多元函数可微性研究

多元函数可微性研究 第l9卷第3期四川理工学院(自然科学版) JoURNALOFSICHUANUNIVERSITYOF 2006年6月SCIENCE&ENGINEERING(NATURALSCIENCEEDITION) V01.19No.3 文章编号:1673—1549(2006)03—0015—03 多元函数可微性研究 朱慨铭 (泉州经贸职业技术学院,福建泉州362000) 摘要:从降低偏导连续的条件和利用高阶偏导来判别多元函数可微性,并把相应结果推广到11元 函数中. 关键词:多元函数;连续性;偏导数;有界性 中图分类号:O17文献标识码:A 二元函数可微性是比较复杂的,例如,函数在某邻域连续且偏导有界,但仍可能在该点不可微.如 函数.厂(,),):j孚+),?o在点(0,0)的邻域中连续,其偏导数(,),)和,),)在(0,o)【02+),:0 点邻域有界,但f(x,),)在点(0,0)不可微.而函数在某点可微,但仍不能保证其偏导在该点的充分小 趾栅.女口)=:n南'X2+yy2:g:'0)点但其偏导数在 点X.,Yo)任意邻域上无界.一般教科书中给出了函数在某点偏导连续作为在该点可微的充分条件,下 面的定理降低了该条件并将其推广到n元函数中. 定理1若f(x,Y)在P0(,Yo)的某个领域u(Po)内偏导数存在,且其中有一个偏导数在点 (,y0)连续,则f(x,),)在点Po(Xo,Yo)可微. 证明不妨设(,),)在点Po(x0,Y0)连续V(Xo+,Y0+ay)?U(po) f(x0+,Y0+)一f(x0,Y0)=(f(x0+,Y0+)一f(x0+,Y.))+ (f(x.+,Y.)一f(x.,Y.))=L(x.+,Y.)Ay+D()+L(x.,Y.+o(ax) 由于(,Y)在点Po(x0,Y0)连续,所以对V(jc0+,)?u(po) f(xo+,yo)一f(xo,y0) ===厂v(Xo,Yo)Ay+trAy+o(Ay)+(Xo,yo)Ax+o(Ax)(其中lim口=0) = (,y0)?+(Xo,Yo)AX+o(p) p-?. 所以函数,(,),)在eo(go,yo)点可微. 定理1可推广到n元函数中,即 ;lira;0 P0 收稿日期:2005.II.21 作者简介:朱慨铭(1956?),男,福建潜州人,高级讲师,主要从事《高等数学》及《计 算技术》方面的研究. 16四川理工学院(自然科学版)2006年6月 定理2如果函数/(x.,X,…,x (i;1,2'???,,1)存在且其中有n一1 eo(x~,0,…,1可微. 又 )在点e(xo,,…,)的某个邻域内n 个偏导数在点eo(,,....,)连续., 证明假设在(,0,…,)点不连续.因为: 生:(树…,),于是有:A-'ox,'." . ,,,…,o,0+)一,,:,…,:)=,0,…,).Ax+.()= .(xO,x.,:).Ax+.) 设,0,…,0)在(,,…,)点连续被那(j=1,2,3,…,n-i).由拉格朗日中值定理有: ,+Ax.,20+Ax2,…,0+Ax)一,,+Ax2,…,0+Ax)+ ,,0+Ax,…,0+Ax)一,,0,,0+Ax,,.一,0+Ax)+…+ ,,0,,0,…,0一, 0 一 .+Ax一 .,0+Ax)一,,0,…,.,0+Ax =,+?.,20+Ax2,30+Ax3,…,0+Ax).Ax2 +,,+O~ax2,x+,,…,:+)?Ax+..?+疋.(,0一,.+on一.Axn..,+)一. +(xo,0,…,)?+D()(0<<1,i=1,2,3,…,rt一1) , :,…,:)在点(,0,…,)连续. (,,…,,+,x,o.++.,…,0+),,), . ? . (x,o,0,…,.,x,o+,xo.++.,…x~+Ax)?Ax. 由此可得: (f=1,2,3,…,rt一1) = (xo,0,…,)?Axi+D() ,(+,x~+ax,…,+)一,(,0,…,0) +.,+,+,…,+).+,o+o2ax,+,…,+).+... + 一 .,,…, 0 一 . +n- I,x:++(,0,…,).+.() (xo,0,…,xo)?.+D()+(,0,…,)?+D() +…+(,0,…,)?一.+D()+(xo,0,…,)?+o(axn) = (,,…,)?+(,0,…,xo)?Ax+…+Ln(,,…,)+.() 所以,函数,(.,:,…,)在点(,0,…,)上可微. 定理3如果函数,(,,…,)在点eo(X~,0,…,)的某个邻域内偏导数,,…,:)存 枞 02,J 一 . " 数 导 偏厂 个则 第19卷第3期朱慨铭:多元函数可微性研究17 在,至少有两个偏导数不连续,~lJf(x.,x2,…,)在点Po(X~,,…,)不一定可微. 漱嘶一=_' x2的偏导在原点不连续,其他偏导数连续,但.在原点不司微. 定理4若函数,(,),)在点Pox,Y.)的某个邻域内存在偏导数Xo,y.)及Xo,y.),fx(xo,),) 关 于Y在Y=Yo点连续,且:(,y)在(p.)存在且有界,则,(,y)在点pox.,yo)可微. 证明任意【x0+,Y0+)?v(po) L(x.+,y.+)一L(x.,y.) = (o+Ax,Yo+?y)一(o,Y0+)+(o,Yo+?y)一xo,Yo)..(1) 由于,:(,),)在U(p.)上有定义,所以当l?l很小时,根据拉格朗日中值定理,存在?(0,1), 使得Xo+Ax,Y0+)一0,Y0+)=:(o+?,yo+)?,代人(1)式得: +,y.+)一L(x.,yo)=(,y.+)一L(x.,y.x.+?Ax9y.+)?(2) 因为,:+?,y.+?)在(p.)上有界,所以,存在L,使得l:(+?,Y.+)l?L 7.N为f.(Xo,y)在y=yo连续,所以当,)(0,o)时,L(x.,y.+)一fx(Xo,Yo)-'0. 由(2)式可得【(+,Y.+)一(x0,Y.)】-0.所以(,y)在Po(Xo,Y.)点连续.…' ?v—加 7.NY~L(x,),)和L(x,y)~EU(p.)上存在,所以由定理2可知,f(x,),)在PoX9Y.)点可微. 推论1设函数,(,y)q~EPo(Xo,Y.)的某个;邻域内存在偏导数Xo,Y.)及(,y.),L(Xo,y)作 为y的一元函数在点Y=Yo上连续,:(,y)在点po(Xo,y.)连续,则,(,y)在点poXo,y.)上 可微. 证明因为(,y)在点po(.,y.)上连续,所以(x9y)必在点Po(.,y.)的某个邻域内有界. 根据定理4,L(x,y)在点Po(Xo,Y.)连续,所以f(x,y)在点Po(Xo,Y.)上可微. 推论2设函数,,y)在Poxo,Y.)的某个邻域内存在偏导数x,Yo)及x,Y.),:(,y)在 U(p.)上有界,Xo,Y.)存在,则,,Y)在点p.x,Y.)上可微. 证明因为,y.)存在,所以f~(Xo,y)作为y的一元函数在点y=y0连续,根据定理4可知, f(x,y)在点poxo,yo)可微.. 下面我们把定理4推广到n元的函数的情形中去. 定理5设函数:厂(,,…,)在点,…,:)的某个邻域内存在偏导数(gO,:09-"'90)(f-1, , 3,…,n-1),【jcl,,,…,,Xo,,…,)作为(l,29~~9f_l,Xi+l,…,)的,l—l元函数在点 , 0 ,… :.,gO..,0)连续且X.,:,…,)在V(po)内有界,(1=192,3,…,,l—ll,则 f(x.,X29'''t)在点(Xo,:0,…,:)上可微.' 参考文献:. 【l】华东师范大学数学系.数学(第三版)(下)【M】北京;高等教育出版社.2001. 【21复旦大学数学系.数学分析(第二版)(下)[MI.北京:高等教育出版杜.1983. 【3】李超.有关多元函数连续性的几个新结论【J】.韶关师院(自然科学 版),2002,(6):I-6. StudyoftheDifferenabUityofaFunctionofManyVaribles ZHUKai?ruing (QuanzhouInstituteofEcnomic&TradeTechnology,Quanzhou362000.China) Abstract:Thedifferenabilityofafunctionoftwovariablesisdecidedbyreducingtheconditio nthat partialderivativesarecontinuousandbythesecondpartialderivatives,andtheresultisextend edtothe functionofnvariables. Keywords:functionofmanyvariables;continuity;partialderivative;bounded 于 关 OO ?Il 22 X ++ . ++ 2222X . ++ 2l2lX