用导数的定义求下列各函数在指定点的导数

用导数的定义求下列各函数在指定点的导数 习题2-1 1、 用导数的定义求下列各函数在指定点的导数: ''f(2)f(0)(1) , 求,; f(x),2x，3 解: yfxfxx,(2，,),(2)[2(2，,)，3],(2，2，3)2,'f(2),lim,lim,lim,lim,2,x,0,x,0,x,0,x,0xxxx,,,, yfxfxx,(0，,),(0)[2(0，,)，3],32,'. f(0),lim,lim,lim,lim,2,x,0,x,0,x,0,x,0xxxx,,,, 1b,,,,''2'ff,f(x),ax，bx，cf(0)(2) , 其中为常数, 求,,. a,b,c,,,,2a2,,,,解: 22,yf，,x,fa,x，b,x，c,ca,x，b,x(0)(0)()'f,,,,(0)limlimlimlim ,x,0,x,0,x,0,x,0,x,x,x,x , ,lim(a,x，b),b,x,0 ab11112f，,x,fa，,x，b，,x，c,，，c()()[()()](),y1,,'222242f,,,limlimlim,,,x,,x,,x,000,x,x,x2,, 2a,x，(a，b),x,lim,lim(a,x，a，b),a，b . ,x,0,x,0,x 22bbbbbb2f,，,x,f,a,，,x，b,，,x，c,,，c()()[()()]()b,y,,'aaaaaa222242f,,,,limlimlim,,,x,,x,,x,000a,x,x,x2,, 2a,x,lim,lim(a,x),0 . ,x,0,x,0,x 22,,v,s,3，3,272、解:因为，所以瞬时速度。 s,3tt,3 注:只要题目没有用定义求导，就最好不用定义。 ,,k,y|,2，3,6y,2x3、解: 因为, 所以切线的斜率. x,3 y,9,6(x,3)y,6x,9切线方程: 即: 224、解:因为切线平行，斜率相等，故。 k,2x,k,3x,x,或x,01020003 23y,x和y,x(部分同学把x,0去掉了，这是不对的，因为y=0是的切线) 0 k1,,C(x),C(x)5、解:由题目知总成本的变化率为, . 2x 1 k1,x所以生产个单位时总成本的变化率为. C(x),002x0 fxfx(),(1)3,1,2,6、解:因为， f(1),lim,lim,3，，，x,1x,1xx,1,1 2fxf(),(1)x，1,2,,,，所以，故在处不可导。 ff(1),f(1)f(x)(1),lim,lim,2x,1,,，,,x,x,xx,1,111 2x,0,x,1,,,,f(x),错误的解法是:，所以;这样做的错误有两个:一是f(1),2,3,f(1),,，3,x,1, ,从给出的导函数的达式上有，这与不可导当然是矛盾的;二是这样解题用了f(1),3 ,,,,即“函数在处的左(右)导数等于导函数在处的左f(1),f(1,0)和f(1),f(1，0)x,1x,1,， (右)极限”这一结论，但一般条件下这一结论不成立，教材也没有给出成立的条件，故不 能乱用。 21,22333,,？y,x,y,(x),x7、解:(1) ; 3 1,4,5,,(2) ; ？y,,y,(x),,4x4x 25,,233,？y,x,y,,x(3) ; 3 1,？y,logx,y,(4) ; 3xln3 xxxx,？y,(3e),y,(3e)ln(3e),3e(ln3，1)(5) ; xxx2222,,,,,,,(6) . ？y,,y,ln,(ln2,ln3),,,,,,3333,,,,,, ,1,,,,,,,,？f(x),sinx,f(x),cosx,f,,f,08.、解:. ,,,,322,,,, ,x,x,y,cos(x，,x),cosx,,2sin(x，)sin9、证明: ,则, ？y,cosx22 ,x,x,x,2sin(x，)sinsin,y,x，，222,. (cosx),lim,,lim,sin(x，)lim,,sinx,,,x,0,x,0,x,0,x,x,x2，， 2 ,(cosx)|,(,sinx)|,0. x,0x,0 习题2-2 2(1);yaxbxc,，，1、解: '解:2.yaxb,， 2 2(2)(2);yxx,， 15'23解:2(2)()4.yxxxxx,，，,，22x 2(3)()(1)(1);fvvv,，, '2解:fvvvvvv()2(1)(1)(1)(1)(31).,，,，，,，, 2(4)cos;yxx, '2解:2cossin.yxxxx,, (5)()sin;,,,,, sin,'解:()cos.,，,,,,2, 2x(6)3;ya,,x 2'x解:3ln.yaa,，2x 1(7)y,; 21，，xx 12，x'解:.y,,22(1)，，xx 1sin,t(8);s,1sin，t ,cost(1，sint),(1,sint)cost2cost's,,, 22(1，sint)(1，sint) 2,y,2sint，tant,y,2cost，sect(9)因为。 2、解: nn,1''(1)(),(0),(1);fxaxaxaxaff,，，，，求nn,110 '12nn,,解:fxanxanxa()(1),,，,，，nn,11'fa(0),,1 ' fanana(1)(1).,，,，，nn,11 2'(2)sin(2),(2);yxxy,,求 '2解:2sin(2)cos(2),yxxxx,,，, 'y(2)4., 3 3.,,求下列函数的导数(其中是自变量，是大于零的常数):xtab 1()1;y,22ax, x'解:.y,223()ax, 2x(2);y, 22xa， x2222xxax，,3222xxa，2xa，'解:.y,,22223xa，()xa， 2(3)1ln;yx,， lnx lnx'x解:y,,.221ln1ln，，xxx x(4)tan;y,2 1xx22secsec'222解:y,,. xx2tan4tan22 3x(5)1;ye,， xe'解:y,.2x33(1)，e n2，(6)cos(,2);yxnZn,,, 1,12x'22n解:yxx,,(cos)sin.n 1(7)12;yx,，，21，x 1x'解:y,,. 2312，x(1)，x xx2(8)sincot;y,32 21xxxxx'22解:y,,sincoscotsincsc.3332232 4 2(9)sin(21);yx,, '解:yxxx,,,,,4sin(21)cos(21)2sin(42). 2(10)sin1;yx,， x'2解:yx,，cos1.21，x 32(11)cot1;yx,， 2x'223解:yx,,，csc1.2233(1)，x 22xx，,(12)sin;ye, 22'22xxxx，,，,解:yxee,，(21)cos. 22(13)cos(cos);yx, '22解:yxxxx,2cos(cos)sin(cos)2cossin 2,sin(2cos)sin2.xx 12(14)sin;yx,x 11'解:yx,,2sincos.xx 1(15)1tan();yx,，，x 112(1)sec(),，x2'xx,解:y,. 121tan()，，xx xlnx(16)2;y, xln1x,'lnx解:y,2()ln2. 2lnx 5 3t(17)3;yt,, '2t解:yt,,33ln3. 2(18)ln(12);yxxx,，，， 1，x1，212xx，'解:y,,.22122，，，，xxxxx 3sinx(19);ye, 3'sin2x解:yexx,3sincos. 32(20)ln();yx, 2226ln()xx'22解:yx,,3ln().2xx (21)ln[ln(ln)];yt, 1'解:y,.tttlnln(ln) 1(22)arccos;y,x 11'解:y,,. 421xx,2x1,2x (23)arccos13;yx,, 3'解:y,. 2133,xx (24)arctan;yxx, arctanxx'解:y,，.21，x2x 2(25)arccos1;yxxx,,, xx',,，,arccosarccos.xx解:y 2211,,xx arcsinx(26);y,21,x x1arcsin，x21,x'解:y,.21,x 6 12,x(27)(arccos);ye,x ,x11e'2,x2arccos(arccos).ye,,解:42xxxx, 1,x(28)sin;yarc,1，x 111,,',,.解:y 11(1)2(1),,，,xxxxx21(1),，x11，，xx 2(29)ln(arctan1);yx,， x'y,解:222arctan1(11)1，，，，xxx x'y,.222(2)1arctan1，，，xxx arcsinx(30);y,arccosx arccosarcsinxx，22arcsinarccosxx，11,,xx'解:y,,.222(arccos)x1(arccos)xx,arcsinxx(32)arctan;yee,， arcsinxxee'y.解:,，2x21e，1x, 12sin,x(34);ye, 12sin,2xsine12sin,111'xx解:ye,,,,(2sincos)().22xxxx 3,112,(31)因为; y,,y,,x2x (33)因为 xaba,,,bayx,,,,bba,, xxxaba，，,,baaaabxaba,,,,,,,,,,,,,,,,,,1baba,,,yxbax,ln，(,),ln，,,,,,,,,,,,,,,,,,,bbbbbxabxa,,,,,,,,,,,,,,,,,,，， 7 (35)();ychshx, '解:yshshxchx,(). (36)(ln);ythx, 1'解:y,.2xchx(ln) chx(37);yshxe, '2chxchx解:ychxeshxe,，. (38)arctan();ythx, 1'解:y,.22(1)，thxchx 注:在求导时，应先尽可能对所给函数进行化简，把复杂的问题变得简单一些，以便简化计 算，提高计算的准确性。 y,202,k,2x,4、解:因为，又设切点的坐标为，则，又y,x，5，解二y,2x(x,y)00000x,10元方程组得，故切线方程为即x,,1或x,3,k,,2或k,6y,2,,2(x,1)和y,2,6(x,1)00 。 2x，y,4,0;6x,y,4,0 错误解法:有同学把(1，2)点当成切点了。 5、解:因为法线与定直线平行，故所求的法线的斜率，故切线的斜率2x,2y，3,0k,1 ,2,2,y,lnx，1lnx，1,,1,切点坐标为(e,,2e)又,所以,法线方程为k,,11 ,2x,y,3e,0。 6、解:设所求点的坐标为，则切线斜率，又已知直线的斜率，所以(x,y)k,2xk,30001 23x,k,k1,11011,tan,,,x,,1,x,，故所求点的坐标为。 (,1,1),(,)1041164，kk，x41610 2x,7、解:切线的斜率,切点的坐标为k,y,(2e，2x),2(0,1)，所以法线方程为x,0x,0 Ax，By，C2100y,1,,x,x，2y,2,0 d,,，由点到直线的距离公式得。2225A，B 222,,,,y,f(x)(x),2xf(x)8、解:(1);(2) ,,xf(x)xf(x)xxf(x)xf(x)f(x)xxx,,,,,,,,,,,yf(e)ef(e)eef(e)ef(e)ef(x)eef(e)f(e)f(x),，,，,， ,,,,,,y,f[f(x)],f[f(x)]f(x)(3); ,,2222,,,y,f(sinx)，f(cosx),f(sinx)2sinxcosx，f(cosx)(,2cosxsinx),,,,(4) 22,,,,,sin2xf(sinx),f(cosx) ,,,,f(g(x)),f(g(x))注:，左边的数学运算是先复合，后求导;而右边是对外层函数先 8 g(x)求导，再将代入导函数。 习题2-3 ,1、解:(1) y,cosx,xsinx ,, y,,sinx,(sinx，xcosx) ,,2sinx,xcosx 11,1 ,222222,,,x(a,x) (2) y,(a,x),(,2x) 2 13,,x222222 ,,y,,(a,x)，(a,x),(,2x)2 132,,22222,a22,,(a,x),x(a,x) ,3222(a,x) ,15,,,,32,1,3,,22,,,,,,y,(2x)，x，(4x),4，x，8x(3); ,,4,, 2,y,secx (4) 2,, ,2sectanxy,2secx,secx,tanx 12,y,2xarctanx，(1，x),,2xarctanx，1(5) 21，x 2x,, y,2arctanx，21，x 1xe,11x2x,,y,e,,xe(6) 22x2x 311111,,,xx222 ,,y,,xe，x,e,x 422 3,x11xx2e(x,1) ,,xe，e,44x4x,x 12,y,,cosx,,,cotx(7)， y,,cscx sinx 9 11y,,[cos3x,cosx]sin3x,,[cos3xsin3x,cosxsin3x]22(8)因为 111,,,,[sin6x,sin4x,sin2x],,[sin6x,sin4x,sin2x],,224,, 1,,,所以 y,,(6cos6x,4cos4x,2cos2x),y,9sin6x,4sin4x,sin2x;4 ,,1x1x,,(9),,,y,1，,,y,,; 2222223,,22x，x,ax,ax,a，，,,x,a ,x,,x,？y,,ce,,ce2、证明: 12 22,x,,x,,y,,ce，,ce 12 22222,x,,x,x,,x,,？y,,y,,ce，,ce,,ce,,ce 1212 =0 xx,y,esinx，ecosx？3、证明: xxxx,,y,esinx，ecosx，ecosx,esinx x ,2ecosx xxxx,,,y,2y，2y,2ecosx,2esinx,2ecosx，2esinx？ =0 (20)2x(20)22x(19)22x(18)2,,,y,(e)x，20(e)(x)，190(e)(x)4解:(1) 202x2,2e(x，20x，95) (50)(50)22(49)2(48)2x,,,y,(sin2x)x，50(e)(x)，1225(sin2x)(x) (2) 1225502,2(,xsin2x，50xcos2x，sin2x)2 ,2222,,,,,,5、解:(1); ,,y,2xf(x),4xf(x)，2f(x) ,2,,,,,,f(x)f(x)f(x),f(x),,,,,,y,,(2)。 ,,2f(x)f(x),, 习题2-4 dyx,x,,1、解:(1)方程两边对求导数得2x，2yy,0，所以; dxy 10 dy2x，y,,(2)方程两边对求导数得，所以; x,,2x，y，xy，2yy,0dxx，2y x，ydye,yx，y,,(3)方程两边对求导数得，所以; xy，xy,e(1，y),x，ydxx,e ,yxy,ylnx，,lny，(4)方程两边取对数得，两边对x求导数得，所以ylnx,xlnyxy ylny,2dyxylny,yx,,; 2xdxxylnx,xlnx,y 注:有同学易把幂指函数的求导与幂函数或指数函数的求导搞混淆。 dycosy,cos(x，y),,,(5)方程两边对x求导数得，所以; cosy,xysiny,(1，y)cos(x，y)dxxsiny，cos(x，y) ,,,,yx,yx，yyyx,yx，yy1,,,,,,yx,y,x，yy(6)方程两边对x求导数得， 22222222xx，yx，yx，yy,,，1,,x,, dyx，y所以,; dxx,y 2、 解:(1) lny,ln2，xlnx 11x, ,y,,lnx， yx2x xx1x2x,xx,2,y,,lnx， = x,(lnx，2) xx lny,xln(lnx)(2) 1111,,ln(lnx)，,y,ln(lnx)，x,, ylnxxlnx 1，，x,y,(lnx)ln(lnx)， ,,lnx，， 111111,,y,,lnx，,(3)lny,lnx，,(1,lnx) 22yxxxxx 1,2x ,y,x(1,lnx) 11 2,ycosxsinxlnsinx(4)方程两边取对数得，两边对x求导数得，,,，lny,cosxlnsinxysinx 所以 2cosxcosxcosx,; y,(sinx)(,sinxlnsinx，),(sinx)(cotxcosx,sinxlnsinx)sinx 111(5) lny,ln3x,2,ln5,2x,lnx,1 222 13111,,y,,，, y23x,25,2x2(x,1) 3x,2311，，, y,,，,,,(5,2x)(x,1)6x,45,2x2x,2，， 122x(6)方程两边取对数得，两边对求导数得,,lny,lnx，ln(x，1),2ln(x,1)3 2,yxxxx1124xx(，1),,1124,,3,,，,，所以; y,,,，,,,222222yx3x3xx，1,1xxx,,(,1)，1,1,, 22(x,1)，(y，3),17x3、 解:方程两边对求导 11,x,,,y,得2(x,1)，2(y，3),y,0，故，从而 y,,(2,1)y，34 1故所求切线方程为即x，4y,6,0 y,1,,(x,2)4 cos(x，y),,,y,(1，y)cos(x，y),y,x4、解:方程两边对求导得 (1) 1,cos(x，y) ,,,1,cos(x，y)(1，y)sin(x，y),(1，y)sin(x，y)cos(x，y)x(1) 式两边对求导得 ,,y,2,,1,cos(x，y) ,, (2) ,,(1，y)sin(x，y),21,cos(x，y),, sin(x，y),,y,将(1)代入(2)得 3,,cos(x，y),1 sseesss,,,,te,s,1,s,s,e，tes,s,5、解:，又 (1) s2,s1,te 2(1)ssss,,,es(2,s)，eses(3,s)e(3,s)将代入,,s,,,所以。 223(2,s)(2,s)(2,s) 12 2,,dy,,d,,d,,dy,,t,,ddx,,,,2dxdydy21,,dtdt6、解:,,,,,,,。 23dxtdxdx/dt2tdxt dy,,dtant,，，d,,22dxdydy3asintcost1dt,,tant7、解:。 ,,,,,,,2224dxdx3acostsintdx3acostsint3acostsint,,,,,sin,,d,,1,cos,dy,,,,d,,2dxdysin,dy,d1,,,,,,,,8、解:。 22dx1,cos,dxa(1,cos,)dxa(1,cos,) ,dydybbacos,,,k,,,k,切线斜率,法线斜率9、解:(1)因为，又切点的坐1,dxa,dxabsin,,4 ,,,,,,2a2222b2,,,,,,y,b,,x,a;a,by,b,x,a标为，所以切线方程为法线方程为; ,,,,,,222a22b2,,,,,, 243dydyt,,,切线斜率k,,,法线斜率k,(2)因为，又切点的坐标为1234dxdx1,tt,2 61212461236,,,,,,y,a,,x,a;a,ay,a,x,a，所以切线方程为法线方程为。 ,,,,,,53554555,,,,,, ，，x,y,(1,0)10、解(1)因为质点出发时，故质点出发时所在的位置的坐标是; t,0t,0t,0 ,,v,x,(2,2t),,2v,y,(8t),16(2)水平方向的速度，铅直方向的速度; xtytt,2t,2t,2t,2 ,,,,a,x,(,2),,2a,y,8,8(3)水平方向的加速度，铅直方向的加速度。 xtytt,2t,2t,2t,2 cost,sint,,d,,dy,,cost，sint,,d,,2dxdydycost,sint2,,dt,,,,,,11、解:，又 2tt3dxcost，sintdxdxe(cost，sint)e(cost，sint)2tdy22e222t(x，y),,e(cost，sint),,，23tcost，sintdxe(cost，sint) 2tdydy,,dycost,sint,2e,,,,t2,,2x,y,2esint,,ecost,，所以。 (x，y),2x,y,,,,,,dxcost，sintcost，sint2,,,,dxdx,, 2(40)t222240t,,sttststtst()120(40)2()()2(40)(),，,,,,12、解:因为，又因 st()120 20022,s(15),m/s，所以飞机飞离观察者的速度为。 s(15),120，(40，15),1202626 13 1r,h13、解:如图，设在时刻t注入的水深为，又条件知，所以 4 h2 2,h16,,,h,4t,h(t),r，所以当时，水的表面上升的速度为 ,,h,5232,h,, 16。 m/minh,25 9t2222,,y(t)，x(t),y(t)，9t,25,y(t),,14解:如图可得， x(t),3t,x(t),3y(t) ,,9555t2,,,x,m()3()31825(1)，所以当下端离开墙角yt,,,yt,t,t,,t,,,()yt32232,, 时，梯子的上、下两端滑动的速率相同; 1.49，1.41.41.4,,,,23,(2); 3t,1.4,t,,y,25,(1.4),y,,0.875m/min,,,,2333,,,,25,(1.4) 29t9t44,,,,2,y(t),4,y(t),,，9t,25,t,4/3,x,3,,4m(3)。 ,,,,4433,,,,习题2-5 1、求下列函数的微分 (1)解:dy,(10x，3)dx 22dy,[2(x，2)(x,4)，(x，2x)]dx(3x,4x,8)dx(2)解:= ,2dx,,,1,,0,x,242xxdx,21,x,,[arcsin(2,1)],,,dyxdxdx(3) ,2dx222,1,(2,1)1,xxxx,0,,1;2,1,x, 4(4)解: dy,(lnx，1)dxx 2secttant，sect,(5); dy,,,ln(sect，tant)dt,dt,sectdtsect，tant ,,,2sin2(1sin)coscos2cos22sin2coscos2,x，x,xxxxxx,,,,(6) dy,dt,dx,,，dx,,22,,1sin1sin，x，x(1sin)(1sin)，x，x,,,,2、解:(1) 14 1dx,,,dydx221,2,xxxx dx,1dydxx,112 2, 24 dxdx2,,,dyx,2422,,,2,,2, 24 21,xdy,dx,dy,dx,dy,0(2). x,0x,122(1，x) 3、解:(1); dy,(2x,1),x,dy,(20,1)，0.1,1.9 ,2sec261secx,,,,6dy,,,x(2)，又，所以 dy,,,,0.0059,x,,,3,3603606360(tan1)x，3(1，tan)6 4、(1)，在处，故 dy,2x,xdy,0.02x,1,x,0.01 22,y,f(1，0.01),f(1),(1.01，1),(1，1),0.0201 ,y,dy,0.0001 5、填空 1112d(x),2xdx(1) (2) (3) d(lnx),dxddx(,),2xxx 11,x,xd(x),dxd(,e),edxd(,cos2x),sin2xdx(4) (5) (6) 22x 222xx2x(7) d(e),edx,(2xe)dx d(sinx，cosx),d(sinx)，d(cosx),(cosx,sinx)dx(8) 习题2-6 F(x),lnsinx2、解:满足 5,,(1) 在[,]上连续 66 ,,5(,)(2) 在内可导 66 51,,(),(),lnFF(3) 662 15 cosx,,,5,故满足罗尔定理的条件，令F(x),=0，则在区间内，存在，(,),,66sinx2 ,cos,2,使得 F(),,0,2sin2 3、解:满足 f(x),(x,1)(x,2)(x,3) (1)在[1，3]上连续 (2)在(1,3)内可导 (3) f(1),f(3),0 6,3/2,,,f(,),3,,12,，11,0故满足罗尔定理的条件，令，解得 (1，3)，3 6,3/,,f(,),0即在区间(1，3)内存在使得. 3 324解:与罗尔定理不矛盾，因为函数虽然在区间[-1，1]上连续，且f(x),1,x f(,1),f(1)，但在(-1，1)内点处f(x)不可导，故不满足罗尔定理的条x,0 件，所以在区间[-1，1]上没有导数为零的点并不与罗尔定理矛盾。 5、解:函数f(x),arctanx在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，所以满足拉格 ()()(1)(0)1fb,faf,f,,f(x),朗日中值定理的条件，且，由， ,,2104b,a,1，x 41f(b),f(a),,,x,,1令，即，解得，故在区间f(x),,,x,(0,1),2,4b,a41，x 4,,,,1(0，1)内存在使得f(1),f(0),f(,)(1,0)成立。 , 1f(x),(a,b),6、解:函数在内不能找到满足有限增量公式的点，这与拉格朗x 1f(x),(a,b)日中值定理并不矛盾，因为当时，函数在内的点处ab,0x,0x f(x)不可导，不满足拉格朗日中值定理的条件. f(x)f(1),f(2)7、解:由于在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且，所以由 ,,，,,(3,4)，,,(1,2)f(,),0，,,(2,3)f(,),0罗尔定理可知，使，同理使，31122 ,,,f(,),0f(x),0f(x),0使。显然它们都是方程的根，由于为三次方程，它3 16 ,,,,,,只能有三个根(包括实根、复根)，故是方程的全部根。 f(x),0123 8、证明; 设 -1 f(x),arcsinx，arccosx,x,1 11/f(x),,,0因 221,x1,x 所以(为常数) f(x),arcsinx，arccosx,CC 令有 x,1 ,,(1)arcsin1arccos10 f,，,，,22 ,arcsin1arccos1从而 ，,2 1nn,F(x),ax，ax，？，ax,x,[0,x]x9、证明:设函数，则F(0),0，又为1100nn, ？F(x),0[0,x](0,x)F(x),0的根，，由于F(x)在上连续，在内可导，且000 ,F(0),F(x),0，,,(0,x)，根据罗尔定理，，使得F(,),0 00 12n,n,an,，a(n,1),，？，a,0即 11nn, 12n,n,anx，a(n,1)x，a,0x, 就是方程小于的正根。 11nn,0 [x,x](x,x)f(x),f(x)10、证明:因为f(x)在上连续，在内可导，且所以121212 ,，,,(x,x)，,,(x,x)f(,),0根据罗尔定理，使得.同理可得，使得2231121 ,,f(,),0[,,,](,,,).又函数,(x),f(x)在上连续，在内可导，且21212 ,,,(,),f(,),f(,),,(,),0，,,(,,,)，根据罗尔定理，使112212 ,,,,,f(,),0，即 ,(x),[f(x)],0x,,x,, x,x11、证明:当时不等式是显然成立的。 12 x,xx,xf(x),antanxf(x),arctanx当时，不妨假设，令，于是在闭1212 xxxx区间[，]上连续，在开区间(，)内可导，根据拉格朗日中值定理，存1122 xx,,在(，)使 12 17 /f(x),f(x),f(,)(x,x) 2121 1arctanx,arctanx,(x,x)即 212121，, 1arctanx,arctanx,x,x,,x,x于是 21212121，, 习题2-7 1求下列各题的极限 211,11，，x3223x1，66lim,lim(x),(a)解:(1)原式=; (2)原式=; lim,11x,ax,ax,0331,12(x)2 x3cos3x,xeexx3cos3sin，xsin3(3)原式=; (4)原式=; lim,lim,1lim,2，，x0cosx,x,0x,0xxcossin3xcos xsin x1,,,,,22,1/x21/x22,1，xe(x)ex,,1/xlim,lim,lime,，,lim,1(5)原式=;(6)原式= ,2,2,,,x,，,1x0x0x0,x(x),21，x 112ln,xln(,1)x,x2x,1x(7)原式= lim,lim,lim(ln),(,1)lim,0x，，，，,11x,1x,1x,1x,1,11x,2(ln)x,(ln)xx xxxxxln,，1ln，1,11/lim,lim,lim,1/2(8)原式=; 111x,x,x,111xx(,1)lnxln，1,，2xxx lnx0(9)原式=; limexp[sinxlnx],exp[limxlnx],exp[lim],exp[lim(,x)],e,1，，，，,1x,x,x,x,0000x 1,,ln,,,22x(,x)x1sinx,,,,0(10)原式=limexp[tanxln],exp[lim]exp[lim],exp[lim],e,1 ,,，，，，2x,x,x,x,0000xcotxx,,,cscx n!sinx,,30lim,0limexp[xln],e,1(11)原式=; (12)原式=。 ,,xnx,，,x,0xaa(ln),, xxxx1,cosx,sin1,sin/2、解:，但不存在也不为无穷大，所以不满limlim,lim,1x,，,x,，,x,，,xxxx1,sinx，cos1，cos/ 足罗必达法则的第三个条件，故不能用罗必达法则计算。 ,,,,f(xh)f(x)f(xh)f(x)，,,,，,,f(xh)f(xh)，,,hh,limlim,2h23、解:原式= h,0h,0 ,,,,f(x)f(x)，,,f(x),,2 18 4、解:因为在处可导，故必在连续，所以 (1) f(1,0),f(1，0),1，b,ln(a，1)f(x)x,1x,1 fxfxbb(),(1)，,(1，),， f(1),lim,lim,1,,,x,1x,1xx,1,1 2x22f(x),f(1)ln(a，x),(1，b)2a，x,f(1),lim,lim,lim,，因为在处可导 f(x)x,1，，，，x,x,x,111x,1x,11a，1 2,,ff所以 (2);由(1)和(2)得。 (1),(1),,1a,1,b,ln2,1,，a，1 习题2-8 32(4),,,,,,1、 解:因为 f(4),,56,f(4),(4x,15x，2x,3),21,f(4),74,f(4),66,f(4),24x,4 (k)又f(x),0,(k,4)，所以 746624234 f(x),,56，21(x,4)，(x,4)，(x,4)，(x,4)2!3!4! 234,,56，21(x,4)，37(x,4)，11(x,4)，(x,4) 2、 解:因为 22,,f(0),1,f(x),3(x,3x，1)(2x,3),f(0),,9 222,,,,f(x),6(x,3x，1)(2x,3)，6(x,3x，1),f(0),60 3,,,,,,f(x),6(2x,3)，6(2x,3),f(0),,270 (4)2(4)(5)(5)f(x),36(2x,3)，12,f(0),720,f(x),144(2x,3),f(0),,1280 (6)(6)(k)f(x),720,f(0),720,f(x),0(k,7) 60270720128072023456所以f(x),1,9x，x,x，x,x，x 2!3!4!5!6! 23456 = 1,9x，30x,45x，30x,9x，x 3、 解法一:求出函数的在的零至四阶导数值，代入公式可得答案。 x,40 解法二: 112x,4,,2x,(4，x,4),21，,,,4,,231x,4111x,41111x,4,,,,,,,,,,32[1，,，,,1，,1,2，,(x)] ,,,,,,,,,,242!2243!2224,,,,,,,,,, x,411233,2，,(x,4)，(x,4)，,(x)34442,4 k!(k)k(k)f(,1),,k!,k,0,1,2,？,n.4、 解:因为所以 f(x),(,1),k,0,1,2,？,n，1.k，1x (n，1)!11(n，1)n，12nn，1n，1,f(),(,1),,,[1，(x，1)，(x，1)，？，(x，1)]，(,1)(x，1)。 n，2n，2x,, 如果题目对余项没有要求，就有解法二: 19 1112nn ,,,,,[1，(x，1)，(x，1)，？，(x，1)]，,((x，1))x,1，x，11,(x，1) 5、 解:(1) 23111111111111,,,,,,,,,,33330,27，3,3,1，,3[1，,，,1，,1,2],,,,,,,,,,9392!3393!3339,,,,,,,,,, 1315,3，,，,3.10724972959049 11,,2401124014,53误差 (1，,)(),,1.88，10481(4!)9981，249 343sin,11,,,,,,,,,,,,0sin18,sin,,，,,,0.3090(2)解: , ,,,,,,10103!104!10103!10,,,,,, 55sin,1,,,,,,,4而误差=. ,,2.03，10,,,,5!105!10,,,, 1,,13333xxx(x),,，,,,x(x)，,3!1,,3!6、 解:(1)原式=。(注 原题中的减号应改 limlim,,33x,x,006xx 为乘号) 2222,,，，x1xx144411,,44,,1,，,，,(x),1,，x，,(x),,,,，()xx,,,,22224!,,84!,,，，,,(2)原式= lim,lim,1/1244x,0x,0xx习题2-9 ,1、 解:因为，所以在区间上严格单调增加。 f(x),1,sinx,00,x,2,f(x)[0,2,] 23,y,3x，1,0,x,(,,,，,)y,x，x2、 证明:因为，所以在内严格单调增加。 (,,,，,) 1,,3、解:因为,且只有当时，所以在区间内严f(x),0f(x)f(x),,1,0(,,,，,)x,121，x 格单调减。 22x，1x1,,y,,0,x,(,,,0),(0,，,)y,x,024、证明:因为，所以在不含点的任何区间xx 上都是单调增加的。 22,,y,6x,12x,18,6(x,2x,3),6(x，1)(x,3)y,0x,,1,x,3125、解:(1)因为，令，得 列表如下 x(,,,,1)(,1,3)(3,，,)-1 3 ,y+ 0 - 0 + y 445343,,y,5(x,2)(2x，1)，4(x,2)(2x，1),(x,2)(2x，1)(14x,3)y,0(2)因为，令得 20 1x,,,x,3/14,x,2123 2 列表如下 x(,,,,1/2)(3/14,2)(2,，,)-1/2 (-1/2，3/14) 3/14 2 ,y+ 0 - 0 + - 0 y ,60(x,1)(x,2),,y,y,0x,1,x,212322(3)因为,令，得 (4x,9x，6x) 列表如下 x(,,,1)(1,2)(2,，,)1 2 ,y- 0 + 0 - y 2(2a,3x)a2a,,x,,x,ay,y,0x,231(4)因为，令得，另外是不可导点， 22333(2x,a)(a,x) 列表如下 xa(a/2,2a/3)(,,,a/2)(2a/3,a)(a,，,)a/22a/3 ,y+ 0 - 不可导 + + 不可导 y (2x，1)(2x,1)11,,x,,x,,y,y,0x,012(5)因为，令得，另外为不可导点 22x 列表如下 x(1/2,，,)(,,,,1/2)(0,1/2)-1/2 (-1/2，0) 0 1/2 ,y+ 不可导 - 0 - 0 + y 1,y,,0,x,(,,,，,)(,,,，,)(6)因为，所以在内单调增。 21，x 111x，1,1,f(x),1，x,1，xf(x),,,,0,(x,0)f(x)6证明:(1)令，则，所以2221，x21，x 11，x,1，xf(0),0,f(x),f(0),0[0,，,)在上单调增，又,所以. 2 222,f(x)(,,,，,)f(x),1，xln(x，1，x),1，xf(x),ln(x，1，x),0(2)令,则,所以在内 22f(0),0,f(x),f(0),01，xln(x，1，x),1，x单调增,又,所以. ,f(x),sinx，tanx,2x,f(0),0,在(0,)上(3)令则 2 2'"3‘,f(x),cosx，secx,2，f(0),0,f(x),sinx(2secx,1),0f(x),由此得在 ,,’‘'(0,)f(x),f(0),0f(x),0,故f(x)在(0,)内单增内单调增,而,所以 22 21 ,0,x,时f(x),f(0),sinx，tanx,2x当 2 21x,,f(x),,1,,0,x,0f(x),arctanx,xf(x),0x,022(4)令,则,只有当时才有,1，x1，x f(0),0,f(x),f(0),0arctanx,x,x,0f(x)(,,,0]故在上单调增,又,所以. ,f(x),cosx,1,0,f(x),sinx,xf(0),0x,07、证明:令，则由知是方程的一个根。又仅 ,Rx,k,,k,Zf(x),0f(x)sinx,x当时所以在内单调增，故方程最多只有一个根;综上所述，结论成立。 322,,f(x),x,3x,9x，2f(x),3x,6x,9,3(x，1)(x,3)f(x),08、解:令，则，又令得x,,1,x,312，列表如下 x(,,,,1)(,1,3)(3,，,)-1 3 ,y+ 0 - 0 + y 7 -25 (,,,,1)(,1,3)(3,，,)limf(x),,,,limf(x),，,又，所以方程有三个实根，分别在，，内。 x,,,x,，, ,RRf(x),sinx，xf(x),1，cosx9、答:不一定。如在上单调增，但在上不是单调函数。 ,,,,3fxxxfxxx(),,,(,,,，,);(),tan,,,,,,也可以考虑等等。 22,, ,,,,y,(12x,6),,6y,6x(x,1)y,0x,0,x,112x,0x,010、解:(1)因为，令得，又，,,y,(12x,6),6x,0f(0),0x,112x,1x,1，所以为极大值点，极大值为，为极小值点， f(1),,1极小值为。 12,5x,,y,y,0x,12/53(2)因为，令得驻点,列表如下 22(4，5x) x (,,,12/5)(12/5,，,)12/5 ,y + 0 - y 极大值点 1241205,,f,,所以极大值为,,. 510,,820 2(x,1),y,,02(3)因为,故函数单调增,所以函数无极值. 1，x 11,lnxx,y,x,0x,e2(4)令,得驻点列表如下 x 22 x (0,e)(e,，,)e , y+ 0 - y 极大值点 1 ef(e),e所以极大值为. ,x2x,,,y,e(2e,1),0x,,ln2y,22,0x,,ln2x,,ln2(5)令,得驻点,又,所以是极 f(,ln2),22小值点,函数的极小值为. 2,y,1，secx,0(6)因为,所以函数单调增,故无极值. 2,y,5x(x,1)(x,3),0x,0,x,11211、解:(1)令，得函数在区间[-1，2]内的驻点为，又 f(,1),,10,f(0),1,f(1),2,f(2),,7，所以最大值为2，最小值为-10。 2(2x,1),y,,0x,1/2,[0,1]22(2)令，得驻点，而在区间[0，1]内无不可导点，又(1，x,x) 13,,f(0),1,f(1),1,f,,,，所以最大值为1，最小值为3/5。 25,, 22222(b,a)x，2ax,aa,a,y,,0x,,(0,1),x,,(0,1)22(3)令，得驻点,又a，bb,ax(1,x) 22ab2211,,a3ayyba,,,,,，,,2(，)，,0x,,(0,1),,x,,所以为最小值点,函33aba，bxxb，a(1,),, a,,2f,(b，a),,数的最小值为. b，a,, 3531,,,x,f(,5),,5，6,f(1),1,f,y,1,,0,,(4)令,得驻点,又,所以最小值为444,,21,x 35,,f(,5),,5，6f,,,,最大值为. 44,, ,,,,,,3,,,，，,,,,,f,,f,,f,,,(),x,,,,y,2cos2x,1,0,,,,,,(5)令,得驻点,又, 2222626622,,,,，， ,,,,,,f,,()f,,,,,所以最大值为最小值为. 2222,, ,1,f(0),arctan1,f(1),0y,,,02(6)因为,所以函数单调减,故最大值为,最小值为. 41，x 2,,2x，3,x,(1,2),,(x,3x，2),x,[1,2],,f(x),f(x),,,2(7)因为,所以,令2x,3,x,[,10,1),(2,10],x,3x，2,x,[,10,1),(2,10],, ,x,1,x,2f(,10),132,f(10),72,f(x),0x,3/2,(1,2)123得驻点,又为不可导点, 23 31,,f(1),f(2),0,f,f(,10),132,f(1),f(2),0,,,所以最大值为最小值为. 24,, 33,f(x),x，(8,x)f(x),48(x,4),0x,412解:由题意可得，令得唯一的驻点，故将8平均分成两个部分的立方之和为最小。 r13、解:如图，设内接圆柱体的半径为，则圆柱体的体积 222,,h3hh2222,,,,()v,,R,,0r,R,v,hR,v,,rh,,又，所以令 444,, 2R2Rh,h,得唯一驻点，即当时，圆柱体的体积最大。 33 1414、解:设所求直线与x(x,0),(0,y)，,1y轴和轴的交点坐标为，由题目条件得，解得xy 44x4x,z,1,,0z,x，y,x,32，故目标函数为，令得满足题目条件的驻点为，x,1x,1(1,x) yxy,6，,1，所以所求的直线方程为。 36 222f(x),(x,x)，(x,x)，？，(x,x)n1215、证明:设，令 ,f(x),2(x,x)，2(x,x)，？，2(x,x),2[nx,(x，x，？，x)],012n12n得唯一的驻点 xxxxxx，，？，，，？，12n12n,,xxf(x),2n,0,,，又所以是函数的极小值点， nn xxx，，？，22212nf(x),(x,x)，(x,x)，？，(x,x)x,n12在时取得最小值。 n x54.9,xx,F,49，0.1，5x,,F(x),,5x216、解:设杆长为，则杆重为，由杠杆原理有，22x 9.8,,,F(x),0x,1.4x,1.4F,,000x,1.43令得唯一的驻点又，故为极小值点，因而也是最1.4 小值点。所以杆长为1.4米最省力。 hr,17、解:设挖去做漏斗的扇形顶角为,漏斗的上顶圆半径为,高为,则它们满足关系式: 2,rR,,,RR22rr,,,h,4,,,,22,因此 hRr,,22,,, 31R2246V,,rh,4,,,,,,,(0,2,)2故漏斗的体积, 324, 246y,4,,,,,,,(0,2,)XyV令,由的单调增加性质, 与具有相同的最大值点. 826235322,y,y(,)(0,2,),,,y,16,,,6,,,6,(,,,),00令得在内的唯一驻点.而33 262626,,y,0y,0,,,y0,,,,,,,,2,0当时, ,当时,所以是的极大值点,且333 yV是唯一的极值点.故它是的,从而也是的最大值点.因此,当挖去作漏斗的扇形顶角为 24 26,时,漏斗的容积最大. 3 习题2-10 1、求下列各函数的凹凸区间及拐点: 2,,,,,解:(1)因为y,3x,10x，3,y,6x,10，令得，列表如下 y,0x,5/30x (,,,5/3)(5/3,，,)5/3 ,, y- 0 + y,, 拐点为。 (5/3,,250/27)222222x(x，9a)6ax(9a,x),,,y,,y,,,(2)因为，令得，列y,0x,,3a,x,0,x,3a123222223(x，3a)(x，3a)表如下 x (3a,，,)(,,,,3a)(,3a,0)(0,3a) ,3a3a0 ,, y+ 0 - 0 + 0 - y,,,, 拐点为 (,3a,9a/4),(0,0),(3a,9a/4) 43,,,,,(3)因为y,5x,y,20x，令得，列表如下 y,0x,00x (,,,0)(0,，,)0 ,, y- 0 + y,, 拐点为(0，0)。 3x2x,,,y,4(x，1)，e,y,12(x，1)，e,0(4)因为,所以函数在内为凹函数,无(,,,，,) 拐点. 11,2xarctanarctanxx,,,y,e,y,e,,(5) 因为，令得，列表如下 y,0x,1/202221，x(1，x)x (,,,1/2)(1/2,，,)1/2 ,, y+ 0 - y,, 1arctan2(1/2,e)拐点为。 22(1,x)2x,,,y,,y,,,(6)因为，令y,0得，列表如下 x,,1,x,1122221，x(1，x)x (,,,,1) (1,，,) -1 (-1，1) 1 ,,y - + 0 - y,,, 拐点为(,1,ln2),(1,ln2)。 32,,,,,y,4x(12lnx,4),y,144xlnx(7)因为，令y,0得x,0,x,1，又0不在定义域内，12 列表如下 25 x (1,，,)(0，1) 1 ,, y- 0 + y,, 拐点为。 (1,,7) ,x,x,,,,,(8)因为y,e(1,x),y,e(x,2)，令得，列表如下 y,0x,21x (,,,2)(2,，,)2 ,, y- 0 + y, , ,2拐点为(2,2e)。 2,,,2、解:因为y,3ax，2bx,y,6ax，2b，又(1，3)为拐点，所以解方3,a，b,0,6a，2b 39a,,,b,程得。 22 ,2,,3(1，t),,,,222t3(1，t)6(t,1),,,,,y,,y,,,,3、解:，令得，又为y,0t,,1,t,1t,001232t2t8t不可导点，列表如下 (0,1)t (,,,,1)(1,，,)-1 (-1，0) 0 1 ,, y+ 0 - - + y,,,, 拐点为(-1，4)，(1，4)。 22,,,,,y,4kx(x,3),y,12k(x,1)4、解:因为，令得，列表如下 y,0x,,1,x,112 x (,,,,1)(,1,1)(1,，,)-1 1 ,, y+ 0 - 0 + y, ,, k,8k,k,,8k拐点为。切线的斜率，所以通过原点的拐点处的法线方(,1,4k),(1,4k)12 1111y,,x和y,x,4k,,k,,程为。 8k8k8k425、解:(1)因为，所以是水平渐进线，是铅直渐y,0limy,0,limy,,,limy,,x,,1x,,x,,1x,1 进线。 (2)因为 2344,,yxxx,(，3，3)xx,,yyxxlim,,,lim,lim,1,lim(,),lim,,lim,,3 333,,x,,1x,,x,,x,,x,,x,,xxxxx(1，)(1，)(1，),, 所以是铅直渐进线，是斜渐进线。 y,x,3x,,1 26 2,,yxx,,(3)因为，所以是铅直渐limy,,;lim,lim,,1,lim,x,0x,,1,,x,,x,,,x,,,x,,,122xx,1x,1,, 进线，是斜渐进线。 y,,x x2arctanx，x,2lim2,lim(2arctan2)(4)因为，所以曲线有斜渐进线,x，,x,,x,,x,,,22x ,y,x,2。 2 6、见29页 习题2-11 y"'"yxyk1. 解:抛物线的顶点为(2,-1),, ,2,4,,2,|,|,2，，2,,1x,232'2，，，，y1， 1曲率半径. ,,2 2. 解: '"'",,,,|,0,|,1,yshxychxyyx,x,00 y" |,|,1.k，，0,1，，0,132'2，，1，，，y '2y3asintcost't3. 解:, y,,,,tgtx'2x,3acostsintt ''2，，y,sect1x"ty,,,,x'24x,3acostsint3asintcostt 1 4123asintcost？,,,k 3，，3asintcost3asin2t22,,，，1，,tgt 2|,.kt,t0，，3asin2t0 '"，，x,atcost,x,acost,tsint4. 解:, tt '"yattyattt,sin,,，，sin，cos,tt 2k|,.,t,,a2 11'"y,y,,5. 解:,,曲率半径 2xx 27 3322'22，，1，，，y，，1，x,,,,"xy 1222，，，，1，x2x,1',,2x 22',,得x,x,,0,,令(舍去). 1222 ,,2ln2,,所以曲线在点,,曲率半径为最小,最小的曲率半径为 ,,22,,33,,. 2 x1'"y,,y,,32221，x，，1，x "y16. 解: k,,, 332222'，，2x，1，，,,1，y ？k,1.max 28 2-10 6、(1) 1、 函数的定义域为 (,),,，, 4432,,x,1x,,22、 ，由，得驻点， y,0yxxxx,,，,，,(32)(2)(1)2155 122,,,,x,1x,,13、 ，由，得驻点， y,0yx,,(1)435 4、 列表讨论如下: (,2),,,(2,1),,(1,1),(1,)，,x ,2,11 , y,，，，，00 ,, y,，，，，00 y凹减 极小值 凹增 拐点凸增 拐点 凹增 6 3(1,2) (1,),,5 75、 补充点(0,)，由零点定理及函数单调性不难判断函数在区间(1,0),和(3,2),,内5 各有一个零点。 函数图形: y8_ 6_ 4_ 2_ o-_10 -_5 5_ 10_ x -_2 -_4 -_6 -_8 29 (2) 1、 函数的定义域为; (,0)(0,),,,，, 31(2)1x,1,,yx,,，,82、 ，由，得驻点; y,0x,122xx2 2,23,,,,x,,23、 ，由，得驻点; y,0y,，823x 4、 列表讨论如下: 221112,,, (0,)(,)，,x3330 (,2),,,(2,0), ,2222 , y 不存在,,,,，0 ,, y 不存在,，，，，0 y凹减 拐点凸减 间断 凹减 极小值凹增 2 3,3 (，),20 函数图形: 30 y xo (3) 1、 函数的定义域为 (,),,，, 2,,(1)x2、 因，故有水平渐近线。 lim0e,y,0x,, 2,,(1)x,,x,13、 ，由，得驻点 y,0yxe2(1),,,1 222,,,,,,(1)2(1)(1)2xxx,,,,4、 ，由，得驻点y,0yexeexx24(1)2(241),,，,,,， 22，22,x,x,， 1322 5、 列表讨论如下: (1,)，,x22,22，22,22,22， 1 (,),,(,1)(1,) 22222 , y,,,，，，0 ,,y ,,,，，00 y凹增 拐点凸增 极凸减 拐点 凹减 大221,221，值 (,)(,)22ee 1 函数图形: y 3_ 2_ 1_ o -_4 -_2 2_ 4_ 6_ x -_1 -_2 -_3 -_4 31 (4) 1、 函数的定义域为 (,),,，, 2、 函数是偶函数，它的图形关于轴对称 y 2x,,x,03、 ，由，得驻点， y,0y,12x，1 22(1),x,,,,y,x,1x,,14、 ，由，得驻点， y,03222(1)，x 5、 列表讨论如下: (,1),,,(1,0),(0,1)(1,)，,x0 ,11 , y,,,，，，0 ,, y,,，，，00 y凸减 拐点凹减 极小值 凸增 拐点 凹增 0(1,ln2), (1,ln2) 函数图形: y10_ 8_ 6_ 4_ 2_ x-_10 -_5 5_ 10_ o -_2 -_4 -_6 32 (5) 1、 函数的定义域为; (,),,，, 2、 函数是偶函数，它的图形关于轴对称; y 38alim0,3、 由，所以它由水平渐近线; y,022x,,xa， 3,16ax,,y,x,04、 ，由，得驻点; y,01222()xa， 223xa,333,,,,ya,16xa,,xa,5、 ，由，得驻点，; y,012223()xa，33 6、 列表讨论如下: x3333330 ,a(,0),a(0,)aa(,)a，,(,),,,a 333333 , y,,,，，，0 ,,y ,,,，，00 y凹增 拐点凸增 极大值 凸减 拐点 凹减 833(,6),aa(,6)aa 33 函数图形:(注:图中取) a,1 y8_ 6_ 4_ 2_ o-_10 -_5 5_ 10_ x -_2 - -_6 -_8 33 (6) 1、 函数的定义域为; (,),,，, ,x2、 因，故是水平渐近线。; y,0limsin0ex,x,，, ,,x，,,yexx,,(cossin)3、 ，由，得驻点xk，; y,0,，kZ,,4 ,,x，,,,,yex,,2cos4、 ，由，得驻点xk，; y,0,，kZ,,2 ，5、 补充点; (,0)k,kZ, 函数图形: y 1_ . 4 1_ . 2 1_ 0_ . 8 0_ . 6 0_ . 4 0_ . 2 0_ . 5 1_ 1_ . 5 2_ 2_ . 5 3_ 3_ . 5 4_ ox-_0 . 2 -_0 . 4 -_0 . 6 -_0 . 8 -_1 -_1 . 2 -_1 . 4 34