【教学论文】由一道习题导出椭圆切线的一个重要结论【教师职称评定】

【教学】由一道习题导出椭圆切线的一个重要结论【教师职称评定】 由一道习题导出椭圆切线的一个重要结论 萍乡中学 周伟萍 22xy，,,,1(0)ab题目:已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一点。求证:点PFF,1222ab 处的切线PT必平分在P处的外角.在解答此题之后，我们还得到一个重要的定理. ,PFF12 证法1 设. FcFcPxy(,0),(,0),(,),1200 22,22.xyyxy，,0对椭圆方程，,1两边求导得， 2222abab 2bxy ,y,,? 2l ayM l 1P 24 bx1 N 0,? kky,,,,2 3 pTxy(,)200x ay0F O D F T 12 yy00l 2kk,,又，kk,,， 1pF2pF12xc，xc,00 由到角公式知 2bxy00,,2ayxc,kk,002 tan2，,,2bxy1，kk0021.,2ayxc,00 22222bcxbxay,，()000 ,222()abxyacy,,000 222222bcxabbcxa,,()b00 ， ,,,222cxyacycycxacy,,()000000 2ybx00，22xcay，kk,b001同理. tan1，,,,2ybx1，kkcy00101.,2xcay，00 ，，,1,2(0,),? ， ? ，,，12， 又，,，14， ? ，,，24 证法2 设，，，如图1，过、作切线PT的垂线，垂Fc(,0),Fc(,0)Pxy(,)FF120012 足分别为M、N. xxyy00? 切线PT的方程为，则点、到PT的距离为 ，,1FF1222ab ,cx0,12a， FM,122xy00，44ab cx0,12a FN,222xy00，44ab ,cx0,122,,cxaFM0a1,,? 2cx,1FNcxa,0102a ,,，exaaexPF001 ,,,exaaexPF,,002 ? ? ,PMF,PNF12 ? , 又? ，,，12，,，14 ? . ，,，24 两种证法都是由导出，如图，设PD为法线(即PD切线PT)，则PD平分，,，12, ，故得如下重要定理. ，FPF12 定理 在椭圆上任意一点P的法线，平分该点两条焦半径的夹角.