第四章 不定积分习题详细解答20110919

第四章 不定积分习题详细解答20110919 习 题 4-1 ,1.已知之一的原函数为，求. fxx()dfx()sin3x, ,, 解:. fxxfxCxCxC()d()(sin3)3cos3,，,，,，, 2,2( 设，求. fx()[ln()]secfxx, 2tanx, 解: 因为，故 (为任意常数)， ln()tanfxxC,，[ln()]secfxx,CfxCe(),11 2,x3.若是的原函数，求. xfxx(ln)dfx()e, 2x1,,xx,lnx2,解: = fx()fxe,,,,(),ee,,xfxxC(ln)d,,，(ln),,x2 fx(ln),x4. 若是的原函数，求. fx()edx,x 1,x,x,lnx,，所以, 解:因为 fxe(),fxeC(),,，fxeC,,,,，(ln),00x Cfx(ln)1fx(ln)10,. ,,，dln||xCxC,，，02,xxxxx 5.求下列不定积分: 135,1222(1)解: ,,,,,，(5)d(5)d22xxxxxxxxC,,x xxx,4269xx2(2)解:(23)d，x ,，，，C,2ln2ln62ln32111，，xx(3). d[]darctanln||xxxxC,，,，，,,22xxxx(1)1，， 1122(4) 解: (cot)dd(csc1)d，,，,xxxxx,,,22xx,,11 = arcsincotxxxC,,， x80xx3xxx(5) 解:102dx ,,,，xxC108d80d,,,ln80x1112(6) 解:= sindx,,,，，(1cos)dsinxxxxC,,2222 22cos2xcossinxx,(7) dx,,,,,,，d(cossin)dsincosxxxxxxC,,,cossinxx，cossinxx， 22cos2xcossin11xx,(8) 解: dx,,,d()dxx22,,,2222cossinxxcossinsincosxxxx ,,,，cottanxxC 2sec(sectan)dsecdsectandxxxxxxxxx,,,,(9) 解: tansecxxC,，,,, ,,,xx,1,,(10) 解:设fxx()max{1,},,. 则fxx()1,11,,,,, ,xx,1,, fx()(,)在上连续,,，,， 1 1,2,，,,xCx,11,2,， 则必存在原函数Fx()又须处处连续，有Fx()FxxCx(),11,，,,,,2,12,xCx，,,132,.112 ， xCxC，,,，即,，,,，1,CClim()lim()2121，,xx,,,,1122 112 ， xCxC，,，即，,，CC1,lim()lim()3232，,xx,,1122 1 联立并令CC,,可得，CCCC,,，,1.1232 1,2,，,,xCx,1,2,1,故max{1,},11.xdxxCx,，，,,, ,,2,1,2xCx，，,1,1,2, dy36. 解:设所求曲线方程为，其上任一点处切线的斜率为，从而 yfx,()(,)xy,xdx 134 yxxxC,,，d,4由，得，因此所求曲线方程为 y(0)0,C,0 14 . yx,4 7.解:因为 ,,11,,,,22， ,,coscossinxxxsinsincosxxx,,,,,22,,,, ,11,, ,,,cos2sin2sincosxxxx,,42,, 11122所以、 、 都是的原函数. ,cos2xsincosxxsinx,cosx422 习 题 4-2 1.填空. 111(1) = ( + C) (2) = (+ C) ,dxdxddlnx2xxx xx2(3) = (+ C) (4) = (+ C) tanxexddesecdxxd(5) = (+ C) (6) = (+ C) ,cosxsindxxdcosdxxdsinx 2 x12(7) = (+ C) (8) = (+ C) dxdxdarcsinxd1,x221,x1,x 1 = (+ C) (10) = (+ C) (9)secxtansecdxxxddarctanxdx2x，1 21x(11) = (2+ C) (12) = (+ C) darctanxxxdddx2(1)xx， 2.求下列不定积分: 5x1e55xx(1) exexCdd5,,，,,55 7792222(2) (2)d(2)d(2)(2),,,,,,,,，xxxxxC,,9 d1d(13)1xx,(3) ,,,,,，ln|13|xC,,133133,,xx xxeed(3)，x(4) dln(3)xeC,,，，,,xxee，，33 1123xxx2334xxxxxx(5) (22)deeex，， ,，，,，，，eeeeeeC(22)d()2,,32 26d(3)xx，2(6) d33ln(3)xxC,,，，,,22xx，，33 12,x141x，222 (7) dx,,，，d()(4)d(4)xx,,,2222x，4x，4 1222 ,(4)4xCxC，，,，， 1134444(8) xxxxxxCcosdcosdsin,,，,,44 45lnxlnx4 (9) dx,,，lnd(ln)xxC,,x5 111x1exx (10) ,,,,，eeCdxd(),,2xx ,3xe22,,33xx (11) ,,,,,， dd(3)xexeC,,33x arctanxarctanarctanxx(12) dx,,2d2d()xx,,,21，xxx(1)，1()，x 2,,，2arctand(arctan)(arctan)xxxC , 3xd()dxd113xx2 (13) ,,,，arcsinC,,,233233xx49,x2221()1(),,22 3 2arcsinxarcsinx (14) dx,,，arcsind(arcsin)xxC,,221,x arccosxarccosx1010arccosx(15) ,,,,10d(arccos)xx，Cd,,2ln10,x1 2xxsin1，2222(16) tan1dtan1d1d1xxxxx，,，，,，,,,22xx，，1cos1 2dcos1x，2 ,,,,，，ln|cos1|xC,2cos1x， 1334(17) cossindsindsinsinxxxxxxC,,，,,4 1sinx(18) dx,,,,，d(cos)2cosxxC,,cosxcosx 2sincosxx，13 (19) dx,,,,，d(sincos)2(sincos)xxxxC,,33sincosxx,sincosxx, 1ln，x11(20) dx,,,，d(ln)xxC22,,(ln)xx(ln)lnxxxx 111(21) dx,,,，d(ln)d(lnln)lnlnlnxxxC,,,xxxlnlnlnlnlnlnlnlnxxx 21cos212cos2cos2，，，xxx42 (22) cosdxx ,,()ddxx,,,24 2xx，sin21cos4，x1cos2cos2xx ,，,，，()dxdx,,44242 3sin2xx，sin4x ，C,，44 3sinx322(23) cosdxx,coscosdxxx,,(1sin)d(sin)xx ,,，sinxC,,,3 352525sincosdxxx,,,,sincosdcos(1cos)cosdcosxxxxxx(24) ,,, 1186 ,,，coscosxxC86 352424tansecdxxxtansecdsec(sec1)secdsecxxxxxx,,(25) ,,, 1175 ,,，secsecxxxC75 sin9sin11xx,(26) cos5sin4ddcos9cosxxxxxxC,,,，，,,2182 343232tansecdxxx,,，tansecdtantan(tan1)dtanxxxxxx(27) ,,, 4 1165 ,，，tantanxxxC64 ,， (28) 设xtt,,tan||)(2 22dsecdcosdxttttdsin11tx， ,,,,,，,,，CC,,,,22222tansecsintttsinsinttxxx，1 , (29) 设， xtt,,sin||)(2 22xxtttdsincosd,2 ,,sindtt,,,2cost1,x 112 ,,，,,,，(sincos)(arcsin1)ttttCxxxC22 ,(30) 令，，，则 t,[0,]xt,secdsectandxttt,2 111= dsectanddxtttttC,,,，arccos，C,,,2xsectanttxx,1 , (31) 令，，，则 t,[0,]xt,4secd4sectandxttt,2 2xt,164tan2 d4sectand4(sec1)d4(tan)xtttttttC,,,,,,，,,,xt4sec 2,,x,16442 ,,，,,,，4arccos164arccosCxC,,1,,3xx,, 1d()x，dd111xx2(32) ,,,，，arctan()xC22,,,1445(21)4442xxx，，，，2()1x，，2 32d(217)2dxxx，，,31x，2(33) dx,,,22xxxx，，，，217217 23d(217)d311xxxx，，，2 ,,,，，,，2ln(217)arctanxxC,,2222217(1)4224xxx，，，， dd11114xxx,(34) ,,,,，()dlnxC2,,,xxxxxxx,,,，,，，34(4)(1)54151 2xxxx,，，11d(56)7d(35) dx,,,,,22xxxxxx，，，，，，562562(2)(3)1711172x，,,22 ,，，,,,，，,，ln(56)dln(56)lnxxxxxC,,,2223223xxx，，，,,32xx114,,22 (36) dd1dxxx,,,,,,,,222xxx，，，42424,, 5 21d(4)1x，222 ,,,,，，d22ln(4)xxxC,,2242x， 22xxxx，arctanarctan(37) dddxxx,，,,,222xxx，，，111 1123 ,，，，ln(1)arctanxxC23 11xx(38) x,,，eeCdd()arctanxx,2,,x，eee，1 2xxx(11)，,22(39) dd(1)dxxxxxx,,，,,,,22211(11)(11),,,,，,xxx 33322xxx1(1),2222 ,，,,，,,,，，xxxxxxxCd1d1d(1),,,3233 2axaxaxxx，，，()d(40) ddddxxxax,,,，,,,,,22222222axax,,axaxax,,, 22xaxx1d(),22 ,,,,,，aaaxCarcsinarcsin,22aa2ax, 11111x (41) dd()d()x,,,,,,,22xx1122xx1,x()1()1,,xx 211,x1122 ,,2()1,，2C,,2d(()1),xxx12()1,x 2sin111x,,(42) d1dddxxxx,,,,,,,,,,,22211sin1sinsin，，xxx,,1，2sinx cotxd()dcot11cotxx,,2 ,，,，,，，xxxCarctan,,22,,2cot，x222,,cotx,,1，,,2,, 习 题 4-3 求下列不定积分 1x1xxxsin2d(1) ,,xxd(cos2),,，cos2cos2dxxx,,,222 x1 ,,，，cos2sin2xxC24 ,x,,,,,xxxxxxexd,,,,，,,,，xexeexxeeCdd(2) ,,, 6 3333233xxxxxxx2(3) xxxlnd,,,,,lnd()lnd(ln)lndxxxxx,,，lnxC,,,,3933333 (4)略. 22222(5) xxxcosd,,,,,xxxxxxxxxxxdsinsinsindsin2sind,,,, 22 ,，,，,xxxxxxxxxxsin2dcossin2cos2cosd,, 2 ,，,，xxxxxCsin2cos2sin (6) arctan31darctan31darctan31xxxxxx,,,,,,, 1d1x ,,,,,,,，xxxxxCarctan31arctan3131,2331x,,x,x,,xx(7)exxsin2d,,sin2dxe,,，exexsin2d(sin2) ,,,,,xx,,,xxx,,,exxesin22cos2d() ,,,，exexexsin22cos22d(cos2) ,, ,,,xxx,,,,exexexxsin22cos24sin2d , ,,xx,,exexsin22cos2,xexxsin2d ,，C,5 333xxx2(8)xxxarctand ,,,arctandarctandarctanxxx,,,3333333xx1xxxx1，, ,,arctandxx,,arctandxx,,22331，x331，x3x122 ,,，，，arctanln(1)xxxC33 21cos21，xx12(9xxxcosd) ,，xxxcos2d,,，xxxxxxd(cos2)d,,,,4222 22x1x11 ,，xxdsin2,，,xxxxsin2sin2d,,44444 2x11 ,，,，xxxCsin2cos2448 1,,,2arcsind2arcsin2darcsinxxxxxx(10) arcsindxx,,,x 1 ,，,，2arcsin21xxxC,,2arcsindxxx,1,x 2323xx122xexe23x2333xxxxexd(11) ,,,,,xexexxeddd,,,,33339 23xxe2233xx ,,，，xeeC3927 coslndxx,,,，xxxxxxxxcoslndcoslncoslnsinlnd(12)因为 ,,, ,，,xxxxxxcoslnsinlndsinln , 7 ,，,xxxxxxcoslnsinlncoslnd, xxxxcoslnsinln，于是 coslndxx,，C,2 xxxxcos1xxd,, (13) ,,，ddsindxx,,,,,333222,,,,sinsinsin2sinxxxx2sinsinxx,, x1122 ,,，,,，，cscd(csccot)xxxxxC,22sin22x xln(1)e，,,,xxxxxx(14) dln(1)dln(1)dln(1)xeeeeee,,，,,，，，,,,xe xexd,,,xxxxx ,,，，,,，，eeexeeln(1)dln(1),,xx，，ee11 xxee，,1,xx ,,，，eexln(1)d,xe，1 ,xxx ,,，，,，，eexeCln(1)ln(1)ln(1)1ln(1)dxxx，，,,(15) dln(1)dxx,，,,,,2,,,(2)22(2)(1),,,,，xxxxx,, ln(1)dln(1)111xxx，，,, ,,,,，dx,,,,2(2)(1)2321,,，,,，xxxxxx,, ln(1)11xx，， ,,，lnC232,,xx ,,,,,,xfxx()d,,,,,，xfxxfxfxxxfxfxCd()()()d()()(16) ,,, 习 题 4-4 求下列不定积分 33xx,，1112(1) dx,,，，，d(1)ddxxxxx,,,,x,1xx,,11 32xx ,，，，,，xxCln132 542xx，,8xx,,82(2) dx,，，，(1)ddxxxx,,,33xx,xx, 8432 ,，，，,,(1)d()dxxxx,,xxx,，11 32xx ,，，，,,,，，xxxxC8ln4ln13ln132 2,,,,xx2342213xx，，1(3) ,dxdx，，ddxx222,,,,22x,2(2)(1)xx,，xx，，1(1) 221d(1)13d(1)4xx，， ,,,,,,ln22ddxxx,,,,2222222112(1)(1)xxxx，，，， 132x2 ,,,，,，,,，ln2ln(1)2arctan2arctanxxxxC2222(1)1xx，， (上式最后一个积分用积分公式28) 8 24216114xx,，(4) dx,，,[]dx2,,2xx(1),xxx,,1(1) 112 ,,，，2ln(1)xxC,，,，，4ln2ln1xxCx,1x,1 xx1d11xx,(5) ,dxdx,,dx3222,,,,(1)(1)xx,，xxx,，,12121xx,， 1112 ,,,，，，ln1ln(1)arctanxxxC242 1dudx2dxdu(6) ux,tan,,22,,,,237cos2,x3sin，x34，u21()，u3 12tanx ,，arctanC233 x(7) 令 ，可得 u,tan2 2du2ddxux1，u ,,,，，,，，ln1ln1tanuCC,,,221uu,sincos112xxu，，，，，12211，，uu 2dx133dtt23(8)tx,，1 ,,，3(1)dtt,,，，，tttCln1,,,31，t1，t211，，x 24t1121，x1，x(9) dxt,dt,,，()dt2,,,221,x(1)(1)tt,，ttt,，，111xx1, t,1 ,，，ln2arctantCt，1 题 4-5 习 利用积分表计算下列不定积分: dxd(2)x,(1)因为 ,,,2254,，xx1(2)，,x 在积分表中查得公式(73) dx22 ,，，，ln()xxaC,22xa， 现在，，于是 a,1xx,,2 dx2 ,，,，,，ln(542)xxxC,254,，xx(2)在积分表中查得公式(135) nnn,1lnd(ln)lndxxxxnxx,, ,, 现在，重复利用此公式三次，得 n,3 332lndxx. ,,，,，xxxxxxxCln3ln6ln6, (3)在积分表中查得公式(28) 9 11dxx dx,，2222,,()2()2baxbaxbbaxb，，， 于是现在，，于是 a,1b,1 xxx1d1 ，,，，arctanxCdx,22222,,2(1)212(1)xxx，，，(1)，x (4)在积分表中查得公式(51) 11a darccosxC,，,2axxxa,于是现在，于是 a,1 dx1 ,，arccosC,2xxx,1(5)令，因为 tx,,1 222222 xxxx,2d,,,xxx(1)1d,，，,(21)1dtttt,,, 由积分表中公式(56)、(55)、(54) 2xa222222222 xxaxxaxaxxaC,,,,,，,，d(2)ln,88 122223 xxaxxaC,,,，d(),3 2xa222222 xaxxaxxaC,,,,，,，dln,22 x,1222222xxxx,2d于是 ,,,,,[2(1))(1)xaxa,8 251a22223. ,,，,,，,,，ln1(1)[(1)]xxaxaC83 (6)在积分表中查得公式(16)、(15) ddxaxbax， ,,,,,2bxb2xaxbxaxb，， d2xaxb， ,，arctanC,,bxaxbb，,于是现在，，于是 a,2b,,1 dx21dxx,21x, ,，,，,，2arctan21xC,,2xxxx21,xx21,(7) 在积分表中查得公式(135) 11n,nnn,,12 cosdcossincosdxxxxxx,,,,nn 现在，重复利用此公式三次，得 n,6 15151x653cosdxx. ,，，，，•xxxCcossincossin(sin2)xx,6242442(8)在积分表中查得公式(128) 10 1axax ebxxeabxbbxC,,，sind(sincos)22,ab， 现在，，于是 a,,2b,3 1,2xax exxexxC,,,，sin3d(2sin33cos3),13 1ax . ,,，，exxC(2sin33cos3)13 本章复习题 A 一、填空. 2sinxsinx2(1)已知是的一个原函数，则 = . Fx()d(())Fx2dxxx 2,(2)已知函数的导数为，且时，则此函数为 . yfx,()yx,2y,2yx,，1x,1 xxxx(3fxxxxC()dsin,，，efex(1)d，)已知，则=. sin(1)1eeC，，，，,, 2)如果，则=. (4fx()2x fxxxxC(sin)cosdsin,，, ,,xx,xe(e)dfx(5)设是的一个原函数，则= Fx()fx(),，FC(e), ,fx(ln)(6) =. fxC(ln)，dx,x 21222,，，xfxfxx()()d(7) =. fxC()，,，，4 22xfxx()d(8) 设是的一个原函数，则=. fx()cscxxxxCcsccot，，, 二、 选择题 1(, 2(, 3(, 4(, 5(, 6 C 三、求下列不定积分. 2221cos，x1cos，x11cos，x2,，(1sec)dxx(1) dx,dx,dx,,,,221cos2，x2cosx12cos1，,x ,，，xxCtan ,,xxdxexedd(1)，x(2) ,,，，ln(1)eC,,,x,,,,,xx1，e11，，ee 3xx2()xx,x,,,2352312x4(3) x,,xx,，，Cd2()d5()d5,,,x,ln3ln4ln2442 x22(arcsin)dxx(4),,,xxxxarcsin2arcsind ,,21,x 22222,,,xxxxarcsin2arcsind1,,,，,xxxxxxarcsin21arcsin21darcsin ,, 22 ,,,，，xxxxxCarcsin21arcsin2 11 2(5)令，则，于是 tx,，1xt,,1 dx2d2d111tttt, ,,,,,，()dlntC22,,,,(1)1111tttttt,,,，，xx，1 3xxxxx(6) ,,,,[]dddxxxdx222222,,,,22(1)，x1(1)1(1)，，，，xxxx 112 ,，，，ln(1)xC222(1)，x 1dx,2(7) ,,,，(arcsin)d(arcsin)xxC,,22arcsinx(arcsin)1xx, 1,x1x(8) ,dxddxx,,,,22294,x9494,,xx 3 121122 ,，,d()d(94)xx,,2338294,x21(),x3 121x2 ,，,，arcsin94xC234 5443223(9)tansecdxxx,,tansecdsecxxx(sec1)secdsecxxx, ,,, 864secsecsecxxx753,,，(sec2secsec)dsecxxxx ,,，，C,834 ππ(10)令，，于是 xt,sint,,(,)22 td()dxcosd1cos1dtttt，,2 ,,,,,,dttt,,,,,2t1cos1cos1cos，，，ttt211，,xcos2 tt2sinsin2tx11,,22 ,,，,,，,,，tCxCxCtanarcsinarcsintt2x2cossin22 222222111113x2222xxxxxxexd) (11,,,,,，xexeexxeeCdd,,,22222 lnlnxlnlndlnlnlnxxxC,，(12) dx,,x 67dd1dxxxx(13) ,,,,,77777xxxxxx(7)(7)7(7)，，， 71111x,,7 ,,,，dlnxC,,,777147147xxx，，,, 12 x，1d()dd111xxx，22(14) ,,,，arctanC2,,,22x，1xx，，292(1)(22)222222x，，()1，22 1cosd(sin),,xxx(15) dlnsinxxxC,,,，,,xxxx,,sinsin2xxln(1)11，2222(16) dln(1)dln(1)ln(1)xxxxC,，，,，，,,,2x，124 2t2x(17) 令 ， ，， xt,,ln(1)et，,1ddxt,2t,1 xd1211111xtte,，,,, ,,,,,，,，ddlnlnttCC,,2,,,xxttttt,,，，1111,,ee，，，111 2xxee1,,xxxx(18) dd1deln(1e)xeeC,,,,,，，,,,,,xxx1e1e1e，，，,, xxln,,d,,ln1d(ln)11lnxxxxx，3,,(19) darctanxC,,,，222,,,3(ln)3(ln)，，xxxx333xxln,,1，,,3,, xxxxxxxxx，，sindsinddd(1cos)(20) dx,,,,,,,,,x1cos1cos1cos1cos，，，，xxxx22cos2 xxx ,,，,,,，xxxxxdtanln(1cos)tantandln(1cos),,222 xx ,，,，，xxCtan2lncosln(1cos)122 xxxx2 ,，,，,，xCxCtan2lncosln2costan12222 1,x,0,,fxx()d三、设，求 . fxxx()1,01,，,,,,,x,12,x, 解:，，使得 fx()(,)在上连续,,，,则必存在原函数Fx() xC，,,1x,0,1,2 ， FxxxCx(),01,，，,,,22,x,12,xC，,3, 又须处处连续，有Fx() .12 ，即 xCxxC，,，，CC,,lim()lim()1212,，xx,,,,002 13 1322 ，即 xCxxC，,，，1，,，CClim()lim()3232，,xx,,1122 1 联立并令CC,,可得，CCCC,,，,1.1232 ,,xC，,x,0,1,2,，，,,xxCx,01故 . fxx()d,,2,x,11,2xC，，,,,2 ,四(设和都是连续函数，计算不定积分 fx()fx() 2, sin(cos)dcos(cos)dxfxxxfxx,,, 2, 解: sin(cos)dcos(cos)dxfxxxfxx,,, , ,,,,sin(cos)dcoscos(cos)dxfxxxfxx,, ,,,sind(cos)cos(cos)dxfxxfxx ,, ,,，,sin(cos)(cos)dsincos(cos)dxfxfxxxfxx ,, ,,，,sin(cos)cos(cos)dcos(cos)dxfxxfxxxfxx ,, ,，sin(cos)xfxC 1nn,1五、若Itand,,xx证明:. n,2,3,？,,,xItanInnn,2,n,1 证明:因为 nnn,,2222Itand,xx,,,tantandtan(sec1)dxxxxxx n,,, nn,,222nn,,22,,tansecdtandxxxxx,,tandtantandxxxx ,,,,1n,1 ,,xtanIn,2n,1 1n,1故 . ,,xItanInn,2n,1 本章复习题B 一、填空. 111,x23(1) ,e; (2) ; (3) xxxxxCcos4sin6cos,,，xxc,，23x 532442,x22(4) (5) (6) (21),,，xecxC，xxcxc，，，12153 14 1lnx1232(7) (8) (9). ,，Cfxx()ln,,,，(1)xCx23 二、求下列不定积分. x1111arctane,2xxxxx,2(1)= ,,eeex,eedx,arctand[arctand]2,,xx22,x，eee221() x111e,,2xxxx,2xx==. ,，，，eeeeC,,,(arctanarctan)[arctan()d]eex,2xx，21ee2 2x2t11,t(2)令，则，，.于是 t,tansinx,cosx,xtdxdt,,arctan,22221，t1，t1，t dxxx11112 ,，,，，()lntantantdtC,,sin22sin44282xxt， 222(3) ln(1)xxdx，，,,，，,，，xxxxdxxln(1)ln(1),, xdx222. ,,，，,xxxln(1),,，，,，，xxxxCln(1)1,21，x 2u2x(4) 令，则于是有 xu,，ln(1),ue,,1dxdu,,21，ux22xeuuu(1)ln(1)2，，2,，2ln(1)udu dxdu,,,,2xuu1，e,1 24u22 ,，,，，2ln(1)4arctanuuuuC,，,2ln(1)uudu,21，u xxx. ,,,,，,，2141arctan1xeeeC sindsin(1sin)dsin(1sin)dxxxxxxxx,,(5) ,,2,,,1sin(1sin)(1sin)cos，，,xxxx sindd(-cos)xxx22 ,,,,,tand(sec1)dxxxx,,,,22coscosxx 12; ,,,，，tanxxCcosx (11)d，,，xxx(6) 原式= ,11(11)，，，，,，xxxx 1111，,，，xxxx ,,，,ddxxx,,22x2x 111，，，xxx而 dddxxx,,,,,2x11xx，22()()x，,22 15 1111，x2令 ，,xtsecdsecsecdxttt,，,,2221122()()x，,22 1 ,，，，(tanln|sectan|)tttC2 122 ,，，，，，，(2ln|212|)xxxxxC2 2xxx，12所以 原式= xxxxC，,,，，，，ln212224 lnlntanxt2(7)令 xt,tandsecdcoslntandxttttt,,33,,,sect22(1)，x 2sect ,,,,sinlntansindsinlntansecdtttttttt,,tant xxln2; ,,，，,,，，，sintanlnsectanln1ttttCxxC21，x xxxe(1sin)eesin，xx(8) dd+dxxx,,,,1cos1cos1cos，，，xxx xxx2esincosxexxxx22 =d+dedtanetandxxx,，,,,,xx22222cos2cos22 xxxxxxxx; etanetandetandetan,,，,，xxC,,2222 22xxx(1)(1)1,,,，(9) ddxx,,,100100(1)(1),,xx ,,,9899100,,,,，,[(1)2(1)(1)]dxxxx , 111,,,979899; ,,,,，,，(1)(1)(1)xxxC974999 2x1122(10) arctandxx,xxxxCarctanln(1)(arctan),，,，,2221，x x4xcos11xx22(11). ,,，xCcsccotdx,,3sinx8242 dx2三、设，求( xyxy,,(),xy,3 342uuu,32 解:令 ,得, x,, , uxy,,xxuu,,()ddxu,222(1)u,u,1 16 3uu,3 又 ，故 xyux,,,,3322u,1 422d31xuuuu,, ,,,dduu,,,2232xyuuuu,,,,3(1)31 1122. ,,，,,,，ln|1|ln|()1|uCxyC22 2四、设是的原函数，且当时，有又， Fx()fx()F(0)1,fxFxx()()sin2,,x,0 ，求. Fx()0,fx() ,解:因是的原函数，则=.于是 Fx()fx()fx()Fx() 2, sin2()()()()xfxFxFxFx,, 上式两端积分得: 2,sin2d()()dxxFxFxx, ,, 2Fxxx()sin4 ,,，C228 1sin4x又，，得，故，从而 F(0)1,Fx()0,C,Fxx()1,,，24 1cos4，x,=. fx()Fx(),44sin4xx，, xxe五、设是的一个原函数，且当 时，，已知Fx()fx()x,0fxFx()(),22(1)，x ，试求( FFx(0)1,()0,,fx() ,解:因是的原函数，则=.于是 Fx()fx()fx()Fx() xxe, ,,fxFxFxFx()()()()22(1)，x 上式两端积分得: xxe, d()()dxFxFxx,2,,2(1)，x 22xFxxe() ,，C324(1)，x x2xe1sin4x,又，，得，故，从而= F(0)1,Fx()0,C,fx()Fx(),Fxx()1,,，32422(1)，x xx2六、设，求fxx()d( fx(sin),,sinx1,x 2xtsin22解 令 xt,sinfxxftx()d(sin)d,,,21,x1sin,t 17 sintt ,,,,，2sincosd2sind2sincosttxttxtttC,,cossintt ,,,，，21arcsin2xxxC xxdteedxx七、解 (1)令， et,dx,,,,litlie()(),,,xxlnt222xxxeee (2)， dddxxx,,,,,23221xxxx,，,,22(2)2(2)xxx,,eee4442(2)x, ， ddd2(2)(),,,,xexexelie,,,,,,222(2)xxx 2xe,22(1)x同理可得 d(),xelie,,1x2xe,,42(2)22(1)xx 所以 . d()(),,xelieelie,2,，32xx 18