探究圆锥曲线的定值问题
· 24· 中学数学月刊 2008年第2期
探究圆锥曲线的定值问题
王业和 (安徽省潜山县职教中心 246300)
本文是笔者在教学实践中探究出来的几
个关于圆锥曲线的定值结论,颇值玩味,现撰
写出来,供同行研究或编制习题.限于篇幅,
此文仅以椭圆为例,而涉及双曲线或抛物线
中的相关结论请同行探究.
探究1 从椭圆的一个长轴顶点引两条
互相垂直的直线与椭圆相交,分别连结交点
与椭圆另一长轴顶点,则所得两直线斜率之
积为定值.
证 不妨 设椭
圆方程为 +b2~F=l
(Ⅱ>6>O),Al...
· 24· 中学数学月刊 2008年第2期
探究圆锥曲线的定值问
王业和 (安徽省潜山县职教中心 246300)
本文是笔者在教学实践中探究出来的几
个关于圆锥曲线的定值结论,颇值玩味,现撰
写出来,供同行研究或编制习题.限于篇幅,
此文仅以椭圆为例,而涉及双曲线或抛物线
中的相关结论请同行探究.
探究1 从椭圆的一个长轴顶点引两条
互相垂直的直线与椭圆相交,分别连结交点
与椭圆另一长轴顶点,则所得两直线斜率之
积为定值.
证 不妨 设椭
圆方程为 +b2~F=l
(Ⅱ>6>O),Al-a,0),
A2 a,0),AIP上AlQ,
P (Xl,y1),Q(X2 y2),
y
~\
\ }一
/ 1 l
Q\ ~ — /
则 · =( 。+Ⅱ,Y。)·( +Ⅱ,y2)=( 。+Ⅱ)( +
a)+yty2--O,所以,),ly2=一( l+Ⅱ)( 2+Ⅱ).
又由手+鲁=1得yl 2=6 1一x l2 /
同理), 2=62 1一等),
所以,,。2y2 2=b 1一 Xl2)(1一 X22)
: (一 。)(m 。)(一 )( ).
Ⅱ ’
从而得 ( 。一Ⅱ)(X2--~):( 。+Ⅱ)( +Ⅱ),
Ⅱ ’
所以 搿= b4.
而 甩,· 瑚’=且 ·且
Xl--(t X2--CI,
一 毫 一 (为定值).
思考 I 若将长轴顶点改变为短轴顶
点,则定值为多少?
探究2 从椭圆一条准线与对称轴交点
弓I直线Z和椭圆相交于两点.若此两点与相
应焦点连线互相垂直,则l的斜率为定值.
证 不妨设椭圆方程为 +鲁=1(口>6> C D‘
0),准线 一 与
C
轴交于点P,从点P
引 Z交椭圆于点
( 。,y1),N (X2 y2)且
FM上FN,设Z的斜
率为 ,则z (斛 ).
y
/l
. ‘ 、 一
一
_拿,
图2
自{纂 舰得
( 2+62 斛 =0,
所以 ·帆2=一丽2a4k~
, ①
2==一 , ② 一 万’
ytyr=k )
[ C( - ) 】. L C J
而 · ,所以( 。+c,Y。)·( +c,y2)---o
: l+ 2)+c (xrr-x2)+ 壹 =o,
C C
所以(1 +ra~k%。c2一)( 。慨 )+
丁k~a%c4=O
.
因 一c ≠o,所以 = 篆l_= C2 ,所以
车 e(定值).
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2008年第2期 中学数学月刊 ·25·
思考2若将椭圆方程变为 +鲁---1, 矿 D‘
则定值如何?
探究 3 过椭圆的一个焦点引一条直线
交椭圆于两点,分别连结交点与椭圆长轴顶
点的直线与相应准线交于两点,则此两点的
纵坐标之积为定值.
证 设 椭 圆方
程为手+鲁=l(a>b>
0),过右焦点 ,的直
Y f^
\、 ~ r| \
~ .
Ⅳ
:
y2),M(a
c
2
, )’N(a
c
2
,y4),PQ:H~: ( )·
fy=k(x—c),
由 鲁=1消去 整理得
(a2k2+b )x:-2aYk2x+a2k~:-a2b~-0,
所 F , ①
一 . ②
易求 = , 糌 ,
所以
一 d(a+c):k2(xl-c)x:-c)
一
= ·a2(a +c) 2k2[ x~x2 -c()x
+
,
。
+ x2
m
)+c2 1一
.③ 一。
伽 l )+c 】 2 一‘
将①,②代人③得瑚 一 b4
.
综合(1),(2)证得结论成立.
进一步可以证明上述三个结论的逆命题
巾.县 确 的.
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