时刻t0∈J为不能控/能达，称系统在时刻t0为不完全能控/能达。 定义：若系统的能控/能达性与初始时刻t0的选取无关，或系统在任意初 始时刻t0∈J均为完全能控/能达，则称系统为一致完全能控/能达。注：从工程实际角度考虑，一个实际系统为能控/能达的概率几乎等于1。系统能控性，能达性定义 null能观测性定义和指定初始时刻t0∈J,如果存在一个时刻t1∈J，t1>t0，使系统以x(t0)=x0为初始状态的输出y(t)恒为零，即y(t)≡0，t∈[t0,t1]，则称非零状态x0在时刻t0为不能观测；对连续时间线性时变系统 如果状态空间中所有非零状态在时刻t0都不为不能观测，则称系统在时刻t0为完全能观测； 如果状态空间中存在一个非零状态或一个非零状态集合在时刻t0为不能观测，则称系统在时刻t0为不完全能观测； 如果系统对任意时刻均为完全能观测，即能观测性与初始时刻t0的选取无关，则称系统为一致完全能观测。 null该系统是不完全能观测的由于 可见系统的状态x(t)的能观测性与x(t0)的能观测性是等价的。注：从工程实际角度考虑，一个实际系统为能观测的概率几乎等于1。其解为；null4．2 连续时间线性系统的能控性判据 结论1：(格拉姆矩阵判据) 线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格拉姆矩阵为非奇异矩阵。证明： 充分性 为非奇异时，系统能控 说明系统是能控的。必要性证明采用反证法，自阅。 　　　　　由于时变系统状态转移矩阵求解困难，故能控性格拉姆矩阵判据的 意义主要在于理论分析中的应用。 null结论3：n 维连续时间线性时变系统 设A(t),B(t)对t为n-1阶连续可微，定义 则系统在时刻t0∈J完全能控的一个充分条件为，存在一个有限时刻t1∈J，t1>t0，,使 能控性秩判据结论2：连续时间线性时不变系统： 完全能控的充分必要条件是，存在时刻t1>0，使格拉姆矩阵 为非奇异。 (格拉姆矩阵判据)主要在于理论分析和推导中的应用。null结论4 （能控性秩判据）对n 维连续时间线性时不变系统，系统完全能控的充分必要条件为能控性判别矩阵 满秩，即rankQc=n 结论5（能控性PBH秩判据）n 维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为： rank[sI-A，B]=n, sC C为复数域或 rank[iI-A，B]=n，i为系统特征值结论6： （能控性PBH特征向量判据） n 维连续时间线性时不变系统完全能控 的充分必要条件为：矩阵A不存在与B所有列正交的非零左特征向量， 即对矩阵A所有特征值i ，使同时满足TA= i T，T B=0 的左特 征向量T =0。 主要在于理论分析中，特别是线性时不变系统的复频域分析中。null结论7： （约当规范型判据）对n维线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能控的充分必要条件是B中不包含零行向量。结论8： （约当规范型判据）对n维线性时不变系统，若A为约当阵，系统完全能控的充分必要条件是： ①特征值互异的约当块最后一行对应的B阵中，该行元素不全为零。 ②特征值相同的各约当块最后一行对应的B阵各行向量线性无关。注：1. 能控性PBH特征向量判据主要用于理论分析中，特别是线性时不变 系统的复频域分析中。 2. 状态向量的线性非奇异变换不改变系统的能控性。null例 图示电路，判断系统能控性条件 解 选取状态变量x1=iL，x2=uC，得系统的状态方程为： null即（R1R4=R2R3）时，系统不能控。否则系统能控。 例 系统能控的充分必要条件是向量组{bl11、bl12、bl13}线性无关以及{bl21} 不为零向量。 系统能控null当k＝n时，Qk为能控性判别矩阵。对完全能控连续时间线性时不变系统，定义能控性指数为： ＝使“rankQk=n”成立的最小正整数k 。 结论9：对完全能控单输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n， 则系统能控性指数＝n。能控性指数连续时间线性时不变系统： 定义：null结论10：对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n， 输入维数为p，设rankB=r，则能控性指数满足如下估计： 设 为矩阵A的最小多项式次数，则 结论11：多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p， 且rankB=r，则系统完全能控的充分必要条件为： null结论12：对完全能控多输入连续时间线性时不变系统， 状态维数为n，输入维数为p，将Q表为： 其中： 1＋2 ＋＋r＝n由于rankB=r，将Q中的n个线性无关列重新排列：能控性指数满足： ＝max { 1，2 ，，r }且称 { 1，2 ，，r }为系统的能控性指数集。BA-1Bnull4．3 连续时间线性系统的能观测性判据 结论1：线性时变系统 在t0时刻是状态完全能观测的充分必要条件是下列格兰姆矩阵为非奇异矩阵 结论2：连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件是，存在时刻t1>0，使格拉姆矩阵 为非奇异。 null结论3：n 维连续时间线性时变系统设A(t),C(t)对t为n-1阶连续可微，定义 则系统在时刻t0∈J完全能观测的一个充分条件为，存在一个有限时刻t1∈J，t1>t0，,使 null结论4 对n 维连续时间线性时不变系统，系统完全能观测的充分必要条件为能观测性判别矩阵 满秩，即rankQ o=n 结论5n 维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：或为系统特征值C为复数域null结论7：对n维连续时间线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能观测的充分必要条件是C阵中不包含零列向量。 结论8：对n维连续时间线性时不变系统，若A为约当阵，系统完全能观测的充分必要条件是： 特征值互异的约当块第一列对应的C阵中，该列元素不全为零。 特征值相同的约当块第一列对应的C阵中，各列向量线性无关。结论6：n维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：矩阵A不存在与C所有行正交的非零右特征向量，即对矩阵A所有特征值，使同时满足的右特征向量 null定义：令 完全能观测n维连续时间线性时不变系统的能观测性指数定义为 ＝使“rankQk=n”成立的最小正整数。 结论9：对完全能观测单输出连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则能观测性指数为 ＝n。 结论10：对完全能观测多输出连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为q，设rankC=m，则 设 为矩阵A的最小多项式次数，则 结论11：对多输出连续时间线性时不变系统，设rankC=m，则系统完全能观测的充分必要条件是： null4.4 离散时间线性系统的能控性和能观性判据 时变系统的能控性和能观性判据定义 离散时间线性时变系统 如果对初始时刻h∈Jk 和任意非零初始状态X(h)=X0都存在时刻l∈Jk,l>h和对应输入u(k),使输入作用下系统状态在时刻l∈Jk达到原点，即有X(l)=0,则称系统在时刻h完全能控； 如果对初始时刻h和任意非零状态Xl，都存在时刻l∈Jk,l>h和对应输入u(k)，使输入作用下由初始状态X(h)=0出发的系统运动在时刻l∈Jk达到Xl，则称系统在时刻h完全能达。结论1 离散时间线性时变系统在时刻h完全能达的充分必要条件为，存在时刻l∈Jk,l>h，使格兰姆矩阵 为非奇异 null结论2 若系统矩阵G(k)对所有 k∈[h,l-1] 非奇异，则离散时间线性时变系统在时刻h∈Jk完全能控的充分必要条件为，存在时刻l∈Jk,l>h，使格兰姆矩阵 为非奇异 若系统矩阵G(k)对一个或一些k∈[h,l-1]奇异。格兰姆矩非奇异为系统在时刻h完全能控的一个充分条件。 若系统矩阵G(k) 对所有k∈[h,l-1]非奇异，则系统能控性和能达性等价。 若离散时间线性时变系统为连续时间线性时变系统的时间离散化，则系统的能控性和能达性等价。null时不变系统的能控性和能达性判据 结论3 离散时间线性时不变系统 系统完全能达的充分必要条件为，存在时刻l >0，使格兰姆矩阵 为非奇异。　　若系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为存在时刻l >0，使格兰姆矩阵 为非奇异。若系统矩阵G奇异，则上述格兰姆矩阵非奇异为系统完全能控的充分条件。 null结论4 n维离散时间线性时不变系统 系统完全能达的充分必要条件为矩阵 满秩 若系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为 rankQkc=n。若系统矩阵G奇异，rankQkc=n 为系统完全能控的一个充分条件。结论5 对于单输入离散时间线性时不变系统，当系统完全能控时，可构造如下一组输入控制 则系统必可在n步内由任意非零初态X(0)，转移到状态空间原点，通常称这组控制为最小拍控制。 若系统矩阵G非奇异，则离散时间线性时不变系统能控性和能达性等价。 若离散时间线性时不变系统为连续时间线性时不变系统的时间离散化，则系统的能控性和能达性等价。null例 设单输入线性离散系统的状态方程为 试判断系统的能控性，若初始状态x(0)=[2,1,0]T，确定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性。 解 系统是能控的 null 令 若令无解。即不存在控制序列u（0），u（1）能够使系统从初始状态x(0)=[2,1,0]T转移到x(2)=0。null时变系统的能观测性判据结论6 离散时间线性时变系统在时刻h∈Jk完全能观测的充分必要条件为，存在一个离散时刻l∈Jk,l >h,使格兰姆矩阵 为非奇异 时不变系统的能观测性判据 结论7 离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为，存在一个离散时刻l>0,使格兰姆矩阵 为非奇异 null结论8 n 维离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为 满秩 结论9 若单输出离散时间线性时不变系统完全能观测，则利用n步输出值就可构造出相应的初始状态 null4.5 对偶性　　对于线性系统，能控性和能观测性之间在概念和判据形式上存在对偶关系，实质上反映了系统控制问题和系统估计问题的对偶。定义：对连续时间线性时变系统 其对偶系统定义为如下形式的一个连续时间线性时变系统对偶系统其中，状态X——n维行向量，协状态——n维行向量 输入u——p维列向量，输入　——q 维行向量 输出y——q维列向量，输出　——p 维行向量 null 显然，是一个p维输入q维输出的n阶系统，其对偶系统d是一个q维输入p维输出的n阶系统。 d 系统矩阵＝系统矩阵的转秩 d 输入矩阵＝输出矩阵的转秩 d 输出矩阵＝输入矩阵的转秩对偶系统之间具有如下属性：1.线性属性和时变属性2.系数矩阵的对偶性3.状态转移矩阵的对偶性互为转秩逆！null 互为对偶的两系统，输入端与输出端互换，信号传递方向相反，信号引出点和综合点互换，对应矩阵转置。 原构系统与其对偶系统具有相同属性。4.方块图对偶属性null结论: 设Σ为原构线性系统, Σd为对偶线性系统,则有 Σ完全能控 Σd 完全能观测 Σ完全能观测 Σd 完全能控 线性时不变系统，其传递函数矩阵 互为对偶系统的传递函数矩阵互为转置，特征方程式相同，特征值相同。对偶性原理nullΣ完全能控 Σd 完全能观测 根据这一原理，一个系统的状态完全能控（状态完全能观测）的特性，可以转化为其对偶系统的状态完全能观测（状态完全能控）的特性来研究。 对偶原理的意义，不仅在于提供了一条途径，使可由一种结构特性判据导出另一种结构特性判据，而且还在于提供了一种可能性，使可建立了系统最优控制问题和最佳估计问题基本结论间的对于关系。 null4.6离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件 设连续时间线性时不变系统 对应的时间离散化系统 其中G =eAT H=A的特征值 结论1： 如果连续系统（A、B、C）不能控（不能观测），则对任意采样周期T离散化后的系统（G、H、C）也是不能控（不能观测）的。 本定理也可叙述为： 如果离散化后的系统是能控（能观测）的，则离散化前的连续系统一定是能控（能观测）的。　　将线性连续系统化为线性离散系统进行分析和控制，是现今系统与控制理论中常为采用的一种模式。null结论2 ：设连续系统（A、B、C）能控（能观测），则离散化后的系统也能控（能观测）的必要条件是： 不是A的特征值。其中l为非零整数 结论3: 对时间离散化系统，使采样周期T的值，对满足Re[i－j]=0 　　　　　　　　　的一切特征值，成立　　则时间离散化系统能控的充分必要条件是eATB为行线性无关 结论4: 连续时间线性时不变系统，其时间离散化系统保持完全能控/完全能观测的一个充分条件为，采样周期T满足如下条件：对A的任意两个特征值1、 2，不存在非零整数l ，使成立对于单输入单输出系统，本定理是充分必要的。null4.7能控性、能观测性与传递函数的关系 结论1: 单输入单输出系统（A、b、c）是能控且能观测的充分必要条件是：传递函数G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消。 例 设单输入、单输出系统的传递函数 由于存在零、极点对消，系统不可能是既能控又能观测的。结论2: 多输入多输出线性时不变系统能控的充分必要条件是：状态向量与输入向量之间的传递矩阵 的各行在复数域上线性无关。结论3：多输入多输出线性时不变系统能观测的充分必要条件是：输出向量与初始状态向量X(0)之间的传递矩阵 的各列在复数域上线性无关。null4．8能控规范形和能观测规范形：SISO情形 由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间描述也不是唯一的。 　　在实际应用中，常常根据所研究问题的需要，将状态空间描述化成相应的几种规范形式：如约当规范型，对于状态转移矩阵的计算，能控性和能观性分析是十分方便的。能控规范型对于状态反馈来说比较方便，而能观测规范型则对于状态观测器的设计及系统辩识比较方便。 无论选用哪种规范形，其实质都是对系统状态空间描述进行非奇异线性变换，其关键在于寻找相应的变换矩阵。　　本节以线性时不变SISO系统为对象，讨论能控规范形和能观测规范形的基本形式和变换矩阵的构造方法。null线性时不变系统状态空间描述为 能控性能观测性在线性非奇异变换下的属性引入坐标变换 ，则变换后系统的状态空间描述为 null结论1：连续时间线性时不变系统的能控性和能观测性在线性非奇异变换下保持不变。能控性指数，能观测性指数也保持不变。 能控规范形结论2：对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时不变系统 null则通过变换矩阵 或null可将系统变换成能控规范形，即导出： 注：1.能控规范形以明显形式直接和特征多项式系数｛0，1， …，n-1｝ 联系起来，对于系统综合与仿真研究很方便。 2.完全能控的任意两个代数等价系统必具有相同的能控规范形。 3.一个单输入系统，如果其A、b阵具有如上形式，则系统一定能控。 4.单输入系统具有唯一的能控规范形。无特殊形式null结论3：对完全能观测的n 维单输入单输出连续时间线性时不变系统，其能观测规范形可基于线性非奇异变换 导出 其中null注：1.能观测规范形以明显形式直接和特征多项式系数｛0，1， …，n-1｝ 联系起来，对于综合系统的观测器很方便。 2.完全能观测的任意两个代数等价系统必具有相同的能观测规范形。 3.一个单输出系统，如果其A、c阵具有如上形式，则系统一定能观测。 4.单输出系统具有唯一的能观测规范形。无特殊形式null例：已知线性时不变能控系统的状态方程，试化为能控规范型。解：null4．9 能控规范形和能观测规范形MIMO情形 多输入多输出连续时间线性时不变系统的能控规范型和能观测规范型，相比于单输入单输出情形，无论规范形式还是构造方法都要复杂一些。 1.规范形式的不唯一性 2.构造变换矩阵的复杂性 本节仅讨论应用较广的龙伯格规范形。 搜索线性无关的行或列的方法多输入多输出连续时间线性时不变系统的能控性判别矩阵和能观测性判别矩阵 从Qc或Qo中找出n个线性无关的列或行，通常需经过一个搜索过程。nnpnqnnull考察n维多输入多输出连续时间线性时不变系统 能控性判别矩阵为若系统完全能控，rankQc=n，即Qc的np列中只有n个线性无关。nnp1.搜索Qc中的n个线性无关的列向量的“列向搜索方案”用格栅图的方法在Qc中搜索n个线性无关的列向量。null格栅图b1 b2 b3 b4A0 A1 A2 A3 A4 A5 BABA2BA3BA4BA5Bn＝61  2  3搜索到1 ＋ 2 ＋  3＝n停止。1 ＝3， 2 ＝2，  3＝1 ，l＝3Qc中的6个线性无关的列: b1, Ab1, A2b1; b2, Ab2; b3 nullb1 b2 b3 b4A0 A1 A2 A3 A4 A5 1  2  31 ＝ 3， 2 ＝ 1 ， 3＝ 22.搜索Qc中的n个线性无关的列向量的“行向搜索方案”rankB=r