李明波魔叶定理

李明波魔叶定理 关于三角形的“魔叶定理” 李明波 n提要 三角形每个顶点与在三角形外侧以对边为一边的正边形中心连线，三线共点。 拿破仑(B.Napoleon，1769-1821)指出:在三角形的外侧、以各边为一边的三个正三角形中心是另一个正三角形的顶点。这便是著名的拿破仑三角形[1]。 那么，对于相应的正四边形、正五边形等等，它们的中心还会是正三角形的顶点吗,但却是否定的。然而，笔者在2004年却发现并证明了另一种美妙结果。 图1 1 n定理 三角形每个顶点与在三角形外侧以对边为一边的正边形中心连线，三线共点。 n,7图1便是时的情况，尽管正7边形的尺规作图是不可能的[1]。 引理 在三角形外侧、以其各边为底边的三个相似等腰三角形的顶角顶，分别与原三角形该边对角顶连线，三线共点。 图2 引理的证明 如图2，证明的思路是利用塞瓦(G.Ceva)定理的逆定理[2]。 ///CCAABB一、利用等角条件，确定、、两侧相关三角形的面积关系: AB1//,AB,AB,sin，BAB/S,ABB'AB,ABAC2,,,,1//， 1S,ACC'AC,ACAC//,AC,AC,sin，CAC/2AB 2 S,ABB',S,ACC'S,BCC',S,BAA'即;同理可得，S,CAA',S,CBB'。 二、利用同底三角形的面积比等于该底上高的比(相似比)，然后代入塞瓦定理检验结果: AFBDCES,ACC'S,BAA'S,CBB' ,,,,,,1， FBDCEAS,BCC'S,CAA'S,ABB' ///CCBBAA故由塞瓦定理的逆定理可知、、共点(或平行，但是此时显然不是平行的情况)。证毕。 n定理的证明 在三角形外侧、以其边为一边的正边形中心，显然与该边构成以该边为底的等腰三角形，而且这样的三个等腰三角形彼此相似(角角角)，故满足引理的条件，从而知定理结论成立。证毕。 类似方法也可证明，把本文定理和引理中的“外”字，改为“内”字时的情况。 n本文定理从被笔者给出之日起，从未停止过它的发展:从3开始奔向远方，使每种正多边形犹如一现昙花转瞬既逝，不断地扩大着三面疆土，但三角形外这些充满蓬勃的魔力之叶，从不改变的却是 ——三线共点的相通血脉。 参 考 文 献 1沈康身.的魅力1[M].上海:上海辞书出版社，2004:170，89 2 陈通鑫等.数学小词典[M].北京:测绘出版社，1982:640 3