高等数学（经管类专业适用）-1.2.1教学设计

高等数学（经管类专业适用）-1.2.1教学 课题 1.2.1极限的概念 1)理解函数极限的思想，会通过观察图像判别数列或者函数在自变量指定的 知识目标 变化方向上的变化极限; 2)理解无穷小与无穷大概念，掌握二者之间的关教学 系。 目标 通过极限思想的教学活动，让学生学会用变化和发展的眼光来观察和理解现能力目标 实生活中人与事。 教学教学 左右极限的计算 函数的极限思想 重点 难点 教法 以问题来引入课题的讲授法和以理解和巩固概念的练习法 学法 函数极限不仅是微积分贯彻始终的工具，而且作为一种思想，它直接影响一个人在今后工教学 作和生活中的思维方式，对学生数学应用的能力，为以后章节学习以及后期专业课程的学反思 习，打下坚实基础。 第1章 极限与连续 1.2.1极限的概念 教学过程 设计意图 一、知识回顾 引导学生有目的地 复习数列知识 复习，为后面的学二、情境引入 习做准备 1111 问题1:像这样按一定规律排列的一列数,,,？,,？n2482设置问题情境，引 ，称为数列，记作.它可以看成是自然数n为自变量的函,,yyy,,,,,,,,,,yn12n入极限的思想。 数，那么此数列的变化趋势是什么, 从具体到抽象，从三、合作探究 特殊实例归纳函数1.学习新知 极限的定义，降低 学习难度，使学生对于数列记作，如果当n无限增大时，无限趋近于某个确定的常,,yynn 很自然地学习了新数A，则称常数A为数列的极限，记作: ,,yn的知识，达到了突 破难点的目的。 limy,A n,,n 1 lim,0根据这个定义，可知问题中的数列的极限为0，即，,,ynnn,, 21 lim,0又如. n,,n 1 y,问题2:考察函数的图像，当时，函数变化的趋势为多少, x,,x把数列极限概念推 时的函广x,, 数极限。 x,0从上图容易发现，无论当且x无限增大(记作)，还是当x,，, x,0y且|x|无限增大(记作x,,,), 函数均无限接近于0.此时我们称该 limylimf(x)x,,函数当时的极限为0，记作=0或=0. x,,x,, 一般地，我们有如下定义: x,,x,,如果当f(x)f(x)时，无限接近于常数A，则称当时的极给出时函x,, 数极限的定义。 第1章 极限与连续 1.2.1极限的概念 限为A，记为 limf(x),A . x,, 否则，则称的极限不存在. f(x) 当(或当)时，无限接近于常数A，则称当x,,,f(x)x,，,x,，, lim()fxlim()fx(或)时的极限为A，记为,A(或,A). x,,,f(x)x,，,x,,, 11从上图可以观察到， . ,,limlim0 xx,,,,，,xx 从常用的基本初等函数的图象还可观察到以下结论: 1 xxlim20,C(为常数)， ， . limCC,,lim()0x,,,x,,x,，,3 limf(x),Alim()fxlim()fx极限的充分必要条件是和存在且都等 x,,,x,，,x,, 仔细讲解例子，让于A. 概念回归实例。 xxlim0e,如上图知， ，而当时，没有接近于某个常数，x,，,ye,,,,x xxxxlimelime,limelime即不存在，所以 ，故不存在。 ,，,,,,,，,,,xxxx 22从实例进一步推广x,1x,1x,1f(x),f(x),问题3:考察函数与()的图像，y,x，1x,1x,1xx,时的函数0 x,1是直线上除去(1，2)点以外的部分，当x从的左边或右边y,x，10极限。 x,1x,1y越来越接近于x=1(记作)时(此时)，与的值分别接近f(x) 什么数, 第1章 极限与连续 1.2.1极限的概念 (1) 时函导出xx,0 (2) 数的极限定义。 2x,1从上图可知二者均越来越接近于2，分别记作与. lim2,lim(1)2x，,x,1x,1 x,1 一般地，我们有如下定义: 在时函数xx,0如果当时，无限接近常数A，则称当时的极限x,xx,xf(x)f(x)00 极限定义下，说明为A，记为 单侧极限概念。 limf(x),A. x,x0 ,若是从左侧趋于x(记为)时无限接近常数A，则称当xx,xf(x)00 ,时的左极限为A，记为;若是从右侧趋于xlimf(x),Axx,xf(x)00 ,x,x0 ，，(记为)时无限接近常数A，则称当时的右极限x,xf(x)x,xf(x)00 为A，记为limf(x),A. ，x,x0 2x,1 x,1f(x),说明:从以上例子可以看出，虽然函数在处无定义，x,1 x,1x,xfx()但当时极限依然存在，即当时函数是否有极限与是否存 00 2x,1lim,在无关，并且有( lim(1)2x，,x,1x,1 x,1 给出无穷小与无穷 从常用的基本初等函数的图象可以观察到以下结论: 第1章 极限与连续 1.2.1极限的概念 22大量的定义以及二C(为常数)， ， . limCC,limxx,limxx,00xx,xx,xx,000 者之间的关系。 极限的充分必要条件是和存在且都等于lim()fxlim()fxlimf(x),A,，x,xxx,xx,000 A. 若，则称为当时的无穷小量，简称无穷小. xx,f(x)lim()0fx,0xx, 0 若，则称为当时的无穷大量. xx,f(x)lim()fx,,0xx,0 111lim,0lim,,f(x),例如，即为当时的无穷小量;，x,, x,,x,0xxx 1x,0f(x),即为当时的无穷大量. x 关于无穷小和无穷大量应注意: (1)某个变量是无穷大量或无穷小，一定要指出的变化过程. x用图像为辅助工(2)无穷大量 “” 不是一个数而是一个符号，示绝对值无限大的一具，帮助解题的认, 知过程，培养学生个变量;无穷小是表示以0为极限的变量，常数中只有0才是无穷小. 分析问题和解决问2.探究例题 题的能力。 x,0x,0【例1】求下列函数当时的左极限与右极限，并说明当时，fx() 的极限是否存在( fx() 1,0,x,,,,xx,0,,fxx()00,,,(1) ， (2) fx(), ,,xx,0,,,,,1,0,x, 解 (1)作出函数图象，如下图， lim()lim()0fxx,,,lim()lim0fxx,,, ， ,,，，xx,,00xx,,00 limf(x),0lim()lim()0fxfx,,因，所以. ,，x,0xx,,00 (2)作出函数图象，如下图， 第1章 极限与连续 1.2.1极限的概念 lim()lim11fx,,lim()lim(1)1fx,,,,， ， ,,，，xx,,11xx,,11 limf(x)lim()lim()fxfx,因，所以不存在. ,，x,1xx,,11 通过学与做的课堂 活动，引导学生形 成 “自主学习”与 “合作学习”等良 好的学习方式，有四、课堂练习 助于学生认识数学1( 利用基本初等函数的图象求下列极限 的科学价值、应用 limxlimsinx(1) ; (2); ,x,1x,价值和文化价值，2 体验成功。 xlime(3); (4)( limlnxx,,,x,1整理总结，理清思 x,0x,02(求下列函数当时的左极限与右极限，并说明当时，fx()路，形成牢固的知 识链和知识体系。 的极限是否存在( fx() 按不同层次学生的,,2,0,x,1,0,,,xx,,需求布置作业，挖fxx()0,0,,,(1) (2) fx(),,,xx，,1,0;,,掘和发展学生的数2,0.x,, 学能力。 五、 课堂小结 1、理解极限的思想，会通过函数图像求函数的极限; 2、了解无穷小与无穷大的概念，了解二者之间的关系。 六、布置作业 1(面作业 必做:《习题集》中的“练习1.2.1” 选做:习题1.2的2 2(拓展作业 (1)根据本节内容和自己的专业、特长，上网阅读、查找相关资料。 (2)以小组为单位，依据本节课所学知识编写与生活或专业相关的问题(小 组之间循环解答)( 第1章 极限与连续 1.2.1极限的概念